2017年1月

数学真的是永恒的吗?

原文作者:Andrea McNally

翻译作者:吹牛皮出洋相哆嗒数学网翻译组成员,就读于苏州大学数学系

 

 

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任何涉及到数学学科的人都很可能会回想起一次或者多次被质问数学是否有用的经历,Eduardo在他的TED演讲“数学是永恒的”中讨论了这个问题。他指出这个问题有三种回答:第一种回答富有进攻性,它认为数学无关实际应用的需要,拥有属于它自己的意义;第二种是一种保守性的回答,它回复道从桥梁建设到信用卡账号,数学隐匿于一切事物的背后;第三种回答,也是Eduardo主张的观点,数学的实用性源自于它的培养直觉的能力,从而使其永恒。

 

 

数学是永恒的吗?Eduardo似乎是这么认为的,他认为钻石不能永恒,而一个定理可以。数学家们用他们一生的时间去提出猜想并想尽办法证明这些猜想,而一个猜想一旦被证明成立,他就成为了一个定理,一个永远存在的真理。因此,诸如勾股定理和蜂窝定理的理论将永远成立,无论我们在这里是否承认它们。这种想法根源于柏拉图主义,一种认为有独立于我们思想存在的抽象数学对象的哲学观点,因此所有数学上的真理只是等待着被发现而不是被发明。(下面是Eduardo的演讲视频,英文中字,地址 https://v.qq.com/x/page/l0186pbi37v.html) 

 

 

 

 

在数学哲学观的领域里有两个做出过重要贡献的人。第一个是德国数学家大卫·希尔伯特(下图),希尔伯特纲领的提出者,他主张所有的数学都可以用公理化的形式表示,并在这样的形式下给予证明,他能够通过有限的步骤给出古典数学问题的一个证明。希尔伯特坚信理论可以在不需要直觉的情况下得到发展并且产生一系列的规则和公理,这些规则和公理是相容的,所以人们不能同时证明出一个断言既是对的又是错的。像Eduardo一样,希尔伯特坚信数学的能力是无限的。

 

 

然而,希尔伯特的研究却给库尔德·哥德尔(下图)的研究以及他的不完备性定理带来了灵感。哥德尔证明了希尔伯特的关于生成公理的步骤的认知是不成立的,总会有一些猜想的证明实际上并不存在。哥德尔第一不完备性定理证明了数学理论不能被明确的统一起来并鉴别真伪,甚至看似最完美的基础理论都会含有有关自然数的不能被证明的断言。但是,我们要知道哥德尔从来没想过要推翻希尔伯特纲领,而仅仅是想要提供一个新的观点,这一点很重要。

 

 

所以这使得数学界仍然保持一定的开放性,以供人们去探索数学是否真的是无关人类的认知水平就已被创造好或永恒存在。如果一棵树在一片无人的森林中倒下,那它还会产生声音吗?如果有个猜想没人能证明,那这个猜想所对应的定理仍然存在吗?像许多学派的思想一样,这里存在着模糊性和不确定性。作为数学界的一名个体,我们有义务深入研究各种认知和观点,并得出我们自己的结论。不过我们可以肯定的是,直觉和创造力在数学中绝对是不可或缺的。

 

 

 

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数学带来世界末日?

 

原文作者:基斯·德夫林,斯坦福大学数学教授,数学科普作家。

翻译作者:xyz哆嗒数学网翻译组成员,就读于华东师范大学数学系。

 

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由阿莱克斯·吉布内撰写和执导的新记录片《零日》(ZERO DAYS)无疑是本世纪最重要的电影。它同时与数学高度相关,因为这部电影的重点在于数学使我们可以通过一些算法就可以在几周内终结所有人的生命。

 

 

    理论上,我们在上世纪90年代中期就已经知道这些。然而,这部电影已经清晰地告诉我们,这一切已经不再是假设。我们已经可以做到这些了。

 

 

    这部电影表面上是关于计算机病毒“震网”的创造和分布,该病毒在2011导致了许多伊朗核计划中离心机的自毁。事实上,这也正是电影前四分之三部分的主题。

 

