2018年5月

关于毕达哥拉斯,你也许不知道的10个秘密!

注微信:哆嗒数学网 每天获得更多数学趣文

新浪微博:http://weibo.com/duodaa

 

原文作者,Mark Oliver。

翻译作者,math我想想,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,小米。

 

毕达哥拉斯,这个毕达哥拉斯定理背后的人不仅仅是一个数学家。毕达哥拉斯的追随者们认为他是上天派下来的,并且尊其为精神领袖。对毕达哥拉斯学派来说,数学是一种宗教体验,而有些方程式是神圣的秘密,不宜为普通人所知道。

当你的中学老师教你如何求出直角三角形的斜边长时,你可能不会跪下来把他当作神来崇拜。但是,当它第一次在古希腊发生时,这却是很多人的反应。

在这个想出如何计算三角形边长的男人背后是一个完整的教派而且正如你所想象的那样,他们有一些非常奇怪的信仰。


10.毕达哥拉斯派崇拜数字
.

毕达哥拉斯有很多追随者。 一大批数学家报名成为他的学生,学习他所知道的一切,帮助他解决宇宙的伟大奥秘。这不仅仅是一群喜欢数学的人,他们成为了一个完整的教派。

毕达哥拉斯相信,数是万物的本质。他教导他的追随者说,世界由数的和谐所控,它们构成了现实的每一部分。不仅如此,他还认为这些数字几乎像神一样非常神圣。

毕达哥拉斯学派中有几个神圣的数字。7代表智慧,8代表正义,10是所有数字中最神圣的。数学的方方面都是神圣的。每当他们解决了一个新的数学定理,他们就会杀一头牛来表示对神的感谢。

希腊人认为这有点怪异。 他们不把它称为哲学或宗教,而认为这是一种邪教,一种危险的东西。毕达哥拉斯吓坏了人们。为此,人们甚至烧毁了他的房子,把他赶出城市,担心他对神圣数字的神秘控制。

 

9.毕达哥拉斯学派向数字10祈祷

毕达哥拉斯学派有一个神圣的图形标志,被称为圣十(Tetractys)。这是一个三角形,横跨四行十个点,象征着空间和宇宙的组织。他们认为10是具有最高秩序的数字,其中包含所有凡间事物的过程。他们是真正的崇拜它。

毕达哥拉斯的追随者们有一套专门用来崇奉数字10的祷文——“祝福我们,神圣的数字,你们产生了神和人!因为神圣的数字始于深奥而纯粹的统一,直到到达神圣的4。之后它就会成为万物之母,包括所有人,所有土地,最初产生、永不改变的、永远不会疲倦的神圣的数字10,一切事物的拥有者。”

如果想加入毕达哥拉斯派系,每个人都必须对圣三角宣誓。他们会以“纯粹的,圣洁的,四字的名字”的名义宣誓他们的忠诚,也就是圣十。然后他们必须支持毕达哥拉斯,他像是数学界的普罗米修斯,给人类带来了圣十。

 

8.毕达哥拉斯被当作神

毕达哥拉斯的追随者认为毕达哥拉斯是半神半人,因此称他为“圣人毕达哥拉斯”,并且告诉人们他是神的儿子——通常是赫尔墨斯或阿波罗,这取决于你向谁发出指令。

他们甚至有赞美诗来歌颂毕达哥拉斯的神性。一首歌这样唱到:“皮塞斯,萨米安部落最美丽的母亲,太阳神阿波罗怀抱着她。于是,光芒万丈的毕达哥拉斯来到世上——他是宙斯最亲近的人!”

他们甚至还认为毕达哥拉斯有超自然的力量。他的追随者们说,他可以通过抚摸鹰和熊来驯服它们。他只需要用声音用可以控制任何动物,并且他有能力在月亮上写字。

关于毕达哥拉斯最大的传说之一莫过于他黄金大腿。当有人对他的神性产生怀疑的时候,据说他就会给对方看自己黄金大腿,随后立马会得到对方的敬仰。在一个故事中,他向阿波罗的大祭司展示了自己的黄金大腿,作为奖励,他得到了一个富有神力的金箭,让他可以飞越山脉,驱赶疾病,平息风暴。

 

7.他告诉人们他可以在死后不断转世

人们开始编造一些关于毕达哥拉斯 的故事,不仅仅是因为斜边长定理的发现激起了人们对他的崇拜风潮,同时因为毕达哥拉斯本身也鼓励别人去这么做。他直接告诉人们,他是神的儿子,经多次转世,直到他现在的样子。

毕达哥拉斯宣称,在过去的生活中,他是赫耳墨斯的儿子,除了不朽之外赫尔墨斯还给毕达哥拉斯提供了他想要的一切天赋。毕达哥拉斯要求保留他每一段人生的记忆,现在可以记住他曾经的每一世。他曾经在特洛伊战争中与阿喀琉斯进行过战斗。他曾经当过卑微的渔夫。他甚至曾经是一个和权贵上床的名妓。

不仅如此,毕达哥拉斯还声称他可以用新的身体来感知旧灵魂。传说他曾经看到一条狗在街上遭到殴打,赶紧跑来阻止。“住手!别打它!”毕达哥拉斯大叫 “这是我朋友的灵魂。”他在狗的吠叫中认出了朋友的声音。

 

6.他是最早的也是最懒惰的素食主义者之一

在西方历史中,最初有一批人因为道德的原因开始吃素,毕达哥拉斯便是其中之一。他告诉他的追随者们吃死去的肉食会污染自己的身体,他们也因此不会杀生。

不过,他的原则有点奇怪。你可能记得我们之前提到过他会杀牛,同时也是素食主义者。就像一个吃鱼肉和鸡肉的素食主义者,毕达哥拉斯的素食主义不是特别的严格。

希腊作家第欧根尼在毕达哥拉斯的传记中写道:“他所做的祭品总是无生命的。”接着,提奥奇尼斯澄清道:“尽管有人说他会提供公鸡,还在吃奶的小山羊和猪。”不过,毕达哥拉斯还是有清楚的底线。“但是羊羔,”第欧根尼解释说,“从来没有!”

在希腊人看来,希腊人对毕达哥拉斯的原则和我们对希腊人的感觉一样怪异。在他的时代,希腊人散布了一个关于一个坚持说从来不吃任何活物的毕达哥拉斯人的笑话。但在被抓到吃狗肉后,这个人说:“我是吃了,但是我先杀了它们,所以它们不再是活物了。”

 

5.他的教条涉及方方面面

毕达哥拉斯学派的人可能在食肉问题上不太严谨,可是这并不意味着他们可以做任何他们想做的事情。他们在任何事情上都有近乎难以置信的严格的特殊的教条——例如规定了必须先穿哪一只鞋子。

“必须要先穿右脚的鞋子”,他告诉自己的追随者们。一旦你穿上了鞋子,他会继续说:“你不能在公共的道路上走路。”不过,他的规矩不仅限于鞋子。在关于掉在地上的食物的五秒原则问题上,他告诉他的追随者们永远不要去吃在掉下饭桌的食物。

他对性行为也有特别严格的规定。毕达哥拉斯认为,体液是男人灵魂的一部分。当男人失去一些体液,就仿佛是放弃了他们的一些力量。毕达哥拉斯的追随者们被教导尽可能避免性行为。但是如果他们控制不住,毕达哥拉斯告诉他们:“在冬天可以享受性行为带来的乐趣,但夏天,必须戒除。”

 

4.新入教的人五年不能说话

毕达哥拉斯认为保持沉默十分重要,保持安静是一个学习自我控制的方法,所以他确保每个想加入他的教派的人都要这样做。任何报名加入的人都必须连续保持五年不说话。

这部分是为了帮助人们保持纯洁,但是,有很多理由让我们相信,这与确保他们保守秘密有关。即使在古希腊,把自己称为神的儿子并让人们崇拜数字的人,不是一个标准的模范公民。

毕达哥拉斯教派的人尽力保持生活安静。所以,除非这个人可以证明自己可以保持沉默,否则他们不会让任何人进入他们教派。

然而,大多数希腊人并不了解这些沉默的侍从的深层含义。 希腊人只是很高兴成为毕达哥拉斯追随者后,因这个改变而不用谈论数字。一般来说,安静的人比话多的人更加令人印象深刻。

 

3.他可能淹死了一个发现无理数的人

西帕索斯是毕达哥拉斯最有名的追随者之一,传说他是第一个发现无理数的人,而且他可能因此而死。

西帕索斯给出了二是一个无限不循环的无理数的证明。这不仅仅是一个重大的发现,更是一个公开的反叛。毕达哥拉斯曾经教导说,所有的数字都可以表示为整数与整数的比例,而西帕索斯已经证明他的神圣的教主是错误的。

根据传说,当时他俩在一条船上,西帕索斯给毕达哥拉斯看了他的证明,然而,毕达哥拉斯抓住了西帕索斯,并把他摔到船边,把他的头按到水里,直到他不能动弹。然后毕达哥拉斯把尸体扔到船上,转向船上的其他人,并警告他们永远不要告诉别人发生了什么事。

这个故事可能不是事实,它更像是一个毕达哥拉斯寓言故事的扭曲版本,说西帕索斯被神淹死,作为向世界揭露无理数的秘密的惩罚。

但是这个故事仍然揭露了毕达哥拉斯派的一些令人胆寒的事情。他们把这个故事作为一个寓言传播给人们,告诉他的追随者们,如果他们与世界分享教派的秘密,等待他们的可能就是一个浸水的坟墓。

 

