2017年5月

在数学里是不会上当受骗的

 

原文作者:  Siobhan Roberts

认领人: mathyrl

校对人: 333

 

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对于Sylvia Serfaty而言,数学是关于真理和美,关于建立科学与人文之间联系的学问。

 

几年前,一位即将毕业的博士生向Sylvia Serfaty寻问了一些关于纯数学无用的存在主义问题。新近获得著名的庞加莱奖(Henri Poincaré Prize)的Serfaty,只是以诚实和令人愉快的方式说服了他。纽约大学柯朗数学科学研究所的研究员Thomas Leblé表示:“她非常热情,善解人意和有人情味。“她让我觉得数学即使有时似乎显得有些徒劳,至少它会很友好。智慧和人类的冒险是值得的。”对于Serfaty,数学是关于建立科学与人文之间联系的学问。但是,Leblé回忆说,Serfaty还强调,数学家必须在“编织自己的地毯”中找到满足感,并指出,首先需要耐心和孤独的工作。

 

 

Serfaty在巴黎出生和长大,读高中时首次被数学所吸引。最终,她倾向于物理问题,构建数学工具来预测物理系统应该发生什么。在20世纪90年代后期的博士研究中,她专注于金兹堡-朗道方程(Ginzburg-Landau equations),该方程描述了超导体及像旋风般旋转的涡旋。她所处理的问题是确定这些涡旋在何时、何地以及如何出现在静态(与时间无关)基态。在十多年的时间里,她与巴黎东区大学(University of Paris-Est)的Étienne Sandier一起解决了这个问题,并与之合著了《在磁性金兹堡-朗道模型中的涡旋》一书。

 

 

在1998年,Serfaty发现了一个非常吸引人的关于这些涡旋如何随时间演变的难题。她认定这就是她真正想要解决的问题。经过初步考虑,她被卡住,然后放弃了它,但是她不时地回到这个问题。多年来,她与合作者一起建立了一些工具,希望可以最终为期望的目标提供途径。经过了将近18年,在2015年,她终于想到了正确的视角,并找到了解决方案。

 

 

 “首先,从一个‘某些东西应该为真’的愿景开始,” Serfaty说,“我认为我们大脑中有‘软件’,可以这样说,让我们可以对一个命题的品质以及真实性给出一个判断。”

 

而且,她指出,“你不会被忽悠,也不会上当受骗。一个事情是否真实,有这个明确的概念作为依据。

 

 

2004年,28岁时,她因金兹堡-朗道模型的分析工作而获得了欧洲数学学会奖;接着是2012年的庞加莱奖。这位两个孩子的母亲,能演奏钢琴,热爱骑自行车,去年9月,她作为全职研究员回到了科朗研究所(Courant Institute),自2001年以来她一直在此担任过多个职务。在数学系的大约60名全职教职员工中只有五名女性,她是其中之一,她认为这个比例不可能在短期内获得平衡。

 

在1月份,《量子杂志》(Quanta Magazine)在科朗研究所与Serfaty交谈。以下是对话的编辑精简版本。

 

量子杂志:你在什么时候找到了数学?

 

SYLVIA SERFATY: 在高中时,有一个小插曲让我觉得数学会是我的菜:我们有一些作业是需要在家里解决的小问题,其中一个似乎很难。我一直在想啊想,徘徊着试图寻找解决方案。最后我想出了一个意料之外的解法 —— 比起问题要求更为普遍,使之更抽象。所以当老师给出解法的时候,我提出了我的解法,每个人都很惊讶,包括老师自己。

 

 

我很高兴我找到了一个创造性的解法。那时我还是一个少年,有点理想主义。我想要做出创造性的影响,搞研究似乎是一个美妙的职业。我知道我不是一个艺术家。我的爸爸是建筑师,在严格的意义上他是一个真正的艺术家。我总是把自己与这个形象进行比较:那个人有才能和天赋。这在建立自我认知,对自己所能做的和我想要实现的想法方面发挥了重要作用。

 

 