大部分被表述的内容都会被那些理解了这个迷人的故事的人所熟知,因为它是由一些与商业网络安全组织的调查记者揭露出来的。然而,在这件事情的处理上,让我感到有些奇怪的是,美国情报部门似乎已经和电影制作人合作,基本上承认了镜头中描述的“震网”是美国和以色列的联合项目,正如被外界广泛猜测却并未得到证实的那样。

 

 

    电影的最后20分钟揭示了这种意料之外的坦白的原因。在发现用一小段计算机代码建造末日武器是真实可能的之后,一些现代网络战的核心参与者意识到在世界范围内引起对当前形势的警醒迫在眉睫,并希望可以在如何处理这一情况的问题上达成全球的协定。正如一位高排位的贡献者所说,对全球核战可能导致人灭绝的认识导致了一个不安定,却稳固的制衡的建立,这一平衡从上世纪50年代持续至今。这位贡献者表示,我们需要对网络战做的事。

 

 

    在过去几千年中,数学一直是战争的主角。这一关系至少可以追溯到阿基米德公元在前250年所设计的用于与罗马作战的武器。

 

在上世纪40年代,当数学家与物理学家合作研发核武器时,数学驱动的武器发展达到了令人惊恐的程度。人类第一次拥有了可以灭绝人类的武器。

 

 

    现如今,四分之三个世纪过去,计算机工程师可以用数学建造至少有着相同破坏力的网络战武器。

 

 

    计算机代码如此危险的原因就在于,在当今社会,我们生活中主要依赖的基础建设是建于数学之上的。我们使用的大部分的技术系统和设备的内部是数以千计被称为“可编程逻辑控制器”(Programmable Logic Controllers ,PLC)的固态计算机。这些控制器基于传感器的输入,可以自主决策。

 

 

    “震网”病毒则可以将自身嵌入进控制伊朗离心机的控制器,引起离心机持续加速并超过安全范围,从而导致离心机解体。与此同时,“震网”病毒向在控制室中的工程师发送系统正常的信号。

 

 

    想象一下,现在有许多相似的代码以相同的方式引起关键系统的失效,如:电网系统,交通信号灯系统,供水系统,输气管网系统,医院系统,航线网络系统等。即使是你的汽车——以及其他任何由发动机驱使的车辆——都可能彻底停止工作。可编程逻辑控制器同样在这些设备和网络中起作用。

 

 

    事实上,想象一下,这些破坏可以以这种灾难性且相互联系的方式被施加,并且需要几周的时间才能恢复被破坏的系统。在没有电力、水力、交通与通讯的情况下,几百万人会在短短几天内开始死去,开始是成千上万的飞机,汽车与火车事故,随之而来的就是世界范围内的暴乱。

 

 

    可以肯定的是,现在的情况还未及于此,企图传播病毒的国家在摧毁不同系统的路上所需要克服的困难依然相当大——尽管这些系统的相互依存关系在一定程度上会降低他们的安全系数。另外,当自主的代码被释放出来,这些代码倾向于向多方向传播,就像所有电脑用户迟早会发现的那样。因此,释放病毒的国最终也会毁灭。

 

 但是,“震网”病毒展示出了电影中的场景在不久的将来可能变为现实。如果你可以实现这一切一次,你就可以重复造出这些武器。毕竟,这种武器不过是一种数学结构;一段代码罢了。设计这种武器则是个数学问题。不像核弹,数学家们不需要将他们的结果交给那些大型的资金充足的组织来造出这种武器。他们只需要自己敲击键盘即可。

 

 

这种原动力正是数学的本质,因为我们的祖先在几千年前就开始发展这门学科。我中那些数学专业的人一直知道这一点。看起来,这种力量已经到了新的水平,其可怕程度已经不亚于核弹了,而吉布内的电影的本意就是让更多的观众意识到这种力量。并不是说我们正面临着算法带来的人类的濒临灭绝,而是我们正处于一个数学的新纪元。

 

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小试牛刀:概率论击穿街头高端骗术

 

作者:清华大学数学系 @李逍遥易水寒 


(本文由作者授权哆嗒数学网发布)

 

 

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先来说说事情的起因。前不久,@江宁公安在线 收到微博求助,求助人在街上发现一个小摊玩掷骰子的游戏,规则如下。

 

 

如果看不清,我们把局部放大了看。

 

 

是的,貌似只有一个是罚钱的,其他的都赚钱。好的,从经验来看这一定是个骗术,但是他骗人的机制是怎么样的呢?