2.毕达哥拉斯演讲时总待在一个帘子后面

毕达哥拉斯派中有两种人:数学家和声闻家。数学家是毕达哥拉斯最亲密也是最值得信赖的追随者。他会亲自见面,并详细向他们解释他的定理。他们被允许知道隐藏在世界其他地方的先进数学的秘密。

当然他们不得不为这个特权付出沉重的代价。要成为一个数学家,一个人不得不放弃肉类,女性和所有的私人财产。从此以后,他们唯一的忠诚就是毕达哥拉斯了。

其余的人被允许成为声闻家,他们从未被允许看见毕达哥拉斯的脸。当他对他们说话时,毕达哥拉斯将隐藏一个面纱背后,像是奥兹国的法师一样。他不会向声闻家仔细地解释问题,他们只被要求遵循他的仪式。高端数学的危险秘密是不会告诉他们的。

 

1.他为了不伤害豆子而付出了生命的代价

毕达哥拉斯最奇怪的教规之一是他的追随者们永远不能触碰豆子。他教导说豆子会带走一部分灵魂。他解释说“它们会导致胀气,当气体出来时,会带走人的大部分灵气。”

不仅仅如此。据说他相信豆类包含了死者的灵魂,并告诉他的追随者,“吃豆子等同于啃食父母的人头。”

豆子对毕达哥拉斯派是如此神圣,以至于毕达哥拉斯愿意用生命去保护它们。 据说,一个人因为看不见毕达哥拉斯感到愤怒,就把毕达哥拉斯的房子烧掉了,这时毕达哥拉斯已经危在旦夕。

他为了活下去,他只能不停的逃跑,却在一块豆子田之前停了下来。他宣称,他宁可死,也不愿踩一颗豆子。 最后他让那个人割了自己喉咙这样豆子就能够活下去。

当然,这只是关于他死亡的许多故事之一。 但几乎所有的故事都是毕达哥拉斯死于保护豆田。在一些故事中,他因为试图推翻政府而受到攻击。而在另一些故事里,他被烧死了。但几乎在每一个故事中,毕达哥拉斯都是为了不践踏豆子而付出了自己的生命。

 

注微信:哆嗒数学网 每天获得更多数学趣文

新浪微博:http://weibo.com/duodaa

【大结局】数学上下三万年(八):二十世纪下半叶的数学

 

 

原文作者,圣安德鲁斯大学数学与统计学院

翻译作者,mathyrl,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,math001。

  

 

关注微信:哆嗒数学网 每天获得更多数学趣文

新浪微博:http://weibo.com/duodaa

 

 

从今天起,我们将连载这部数学编年史。本文是翻译版本,因为工作量巨大,必有疏漏(包括原文也会有错误),欢迎指正。

 

这应该是网上最全的数学编年史,从公元前30000年到公元2000年,哆嗒数学网为你奉献。

 

 这里是 【大结局】数学上下三万年(八):二十世纪下半叶的数学

 

二战结束,和平与发展成为世界主题。计算机的广泛使用让世界逐步进入信息时代。

  

本期出场人物有:塞尔、霍奇、柯尔莫哥洛夫、米尔诺、斯梅尔、索伯列夫、邦别里、科恩、格罗腾迪克、阿蒂亚、森重文、康威、瑟斯顿、曼德博、唐纳森、孔涅、怀尔斯、威腾、朗兰兹等。

 

中国人或华人也有陈景润、丘成桐、王秋冬登场。

 

 

本系列下面是往期内容:

 

数学上下三万年(一):爱在西元前

 

数学上下三万年(二):从罗马时代到中世纪

 

数学上下三万年(三):大航海时代

 

数学上下三万年(四):欧洲资产阶级革命开启

 

数学上下三万年(五):十九世纪上半叶的数学

 

数学上下三万年(六):十九世纪下半叶的数学

 

数学上下三万年(七):二十世纪上半叶的数学
 

 

 

1950年

卡尔纳普(Carnap)出版了《概率的逻辑基础》(Logical Foundations of Probability)。

 

1950年

汉明(Hamming)发表了关于误差检测与误差校正编码的基础论文。

 

1950年

霍奇(Hodge)提出了关于射影代数簇的“霍奇猜想”。

 

1951年

塞尔(Serre)利用谱序列来研究纤维丛的纤维、全空间和底空间的同调群的关系。这使得他发现了空间的同调群与同伦群之间的基本关联,并证明了球面同伦群的重要结果。

 

1952年

霍尔曼德尔(Hörmander)开始了偏微分方程理论的工作。十年后他因为这项工作获得菲尔兹奖。

 

1954年

塞尔(Serre)由于他的谱序列的工作以及层的复变理论的工作获得了菲尔兹奖。

 

1954年

柯尔莫哥洛夫发表了关于动力系统的第二篇论文。这标志着KAM-理论的开始,这个理论的名字来源于柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)、阿诺尔德(Arnold)与莫泽(Moser)。

 

1955年

嘉当(Cartan)与艾伦伯格(Eilenberg)发展了同调代数,将强大的代数方法与拓扑方法关联起来。

 

1955年

诺维科夫(Novikov)证明了群的字问题不可解。

 

1955年

谷山丰(Taniyama)提出了关于椭圆曲线的猜想,将在费马大定理的证明中起到重要作用。

 

1956年

米尔诺(Milnor)出版了《论同胚于7维球面的流形》(On manifolds homeomorphic to the 7-sphere),打开了微分拓扑的新领域。

 

1957年

柯尔莫哥洛夫解决了“希尔伯特第13问题”,它是关于某些3变量连续函数不能被表为2变量连续函数的问题。

 

1958年

托姆(Thom)由于拓扑学的工作获得菲尔兹奖,特别是有关示性类、配边理论和”托姆横截理论”。

 

1959年

布恩(Boone)证明了群的许多判定问题不可解。

 

1959年

马歇尔·赫尔(Marshall Hall)出版了他的著名教科书《群论》(Theory of Groups)。

 

1960年

铃木通夫(Michio Suzuki)发现了有限单群的新的无穷族。

 

1961年

爱德华·洛仑兹(Edward Lorenz)发现了一个具有混沌现象的简单数学系统。它导致了被广泛应用的混沌理论的新数学。

 

1961年

斯梅尔(Smale)证明了n > 4的高维庞加莱猜想,即同伦等价于n维球面的n维闭流形必定是n维球面。

 

1962年

雅各布森(Jacobson)出版了他的经典教科书《李代数》(Lie algebras)。

 

1962年

索伯列夫(Sobolev)出版了《泛函分析在数学物理的应用》(Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics)。

 

1963年

约翰·汤普森(John Thompson)与费特(Feit)发表了《奇数阶群的可解性》(Solvability of Groups of Odd Order),证明了所有非阿贝尔有限单群都是偶数阶群。他们的论文用了250页来证明这个定理。

 

1963年

科恩(Cohen)证明了选择公理与连续统假设的独立性。

 

1964年

广中平佑(Hironaka)解决了代数簇上有关奇点消解的一个重要问题。

 

1965年

谢尔盖·彼得罗维奇·诺维科夫(Sergi Novikov)关于微分拓扑的工作,特别是计算稳定同伦群与分类光滑单连通流形,导致他作出“诺维科夫猜想”。

 

1965年

邦别里(Bombieri)利用他改进的大筛法证明了关于算术级数的素数分布的“邦别里中值定理”。

 

1965年

杜奇(Tukey)与库利(Cooley)发表了一篇论文,介绍了快速傅立叶变换算法。

 

1965年

塞尔顿(Selten)发表了区分在预测博弈结果时的合理决策与不合理决策的重要工作。它导致了1994年的诺贝尔奖。

 

1966年

格罗腾迪克(Grothendieck)由于他在几何、数论、拓扑与复分析的工作厄尔获得了菲尔兹奖。他的概型理论使得韦伊的几个数论猜想得以解决。他的拓子理论与数理逻辑高度相关,他给出了黎曼-罗赫定理的代数证明,并给出了曲线基本群的代数定义。

 

 

1966年

兰德尔(Lander)与帕金(Parkin)利用计算机寻找欧拉猜想的反例。他们找到了27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 = 144^5。

 

1966年

艾伦·贝克(Alan Baker)证明了“格尔丰德猜想”,它是关于有理数域上代数数的线性独立性。

 

1967年

阿蒂亚(Atiyah)发表了《K理论》(K-theory),详述了他关于K理论的工作和指标定理,而之前此工作让他获得了1966年的菲尔兹奖。

 

1968年

诺维科夫(Novikov)与阿迪安(Adian)联合发表了一个证明,证明了对于d > 1与n > 4380,伯恩赛德群B(d, n)是无限的。

 

1969年

康威(Conway)发表了他的新的零散有限单群的发现。

 

1970年

艾伦·贝克(Alan Baker)由于他在丢番图方程的工作获得菲尔兹奖。

 

1970年

马季亚谢维奇(Matiyasevich)证明了“希尔伯特第10问题”不可解,即没有通用方法判定一个多项式方程是否有整数解。

 

1971年

史蒂芬·库克(Stephen Cook)提出了有关多项式时间算法的P vs NP问题。

 

1972年

托姆(Thom)发表了《结构稳定性与形态发生学》(Structural Stability and Morphogenesis),解释了突变理论。这个理论研究了渐变力导致突变的情况,在光学与生物学有重要应用。

 

1972年

奎伦(Quillen)阐述了高阶代数K理论,它是一个新工具,使用几何与拓扑的方法与思想来描述与解决代数中的重要问题,特别是环论与模论。

 

1973年

德林(Deligne)证明了三个“韦伊猜想”。

 