所以你不认为自己有天赋——应该不是一个天才吧。

我的确不是天才,而且我认为这些小天才和神童的形象对这个行业会造成危害。这些关于科学家的好莱坞电影也可能会起反作用。他们告诉孩子,有一些天才在那里做真正酷的东西,孩子们可能会想,“哦,这跟我没什么关系”。也许5%的职业符合这种刻板印象,但其余95%并不是这样的。你不必先成为那5%的人,才能去做有趣的数学。

 

 

对我来说,我的小小梦想需要足够的信心和信念。我的父母告诉我,“你可以做任何事情,你应该去追寻它” —— 我的母亲是老师,她总是告诉我,我在我的小伙伴们当中名列前茅,如果我不成功,谁会呢?我的第一位大学数学老师发挥了很大的作用,他真正相信我的潜力,然后当我做研究的时候,我的直觉证实我真的很喜欢数学 —— 我喜欢它的美丽,我喜欢它的挑战。

 

所以,如果你想成为一名数学家,你必须对挫败感应对自如吗

 

做研究就是这样。你会享受解决问题的乐趣如果你难以解决它。乐趣就在于与一个问题进行斗争。这与徒步旅行相似:你向山上爬,这很艰苦,你出了很多汗,但当一天结束时,奖励就是那美丽的景色。解决一个数学问题有点像这样,但是你并不总是知道路在哪里,以及到达山顶的距离。你必须能够接受挫折,失败,和自己的局限。当然,你必须要足够优秀;这是最低要求。但是,如果你有足够的能力,那么你培养它,并以它为基础,正如一位音乐家需要演奏音阶和练习才能达到顶级水平。

 

你如何解决问题?

 

在我开始攻读博士学位时,我获得了来自Tristan Rivière(我的导师Fabrice Béthuel以前的学生)的建议,他告诉我:人们往往认为数学研究是关于那些大想法的,但不是的,你必须从简单的、愚蠢的计算开始——再次像个学生那样,自己重头做这一切。我发现这是真的。很多好的研究实际上是从简单的东西、初等的事实、基本的砖块开始,你可以在这基础上建起一座大教堂。数学的进展来自于对你所遇到的问题的典型案例、最简单实例的理解。通常这是一些容易的计算;只是没有人想到应当用这种方式来看。

 

 

这个观点是你培养出来的,还是自然而然出现的?

 

这就是我所知道的。我告诉自己,总是有很多聪明的人已经思考这些问题,做出了非常漂亮和精致的理论,当然我也不能总是在这个方面和他们进行竞争。但让我试着从头开始重新考虑这个问题,以我自己的那一点基本的了解和知识,看看我能走到哪里。当然,我已经建立了足够的经验和直觉,我只是假装自己什么都不懂。最后,我认为很多数学家以这种方式进行,但也许他们不想承认,因为他们不想被看成头脑简单。老实说,这个职业有很多的自负。

 

 

自负对数学抱负是有还是阻碍?

 

我们进行数学研究,是因为我们喜欢这些问题,而且我们喜欢寻找解决方案,但我认为也许有一半是因为我们想要惊世骇俗。如果你在一个荒无人烟的孤岛上,没有人欣赏你漂亮的证明,你还会做数学吗?我们证明定理,是因为有听众来进行交流。大多数的动机还是,在下次会议上介绍你的工作,看看同事的想法。然后,人们对此表示赞赏,并提供积极的反馈意见,就带来了很大的满足感。然后你可能得奖,如果是这样,也许你会得到更多的奖,因为你已经得奖。你会在很好地期刊上发表论文,你会跟踪你发表的论文数量以及MathSciNet上有多少引用量,而且你不可避免地会习惯于将自己与你的朋友进行比较。你经常被你的同行评判。

 

 

这是一个促进科学家不断工作的系统。因为他们希望保持排名,所以这就推动了他们发表论文和努力工作。但这也带来了很多自负。在某些时候我认为这太多了。我们需要更加注重真正的科学进步,而不是外在的财富。我可以肯定这个方面对女性不是很友好。还有书呆子的刻板印象 —— 我不认为自己是一个书呆子。我不认同那种文化。我不认为是因为我是一个数学家就必须得成为一个书呆子。

 

 

更多的女性进入这个领域会有助于平衡这种印象吗?

