2014年8月

十大坑爹高数题

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开学啦!进了大学,数学上,第一个要学习的就是高等数学或者数学分析了。这是让有的人感到头痛,有的人带到新奇的学科。利用高中集合和函数做衔接,我们进入了一个新的数学世界。见到之前没见过的函数,之前没见过方法。也颠覆了之前对数学的一些理解。

学习数学,“刷题”是必然不能少。我们不断的做练习,遇到了各种奇怪的题,然后被我们逐个解决。然而,有一些“长”得很像高等数学题目的问题,其实在高数或者数学分析框架下很难解决,而用更高级的办法几乎是秒杀。高数高手们遇到了这些问题,就算是掉坑里了。

这里,哆嗒数学网小编为你列举十个“坑”。问题方式为了方便大家参与讨论,都以“是否”形式提问。以下提到的函数,如无特殊说明,都为$R→R$的实函数。




No.10
函数的单调性高中就学啦,一个单调函数可以是$y=x$这样的连续函数,还可以是$y=x·sgn(x)$这样有间断点的函数。你还能写出很多单调函数,有无穷多个间断点。不过你画图象时,这些函数的间断点大概都是一个一个离散开的。那么间断点可能稠密吗?
问题: 是否存在一个在无理数点连续,有理数点不连续的严格单调函数。
高级秒杀:有理数是可数的。利用级数构造一个特别的函数。见http://duodaa.com/?qa=906,第二题。


No.9 
有的人也许学了黎曼函数$R(x)$,他是一个有所有无理点处连续,所有有理点处不连续的函数。那么可以反过来吗?
问题:是否存在一个在有理数点连续,在无理数点不连续的函数。
高级秒杀:先要知道$G_δ$集,$F_σ$集的概念,连续点集只能是$G_δ$。而有理数集不是$G_δ$集。


No.8 
好了,我们学了导数了,虽然高中也学过,没有像高数那样,平凡的对一个函数某点是否可导进行讨论。“可导必然连续,连续不必可导”,这一句顺口溜一直记于脑海。老师还说,存在处处连续,但处处不可导的函数呢。那么,对于严格单调函数,会怎么样呢。
问题:是否存在一个严格单调,但处处不可导的函数。
高级秒杀:有个定理是说:单调函数是几乎处处可导的。


No.7
一个可导函数$f(x)$求导数后变成了$f'(x)$,$f'(x)$还是一个关于$x$的函数呢。$f'(x)$可能不再连续呢!那么$f'(x)$可能处处不连续吗?
问题:是否存在一个可导函数,它地导函数处处不连续。
高级秒杀:连续函数列只能收敛到一个间断点集为第一纲集的函数。而实数集是第二纲集。


No.6
函数函足$f(x+y)=f(x)+f(y)$,高中就见过啦。高中还让你证明他是奇函数,在多给一些已知条件的情况下,求$f(1)$、$f(8)$什么的。到了大学,在给定$f(x)$连续情况下,我们能证明$f(x)$的图象一定是过原点的直线,那么如果f(x)不连续呢。
问题:如果函数函足$f(x+y)=f(x)+f(y)$,$f(x)$是否有不连续的例子。
高级秒杀:实数看成有理数域上的线性空间是无限维的,还要用到线性代数中基的概念。当然,我们承认选择公理。见http://www.duodaa.com/?qa=704


No.5
高中里的集合交并运算,都是有限个里在做,多没意思。大学里可以对无限个集合求交并啦。比如R可以写成形如$[n,n+1)$的并集,其中n跑遍整数集合。注意到,对于不同的整数,他们还两两不交呢。那么把半开半闭区间改成闭区间呢?
问题:实数集是否能写成一列不相交闭区间的并。
高级秒杀需要知道:基数、完备集的概念,完备集的基数是不可数的。而如果可以写成,那些区间的端点可以构成完备集。


No.4
泰勒展开真神奇,能把一些函数写成一个幂级数的形式。但我们一定也知道了,就算是一个无穷次可导的函数,他本身也不一定等于它的泰勒级数。那么展开式是多项式的情况呢?
问题:一个无穷次可导函数在任意一点的泰勒展开式都是多项式,这个函数是否是多项式。
高级秒杀:利用贝尔纲定理,精巧的构造一些东西,大概不能算秒杀。见http://www.duodaa.com/?qa=920