 

我们的公安蜀黍当然不能让人民群众失望,一定要给求助者一个完整的分析。于是,做了如下分析:

 

 

然后,蜀黍发现,他分析不下去了,貌似这并不是辣么简单的骗术,似乎骗人的手法还有点高端。于是向广大网友求助。

 

最后,来自清华大学数学系的 @李逍遥易水寒 给出了完整解答。 虽然,从专业数学的眼光上看,是一个简单的概率和数学期望的分析,但是解决的过程缺需要十分细心的操作。其间,还借助了软件辅助解决问题,为广大网友解惑。我们为他的这份工作点赞!

 

@李逍遥易水寒 的解答如下:

 

该游戏的26个数字布局是经过精心设计的,从而保证了利益的最大化。同时这种离散型分布而且是不具备统一的函数表达式的离散型分布,所以我们只能采用穷举加编程的方式来解决这个问题。下面的概率结果涉及到了很多细节,如果其中一个细节出错,那么最终的结果也一定会南辕北辙。第一个细节是“先交2元,然后选定方向,然后再掷骰子”。所有参与的玩家都是不清楚选顺时针和逆时针的差别,所以他们玩这个游戏的时候选方向是随机的,因此二种方向的概率都是1/2。5个骰子一共会出现6×6×6×6×6 = 7776个结果,其中有重复的情况。为了使具备高中数学水平的同学都能够看懂,本文主要采用最基础的数理方法来求解这个问题。虽然从我的角度来说很繁琐,但是从大家的角度来说将会方差便于理解整个问题,既明白结论,更重要的是能够明白问题推导的过程。

 

1.“中+50元”的概率:

 

(1顺时针掷出5点的概率: 首先选出顺时针方向,概率为1/2;然后5个骰子都必须掷出1点,总和为5 的时候,仅存在一个情况。因此概率为1/2 × 1/7776 = 1/15552

 

(2逆时针掷出30点的概率:首先选出逆时针方向,概率为1/2;然后5个骰子都必须掷出6点,总和为30 的时候,仅存在一个情况。因此概率也是1/2 × 1/7776 = 1/15552

 

(3综上所述, “中50元”的概率为:1/2 × 1/7776 × 2= 1/7776 ≈ 0.000128601

 

 

2“中+35元”的概率:

 

与“中+50元”的情况一模一样,只是需要把顺、逆时针方向颠倒一下就可以得到这种情况。因此概率与“中+50元”一样,1/2 × 1/7776 × 2= 1/7776 ≈ 0.000128601

 

3.“中+10元”的概率:

 

     (1)顺时针掷出6点的概率:首先选择顺时针方向,概率为1/2;然后掷出6点,这种情况必须要5个骰子其中一个掷出2点,剩下4个掷出1点,总共有C(5,1) = 5(C(n,m)表示n元集中选取m个元素的组合数)个情况。因此概率为1/2 × 5/7776 = 5/7776 ≈ 0.0003215

 

       (2)顺时针掷出19点的概率:首先选择顺时针方向,概率为1/2;然后5个骰子点数相加之和等于19的可能情况的约束条件是:

 

 

需要通过编程来完成,结果是735种,因此概率为:1/2 × 735/7776 = 735/7776 ≈ 0.047325

 

(3)综上所述,“中+10元”的概率为:5/7776 + 735/7776 = 740/7776 ≈ 0.047582

 

4.“中+6元”的概率:

 

先选择逆时针方向,概率为1/2;然后掷出11点,方法同上,约束条件是: ,

 

 

也是需要通过编程来完成,得到的结果是205种,所以“中+6元”的概率为:1/2 × 205/7776 = 205/15552 ≈ 0.013181

 

5.“中+5元”的概率和“中-5元”的概率:

 