 

对于这个领域的女性来说,我并不乐观。我不认为这是一个自然会解决的问题。过去20年的数字并没有很大的改善,有时甚至会下降。

 

问题是:你能说服男人,如果周围有更多的女性科学家,科学和数学真的会更好吗?我不确定他们能否被说服。会更好吗?为什么?会使他们的生活更好吗?会使数学更好吗?我倾向于认为会更好。

 

 

以什么方式?

拥有多样化的心态很好。两位不同的数学家以两种略微不同的方式思考,女性倾向于略有不同的思考。数学不是大家盯着一个问题然后试图解决这个问题。我们甚至不知道问题在哪里。有些人决定要在这里探索,有些人在那里探索。这就是为什么你需要有不同观点的人,想到不同的观点,找到不同的道路。

 

 

在你自己过去二十年的工作中,你专注于数学物理学的一个领域,但这导致了你进入多个不同的方向。

随着你的数学成熟度的逐渐加深,观察到冥冥之中一切是如何连接起来,这真的很美。有这么多东西彼此联结着,同时你也不断在自己的头脑中构建新的连接。等有了经验,你会发展出对你自己而言独一无二的观点 —— 当然也会有其他人从别的角度到达你所发现的这个地方。这是富有成效的,这就是你可以解决某些问题而比你更聪明的人不能解决的原因,因为他们缺少必要的视角。

 

你的方法意外地打开了其他领域的门 —— 这是怎么发生的呢?

我从一开始就有一个重要的问题是了解涡旋的模式。物理学家从实验中知道涡旋形成三角形晶格,称为Abrikosov晶格,因此问题是要找出它们形成这些模式的原因。我们还未能完整回答,但我们已经取得进展。 2012年我们发表的一篇文章,首次严谨地将结晶问题与金兹堡-朗道涡旋问题联系起来。事实证明,这个问题在数论和统计力学以及随机矩阵等其他数学领域也出现了。

 

我们证明的是,超导体中的涡旋表现为与所谓的库仑相互作用的粒子相似 —— 基本上,涡旋像电荷一样作用,并互相排斥。你可以将粒子看作互相不喜欢而被迫呆在同一个房间的人 —— 他们应该站在哪里,以尽量减少相互间的厌恶?

 

跨越到一个新的领域是否困难?

这是一个挑战,因为我不得不学习一个新领域的基础知识,在这个领域没人认识我。最开始会有一些对我们结果的怀疑。但是,作为新来者,我们可以发展一些新的观点,因为我们没有任何先入为主的观念 —— 无知在这种情况下是有帮助的。

 

一些数学家,他们的工作往往以一些自己明确知道该怎么做的问题入手,然后他们将问题变形推广,就像周边产品:你制作电影,然后你卖T恤,然后你卖的杯子。我认为一种可以区分优秀数学家的方法是,他们不断前进并开拓新的领域。

 

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520:向你心中的数学家表白吧!

分析学家:所有的判别法都无法检验我对你的感情,对你的爱永不收敛!

 

 

双曲几何学家: 直线有无数条平行线, 但你没有。无论我奔向哪里,都将与你相遇!

 

 

 

拓扑学家:无论生命历经何等沧桑,只需要通过一个微分同胚,你就能看见,我对你的心万年不变!

 

 

统计学家:与你一瞬间的偎依,就足以拒绝零假设!

 

图论学家: 我的心就是一个引出1000条弧的节点,每条弧都指向着你!

 

组合学家: 你问我爱你有多深?选择组合代表我的心!

 

概率论学家: 说“百万里挑一”完全不能表达你在我心中的地位,你是零概率事件!

 

运筹学家: 我终止所有搜索算法的运行,因我已经找到了全局最优解——就是你!