No.3
对于形如两个数列取幂$f(n)^{g(n)}$这样的,计算极限,我们有了很多办法。比如凑重要极限形式计算,取对数计算等等。但有一些形式非常简单的极限,解决却不容易。
问题:$n→∞$时,数列$|sin(n)|^{1/n}$的极限是否等于$1$。
高级秒杀:刘维尔数的概念,以及π不是刘维尔数。后者是Mahler在1953年的论文上写的,不过,如果不是专门这个方向的一般看不懂,哆嗒数学网小编的也看不懂。见http://www.duodaa.com/?qa=2476/


No.2
高中就知道了自然对数底$e$,老师还说他是无理数,但没告诉我为什么是无理数。上了大学,我们终学会了如何证明$e$是无理数。于是,跃跃欲试,要证明其他数是否是无理数了。
问题:$\sqrt{2}^\sqrt{2}$是否是有理数。
高级秒杀:格尔丰德-施奈德定理可以推出他是超越数,当然就是无理数啦。


No.1 
接上个问题。同样,我们还学会了证明圆周率$π$是无理数。两个无理数相加可不一定是无理数呢。
问题:$e+π$是否是有理数。
高级秒杀:些问题人类还没有解决。你能秒杀我叫你大神!。



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菲尔兹奖得主马丁·海尔:钱不是最重要的

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海尔,2014年菲尔兹奖得主之一。这位英国华威大学教授在颁奖前,并非最热门的人选。然而,他当选了,给他的评语是“对随机微分方程的有凸出贡献,尤其是为一类方程创立的理论。”。这对海尔教授来讲是一个惊喜吧。



当大会记者要求海尔向普通大众简单介绍一下他的成果时,奥地利人哈哈大笑,他说这永远是一个很难的问题。 不过,海尔还是在努力的描述:随机偏微分方程(简称SPDE)是用来描述,在含有随机因素的情况下,一个系统在一定时间和空间内的演化 。有一些很搞笑的情况,有些方程可以用古典规则写下来,但由于一些项我们不知道如何在方程中表示,所以在数学上看是没有意义的。于是,我建立了一个一般性的理论,这个理论描述了为这些项赋予意义的方法。这是一个为SPDE提供严谨数学意义的系统方法,解决一些方程看上去很自然很有用但又没意义的问题。

海尔继续举例子,比如一块在有温度房间的磁铁,看看会发生什么。在通常温度下,这个磁铁会产生一个磁场。如果这是升高温度,到某个点时,磁场就会消失。 这个点就是磁铁变为中性点临界温度。这个时候磁铁不再像磁铁,而是跟一块普通的铁块差不多。如果关心接近临界温度时,磁铁内部的变化情况,磁场这时是有很大的随机波动,而不是之前很好的向一个方向变化。

菲尔兹对任何数学家来讲都是一个莫大荣誉。海尔因为创立了一套理论而获奖。但海尔说这套理论现在还很年轻,理论的主要文章也没出版。在未来几年,海尔想把这个方向做得更深。这里还有几个问题没解决,当然时不时换换方向也是不错的。海尔没有说更远的将来的要做的事,他认为,那和周围人想法有关。

经费、老师和想法哪个对做数学是最重要的。海尔认为是好的想法。他说,对大多数做研究的人来讲,拥有一定数量的经费很重要。但对于很多基础数学家,只要足够能宽裕的邀请同行,维持合作以及参加会议,哪怕经费比其他人少一些,就会非常开心的。海尔还认为,现在颁奖有一个不好的倾向,就是只给获奖人一堆钱,而其他人什么都没有。奖励并没表彰到为这些成果做出贡献的整个圈子。哆嗒数学网的小编觉得,海尔教授对他的学术同行真是太好了。

 