   这二种情况非常非常复杂。首先它们分别有19种和26种组合,第一步就需要先列举出来这45种组合,因为要根据每一种情况来设定约束条件,而且该游戏的设计没有按照一定的次序来进行,导致无法构造显示函数,毫无疑问又进一步加大了问题的难度。这45种组合全部计算出来之后编写程序,其中的这样才能得到“中+5元”的概率和“中-5元”的概率的准确解,没有误差的那种。下图给出的就是所有结果的概率分布,如果想要准确计算“中+5元”的概率和“中-5元”的概率,只需要将对应的情况列举出来然后累加求和即可。

 

5个骰子之和

对应的概率(准确值以及近似值)

5

1/7776≈0.000128601

6

5/7776≈0.000643004

7

15/7776≈0.001929012

8

35/7776≈0.004501029

9

70/7776≈0.009002058

10

126/7776≈0.016203704

11

205/7776≈0.026363169

12

305/7776≈0.039223251

13

420/7776≈0.054012346

14

540/7776≈0.069444444

15

651/7776≈0.083719136

16

735/7776≈0.094521605

17

780/7776≈0.100308642

18

780/7776≈0.100308642

19

735/7776≈0.094521605

20

651/7776≈0.083719136

21

540/7776≈0.069444444

22

420/7776≈0.054012346

23

305/7776≈0.039223251

24

205/7776≈0.026363169

25

126/7776≈0.016203704

26

70/7776≈0.009002058

27

35/7776≈0.004501029

28

15/7776≈0.001929012

29

5/7776≈0.000643004

30

1/7776≈0.000128601

 

 

“中+5元”的概率:

 

共有19种组合,分别是“逆7、顺8、顺9、··· 、顺28、逆29”,其概率为1/2  × ( 15 + 35 + 70 + 126 + 305 + 420 + 651 + 735 + 780 ×2 + 651 + 540 + 420 + 305 + 205 + 126 + 70 + 15 + 5 )/7776 = 6254/15552 ≈ 0.402135

 

 

 “中-5元”的概率:

 

总概率减去以上的所有概率得到1 – 7203/15552 = 8349/15552 ≈ 0.536844

 

 

同时我们也可以考虑采用蒙特卡洛模拟,需要编写模拟这个游戏程序去仿造这个游戏的过程(代码工作量依然不小,但是只需要将代码调试好,之后就不需要人工了),然后设定Xi = 5, 6, …, 30 , Xi的取值共有26种,这26个取值并不是均匀分布,而是呈“离散正态分布”,需要精确地算出来这26个取值的对应概率(上图已经给出了)。利用设计的蒙特卡洛算法进行模拟,比如说令i为10的9次方,也就是一亿次,虽然运算时间有点长,但是这样可以保证得到的概率值能足够精确到到你想要的任意小数点位数,结果与上述方法得到的精确值非常接近。

 

 

最后,我们给出顾客每参加一次这样的游戏所获得的期望收益值:

 

EX = 48 × 2/15552 + 33 × 2/15552 + 8 × 740/15552 + 4 × 205/15552 + 3× 6254/15552 + (-7) × 8349/15552 = - 32779/15552 ≈ -2.107703

 

意思就是当参与这个游戏顾客的数量足够多的时候,每做成一笔生意,这个老板都是净赚2.1元,次数越多,他每一笔生意的平均收入值无限接近于2.1元,同样的,顾客参与次数越多,每次都是亏损2.1元,次数愈多,每次游戏亏损的平均值无限接近于2.1元。

 

总结:

1、如果你想以2块钱来博取50块钱的奖金,那么要提醒你的是你梦想成真的概率只有0.0001,也就是万分之一的概率。

 

2、如果你不灰心,不想拿50块钱的奖金,只想拿35块钱的奖金,很遗憾,你此刻梦想成真的概率依然是万分之一。

 

3、如果你还不灰心,只想博取5块钱的奖金,然后去买个烤串,你的想法变为现实的概率是0.4,听起来还不错对吧。对不起,还有下面一种情况。

 

4、在这个游戏里面还有罚款的选项。你付2块钱有高达0.54的概率转到“-5块钱”这个选项。因此你有超过一半的概率每参与一次游戏都会输7块钱(2块钱的参与费加5块钱的罚金)的可能性。