 

逻辑学家: 我对你的爱,不单单是必须的,更加是充分且必要的!

 

数论学家: 我和你之和一定是一个质数,因我我们一旦在一起,就永远不会再分解了!

 

 

惊!歌德巴赫、孪生素数猜想还可以这样玩

 

作者: Math001,哆嗒数学网网主

 

投稿可发至邮箱1178853280@qq.com。

 

 

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这篇文章把约数、素数、孪生素数猜想、歌德巴赫猜想用一种“可视化”的办法,把它们“变”成了一个可以看见的填字涂色游戏。而这种转化为“变戏法”的过程所涉及的知识,只涉及初等数论的知识,如果有兴趣的读者不嫌麻烦,可以耐心地把其中的转化过程一一验证,如果没时间验证也没关系,可以暂且相信我们哆嗒数学网的小编,跳过一些繁琐的证明过程,一起领略另外一种“数形结合”的奇妙。

 

首先声明,我们的目的是把一些数论问题变得“好玩”、“好看”。即便把这些问题变成了小游戏,问题的难度可能依然没有得到任何程度的降低(有可能变得更难)。如果你觉得真的变好玩了,不妨让更多的人看到这些玩法并一起玩,这会是件非常有趣的事情。

 

 

  • 起航:做一张巨大的正整数表格

 

我们按下面的步骤,来做一张表格:

 

第1行,依次从左到右写出所有正整数1、2、3、……

 

第2行,还是依次从左到右写出所有正整数1、2、3,、……,不过每两个数字之间要间隔1个空格。

 

第3行,还是依次从左到右写出所有正整数1、2、3,、……,不过每两个数字之间要间隔2个空格。

 

……

 

第i行,依次从左到右写出所有正整数1、2、3,、……,不过每两个数字之间要间隔i-1个空格。

 

……

 

理论上,这是一个有无穷行和无穷列且大部分地方都是空格的大表格(无穷矩阵),不过我们可以截取它的一部分来说明一些问题。

 

据说,几百年前的欧拉已经用过这样表格研究数学问题了。如果真是这样,欧拉真是一位十分有耐心的数学家。用“人肉”绘图的方式,哪怕只有几百行几百列,也是一件耗时耗力的工作。因为一会儿我们要在这个表格上做一种类似“跳格子”游戏的操作,我们把这个表就叫做“跳格子表”吧。不过现在有了计算机,我们可以轻易的做到这样的事情。下面是我们哆嗒君用Excel软件做的17行50列的表格(点击图片放大观看):

 

 

我们稍微地归纳一下这个表格的填字规律,第i行第j列,即位置( i , j )的“填字”N( i , j )将是

 

 

事实: 位置( i , j )的填字不是空格的充要条件是,j-1 是 i 的倍数,即i是j-1的约数。

 

 

  • 约数与质数“重定义”

 

我们知道,对于两个正整数来说,如果a是b的倍数,b就是a的约数。如果一个大于1正整数的约数只有1和它本身,我们就说这个数是素数,也叫质数。

 

然而,我们这里既然做了表格,目的就是要重新利用表格上语言来说,到底什么是约数。

 

观察下面表格的红色路径,它们都是从第1行的某个数字开始,向左下方一路斜着拉了条斜线拉到最左侧的那一列的1。比如我们图中的6, 11, 18。从6拉的路径里,除了空格,经过的数字有6,3,2,1,而从18开始的,经过的有18,9,6,3,2,1。 恩,你发现了吗,经过的数字,正好是起始数字的约数。于是,我们说,在这样的表格里,约数可以这样表述:

 

约数的“跳格子”定义: 正整数n的约数就是“跳格子表”中,从第1行的n出发(即(1,n)位置出发),向左下行走到第1列的“1”的路径中经过的数字。

 

 