海尔曾在他的论文中写到:“这是第一次,允许我们,给在物理中关心的一些SPDE赋予了严格的数学意义。”这看起来对数学家是一个很重要很让人兴奋的成果,但一些物理学家对这种严格不感兴趣。海尔解释说,基础数学家的工作一般是解决基础问题。通常,数学家完成了一个证明,而在物理学家看起来,是某所程度的理所当然,因为从直观上就应该是那样。有点像修房子,都知道要有坚固的地基,浇灌足量的混凝土,分散好房子的承重。数学家们就是在做这样的底层工作,有很多情况下不会有什么问题,但有时候会有问题。比如说纳维-斯托克斯方程问题,这是克雷研究所悬赏100万美元的千禧年问题。这个问题完完全全是一个数学陈述,但很多物理学家会说:“谁在意呢?”。答案似乎很简单,跟本不需要方程呀!只需要对流体进行观察实验发现他们不会突变或者发生别的什么事就行了。但是,实验的结果并不能让人知道,你所找到的解是否唯一。陶哲轩教授好像是这样认为的,在有些特别的初值条件下,解可能不唯一。如果,真不唯一,那说明在有些时候纳维-斯托克斯方程并不能合理地描述流体。如果我们不能证明那方程不会有这样奇怪的表现,那么意味着这些人一开始就错了

 

 

 

 

 

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科特:搞数学是份好工作

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除了菲尔兹奖,四年一度的国际数学家大会还颁发其它的重要奖项。其中一项奖项就是内万林纳奖,这是一个为表彰在计算机科学和信息科学做出贡献的学者而设立的奖项。和菲尔兹奖一样,它的获奖年龄条件也设定在40岁以下。2014年的奈万林纳奖的得主是印度理论计算机科学家科特(Khot)。

哆嗒数学网的小编通过查找相关资料了解到,科特在中学时期,就获得1994年及1995年两届国际数学奥林匹克(IMO)的两枚银牌。但他后来并没有从事数学的研究工作。科特说这和印度,这个他从小长大的地方有关系。也许,现在的情况有所变化,但在科特小时候,数学学科的关注度是严重不足的。每个人都很尊重数学,但由于各种原因,没人把它当作一个可终身从事的职业来教导。从某种意义来讲,由于关注度不够,没人知道如果选择了数学做职业,未来会有哪些发展。



即便现在,很少有人以数学家称呼科特。但科特认为,从某些层面上讲,计算机科学与数学的差别是很虚的。他甚至认为,理论计算机科学就是纯正的数学。如果你有一个计算机科学方面的问题,你们去思考解决这个问题你需要多长时间,或者说多少步骤。这种效率和时间代价的问题是计算机科学的特殊性。当然,有很多计算机方面的问题,科特认为,回答这些问题的方式就是一种数学,就像数学中的几何或者其他分支一样。过去的10年间,计算机科学与数学之间的联系越来越紧密,越来越多的人也逐渐接受了科特的这种观点。其实,已经有很多例子表明,一些数学家们关心的问题计算机科学家有能力解决。事实上,计算机科学家能为数学家们解决这些问题,这事本身就很重要。

科特也为这次数学家大会为提升数学欠发达地区的数学发展所做的努力发表了看法。他认为,关键还是要提升关注度,让人们知道做数学是一个有前途的工作。科特生长的地方对数学毫不关心。要不是后来遇上了一个数学研究员,知道了其他地方的人和事,那么科特极有可能和他父母一样,去做医药方面工作。


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菲尔兹奖得主巴尔戈瓦成果的通俗讲解

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巴尔戈瓦(Bhagarva)2014年度菲尔兹奖的四位获奖者之一。他在接受数学家大会记者采访,简单的介绍了自己所做工作。他的介绍非常浅显,和大家一起分享一下。


 20005月,克雷数学研究所提出了七个数学和物理方面的难题,并为每个难题悬赏100万美元,就是说,如果谁能解决这七个问题中的任意一个,就能得到100万美元奖励。七个问题中,有一个问题叫做贝赫和斯维讷通-戴尔猜想,是关于预测某些方程是有整数解或者有理数解的一个数学猜想。Bhagarva研究的问题就和贝赫和斯维讷通-戴尔猜想有关系。

 有一类曲线方程方程被叫做椭圆曲线方程,它们中间有的就长得像这样的形式$y^2=x^2+ax+b$。这里,$a$和$b$是给定的整数,$x$和$y$是变量。这个形式,已经最简单的一种情况的椭圆曲线方程。但是,就算如些简单的形式,我们并不知道判定方程是否有整数解或者有理数解的一般方法。为叙述方便,下文中提到的解,都是指这样的解。