 

5、综上所述,各种情况下既有赢钱也有输钱,那么通过求数学期望得到你每参加一次游戏在数学概率上都会输2.1元,参与的次数越多,你每次输钱的平均值也就无限接近于2.1元。

 

所以,还是老实去搬砖别想这些旁门左道了。

 

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阿蒂亚的奇思妙想王国

 

原文作者:Siobhan Roberts,专注于数学与科学的记者。

编译作者:Mathyrl 哆嗒数学网翻译组成员,软件工程师。

 

 

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尽管迈克尔·阿蒂亚(Michael Atiyah)的许多荣誉 ——他是菲尔兹奖和阿贝尔数学奖得主; 世界上最古老的科学团体伦敦皇家学会的前任主席(以及爱丁堡皇家学会的前任主席);剑桥大学三一学院的前主任; 爵士和皇家勋章的成员;并且基本上是英国的数学教皇 --- 但也许对他最贴切的描述是一个媒人。他有一种直觉来安排恰当的知识联络,通常涉及他自己和他个人的想法。在他半个世纪多的职业生涯中,他弥合了数学领域以及数学和物理中截然不同的想法之间的鸿沟。

 

 

例如,2013年春天的一天,当他坐在白金汉宫的女王画廊,等待与伊丽莎白二世参加年度皇家勋章午宴,阿蒂亚爵士为他的终生的朋友和同事、伟大的数学物理学家罗杰·彭罗斯(Roger Penrose)爵士做了一次“媒”。

 

彭罗斯一直在试图发展他的“扭量”理论,一条已经进行了近50年的指向量子引力的道路。 “我有一种办法,这意味着走向无穷,”彭罗斯说,“先试图在那里解决问题,然后再回来。”他认为一定有一个更简单的方法。然后,阿蒂亚马上指出了它,建议彭罗斯使用一种“非交换代数”。

 

 “我想,‘哦,我的上帝,’”彭罗斯说。 “因为我知道这个非交换代数在这里一直在扭量理论里面。但我没有想到以这种特殊的方式使用它。有些人可能刚刚说,‘那样做不行的’,但是阿蒂亚可以立即看到,你可以用一种方法使它工作,那正是正确的做法。”考虑到阿蒂亚提出建议的地点,彭罗斯称他的改进的想法“宫殿般的扭量理论”。

 

 

这就是阿蒂亚的力量。大致来说,他花了他的职业生涯的前半部分将数学连接到数学,后半部分将数学连接到物理。

 

阿蒂亚最为人所知的是“指标定理”,于1963年和麻省理工学院的艾沙道尔·辛格(Isadore Singer)(正确地称为阿蒂亚-辛格指标定理)证出,该定理连接分析和拓扑 --- 这是一个被证明在数学领域以及后来的物理学中都很重要的基本联系。很大程度上由于这项工作,阿蒂亚获得了1966年的菲尔兹奖和2004年的阿贝尔奖(与辛格)。

 

 

在20世纪80年代,从指标定理中收集的方法意外地在弦理论的发展中发挥了作用 --- 试图将大尺度下适用的广义相对论和引力与小尺度下的量子力学相协调 --- 特别是在新泽西州普林斯顿高级研究所的弦理论家爱德华·威腾(Edward Witten)的工作中。威腾和阿蒂亚开始了深入合作,并在1990年威腾获得了菲尔兹奖,他是有史以来唯一获得该奖的物理学家,阿蒂亚是他的拥护者。

 

现在,86岁的阿蒂亚几乎没有降低标准。他仍然在研究大问题,仍然在试图统一量子和引力。在这方面,想法快速而激烈地到来,但正如阿蒂亚自己所描述的,它们仍然是直观、富有想象力、模糊和笨拙的原料。

 

尽管如此,他还是喜欢这种自由流动的创造力的状态,紧凑的时间表给他增添活力。在追求这些当前的调查和思考的过程中,去年12月,他在爱丁堡大学同一天里连续发表了多场的讲座,自1997年以来,他一直是爱丁堡大学的名誉教授。他热衷于分享他的新想法,他希望吸引支持者。为此,在11月,他在爱丁堡皇家学会举办了一个关于“美丽科学”的会议。在皇家学会集会和随后,每当他放慢下来有充分的时间,Quanta杂志就和阿蒂亚坐下来向他提问。以下是这些能抓多少就抓多少的对话的编辑版本。

 

QUANTA杂志:你对美和科学的兴趣的起点在哪里?