1973年

陈景润证明了每个充分大的偶数可表为一个素数与一个不超过两个素数的乘积之和。它是对哥德巴赫猜想的重要贡献。

 

 

1974年

芒福德(Mumford)由于代数簇的工作获得菲尔兹奖。

 

1975年

费根鲍姆(Feigenbaum)发现了一个新的常数,约等于4.669201609102...,它涉及倍周期分岔,在混沌理论中起着重要作用。

 

1975年

曼德博(Mandelbrot)出版了《分形学:形态,概率和维度》(Les objets fractals, forme, hasard et dimension),描述了分形理论。

 

1976年,拉卡托什(Lakatos)的著作《证明与反驳》(Proofs and Refutations)在他去世两年后发表。首次在1963-64年分4部分发表,这部著作给出了拉卡托什关于数学如何发展的阐述。

 

1976年

瑟斯顿(Thurston)由于他在叶状结构(Foliations)的工作获得美国数学会韦伯伦几何学奖。

 

1976年

阿佩尔(Appel)与哈肯(Haken)使用1200小时的计算机时间检验了大约1500个构型证明了四色定理为真。

 

1977年

阿德曼(Adleman)、李维斯特(Rivest)和萨莫尔(Shamir)引入了公钥编码,它是一个用于传递秘密消息的系统,使用大素数和一个公开密钥。

 

1978年

费夫曼(Fefferman)由于他在偏微分方程、傅立叶分析,特别是收敛性、乘数算子、发散性、奇异积分与“哈代空间”的工作获得菲尔兹奖。

 

1978年

森重文(Mori)证明了“哈茨霍恩猜想”,即射影空间是具有丰富切丛的唯一光滑完备代数簇。

 

1979年

孔涅(Connes)出版了关于非交换积分理论的著作。

 

1980年

有限单群的分类完成。

 

1982年

曼德博(Mandelbrot)出版了《自然的分形几何》(The fractal geometry of nature),比1975年的工作更完整地发展了他的分形几何理论。

 

1982年

弗里德曼(Freedman)证明了同伦等价于4维球面的4维闭流形必定是4维球面。这是在1961年斯梅尔的工作之后证明了高维庞加莱猜想的进一步情形。

 

1982年

丘成桐(Shing-Tung Yau)由于他对偏微分方程、代数几何中的卡拉比猜想、广义相对论的正质量猜想以及实与复蒙日-安培方程的贡献获得菲尔兹奖。

 

 

1983年

唐纳森(Donaldson)出版了《自对偶连接与光滑4维流形的拓扑》(Self-dual connections and the topology of smooth 4-manifolds),导致了关于4维流形几何的全新思想。

 

1983年

法尔廷斯(Faltings)证明了“莫德尔猜想”。他证明了对任意充分大的n,最多有有限组互素的x,y,z满足x^n + y^n  = z^n ,这对费马大定理作出重要贡献。

 

1984年

布兰吉(Louis de Brange)解决了比贝伯猜想。

 

1984年

沃恩·琼斯(Vaughan Jones)发现了3维球面中纽结和链的一个新多项式不变量。

 

1984年

威腾(Witten)出版了《超对称与莫尔斯理论》(Supersymmetry and Morse theory),包含了在微分几何研究中具有核心重要性的思想。

 

1986年

马古利斯(Margulis)证明了关于不定无理二次型在整点的值的“奥本海默猜想”。

 

1987年

泽尔曼诺夫(Zelmanov)证明了关于一个无穷维李代数何时为幂零的重要猜想。

 

1988年

朗兰兹(Langlands)是第一个获得美国国家科学院数学奖的人。他获奖是由于“将群表示论带入到与自守形式理论和数论的革命性新关系的非凡远见”。

 

1988年

艾尔基斯(Elkies)找到了欧拉猜想在n=4的一个反例,即2682440^4 + 15365639^4 + 18796760^4 = 20615673^4.。其后同年弗莱斯(Frye)找到了一个最小反例:95800^4 + 217519^4 + 414560^4 = 422481^4。

 

1989年

布尔甘(Bourgain)使用分析与概率方法解决了L(p)问题,这是在巴拿赫空间理论与调和分析中为时已久的问题。

 

1990年

德林菲尔德(Drinfeld)由于在量子群以及数论的工作在日本京都的国际数学家大会获得了菲尔兹奖。

 

1991年

泽尔曼诺夫(Zelmanov)解决了群论的有限制的伯恩赛德问题。

 

1991年

王秋冬(Quidong Wang)找到了n体问题的无穷级数解(除了少量例外)。

 

1993年

梅纳斯科(Menasco)与斯莱维(Thistlethwaite)证明了纽结理论的猜想“泰特第二猜想”,即同一个素纽结的两个约化交错图由一个扭转序列关联。

 

1994年

怀尔斯(Wiles)证明了费马大定理。

 

 

1994年

孔涅(Connes)出版了关于非交换几何的重要教科书。

 

1994年

利翁(Lions)由于他在非线性偏微分方程的工作获得菲尔兹奖。

 

1994年

约克斯(Yoccoz)由于他在动力系统的工作获得菲尔兹奖。

 

1994年

克里斯蒂娜·古皮尔堡(Krystyna Kuperberg)解决了关于动力系统拓扑的“塞夫特猜想”。

 

1995年

银行家安德鲁·比尔提供大奖悬赏求解比尔猜想:对p, q, r > 2以及互素整数x, y, z,方程x^p + y^q = z^r 无解。

 

1997年

怀尔斯由于解决了费马大定理获得沃尔夫斯凯尔奖。

 

1998年

博赫兹(Borcherds)由于在自守形式与数学物理的工作获得菲尔兹奖;高尔斯(Gowers)由于泛函分析与组合数学的工作获奖;孔采维奇(Kontsevich)由于代数几何、代数拓扑与数学物理的工作获奖;麦克马伦(McMullen)由于全纯动力系统与3维流形几何的工作获奖。

 

1998年

托马斯·黑尔斯(Thomas Hales)证明了关于最密堆积的开普勒问题。

 

1999年

互联网梅森素数大搜索项目(GIMPS)找到第38个梅森素数:2^6972593 -1。

 

1999年

康拉德(Conrad)与泰勒(Taylor)证明了“谷山-志村猜想”。怀尔斯在1993年解决费马大定理的途中证明了其中一个特殊情形。

 

2000年

在洛杉矶举行的美国数学会的一个会议上提出了“21世纪的数学挑战”。不同于100年前的“希尔伯特问题”,这次的问题由30位数学家的团队给出,其中8位是菲尔兹奖得主。

 

2000年

一个700万美元的大奖被设立来求解七个著名数学难题。称为千禧年大奖难题:P vs NP;霍奇猜想;庞家莱猜想;黎曼假设;杨-米尔斯规范场的存在性与质量缺口;纳维-斯托克斯方程解的存在性与光滑性;贝赫和斯维纳通-戴尔猜想。

 
 
 
 

关注微信:哆嗒数学网 每天获得更多数学趣文

新浪微博:http://weibo.com/duodaa

 

话说,在网上玩直播的是不是都应该感谢他?

 

原文作者,Jamie Condliffe

翻译作者,ALIMJAN,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,donkeycn。

 

关注微信:哆嗒数学网 每天获得更多数学趣文

新浪微博:http://weibo.com/duodaa


这就是傅里叶变换。你得感激它,因为帮你每天从网上下载音乐的、把图片压缩成很小的JPG文件的、甚至提高耳机消除噪声能力的都是它。下面介绍一下它的原理。

此公式的威力在于它能够使数学家快速掌握任何一种信号的频谱。这一点是相当牛的。但别以为只有我是这么认为的,早在1867年,物理学家开尔文勋爵也表达过自己对傅里叶分析爱慕至极。他写道:“傅里叶定理不仅是现代分析学里的最美的结论之一,而且也许可以说它充当了几乎破解任何晦涩的物理奥秘的必不可少的工具。”而且,至今仍是如此。

 

数学会将把我们分解

 

毫无疑问,傅里叶变换是数学家让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶男爵(Baron Jean Baptiste Joseph Fourier,1768-1830)创立的,并发表于他1822年出版的《热的解析理论》一书中。他对热如何在物体内部及其附近流动感兴趣,并在研究此现象的过程中推导出了傅里叶变换。当初,他自己并没意识到他的发现是何等重要的贡献——傅里叶变换不仅在数学和物理领域,而且在整个科学,工程和技术领域都是重要的发现。

 

他的主要突破性结果在于他意识到复杂的信号可以简单地表示为一系列简单得多的信号的叠加。他选择用来叠加的正是你在高中学到的、在最大值与最小值之间来回震荡的、规律可预测的正弦曲线。比如,当你同时按下钢琴的三个键时,你会产生三种不同的音符,其中每个都有确定的频率——我们在谈声音的时候指的是音高——这恰似标准的正弦波:

 

然而,一旦把它们叠加起来以后,原来那悦耳的和弦音听起来就比较杂乱,就像这个:

 

 

它看起来很复杂,但是我们知道本质上它只是同时把三个普通的正弦波叠加在一起。傅里叶的灵感在于他发现:无论一种波的最终形式有多么复杂,都可以用正弦波的组合叠加来描述——哪怕这意味着这可能需要使用无穷多个正弦波。我觉得这个发现的真正高明之处在于:若你知道为了得到最终的波形来代表信号,你需要知道叠加哪些正弦波,那么你也就可以精确地知道你需要叠加哪些频率的波以及每个波相应的特性。凭借这些知识,你就能精确地知道你叠加出来的最终的信号的频谱。

 