对于观察到的这个结果,我们给出一个简单的证明。我们来看,从(1,n)出发所经过的格子( 1+i , n-i ) , i = 0,1,2,3,…,n-1。根据前面的事实1,N( 1+i , n-i ) 是一个数字,当且仅当 n-i-1 = n-(1+i) 是 1+i的倍数,就是说n是1+i的倍数。而当n是1+i的倍数时,格子中的数字是N( 1+i , n-i ) = 1 + (n-i-1)/(1+i) = n/(1+i) 。这个是一个正整数且是n的约数。而i从0到n-1遍历的时候,1+i遍历了n所有可能的约数,而且每个约数恰好出现一次。

 

有了这个结果,我们还可以“重新定义”素数:

 

素数的“跳格子”定义: 正整数n的约数就是“跳格子表”中,从第1行的n出发(即(1,n)位置出发),向左下行走到第1列的“1”路径中,除了路径的起点与终点,经过的全是空格。

 

上面图中的11便是其中的一个例子。

 

 

  • 孪生素数猜想的玩法

 

如果两个(奇)素数之差是2,我们就说这两个素数是一对孪生素数。比如3和5、11和13,、17和19等等。直到2016年9月,发现的已知的最大的一对孪生素数是下面两个数,展开后,这两个数都有388342位,这里一定是写不下了的。

 

 

孪生素数猜想是说,有无穷多对孪生素数。那么在我们的表格中会怎么表述这个猜想呢?

 

我们从第一排的某个数字出发(即(1,n)位置出发),如果往右下一路斜走,踩过一路空格后,踩到3,而从左下一路斜走,一路空格走到1,那么这个n以及n-2都是素数。下图中的13就是这个情况。

 

 

证明这个的思路,也和前面一样,是一些简单的倍数、约数验证。从(1,n)位置向右下斜走n-3格,踩中的位置为N(1+n-3,n+n-3) = N(n-2,2n-3) = 1 + (2n -3 -1)/(n-2) = 3 。就是说从任何(1,n)出发,n-3格的时候踩中3是必然的 。 另外,因为是一路空格踩过来,所以 i = 1,2,...,n-4的时候,N(1+i,n+i)都是空格,也就是说n+i-1= (n-2) + (1+i)不是1+i的倍数,即n-2不是1+i的倍数。就是说2,3,...,n-3,都不是n-2的约数,从而n-2是素数。而n本身是素数是从(1,n)出发的左下斜线路径决定的。

 

于是我们有了,孪生素数猜想的“跳格子”表述:

 

孪生素数猜想的“跳格子”表述: 存在无穷多个n,使得从“跳格子表”中第一排的n位置出发,往右下一路斜走,踩过一路空格后,踩到3,而从左下一路斜走,踩过一路空格走到1。

 

 

  • 还没玩够,马跳模式下的孪生素数猜想猜想

 

你下过中国象棋、国际象棋吗?如果下过,就会知道象棋中马的走法。俗话说“马走日”,意思马会形状如“日”字的一个角跳到对角线上的另外一个角。当然如果你不知道象棋而知道围棋,那么围棋中“小飞”的走下法和“马走日”的走法差不多都是我要表达的意思。

 

马跳可以横着跳,也可以竖着跳。横着跳的相当于跳了一个平躺的“日”的对角线,而竖着跳就是一个站立“日”。

 

下面我直接给出两个结论,然后简单的验证了其中一个。另外一个读者可以自己验证,都是简单的约数验证。

 

2n-1是素数,当且仅当,从第一排的n位置出发,往左下竖马跳,踩过一路空格,踩到1

 

2n-3是素数,当且仅当,从第一排的n位置出发,往右下竖马跳,踩过一路空格,踩到2。

 

当从(1,n)位置出发的时候,往左下竖马跳n-1步后踩到1是非常容易判定的。  由于一路踩过的都是空格,所以(1+2i, n-i )位置在1< i <n-1上都是空格,就是说n-i-1 不都不会是1+2i的倍数。因为1+2i是奇数,所以相当于是说 2(n - i - 1) = (2n-1)-(1+2i) 也不是1+2i的倍数,即2n-1不是不会是1+2i的倍数。这时1< 1+2i <2n-1 ,就是说奇数2n-1没有奇素因子。2n-1为素数。