 

阿蒂亚:我出生86年前。那是我的兴趣开始。我母亲在佛罗伦萨怀上了我。我的父母要给我取名叫米开朗基罗,但有人说:“这对于一个小男孩来说是一个很大的名字。”这将是一场灾难。我不能画画。我根本没有天赋。

 

你提到了在罗杰·彭罗斯的“艺术在数学中的作用”的演讲中有什么东西“豁然开朗”了,你现在有了一个合作论文的想法。这个豁然开朗的过程或状态 --- 你能描述一下吗?

 

是这样一种东西:一旦你看到它,真相或真实性,它只是盯着你的脸。真相回过头来看你。你不必去找它。它在上面闪耀。

 

一般你的想法就是这样到来吗?

 

这是一个引人入胜的版本。数学的疯狂部分是当一个想法出现在你的脑海的时候。通常当你睡着了,因为这是你最无拘无束的时候。这个想法从某处浮起,天知道在哪里。它漂浮在天空中;你看看它,并欣赏它的颜色。它只是在那里。然后在某个阶段,当你试图冻住它,想要把它放在一个坚实的框架,或使它面对现实,然后它就消失掉,它不见了。但它被一个结构所取代,结构捕捉了某些方面,但这是一个笨拙的解释。

 

你总是做数学方面的梦吗?

 

我想是这样。梦想发生在白天,它们发生在夜间。你可以称它们是一个幻象或直觉。但基本上它们是一个思想状态 --- 没有词,没有图片,没有公式或语句。它是“先于”所有这些。它先于柏拉图。这是一个非常原始的感觉。再次,如果你试图抓住它,它就会死去。所以,当你早晨醒来时,一些模糊的残留物萦绕着,一个想法的幽灵。你试着想起它是什么,你只能得到一半正确的它,也许这是你能做到最好的了。

 

想象力是它的一部分吗?

 

绝对是的。在想象中进行时间旅行是易如反掌的 --- 你甚至不需要买票。人们回到过去,想象他们是大爆炸的一部分,然后他们问之前提出的问题。

 

是什么引导想象力 ——是美吗?

 

这不是你可以说明的那种美丽 --- 它是一个更抽象意义上的美。

 

不久之前,你与 泽米儿·泽基(Semir Zeki),伦敦大学学院的神经生物学家和其他合作者发表了一篇关于数学美及其神经相关的体验的研究。

 

这是我写过的最多人读的文章!很久以前人们就知道,当你听到好的音乐,阅读好的诗歌,或看到好的图片时,大脑的某些部分会亮起来 --- 所有这些反应都发生在同一个地方(“情感大脑”,特别是内侧眶额叶皮层)。问题是:数学美的欣赏是一样的还是不同的?结论是,它是一样的。大脑在音乐,艺术和诗歌中欣赏美的相同部位也参与数学美的欣赏。这是一个大的发现。

 

你通过向数学家展示各种方程,同时功能性磁共振成像(fMRI)记录他们的反应得到这个结论。哪个方程最漂亮?

 

啊,最漂亮的是欧拉公式:

 

 

它涉及π;数学常数e [欧拉数,2.71828 ...]; i,虚数单位;1;和0  —— 它在一个公式中结合了数学里所有最重要的东西,这个公式真的很深刻。所以大家都同意这是最美丽的方程。我曾经说过,这是哈姆雷特的名句“生存还是毁灭”(To be, or not to be)的数学等价 ——非常短,非常简洁,但同时非常深刻。欧拉方程只使用五个符号,但它也包含了美妙的深刻的想法,简洁是美丽的重要组成部分。

 

你因两个极其漂亮的工作而非常知名,不仅是指标定理,还有与德国拓扑学家弗里德里希·希策布鲁赫(Friedrich Hirzebruch)发展的K理论。跟我讲讲K理论。