这些是本篇刚开始介绍的那个公式一下子就能做的事情。x(t) 这一项代表你想通过简单的信号的叠加来表示的那个最初的棘手复杂的信号,e^j2πft这一项看起来有点吓人,但是它只是数学家们用来代表我们以上说的正弦曲线的一个简略表达方式。绝妙的是,把这两项相乘然后整体扔进一个积分运算——前面的那个弯曲的符号以及后面的dt——这个运算能算出每一个参与组成最终信号必需的所有正弦曲线的频率。因此,公式的值X(f),可以得出每一个需要参与叠加的简单分信号的强度和延迟。

 

这就是傅里叶变换:它的作用是能精确地揭示原始信号包含着哪些频率。这也许听起来微不足道,然而并不是。

 

传输

 

如果你要把你录制的歌放在网上,你可以只是按本来录制的原始大小的文件放上去,但那样的话,文件实在是太大了。这是因为,录制过程是个全程无损的:每一个频率在录制、混音至最后完成都会被保留。然而,如果拿一小段音频用傅里叶变换,你就会发现其中某些频率是很显著的而某些频率几乎不存在。

 

MP3格式的文件就是运用这个原理,只是它通过抛弃那些我们难以察觉的、或者是超出我们听觉范围上限的频率成分来节约空间,因为我们终归还是无法辨别出它们。整个过程都是如此,即把一首歌分割成上百万个小段,分离出重要的而抛弃那些无关紧要的频率。最终剩下的都是能够给在耳朵精准的播放出原音频效果的那些最重要的频率或音符。当然了,其文件大小要小于原来的十分之一。

 

这也跟Spotify的桌面客户端采用的Ogg Vorbis 格式的工作原理非常相似。(实际上,Vorbis采用的是傅里叶变换的快速计算版本:离散余弦变换,但其本质大略相同。)顺便说一下,Shazam也是运用类似的原理,它有着一个拥有不同歌曲频谱的数据库用于与你正在播放的歌曲的频谱比对,因为这要比直接比对两首歌曲要更可靠。就音频而言,你所戴的降噪耳机同样也是依靠傅里叶变换:有一个麦克风会记录你周围的噪音,得出其全部频谱,然后叠加与这些噪音相同频率、但位相相反的波到你的音乐中从而将类似于婴儿哭声或马路噪声之类的噪音清除。

 

当然傅里叶公式并非只有这一个技能。我们目前只谈到音频这种时间信号,当初傅里叶创立它是为了解决物体之间的热流问题。这表明,傅里叶公式也可以用来处理关于空间的问题。对于傅里叶而言,这意味着在二维平面内通过叠加一些简单的热流来表示复杂得多的热流。以十分相似的方式,傅里叶变换也可以比一个像素一个像素的处理方式更有效地来创建数字图像。

 

无损的彩色图像文件的每一个像素都有它独特的颜色。当你以JPG格式存一个图片时,整个图片被分割成许多小块,并且在每个小块都进行二维傅里叶变换。它提供了在每一小块上颜色和亮度如何变化的空间频率的描述。类似于处理MP3格式的文件那样,JPG抛弃了一些能使图像画质更高的高频的成分。然而,对于大部分人来说,人眼毕竟区分不出相近的颜色之间的一些微妙差异,因此抛弃那些高频部分后所导致的一个像素一个像素的变化,人眼几乎是看不出来的。显然,你如果继续压缩,开始抛弃越来越低频的成分时,图片会出现块效应,即在块与块的边界处颜色的变化会很明显。

 

除了那些拥有最训练有素的眼睛、耳朵的那些人,在多数情况下,类似MP3,JPG等的压缩文件是几乎不可察觉出和压缩前有何区别的。它们看起来、听起来都特别逼真而且占用空间比它们那些无损的版本来说是微不足道的。换言之,压缩让数字音乐和数字图像变得可行,使得我们更容易地分享。这一切都是一个公式的绝对惊人的妙处。毋庸置疑,写了热流理论书的傅里叶会赞成的。

 

关注微信:哆嗒数学网 每天获得更多数学趣文

新浪微博:http://weibo.com/duodaa

2018年度邵逸夫数学奖名单公布

关注微信:哆嗒数学网 每天获得更多数学趣文

新浪微博:http://weibo.com/duodaa

 

 

根据邵逸夫奖5月14日官网消息,2018年度邵逸夫数学奖已经公布。美国数学家,来自美国德克萨斯大学奥斯汀分校数学教授路易·卡法雷 (Luis A Caffarelli)获得此奖项。"以表彰他在偏微分方程上的突破性工作,包括创立一套正则理论,适用于如 蒙日−安培方程等非线性方程,及如障碍问题等的自由边界问题,这些工作影响了该领域整个世代的研究。"

路易·卡法雷在数学界被视为自由边界问题和非线性偏微分方程方面的顶级专家。在2012年,卡法雷还得到过另外一个重要的数学奖项——沃尔夫数学奖。

此次邵逸夫奖的颁奖典礼将于2018年9月26日(星期三)于香港举行。

“邵逸夫奖”是按邵逸夫先生的意愿在2002年成立,以表彰在学术及科学研究或应用上在近期获得突破性的成果,和该成果对人类生活产生深远影响的科学家,原则是不论得奖者的种族、国籍、性别和宗教信仰。
 
“邵逸夫奖”有三个奖项,分别为:天文学、生命科学与医学、数学科学。每年颁奖一次,每项奖金一百二十万美元。

“邵逸夫奖”被不少人誉为“东方诺贝尔奖”。

 

关注微信:哆嗒数学网 每天获得更多数学趣文

新浪微博:http://weibo.com/duodaa

三分钟告诉你世界上最高端的数学会议是什么样子

关注微信:哆嗒数学网 每天获得更多数学趣文

新浪微博:http://weibo.com/duodaa

 

 

 

世界数学家大会(International Congress of Mathematicians,简称ICM)是世界上最重要的数学会议。因为这个大会每四年举办一届,所以有着“数学界的奥运会”的别称。这个会议会讨论世界上最前沿的数学学术问题,也会有各种普及讲座推广数学。另外,被认为数学最高荣誉,有着“数学界的诺贝尔奖”的菲尔兹奖,也是在这个会议上办法的。

 

 

2018年又是世界数学家大会的举办年份。此次世界数学家大会将在巴西最大的港口城市里约热内卢召开。大会组织方精心录制了一个大约3分钟左右宣传视频,欢迎大家来参会。

 

视频虽然短小,但内容丰富。大致介绍了城市的概况和发展、城市的活动组织经验(奥运会、世界杯)、巴西组织的数学活动(数学文化节、奥数竞赛)、会场准备情况、会场周边配套和交通状况以及大会的会议内容。

 

欢迎欣赏。enjoy!

 

 

 

关注微信:哆嗒数学网 每天获得更多数学趣文

新浪微博:http://weibo.com/duodaa

我们能用计算机程序来检查数学定理的证明吗?

 

“在我看来,在传统的人类审查与计算机验证之间的选择,就像科学上在日晷与原子钟之间的选择一样。”——汤姆·海耶斯(Tom Hales, 参见 [4])

 

“由于计算机与人是非常不同的,计算机的快速进展促使这点发生了戏剧性的变化。例如,阿佩尔(Appel) 与哈肯(Haken)使用了巨量的自动运算完成了四色定理的证明,引起了大量的争论。在我看来,这些争论几乎不涉及到人们对定理的真实性或者证明的正确性。这反映出了,除了对‘定理是正确的’这种知识以外,人类还想要理解定理,这是一种持续的欲望。” ——比尔·瑟斯顿( Bill Thurston,参见[6])

 

 

一个机器检验的证明(machine-checked proof)是在叫做“证明助手”(proof assistant)的软件中撰写的证明。这个证明助手保证了撰写的明证之于“数学公理”与“逻辑规则”是可以编译的。在定理证明中使用计算机的影响是两极化的。关于这个话题,上面的引用代表了涉及到这个主题的一些观点。

 

1.到底什么是计算机辅助证明?

 

2.使用计算机来证明定理有什么长处与缺点?

 

3.对证明助手的学习使用有兴趣的人,应该如何起步呢?

 

 

动机的问题

 

计算机辅助的证明是一门技术。当时使用旧技术不能解决一些问题的时候,数学家就会关心新技术。这就是我们的动机的问题:

 

 

 

我们来看两个已经解决了的问题。第一个是魔方。第二个是安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)作出的费马大定理的证明。

 

证明丢番图方程与解魔方之间有一个很大的差别:当一个人解决了魔方的问题,他立即知道问题解决了,然而怀尔斯的证明花费了几个月的时间来进行正式的审查。

 

 

随着我们数学教育阶段的提升。我们检查答案的能力在下降。比如,我的启蒙数学课是我母亲教我的数数。就比较小的加法来说,我可以使用数手指的办法来检查我的答案。从一到十的基本数字以及用手指验证答案都是母亲教会我的。一个人学会了解代数方程,也就学会了使用变量代换来检查答案。检查微积分就更加的棘手了,我们尚可以对Wolfram Alpha报以比较大的信心(译者注,Wolfram Alpha是一个数学软件,可以做符号运算。具有计算积分的功能,还能告诉你得到答案的步骤)。至于实分析与抽象代数,学生们最终是把作业交给老师,看看教授们是否相信他们的论证,这样来检查他们的作业正确与否的。

 

 

什么是证明助手?