     你也许和哆嗒数学网的小编一样,觉得问题看上去并不难,但在现有已知算法中,没有一个算法能判定这样的方程是否解。不过,有一个大家都很推崇的算法,很遗憾,也没有人知道这个算法是可行的,还是不可行的。但这个被推崇的算法允许方程有有限多个解还是无限多个解。所以,如果那个算法可行,那就太让人兴奋了,因为那算法能的告诉我们三次方程怎么解,进一步四次方程的情况也有办法。这个就太经典了,它能把数学代入一个全新的世界。

    巴尔戈瓦并没有证明这个算法在任何时候都可行的,而是证明的是它在大多数时候是可行的。就是说,如果你随机的抽取一个椭圆曲线,这个算法是可行的可能性超过66%。在这之前,人们甚至不是知道这个可能性是不是大于零。所以,能知道这样的一个结果是一个有重大意义的突破。当然,这个猜想的本身并没有被证明。



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超神数学家的超神人生

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     2014年数的国际数学家大会期间,一位70多岁的老人以《我的数学人生》为题,向大家进行了一场公开演讲,这是本届大会第一场公开演讲。

     这位老者是谁,为何如此之“屌”?

     他,与数学大师陈省身亦师亦友,一起创立过微分几何的重要理论,并在38岁拿到几何领域最高奖之一的Veblen奖。

     他,40多岁时放弃大学教授的工作,去华尔街创立文艺复兴公司,这是一个对冲基金公司。他的基金公司即便在次贷危机的2007年也能赚钱,并为他带来近29亿美元的薪水。

     他,两次向美国纽约州某大学捐款,一次2500万美元,另一次6000万美元,而后者创造该州公立大学单笔受赠金额记录。

     他是数学家,是对冲基金经理人,是慈善家。他叫詹姆斯·西蒙斯。对他的经历,我们只能用本次大会每日新闻里的一个词来描述:超神!Legendary

     现在,哆嗒数学网的小篇和你一起,在他与本次大会记者简短的几个问答中,领略他数学人生的一斑。

 

     从哈佛教授到华尔街

     问:当你非常年轻,还是23岁的时候就成了哈佛的数学教授,但仅仅四年后就离职去了美国国家安全局(National Security Agency,简称NSA)工作。是什么让你做出如此大胆的决定?

    詹姆斯·西蒙斯: 也没什么特别的原因啦。我只是想尝试和挑战一些新鲜事物。在NSA,我用一半的工作时间来解密码,另一半时间用来研究数学。我对一些特殊的密码有自己的破译想法,我把这些想法提供给程序员,他们来把这些想法实现成破译程序。用计算机来验证我的想法是否正确是一个非常有趣的事。所有的这些在NSA的经历,在后来被证明是非常用的。在金融领域建立数学模型的时候,都极大得派上了用场。

  

   问:我了解到,在你职业生涯的黄金时期,你被NSA解雇了。

  詹姆斯·西蒙斯:那个时候,正是越南战争打得最激烈的时候。我说发动越南战争太莽撞的文章被纽约时报引用。一位记者以那文章为由,采访了我,还问我在工作时间经常做什么。我回答说:研究数学。。这个不太清楚的言论可以被解释成不工作,只做私活。这样麻烦就来了。还好,出那事没多久,纽约州立大学石溪分校正好有一个教授职位。当然,那不应该成为一种好习惯。我常对自己的学生说,被解雇是人生中一个不错的经历,你可以从这些事情中学到很多很多。

 

   问:但你再次离职了,不做教授而转行做了金融。

 詹姆斯·西蒙斯:我前面说过一些,我非常喜欢尝试一些事情。但我的父亲非常反对我又不干教授了。他说我疯了。现在想想,如果我的儿子做相同的举动,我也会一样地反对的。

 

    成功要诀:合作与分享

  问:擅长数学可不能保证富有。你的秘诀是什么?

