2021年4月

因为这部数学名著中文版的错误,我决定再科普一下这个知识

作者: Math001

 

关注 哆嗒数学网 每天获得更多数学趣文

 

 

事情的起因是我们哆嗒数学网的一位网友拿着Hardy和Wright合著的《数论导引》中文版说,书中明确指出,数学家早在1930年前后,就证明了eπ是无理数。这个让我吃惊,因为就几天前,我所能查到的资料,都说明eπ是否是无理数的问题还是一个未知答案的问题。——2017年前后,有人在预印本网站上发文说证明了它是无理数,但是被各路数学家指出了这篇文章的低级错误。

《数论导引》是英国顶级数学家Hardy的名著,英文原名叫做An Introduction to the Theory of Numbers直译一般应该是《数论导引》。但是,为了销售上的考虑,图灵出版社翻译这本书的时候,将书名定成了《哈代数论》,当当有售,现在巨贵。如此名著中既然这样写了,我们就要认真考证一下,到底怎么回事。

第一反应是不是翻译成中文后,阴差阳错出现了搬运错误。上面中文版的截图是该书的第6版,于是我也找到英文版的第6版来对比。结果,不出我所料,英文版和中文版的内容果然对不上。出乎我意料的是,中英对照的差异——比我原想的大的多。

首先,英文版中列出了两行实数,分别列出了哪些是已经被证明了是无理数的数,哪些还没有被证明是无理数的数。两行数,每行4个数,共8个。而中文版中对应的两行数变成每行3个数,共6个。然而,数的个数还不是最大的差异。在已经被证明了是无理数的那一行中,中文版里列入了eπ,而英文版里并没有eπ,而是另外两个数。而还没有证明是无理数的那一行,英文版里本来有e+π,但是中文版里把这个数去掉了。

 

——遗憾的是,e+π以及eπ这两个数的是否是无理数,到目前为止,依旧是未解之谜,人类中没人知道。这些问题涉及数学里的一个研究分支,叫做超越数论。

 

超越数论里有个非常重要的猜想,叫做沙努尔猜想。如果这个猜想成立,那么很多数的无理性以及超越性都能得到证明,包括e+π和eπ。

 

在介绍这个猜想之前,首先要介绍一下在有理数数域上线性相(无)关和代数相(无)关的概念。

 

对于n个复数x1, x2, ... , xn ,如果不存在全为零的有理数q1, q2, ... , qn 使得q1·x1 + q2·x2 + ... + qn·xn = 0 。 则称x1, x2, ... , xn在有理数域上线性相关,否则叫做在有理数域上线性无关。

 

对于n个复数x1, x2, ... , xn ,如果存在非零n元有理数系数多项式f满足f(x1, x2, ... , xn) = 0 。 则称x1, x2, ... , xn在有理数域上代数相关,否则叫做有理数域上代数无关。

 

沙努尔猜想说:如果n个复数x1, x2, ... , xn在有理数域上线性无关,那么这2n个复数中x1, x2, ... , xn, e^x1 , e^x2, ... , e^xn至少能找到n个复数有理数域上代数无关。(其中e^x 表示e的x次方)

 

知道了沙努尔猜想,我们就可以在假设这个猜想成立的情况,证明e+π和eπ都时无理数(实际上能证明都是超越数)。

 

1和πi显然在理数域上线性无关,所以 1 、πi 、 e 、 -1这4个数中,能找到2个代数无关。(注意 e^πi = -1)

 

如果令f(x,y)=(x-1)(x+1)y , 就能得到f(±1,y) =0 , 说明±1和所有复数都代数相关。所以只能πi 和 e代数无关。

 

πi 和 e代数无关能得到π和e代数无关。这一点,如果你有代数扩张方面的知识能迅速看出来。当然,这里为了保证这篇文章一定的友好度,我们也简单说明一下。

 

如若不然存在非零二元有理系数多项式f(x,y)满足f(e,π) = 0。 那么令g(x,y) = f(x,iy)·f(x,-iy),这是一个非零有理系数多项式。而g(e,πi) = 0 ,与πi 和 e代数无关矛盾。

 

那么e+π不可能是有理数。如若不然,e+π=q是有理数,则令f(x,y) = x+y-q, f(e,π) = 0,矛盾。同样的方式,也可证明eπ不可能是有理数。

 

好了,我想科普的内容就是这个沙努尔而猜想。如果读者你能有幸解决他,得几个数学界的大奖是没问题的。甚至如果你没满40岁的话,冲击一下数学界的最高奖菲尔兹奖也是有机会的。

 

如果,你能证明eπ、e+π是无理数的话,拿个数学的博士学位应该没问题吧。

 

关注 哆嗒数学网 每天获得更多数学趣文