 

一个计算机证明助手可以对数学论证做更加系统化的检查。用户使用半形式化的语言(既不像形式逻辑那么形式化,也不像日常数学那么非形式化)来撰写他们的证明。证明助手基于某些数学基础来检查证明。正常情况下,我们想起数学基础,我们想到的是集合论。然后由于技术的原因,证明助手是就“类型论”的基础来实现的。在提出ZFC集合论的大致同时,罗素与怀特海提出了类型论作为另一个数学基础。有不同的数学基础,这在哲学上产生了不同的影响。对于我们来说,这是有争议的,我们在这个问题上就此打住。

 

 

下图展示了证明助手Lean中的一个正确的证明与一个不正确的证明:

 

 

红色错误信息已经很清楚地显示了上面的证明是错误的。下面的证明,由于没有错误,可以迅速看出是正确的。就像魔方一样,一个证明是否正确可以很清楚的看出来。

 

 

这看起来有点复杂。这是必须的吗?可能是。比如,海耶斯的开普勒定理的证明由于太复杂而不能让期刊编辑来检查。那个证明最终是用证明助手HOL-light来检查的。那个形式化地验证开普勒猜想的计划叫做Flyspeck计划。Flyspeck花费了几年数年时间与微软Azure Cloud 五千个处理器小时才完成。一些人期望一个不那么重度依赖于计算机的证明,以便数学家可以阅读那个证明。

 

乔治·贡蒂尔(Georges Gonthier)及其微软研究院的同事作出了第一个经过形式验证的四色定理的证明。这个不同于那个最开始的基于计算机的四色定理的证明。本质上,那个原始的证明是拥有非常大量的计算机计算的标准数学论证。贡蒂尔的工作审查了这一点:支撑四色定理证明的算法,事实上,做了我们相信它做的。

 

 

费特-汤普森奇阶定理(Feit-Thompson odd order theorem),是有限单群分类的基石。贡蒂尔的团队使用证明助手Coq形式证明了它。费特-汤普森奇阶定理的原始论文有255页。这个团队其它被高关注度的项目还包括素数定理、哥德尔不完全定理以及中心极限定理的形式证明。

 

 

如何起步?

 

 

这些工具并不是只能用于那种耗费数年的大规模的证明。也存在一些库包含了如下学科的定理与定义:实分析、一般拓扑学、表示论与抽象代数。在工业界,证明助手也用于验证软件与算法。这是非常强大的。一旦一个人可以用数学上严格的方式来宣称“这个程序P没有缺陷(bug)”,他就能证明这件事。利用形式证明软件,程序员可以确信他们的程序是没有错误的。

 

市面上有很多证明助手软件供人使用。它们都是免费的。

 

Isabelle-HOL是劳伦斯·保尔森(Lawrence Paulson)编写的一个证明助手。它基于高阶逻辑。Isabelle 拥有大量可以使用的库以及一些强大的"自动化技术"。这里自动化技术指的是证明助手能为你自动找出一些比较短的证明。HOL-Light是约翰·哈里森(John Harrison)所写、拥有更小的内核的类似程序。

 

Coq 与Lean都基于依赖类型论。开发它们的团队分别被蒂埃里·科康(Thierry Coquand) 与 里奥·德·莫拉(Leo de Moura)所带领。依赖类型论意味着数据类型可以依赖于其它数据类型——这正是我们所希望的。例如,对于任意的k, 我们希望有这么一个类型Fin(k),它是成员基数为k的有限集合。这些证明助手,即使是近期发布的,自动化能力也较弱;由于技术原因,在依赖类型论中实现自动化,是更困难的办法(至少目前是这样)。

 

上面提到的证明助手都有在线手册。Lean 2有一个交互式的网页版教程(https://leanprover.github.io/tutorial/)。Lean的当前版本号是3,不过笔者发现阅读这个教程是总体上品味证明助手思想的好方式。

 

 

问题与展望

 

对于一线数学家来说,证明助手当前还没有好到可以让他们自如的使用的地步。海耶斯确实在他的开普勒问题的工作中使用了HOL-light,不过,除非数学家迫不得已,他们是不愿意做这样类似的事情的。当前的库,还没有足够大到包括关于日常定理的日常论证。例如,我们本来想证明一个关于紧李群的标准结论,发现哈尔定理(Haar’s theorem,证明哈尔测度存在性的)不在我们的库里。这个定理经常被引用,它的证明冗长,而且,就当前的技术来说,得到我们希望的那种形式证明还需要花费数年时间。

 

还有另一个更加本源的反对理由。用瑟斯顿的语言来说,数学,最终是关于数学对象的理解,防止我们的理解走入迷途的证明仅仅是第二位的。用伟大的组合学家罗塔(G.-C. Rota)的话说,“说一个数学家‘证明了定理’就像是说一个作家‘写了一串单词’一样”。他的意思是,算法化的“证明搜索”那种形式的论证不是我们所想要的。

 

不过,并没有什么证据表明,一个人理解数学对象与使用计算机证明助手是相冲突的。机器检验并不是证明搜索的同义词。当前,期刊有人类审查员来检查细节的技术性的论证。如果能够使用计算机来检查这些,我们损失任何东西,反而得到了更多的可核查性。

 

 

史蒂芬·沃尔弗拉姆(Steven Wolfram)最近对形式证明产生了兴趣。沃尔弗拉姆的团队已经在努力工作以使Mathematica与形式证明合作[1]。相关的语言学家、计算机科学家以及数学家时常在考虑那些让计算机代码看起来更像日常数学的方法。最终目标是提高审查过程的效率。

 

 

所有的期刊都要求我们使用LaTeX来写论文——虽然并不一直如此。也许在未来,一些期刊将会为了计算机检查而要求半形式化语言的证明。那样,期刊编辑将把更多注意力放在清晰性以及数学文章的总体展示上面——这就是加深了人类对数学的理解。

 

 

 

致谢

 

我对卡耐基梅隆大学的杰里米·阿维加德(Jeremy Avigad)和匹斯堡大学的汤姆·海耶斯(Tom Hales)致以最大的感激,是他们教会我我所知道的关于证明助手的知识。 我同样对约翰霍普金斯大学的艾米利·里尔(Emily Riehl)表示感谢,是他让我知道了比尔·瑟斯顿(Bill Thurston)的《论证明与数学的进展》(On Proof and Progress in Mathematics)。这篇杰出的文章,我在本文中引用了多次。最后,我把这个笔记献给晚年的弗拉基米尔·沃沃斯基(Vladimir Voevodsky)。我个人从未见过他,不过,他给我的多位老师的影响,他的论文,他的讲稿记录,都是我的本科教育中最重要的东西。

 

 

 

 

 

原参考文献

[1] Geuvers, H., England, M., Hasan, O., Rabe, F., Teschke, O. Intelligent Computer Mathematics, 10th International Conference, CICM 2017, Edinburgh, UK, July 17-21, 2017, Proceedings.

[2] Gonthier, G.: Formal proof—the Four Color Theorem. Notices of the AMS 55(11), 1382–1393 (2008)

[3] Georges Gonthier, Andrea Asperti, Jeremy Avigad, Yves Bertot, Cyril Cohen, Fran¸cois Garillot, Stéphane Le Roux, Assia Mahboubi, Russell O’Connor, Sidi Ould Biha, Ioana Pasca, Laurence Rideau, Alexey Solovyev, Enrico Tassi, and Laurent Théry, A machine-checked proof of the odd order theorem, Interactive Theorem Proving – 4th International Conference, ITP 2013, Rennes, France, July 22-26, 2013. Proceedings (Sandrine Blazy, Christine Paulin-Mohring, and David Pichardie, eds.), Lecture Notes in Computer Science, vol. 7998, Springer, 2013, pp. 163–179.

[4] Hales, T., & Hales, T. C. (2012). Dense sphere packings: a blueprint for formal proofs (Vol. 400). Cambridge University Press.

[5] Hales, T.C. Introduction to the Flyspeck project. In Thierry Coquand, Henri Lombardi, and Marie-Franc¸oise Roy, editors, Mathematics, Algorithms, Proofs, number 05021 in Dagstuhl Seminar Proceedings, Dagstuhl, Germany, 2006. Internationales Begegnungs- und Forschungszentrum f¨ur Informatik (IBFI), Schloss Dagstuhl, Germany. http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2006/432.

[6] Thurston, W.: 1994, ‘On Proof and Progress in Mathematics’, Bulletin of the American Mathematical Society 30(2), 161–177.