  詹姆斯·西蒙斯:我认为我的秘诀是:团队合作、协作、分享。我的员工是一些物理学家、天文学家、计算机科学家及统计学家,他们是科学家或者工程师。我每周会把他们聚在一起,向其它人分享每个人正在做的事(实际上,华尔街的人都知道,文艺复兴公司不喜欢金融、经济及工商管理方面的专家)。当一个团队研发一个模型,它会马上应用于交易系统中,所以每个人和其它人一起,都能发挥优势。

计算机也是不能忽视的。决策永远都是依据严格的数理数据分析,因为个人意见常常不被接受。




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2014菲尔兹奖公布,首位女性得主产生

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在国际数学联盟(International Mathematical Union,简称IMU)刚刚公布2014菲尔兹数学奖,四位顶级数学家分获这项具有“数学界诺贝尔奖”之称的奖项。值得注意的是,本届颁奖产生了历史上首位女性菲尔兹奖得主。

 四位菲尔兹奖得主及其颁奖词(注颁奖词因哆嗒数学网水平不足,未做翻译,请网友们提供吧)


Artur Avila


国籍:法国、巴西

单位:法国国家科学研究院, 巴西国家理论数学与应用数学研究所 

备注:第一位来自拉美世界的得主、1995年国际数学奥林匹克(IMO)金牌得主。
for his profound contributions to dynamical systems theory have changed the face of the field, using the powerful idea of renormalization as a unifying principle.


Manjul Bhargava


国籍:加拿大、美国

单位:美国普林斯顿大学

备注: 14岁修完所有高中的数学和计算机课程,其博士生导师为证明费马大定理的安德鲁·怀尔斯。

for developing powerful new methods in the geometry of numbers and applied them to count rings of small rank and to bound the average rank of elliptic curves.


Martin Hairer


国籍:奥地利

单位:英国华威大学

备注:妻子是中国人,也是数学家。

for his outstanding contributions to the theory of stochastic partial differential equations, and in particular created a theory of regularity structures for such equations.


Maryam Mirzakhani


国籍:伊朗

单位:美国斯坦福大学

备注:第一位女性得主、第一位伊朗人得主、1994及1995年国际数学奥林匹克(IMO)金牌得主。

for her outstanding contributions to the dynamics and geometry of Riemann surfaces and their moduli spaces.


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坑爹的马费大定理及其推广

作者:XX 

欢迎各位读者投稿,投稿邮箱: 1178853280@qq.com。

如果数学公式较多,投搞最好为Tex文件。


定理一:(哆嗒数学网小编之马费大定理,见这里)对于 $n\in\mathbb{N}^*,n\ge3$,不存在正整数$x,y,z$ 满足$n^x+n^y=n^z$ 。
证:不妨设$x\le y$ ,两边同时除以$n^x$ 得$1+n^{y-x}=n^{z-x}$ ,显然$n$ 能整除右边但不能整除左边。  证毕。
                                                                          
注:这个定理用模$n-1$ 来做也十分简便。但选择上述做法是因为它能顺带得到$n=2$ 的情形,并且具有一般性,可用于下述推广:

定理二:对于$n\in\mathbb{N}^*,n\ge2$ ,不存在正整数$x_1<x_2<\cdots<x_p ; y_1<y_2<\cdots<y_q,x_1<y_1$ ,自然数 $0\le a_1,a_2,\cdots,a_p,b_1,b_2,\cdots,b_q\le n-1$ ,满足$a_1n^{x_1}+a_2n^{x_2}+\cdots+a_pn^{x_p} = b_1n^{y_1}+b_2n^{y_2}+\cdots+b_qn^{y_q} $
 。
证: 两边同时除以$n^{x_1}$ 得

$a_1+a_2n^{x_2-x_1}+\cdots+a_pn^{x_p-x_1} $

$= b_1n^{y_1-x_1}+b_2n^{y_2-x_1}+\cdots+b_qn^{y_q-x_1} $,
 显然$n$ 能整除右边不能整除左边。证毕。


实际上,我们有下面定理:

定理三:任一大于一的自然数$n$,对任意正整数N都能唯一表示为$a_0+a_1n+a_2n^2+\cdots+a_pn^p$ ,其中$a_i\le n-1,i=1,2,\cdots,p$ 。
注:此命题是一个经典的数论定理,它是进制理论的基础。

五句话证明马费大定理

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我们知道整$N$大于$2$时,关于$X,Y,Z$的不定方程$X^N+Y^N=Z^N$没有正整数的解,这就是著名的费马大定理。从他的提出到最后被证明出来,历经三百多年,而且,它的证明相当复杂。