 

标定理和K理论实际上是同一枚硬币的两面。它们开始不同,但之后它们变得如此地融合在一起以至于你不能解开它们。它们都与物理学有关,但是以不同的方式。

 

K理论是对平坦空间和平坦空间移动的研究。例如,让我们拿一个球体,地球,让我们拿一本大书,把它放在地球上并移动它。这是一个平坦的几何体在一个弯曲的几何体上移动。 K理论研究这种情况的所有方面 --- 拓扑和几何。它源于我们对地球的导航。

 

我们用来探索地球的地图也可以用来探索大规模的宇宙,用火箭射出到太空,和小规模的宇宙,研究原子和分子。我现在正在做的是试图统一所有这一切,而K理论是做到这一点的自然的方式。我们已经做了这种类型的地图数百年,我们可能会一直做数千年。

 

你对于K理论和指标定理在物理学中被证明是重要的感到意外吗?

 

噢,是的。我做了所有这些几何,没有任何它将链接到物理的想法。当人们说,“嗯,你所做的与物理学联系起来了。”这是一个大大的意外。所以我快速学习物理学,与好的物理学家交谈,以了解发生了什么。

 

你和威腾的合作是怎么产生的?

 

我在1977年在波士顿认识他,当时我对物理和数学之间的联系感兴趣。我参加了一次会议,有这个年轻的小伙子和老家伙们。我们开始说话,几分钟后,我意识到,年轻的小伙子比老家伙们更聪明。他理解我所说的所有数学,所以我开始注意他。那是威腾。我从那时起就一直和他保持联系。

 

和他一起工作是什么体验?

 

2001年,他邀请我去加州理工学院,在那里他是一位客座教授。我感觉像是再次成为一个研究生。每天早上我都会走进系里,我去会见威腾,我们会聊一个小时左右。他会给我做家庭作业。我会走开,花23个小时来赶上。同时,他会下去做半打其他的事情。我们有一个非常激烈的合作。这是一个令人难以置信的经验,因为这像和一个高明的导师一起工作。我的意思是,在我想到答案之前,他已经知道所有的答案。如果我们曾经有过争论,那么他是对的而我错了。真是尴尬!

 

你之前说过,在数学和物理之间偶尔出现的意想不到的互连是最吸引你的 --- 你喜欢发现自己闯入陌生的领域。

 

对的; 嗯,你看,很多数学是可预测的。有人向你展示如何解决一个问题,你再次做同样的事情。每次你向前迈进一步,你都会遵循前面那个人的步骤。每一次,有人提出了一个全新的想法,惊动了大家。刚开始,人们不相信它,然后当他们相信它,它导致一个全新的方向。数学之道是断断续续的。它有持续的发展,然后当突然有人有一个新的想法,它有不连续的跳跃。这些是真正重要的想法。当你得到它们,它们有重大的影响。我们还会有另一个跳跃。爱因斯坦100年前有一个好主意,我们需要另一个来带我们前进。

 

但是该方法不能只有引导性,还必须更具有研究性。如果你试图引导科学,你只能让人们走你告诉他们去的方向。所有的科学都来自人们注意到有趣的侧面路径。你必须有一个非常灵活的探索方法,让不同的人来尝试不同的事情。这是很困难的,因为除非你随大流,否则你不能得到一份工作。

 

由于担心前程,你必须守规矩。这是现代科学最糟糕的事情。幸运的是,当你达到我的年龄,你不需要管这一点。我可以想说就说。

 

这些天,你正在尝试一些新的想法,希望打破物理学的僵局?