 

 

 

 

 

数学上下三万年(七):二十世纪上半叶的数学

原文作者,圣安德鲁斯大学数学与统计学院

翻译作者,mathyrl,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,math001。

  

 

关注微信:哆嗒数学网 每天获得更多数学趣文

新浪微博:http://weibo.com/duodaa

 

 

从今天起,我们将连载这部数学编年史。本文是翻译版本,因为工作量巨大,必有疏漏(包括原文也会有错误),欢迎指正。

 

这应该是网上最全的数学编年史,从公元前30000年到公元2000年,哆嗒数学网为你奉献。

 

 这里是 数学上下三万年(六):十九世纪下半叶的数学

 

人类历史上第一次世界大战和第二次世界大战在这一时期发生,战争催生了科技进步,同时数学也向两个完全不同的方向发展——与现实需求结合的应用数学,以及更加理论化抽象化的基础数学。这段时间数学界大师辈出,重要的历史节点不断。而中国进入民国时期,现代大学制度开始确立。知识界开始宣扬引进“德先生”和“赛先生”。这个时期,中国也催生不少大师。

  

本期出场人物有:希尔伯特、罗素、普朗克、勒贝格、哈代、爱因斯坦、庞加莱、外尔、凯恩斯、巴拿赫、谢尔宾斯基、塔尔斯基、科尔莫戈诺夫、布劳威尔、豪斯道夫、怀特海、诺特、阿廷、冯诺依曼、图灵、哥德尔、香农、丘奇、韦伊、维纳。

 

 

本系列下面是往期内容:

 

数学上下三万年(一):爱在西元前

 

数学上下三万年(二):从罗马时代到中世纪

 

数学上下三万年(三):大航海时代

 

数学上下三万年(四):欧洲资产阶级革命开启

 

数学上下三万年(五):十九世纪上半叶的数学

 

数学上下三万年(六):十九世纪下半叶的数学

 

 

1900年

希尔伯特在巴黎的第二届国际数学家大会上提出了23个问题作为20世纪的挑战。这些问题包括连续统假设、实数的良序化、哥德巴赫猜想、代数数的幂的超越性、黎曼猜想、“狄利克雷原理”的扩展等等。大部分问题在20世纪得到解决,每一个问题的解决都是数学界的一个重要事件。

 

 

1900年

古尔萨(Goursat)出版《数学分析教程》(Cours d'analyse mathematique),引入了许多新的分析概念。

 

1900年

弗雷德霍姆(Fredholm)在《求解狄利克雷问题的新方法》(Sur une nouvelle méthode pour la résolution du problème de Dirichlet)中发展了他的积分方程理论。

 

1900年

费耶(Fejér)发表了傅立叶级数的一个基本求和定理。

 

1900年

列维-齐维塔(Levi-Civita)和里奇-库尔巴斯托罗(Ricci-Curbastro)出版了《绝对微积分方法及其应用》(Méthodes de calcul differential absolu et leures applications),其中他们建立了张量理论,15年后在广义相对论中用到。

 

1901年

罗素(Russell)发现了“罗素悖论”,用一种简单的方式说明了朴素集合论固有的问题。

 

1901年

普朗克(Planck)提出了量子理论。

 

1901年

求常微分方程数值解的龙格库塔法(Runge-Kutta method)被提出。

 

1901年

勒贝格(Lebesgue)阐述了测度论。

 

1901年

迪克逊(Dickson)出版了《线性群并述伽罗瓦理论》(Linear groups with an exposition of the Galois field theory)。

 

1902年

勒贝格给出了“勒贝格积分”的定义。

 

1902年

巴普·利维(Beppo Levi)第一次提出了选择公里。

 

1902年

吉布斯(Gibbs)出版了《统计力学基本原理》(Elementary Principles of Statistical Mechanics),这份漂亮的描述将统计力学建立在坚实的基础上。

 

1903年

卡斯泰尔诺沃(Castelnuovo)出版了《解析与射影几何》(Geometria analitica e proiettiva),这是他在代数几何的最重要的著作。

 

1904年

策梅洛(Zermelo)利用选择公理证明每个集合可以被良序化。

 

1904年

洛仑兹(Lorentz)引入了“洛仑兹变换”。

 

1904年

庞加莱提出庞加莱猜想:每个同伦等价于3维球面的3维闭流形必定是3维球面。

 

1904年

庞加莱在一个讲座中提出一种相对性理论来解释迈克尔逊-莫雷实验。

 

1905年

爱因斯坦(Einstein)发表了狭义相对论。

 

1905年

拉斯克(Lasker)证明了多项式环理想分解为准素理想的分解定理。

 

1906年

弗雷歇(Fréchet)在他的博士论文研究了度量空间的泛函,描述了紧致性的抽象概念。

 

1906年

马尔可夫(Markov)研究了随机过程,后被称为“马尔可夫链”。

 

1906年

贝特曼(Bateman)将拉普拉斯变换应用于积分方程。

 

1906年

科赫(Koch)发表了《平面曲线理论若干问题研究的初等方法》(Une methode geometrique elementaire pour l'etude de certaines questions de la theorie des courbes plane),其中包含了“科赫曲线”。它是一条具有无穷长度且处处不可微的连续曲线。

 

1907年

弗雷歇(Fréchet)发现了关于“平方勒贝格可积函数”空间上的泛函的积分表示定理。里斯(Riesz)独立地发现了相似的结果。

 

1907年

爱因斯坦发表了他的等效原理,即重力加速度与机械力的加速度是无区别的。它是广义相对论的关键组成部分。

 

1907年

希加德(Heegaard)和德恩(Dehn)出版了《位置分析》(Analysis Situs),标志了组合拓扑学的开端。

 

1907年

布劳威尔(Brouwer)关于数学基础的博士论文对数学的逻辑基础提出了挑战,标志了直觉主义流派的开端。

 

1907年

德恩(Dehn)对于群表示提出了字问题和同构问题。

 

1907年

里斯(Riesz)证明了关于希尔伯特空间上傅立叶分析的“里斯-费舍尔定理”。

 

1908年

戈塞(Gosset)引入“学生t检验”来处理小样本。

 

1908年

哈代(Hardy)和温伯格(Weinberg)提出了一个定律来描述显性遗传特征和隐性遗传特征在一个群体中如何传播。奠定了群体遗传学的数学基础。

 

1908年

策梅洛(Zermelo)出版了《论集合论基础》(Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre)。他把集合论建立在七个公理上:外延公理,基本集合公理,分离公理,幂集公理,并集公理,选择公理和无穷公理。旨在克服康托尔遇到的集合论困难。

 

1908年

庞加莱出版了《科学与方法》(Science et méthode),这也许是他最著名的大众读物。

 

1909年

卡迈克尔(Carmichael)研究伪素数。

 

1909年

爱德蒙·兰道(Edmund Landau)给出了解析数论的第一个系统介绍。

 

1910年

罗素(Russell)和怀特海(Whitehead)出版了《数学原理》(Principia Mathematica)的第一卷。他们试图将整个数学建立在逻辑基础上。他们能够提供集合论、有限和超限算术、和基本测度论主要定理的详细推导。最后第三卷在三年后出版,而计划中关于几何的第四卷没有完成。

 

1910年

斯坦尼茨(Steinitz)在《域的代数理论》(Algebraische Theorie der Körper)给出了域的第一个抽象定义。

 

1911年

谢尔盖·伯恩斯坦(Sergi Bernstein)在对魏尔斯特拉斯1885年一个定理的构造性证明中引入了“伯恩斯坦多项式”。

 

1912年

当儒瓦(Denjoy)引入了“当儒瓦积分”。

 

1913年

哈代(Hardy)收到了拉玛努金(Ramanujan)的信。他把拉玛努金带到剑桥,他们共同写了5篇卓越的数论论文。

 

 

1913年

外尔(Weyl)出版了《黎曼曲面概念》(Die Idee der Riemannschen Flache),把分析、几何与拓扑连接在一起。

 

1914年

豪斯道夫(Hausdorff)出版了《集合论的要点》(Grundzüge der Mengenlehre),其中他创建了一种拓扑度量空间的理论。

 

1914年

比伯巴哈(Bieberbach)引入了“比伯巴哈多项式”,用于逼近将给定单连通区域共形映射到圆盘的函数。

 

1914年

哈那德·玻尔(Harald Bohr)与爱德蒙·兰道(Edmund Landau)证明了关于ζ函数的零点分布的定理。

 

1915年

爱因斯坦提交了一篇论文,给出了广义相对论的定稿。

 

1916年

比伯巴哈(Bieberbach)提出了比伯巴哈猜想。

 

1916年

麦考利(Macaulay)出版了《模系统的代数理论》(The algebraic theory of modular systems),研究了多项式环的理想。它包含了很多出现在“Grobner基”理论中的思想。

 

1916年

谢尔宾斯基(Sierpinski)给出了第一个绝对正规数的例子,这种数在任何基底下每个数字出现机会均等。

 

1917年

挂谷宗一(Kakeya)提出了关于最小面积的问题。

 

1919年

罗素(Russell)出版了《数学哲学引论》(Introduction to Mathematical Philosophy),大部分在罗素因反战活动入狱时在狱中写成。

 

1919年

豪斯道夫(Hausdorff)引入了“豪斯道夫维数”的概念,它是一个物体的拓扑维数与3之间的一个实数。它被用于研究例如科赫曲线这样的对象。

 

1920年

高木贞治(Takagi)发表了关于类域论的基础性论文。

 

1920年

哈塞(Hasse)发现了“局部-整体”原理。

 

1920年

西格尔(Siegel)的论文在丢番图逼近理论上有重要地位。

 

1920年

谢尔宾斯基(Sierpinski)和马祖尔克维奇(Mazurkiewicz)创立了《数学基础》(Fundamenta Mathematicae)。

 

1921年

凯恩斯发表了他的《论概率》(Treatise on Probability),他认为概率是一个逻辑关系,因此是客观的。涉及概率关系的命题具有独立于人们意见的真值。这对统计和经济都有深远的影响。

 

1921年

费希尔(Fisher)将似然性概念引入到统计学。

 

1921年

博雷尔(Borel)发表了一系列关于博弈论的论文,他成为第一个定义策略博弈的人。

 

1921年

埃米·诺特(Emmy Noether)出版了《环中的理想论》(Idealtheorie in Ringbereichen),这在现代抽象代数学有根本重要性。

 

1922年

理查森(Richardson)出版了《通过数值过程预报天气》(Weather Prediction by Numerical Process)。他是第一个将数学方法,特别是有限差分法,用于预测天气的人。手算的计算让人望而却步,只有计算机的发展让他的想法得以实现。

 

1922年

巴拿赫(Banach)由于一篇关于测度论的论文而获得讲师资格。他开始了关于赋范向量空间的工作。

 

1922年

弗兰克尔(Fraenkel)试图将集合论建立在公理化基础上。

 