现在,哆嗒数学网的小编告诉你,当整数$N>2$ 同样有关于$X,Y,Z$的方程$N^X+N^Y=N^Z$没有正整数解。我们不知道这个结果有没有命名,他看起来像把费马大定理倒过来,那么我们就叫他马费大定理吧。

 

与费马大定理不同的是,马费大定理的证明非常非常的容易:

假设存在正整数的解,那么把方程两边的整数都看成$N$进制整数。于是,如果$X$和$Y$相等,则左边出现的字符是一个$2$和一堆$0$的组合,若不等则为两个$1$和一堆$0$的组合。而右边只能是一个$1$和一堆$0$的组合。于是两边不可能相等。

 

啊哈,我们用不到五句话证明了马费大定理,是不是很厉害?

 

好吧,我承认有的人被骗了,但骗他们的不是我,不是我,哎呀,不是我!

 

小小玩笑,博君一个哈哈,一个快乐。


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方轮子的自行车

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为什么所有汽车和自行车的轮子是圆的,现在我可以告诉你一个原因了,因为路是平的。   如果道路都按我方式来修建,那么轮子就必须得设计成方的,对,你没有听错轮子是方的,而且还是正方形的。

这当然是一个恶搞的玩笑,路当然应该是平的。不过美国马卡莱斯特学院一位名叫Wagon的数学教授就做了这样一辆正方形轮子自形车,并且还制作一个配合他行驶的一段道路。在这样的道路上自形车能稳定的行驶。

道路看上去一组波浪,乍看之下,每一小块波浪像一段抛物线。实际上,Wagon教授介绍,“小波浪”的曲线其实并不是抛物线,而是倒过来的双曲余弦函数cosh(x)的一部分。“这车子我骑得非常非常得平稳。”教授一边骑在车上展示,一边说道。


实际上,我们还能为更多的正多边形轮子设计类似的道路。比如,正五边形,正六边形等等。那么对应道路的“小波浪”会变得更平更窄。当正多边形边数越来越多,到达无穷条边时,也就成了圆,这时道路就会成为水平的直线,也就是平路了。


不过,Wagon教授说,正三角形是没有这样的道路的,无论怎么做,正三角形的轮子总会被卡在某个地方。

面对这样的设计,哆嗒数学网的小编在感叹数学的神奇的同时,还想说:“Wagon老师,你转弯怎么办?”


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数学日历,你真的懂吗

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2014韩国数学家大会出一版数学日历,里面的日期数字用到了很多数学事实。

比如微积分,数字2表示成了sinx在0到π的定积分。

比如数论,提到27!+1是一个素数,1999999999是最小的含有9个9的素数。

比如几何,一个正方形中面积最大的正三角形和一个15度的角有关系。

还有近似计算,11e≈30 , 29≈5e(π-1)。

哆嗒数学网的小编还发现,日历的设计者也不忘“恶搞”一些数学事实,比如16/64分子分母同时消去数字6后,得到1/4,这居然是一个正确结果。还有更搞笑的:8的得到过程是先计算1/|x-8|在x趋于8的极限,得到∞的结果后,再把“∞” 竖起来。

我亲们,你们能看懂日历上所有的梗吗?




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我爱数学,七夕节秀出你的爱


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七夕节前后,大街小巷的情侣们都在秀恩爱,作为爱数学的你,应该如何表达你的爱呢?

哆嗒数学网的小编建议,用穿衣来秀出你的爱!没错,就是穿衣服,刚刚结束世界杯上,球迷们穿上了球衣来表达对球队热爱,热爱数学你也可以!

我们可以直接的表达成这样:

 

但作为一个热爱数学的人,会有自己的表达。i的平方等于-1有木有?希腊字母也统统出来吧!

 

我们还可以表达一些肢体语言,下面那位想干啥,你懂的!

 

你爱数学的哪一点呢,能不能具体一些?恩?“我爱分数!”、“我爱代数!”、“我爱派!”当然,“我还爱苹果派!”。

 

有关于数学老师的什么事吗?


不过,不管你有多爱数学,大家还是现实生活的人。如果你喜欢的人中,也有痴迷数学的话,可以试试穿上下面的衣服,向你的“数呆子”表白吧!在这爱情的节日里,数学地浪漫起来!



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