 

嗯,你看,原子物理——电子,质子和中子,所有构成原子的东西。在这些非常非常非常小的尺度上,物理学的规律是相同的,但也有一个你忽略的力,这是一个引力。重力存在于任何地方,因为它来自宇宙的整个质量。它不会自己消失,它没有正值或负值,它都叠加起来。因此,不管黑洞和星系有多远,它们在宇宙中的任何地方都施加了非常小的力,即使在电子或质子中也是如此。但物理学家说,“啊,是的,但它是那么小,你可以忽略它;我们不测量那么小的东西,没有它我们也做得很好。”我的出发点是,这是一个错误。如果你纠正这个错误,你会得到一个更好的理论。

 

我现在再看一下大约100年前的一些想法,当时被丢弃了,因为人们不能理解它们。物质如何与重力相互作用?爱因斯坦的理论是,如果你放入一点物质,它改变了空间的曲率。当空间的曲率变化时,它对物质起作用。这是一个非常复杂的反馈机制。

 

我要回到爱因斯坦和保罗·狄拉克,用新的视点再次看着他们,我想我看到了人们错过的事情。我正在填补历史的空白,考虑到新的发现。考古学家挖掘东西,或历史学家找到一个新的手稿,并提供了一个全新的思想。这就是我一直在做的。不是去图书馆,而是坐在我家里的房间里,思考。如果你思考了足够长时间,你会得到一个好主意。

 

所以你的意思是引力不能忽略?

 

我认为物理学家所有的困难来自于忽略它。你不应该忽略它。关键是,我相信,如果你引入它,数学会得到简化。如果你离开它,你使自己更困难。

 

大多数人会说,当你看原子物理时,你不需要担心引力。规模很小,对于我们所做的计算,它可以忽略。在某种意义上,如果你只是想要答案,这是正确的。但是如果你想要理解,那么在这个选择中你犯了一个错误。

 

如果我错了,好吧,我犯了一个错误。但我不这么认为。因为一旦你选择这个想法,有各种各样的好的结果。数学融合在一起。物理学融合在一起。哲学融合在一起。

 

威腾对你的新想法怎么看?

 

好吧,这是一个挑战。因为在过去当我和他谈到我的一些想法时,他认为它们没有希望,他给了我10个不同的理由为什么它们是无望的。现在我想我可以捍卫我的想法。我花了很多时间思考,从不同的角度来看,并回到它。我希望我能说服他,我的新方法是有价值的。

 

你冒着损失声誉的风险,但你认为这是值得的。

 

我是作为一个数学家建立的声誉。如果我现在把事情弄糟,人们会说,“好吧,他是一个好的数学家,但在他的生命的尽头,他失去了他的骄傲。

 

我的一个朋友,约翰·鲍金霍恩(John Polkinghorne),就像我正在做的一样离开物理; 他进了教堂,成了一个神学家。在我80岁生日我们进行了讨论,他对我说,“你没有什么可失去的; 你只管前进,按你的想法去思考。”这就是我一直在做的。我拿到了我想要的所有奖牌。我能失去什么?所以这就是为什么我准备赌一把,这是一个年轻的研究员不会准备做的。

 

你在这个职业生涯的这个阶段对充满新想法感到惊讶吗?

 

我的一个儿子对我说,“不可能,爸爸。数学家在他们40岁的时候做完他们所有最好的工作。你年过80. 现在你不可能有什么好想法。

 

如果你在80岁以上的时候仍然保持清醒和警觉,你就有了优势:你已经活了很长时间,你已经看到很多事情,你有视角。我现在是86岁,在过去几年里,我有了这些想法。新的想法来了,你东一个西一个地捡起来,现在时机成熟了,而5年或10年前时机可能还没成熟。

 

是否有一个大问题一直在引导着你?

 

我总是想尝试理解为什么事情行得通。我不想只知道一个公式而不知道它是什么意思。我总是试图挖掘背后的东西,所以如果我有一个公式,我明白为什么它在那里。而理解本身是一个非常困难的事情。

 

人们认为数学开始于你写下一个定理,然后给出一个证明。这不是开始,而是结束。对我来说,数学创造性的地方,在你开始把事情写在纸上之前,在你尝试写一个公式之前。你画各种东西,你在你的头脑把它们翻转。你正在试图创建,就像一个音乐家试图创造音乐,或一个诗人。没有规定。你必须以你自己的方式做。但最后,就像一个作曲家必须把它放在纸上,你必须把东西写下来。但最重要的阶段是理解。证明本身并不能让你理解。你可以有一个很长的证明,最后不知道为什么它行得通。但要了解为什么它行得通,你必须对它有一种直觉反应。你必须感觉到它。

 

 

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