1922年

切博塔廖夫(Chebotaryov)证明了关于算术级数中素数密度的定理。

 

1922年

费耶(Fejér)和里斯(Riesz)发表了关于共形映射的重要工作。

 

1922年

柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)构造了一个几乎处处发散的可和函数。

 

1923年

斯达迪(Study)发表了关于低维实与复代数的重要工作。

 

1924年

亚历山大(Alexander)引入了著名的“亚历山大带角球”。

 

1925年,费希尔(Fisher)出版了《研究工作者的统计方法》(Statistical Methods for Research Workers)。他给出用于生物学的实验方法和统计方法。

 

1925年

怀特海(Whitehead)出版了《科学与当代世界》(Science and the Modern World)。它来源于在美国的一系列讲座,成为他后来的形而上学的导论。他考虑了“科学唯物主义”(自然界只有物质和能量)的成长、成功与影响。

 

1925年

贝西科维奇(Besicovitvch)解决了关于最小面积的“挂谷问题”。

 

1925年

克鲁尔(Krull)证明了关于分解阿贝尔算子群的“克鲁尔-斯密特定理”。

 

1926年

瑞德迈斯特(Reidemeister)出版了关于纽结理论的重要著作《节点和群》(Knoten und gruppen)。

 

1926年

阿廷(Artin)与施雷尔(Schreier)发表了关于有序化形式实域与实闭域的论文。

 

1926年

巴拿赫(Banach)与塔斯基(Tarski)在《数学基础》(Fundamenta Mathematicae)上联合发表一篇论文《分解点集为相同的两部分》(Sur la decomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes)发表了“巴拿赫-塔斯基悖论”

 

1927年

埃米·诺特(Emmy Noether),赫尔姆特·哈塞(Helmut Hasse)和理查·布劳尔(Richard Brauer)开展关于非交换代数的工作。

 

1927年

阿廷(Artin)在《一般性互反律的证明》(Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes)发表了他的互反律。

 

1928年

冯·米塞斯(Von Mises)出版了《概率,统计与真相》(Probability, Statistics and Truth)。

 

1928年

冯·诺依曼(Von Neumann)证明了博弈论的极小极大定理。

 

1928年

霍普夫(Hopf)引入了同调群。

 

1929年

格尔丰德(Gelfond)给出了关于有理数域上的代数数的线性独立性的猜想。

 

1930年

范德瓦尔登(Van der Waerden)出版了重要著作《现代代数学》(Modern Algebra)。这部两卷本著作展示了由诺特、希尔伯特、戴德金和阿廷发展的代数学。

 

1930年

胡尔维茨(Hurewicz)证明了关于可分度量空间到紧致空间的嵌入定理。

 

1930年

库拉托斯基(Kuratowski)证明了关于平面图的定理。

 

1931年

乔治·戴维·伯克霍夫(G D Birkhoff)证明了一般遍历定理。通过使用勒贝格测度,将麦克斯韦-玻尔兹曼气体分子运动理论转变为严格的原理。

 

1931年

哥德尔(Gödel)发表了《在数学以及相关系统中的形式不可判定命题》(Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme)。他证明了关于公理系统的基础性结果,表明在任何包含算术系统的公理化数学系统中存在不能在公理系统内被证明或证伪的命题。特别地公理的相容性不能被证明。

 

 

1931年

冯·米塞斯(Von Mises)将样本空间的思想引入到概率论。

 

1931年

博苏克(Borsuk)发表了度量微分几何的收缩理论。

 

1932年

哈尔(Haar)引入了群的“哈尔测度”。

 

1932年

赫尔(Hall)出版了《具有素数幂阶的群理论的贡献》(A contribution to the theory of groups of prime power order)。

 

1932年

马格努斯(Magnus)证明了对于单关系群,字问题为真。

 

1932年

冯·诺依曼(Von Neumann)出版了关于量子力学的《量子力学的数学基础》

 

 

1933年

柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)出版了《概率论基础》(Foundations of the Theory of Probability),展示了概率的公理化处理。

 

1934年

格尔丰德(Gelfond)与施奈德(Schneider)分别独立地证明了和希尔伯特第七问题有关的命题。他们证明了当a是代数数(不等于0和1)且q为无理代数数,a^q为超越数。

 

1934年

勒雷(Leray)证明纳维-斯托克斯方程弱解的存在性。

 

1934年

佐恩提出了“佐恩引理”,该引理可能由杜奇(Tukey)命名。它等价于选择公理。

 

1935年

邱奇(Church)发明了“λ演算”,对于今天的计算机科学家是一件无价的工具。

 

1936年

图灵(Turing)发表了《论可计算数及其在判定问题上的应用》(On Computable Numbers, with an application to the Entscheidungsproblem),其中描述了一种理论上的机器,现在称为“图灵机”。它成为可计算性理论的重要组成部分。

 

1936年,邱奇(Church)出版了《初等数论中的一个未解决问题》(An unsolvable problem in elementary number theory)。其中包含了邱奇定理,它表明算术没有判定程序。

 

1937年,维诺格拉多夫(Vinogradov)出版了《关于素数理论的一些定理》(Some theorems concerning the theory of prime numbers),其中他证明了每个充分大的奇整数可以表为三个素数之和。这是对解答哥德巴赫猜想的重要贡献。

 

1938年

柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)出版了《概率论中的解析方法》(Analytic Methods in Probability Theory),它为马尔可夫随机过程理论奠定了基础。

 

1939年

道格拉斯(Douglas)给出了普拉托问题的完整解答,证明了给定一个边界存在一个极小曲面以它为边界。

 

1939年,亚伯拉罕·艾伯特(Abraham Albert)出版了《代数的结构》(Structure of Algebras)。

 

1940年

贝尔(Baer)引入了内射模的概念,开始研究几何中的群作用。

 

1940年

亚历山德罗夫(Aleksandrov)引入正合序列。

 

1941年

林尼克(Linnik)在数论中引入大筛法。

 

1941年

亚伯拉罕·艾伯特(Abraham Albert)开始关于非结合代数的工作。

 

1942年

斯廷罗德(Steenrod)发表了一篇论文,其中首次引入了“斯廷罗德平方”。

 

1942年

艾伦伯格(Eilenberg)和麦克兰恩(Mac Lane)发表了一篇论文,首次引入了“Hom”与“Ext”。

 

1943年

马歇尔·赫尔(Marshall Hall)发表了关于射影平面的工作。

 

1943年

纳依玛克(Naimark)证明了关于希尔伯特空间中算子的自伴代数的“盖尔芳德-纳依玛克定理”。

 

1944年

冯· 诺伊曼(Von Neumann)和摩根斯坦(Morgenstern)出版了《博弈论与经济行为》(Theory of Games and Economic Behaviour)。博弈论被用于研究经济学。

 

1944年

阿廷(Artin)研究了满足最小条件的环,现在称为“阿廷环”。

 

1945年

艾伦伯格(Eilenberg)和麦克兰恩(Mac Lane)引入术语“范畴”和“自然变换”。

 

1946年

韦伊(Weil)出版了《代数几何基础》(Foundations of Algebraic Geometry)。

 

1947年

乔治·伯纳德·丹齐格(George Dantzig)引入了最优化问题的单纯形法。

 

1948年

诺伯特·维纳(Norbert Wiener)出版了《控制论:或关于在动物和机器中控制和通信的科学》(Cybernetics: or, Control and Communication in the Animal and the Machine)。“控制论(cybernetics)”一词来源于维纳。该书详述了关于信息控制理论的工作,特别是应用于计算机。

 

1948年

香农(Shannon)发明了信息论,并应用数学方法来研究信息传输的误差。这在计算机科学与通信是至关重要的。

 

1948年

施瓦茨(Schwartz)出版了《函数、微商、傅里叶变换概念的推广及其在数学物理中的应用》(Généralisation de la notion de fonction, de dérivation, de transformation de Fourier et applications mathématiques et physiques),这是他关于广义函数论的第一篇重要出版物。

 

1949年

莫奇莱(Mauchly)和爱克特(John Eckert)建造了二进制自动计算机(BINAC)。这台机器的一个重要进步是将数据存储在磁带上而不是穿孔卡片。

 

1949年

塞尔伯格(Selberg)和埃尔德什(Erdös)找到了素数定理的一个不使用复变函数论的初等证明。

 

关注微信:哆嗒数学网 每天获得更多数学趣文

新浪微博:http://weibo.com/duodaa

 

10个最为酷炫的数学结论!欧拉公式只能排第四!

原文作者,Michael Alba

翻译作者,donkeycn,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,小米。

 

 

关注微信:哆嗒数学网 每天获得更多数学趣文

新浪微博:http://weibo.com/duodaa

 

 

许多人会对晦涩的符号以及严格的数学规则望而生畏,一旦看到一个问题中既有数字又有字母,就会很容易放弃。然而,虽然数学有时可能是困难且难以理解的,但它可以证明的结果有时却可以是美丽的、令人难以置信的,或仅仅只是出人意料的。就比如如下这些结果:


10、 四色定理

四色定理最先是由一个叫Francis Guthrie的人在1852年发现的。当时他试图给一幅画有英国所有郡的地图着色(这是在互联网发明之前,根本没有什么工具可以使用)。他发现了一些有趣的东西:只需最多四种颜色,他就能确保任何两个有公共边界的郡都着不同的颜色。Guthrie想知道这个结论是否对所有的地图成立,这个问题成了多年来一直没有解决的数学趣题。


直到1976年(经历了一个多世纪),这个问题终于被Kenneth Appel和Wolfgang Haken解决了。他们的证明相当复杂并且需依赖于计算机。它指出,在任何政区图中(比如说,画有多个国家的地图),对每个国家进行着色,使得着相同颜色的国家不相邻,只需要四种颜色就足够了。


9、 布劳威尔不动点定理

这个定理来自于一个被称为拓扑学的数学分支,是鲁伊兹·布劳威尔发现的。虽然它的专业表述很抽象,但它在现实世界中有许多令人着迷的应用。现在假设我们有一张图片(例如,蒙娜丽莎),然后我们拿来它的一个副本。我们可以对这个副本做任何我们想做的,放大它,缩小它,旋转它,把它揉作一团,等等。布劳威尔不动点定理说,无论我们对那个副本做了什么,只要我们把它放在原始的图片正上方(且副本在原始的图片上的投影不超出原始的图片的范围),副本上必然存在至少一点,使得该点恰好在它所对应的原始图片上的相应点的正上方。这个点可能是蒙娜丽莎的眼睛,耳朵,或微笑的一部分,虽然不知道它究竟是哪个点,但它确实是存在的。


这在三维空间中也是成立的:现在想象我们有一杯静置的水,然后拿起勺子,想怎么搅拌就怎么搅拌,然后再等它完全静止。由布劳威尔不动点定理,将有至少一个水分子,它会恰好位于搅拌前所处于的位置。(哆嗒小编注:意思是这个意思,单用分子举例子,数学角度看,并不严谨。)


8、 罗素悖论

在19、20世纪的世纪之交,很多人着迷于一个被称为集合论(我们将在后面稍加讨论)的新数学分支。简单地说,集合就是放在一起的一堆东西。当时的观点是,任何东西都可以构成一个集合:所有种类的水果构成的集合、所有美国总统构成的集合,这些都是完全有效的。另外,有一点很重要,集合可以包含其它集合(如前面句子:所有集合的集合也是集合)。在1901年,著名数学家伯特兰·罗素意识到这种观点有一个致命缺陷(并因此导致了第三次数学危机),即:并非任何东西都能构成一个集合。

罗素决定对此进行深入研究,并构造了一个集合,其元素为所有的不以自己作为元素的集合。因为所有的水果构成的集合不包含自己作为元素(估且不论西红柿算不算水果),所以它属于罗素构造的那个集合,当然还有许多其它符合该条件的集合。但是罗素构造的那个集合本身又如何呢?如果它不包含自己作为元素,那么按照它的定义,它就应该包含自己。但是等等……现在它确实包含了它自己,所以按照它的定义,我们自然又得把它拿出来。然后,还是按照它的定义,我们现在又必须把它放回去……等等。这一逻辑悖论导致了集合论(它是当今数学最重要的分支之一)的彻底变革。


7、 费马大定理

还记得在学校里学过的毕达哥拉斯定理吗?它是有关于直角三角形的,说的是:直角三角形中,两个较短边的平方和等于最长边的平方(x² + y² = z²)。皮埃尔·德·费马最著名的定理是:如果你将上述方程中的指数2换成任何一个大于2的正整数,那么这一方程就没有正整数解了(例如,x³ + y³ = z³ 没有正整数解)。


正如费马本人所写的:“我发现了一个绝妙的证明,但书旁边的空白太窄了,写不下。”那真是太糟糕了,因为费马早在1637年就提出这个问题,但它在相当长的一段时间内没有被证明。在经历了很长一段时间后,我的意思是,它终于在1995年(在问题被提出了358年之后)由安德鲁·怀尔斯所证明。


6、 末日论

此处可以合理地假设这篇文章的大部分读者都是人类。作为人类,本条目将特别发人深省:数学可以用来推断我们这个物种可能会在什么时候灭绝。无论如何,我们得用上概率。

这个论点(已经存在了大约30年,并且已经被发现或重新发现了好几次)基本上都是在说人类的时间就快到了。一个版本的说法(归功于天体物理学家J. Richard Gott)出奇地简单:如果把人类这一物种完整的存续时间看成是一条人类从出现到灭绝的时间线,那么我们可以来推断我们现在位于该时间线的何处。

 

因为“现在”这一时刻只不过是我们作为一个物种、在我们存续时间内的一个随机的时刻,因此我们可以认为,我们有95%的概率处于该时间线的中间95%的某处。如果我们现在恰好位于该时间线的前2.5%分位点处,那留给我们人类的时间最长。如果我们现在恰好位于该时间线的前97.5%分位点处,那留给我们人类的时间最短。这就让我们能够给出人类还能存续多久的一个范围估计。Gott认为,有95%的概率,人类将会在从现在开始的5100年后到780万年后之间的某个时刻灭亡。所以,人类啊,该干嘛干嘛去吧,最好是赶紧去看看你的人生目标清单上还剩下些什么。


5、 非欧几何

你在学校里学过的、也许还记得的一点点数学大概就是几何了,甚至也就仅仅是你在笔记里随手涂鸦的那些东西。我们大多数人熟悉的几何叫做欧几里得几何,它基于五条相当简单的、不言自明的关于点和线的公理。这些关于点和线的公理很容易在黑板上表示出来,而且很长一段时间,它被认为是几何唯一可行的方法。


然而,问题在于,欧几里得在2000年前提出这些的看似不言自明的真理,并不是在每个人看来都是不言自明的。有一条公理(被称为平行公设)在数学家们看来有点不一样,几个世纪以来许多人试图用其它公理来推导出它。在18世纪初,人们尝试了一种大胆的新方法:于是第五公设(即:平行公设)被简单地替换掉了。然而整个几何体系并没有因此崩溃,反而是产生了一种新的、现在被称为双曲几何(或鲍耶—罗巴切夫斯基几何)的几何。这导致了科学界彻底的范式转变,也为许多不同类型的非欧几何打开了大门。其中比较突出的一个就是黎曼几何,它被用于描述爱因斯坦的相对论(有趣吧,我们的宇宙居然是不遵循欧几里得几何的!)。


4、 欧拉公式

欧拉公式是这篇文章中最强大的结论之一。它归功于史上最多产的数学家之一:莱昂哈德·欧拉。欧拉一生发表了800多篇论文,其中很多是他失明之后发表的。

这个结果乍看起来很简单:e^iπ+1=0。其中e和π都是数学常数,它们经常会出现在各种意想不到的地方,i是虚数单位,它等于-1的平方根。欧拉公式的非凡之处在于:它把数学中最重要的五个数(e,i,π,0和1)组合成了这样一个优美的等式。物理学家理查德·费曼称之为“数学中最神奇的公式”,其重要性在于:它把数学的多个方向统一了起来。


3、 通用图灵机

我们生活在一个由计算机主宰的世界里。也许你现在也恰好是在计算机上读这篇文章!说计算机是二十世纪最重要的发明之一估计也没什么人会反对,然而你可能会惊奇地发现,计算机起源于理论数学的领域。


数学家(同时也是二战时的密码破译者)艾伦·图灵发明了一种被称为图灵机的理论机器。图灵机就像一台非常简单的计算机:它使用无限长的纸带以及3种符号(不妨设为0, 1和空白),然后根据一组指令进行运算。指令可以是:将“0”改为“1”并向左移动一格,或者输入“空白”并向右移动一格(以上只是举例子)。这样,图灵机就可以用来执行任何定义良好的函数运算。

图灵接着描述了什么是通用图灵机,它是一个能够模拟其它所有图灵机的图灵机且能读入任意的输入。这基本上就是存储程序计算机的概念了。图灵仅仅只是用了数学和逻辑,就在技术水平发展到可以设计出真正的计算机之前,创立了计算科学领域。


2、 不同层次的无穷

无穷本身已近是个很难掌握的概念了。人类生就也是很难理解像“无限”这样的概念的。因此,数学家对待无穷一向是谨小慎微的。直到十九世纪下半页,格奥尔格·康托尔才建立了名为集合论(还记不记得我们在罗素悖论那部分曾提到过它?)的数学分支,有了这一理论才能使康托尔能够思索无穷的真正本质。康托尔对无穷的研究成果真是令人叹为观止。


事实证明,对任何一个我们能想象到的无穷,总会存在另一个比我们想象到的那个无穷还要大的无穷。最低层次的那个无穷就是所有正整数(1,2,3…)的个数,这个是可数无穷。随着一些非常优雅的推理,康托尔确认了存在另一个层次的无穷:所有实数(1,1.001,4.1516,……  包括了你能想到的任何数)的个数。这种类型的无穷是不可数无穷,这意味着即使你拥有宇宙中所有的时间,你也不可能在不漏掉某些实数的情况下按某个顺序列出所有的实数。但是请等一下,按照康托尔的理论,在那个无穷之后还有更多的不可数无穷。那么到底有多少呢?当然是有无穷多个了。


1、 哥德尔不完备定理


在1931年,奥地利数学家库尔特·哥德尔证明的两个定理撼动了整个数学界的核心,因为这两个定理结合在一起给出了让整个数学界沮丧的结论:数学是不完备的,而且永远也不会完备。


技术细节就不赘述了。哥德尔第一不完备定理说的是:对任何形式系统(需包含自然数的系统),总存在该形式系统中的真命题,且该命题在该形式系统内是无法被证明的。然后更本质地,哥德尔第二不完全定理说的是:任何公理体系的无矛盾性都不可能在该公理体系内被证明。永远不会有一个能包含所有数学理论的封闭的系统,因为我们不可能让数学体系完备,所以数学体系只能越来越庞大。

 

关注微信:哆嗒数学网 每天获得更多数学趣文

新浪微博:http://weibo.com/duodaa