 

2n-3的素数条件验证是相似的。

 

下图从10出发的两个方向的马跳,说明了19、17是一对孪生素数。

 

 

于是,我们有了第二种表述:

 

孪生素数猜想的“跳格子”第二表述: 存在无穷多个n,使得从“跳格子表”中第一排的n位置出发,往左下一路马跳,踩过一路空格后,踩到1,而从往右下一路马跳,踩过一路空格后,踩到2。

 

 

  • 说好的歌德巴赫猜想呢?

 

这一部分,我们就会来实现这个猜想。玩之前我们会介绍一种“跳格子表”上的新走法——k级马跳,以及我们会换一个更大的棋盘来玩。

 

前面介绍的马跳的位置,其实是向横(竖)着移动一格,然后朝另外一个方向竖(横)着移动2格所得到的位置。如果我们把第二次的2格换成其他数字k,然后将这个新的走法称为k级马跳。

 

那么,前面的走法就成了k级马跳的特例。最早棋盘上的斜着走,就是1级马跳,而上一部分的默认马跳其实是2级马跳。

 

另外还有一种特殊情况,0级马跳,横着的0级马跳竖着直走,竖着的0级马跳是横着直走。

 

为了玩得开心,我们引入0和负数,把之前的表格向左边无限扩展,得到下面样子的表格。我们省略负号,把0和负数涂上绿色。这个表格是之前的升级版,我们叫做“跳格子表2”。

 

 

 

 

“跳格子表2”保留所有之前未升级版本表格的性质,比如N(i,j)的值,我们可以计算N(2,-1)=1+ (-1-1)/2 = 0, N(8,-63) = 1+ (-63-1)/8 = -7 , 以及 N(3, -6) = 空格。 因为-6-1 = -7 不是3的倍数。

 

现在我们的准备工作完毕,开始要说歌德巴赫猜想的玩法了。

 

歌德巴赫猜想是说,每个不小于6的偶数可以写成两个奇素数之和。

 

我们说一个不小于6的偶数2n,如果存在一个非负整数k,使得从第一行的n+1位置出发,向往右边一路横着进行k级马跳,踩过一路空格,最后踩到k+2,往左边一路进行k级马跳踩过一路空格,最后踩到2-k。 那么2n能写成两个素数的和。

 

我们来看看为什么。

 

从(1,n+1)往右横着k级马跳,跳n-k-1步踩到的点的值N(1+(n-k-1),n+1+k(n-k-1)) = N(n-k,1+(1+k)(n-k)) = 1 + (1+(1+k)(n-k)-1)/(n-k) = k+2 ,就是说n-k-1步后必然踩到k+2,  由于是一路空格踩过来,说明当1≤i≤n-k-2 的时候, 1+i都不是n-k的约数。即2,3,4,...,n-k-1 都不是n-k的约数。于是n-k是素数。

 

利用相同的办法可以验证,n+k也是素数。只需要验证向左边移动n+k-1步的情况。

 

相反,如果一个不小于6的偶数2n = p + q,其中p≤q是奇素数。那么我们令k = n-p = q-n。那么这个k对应的k级马跳就是符合游戏设定k级马跳。

 

那么这个时候,我们可以表述歌德巴赫猜想了。

 

歌德巴赫猜想的“跳格子2”表述: 对每个不小于4的正整数n,存在一个非负整数k,使得从“跳格子表2”中第一排的n位置出发,往右横着进行k级马跳,踩过一路空格后,踩到k+2,而往左横着进行k级马跳,踩过一路空格后,踩到2-k。

 

下面的例子是对从16可写成两素数之和的验证。这个时候n=8,n+1 = 9, 所以从第一行的9开始跳,k的取值是3,所有最终右边跳到k+2=5,左边跳到2-k = -1 ,于是n+k = 8+3 = 11, n-k = 8-3 = 5, 16 = 11 + 5 ,16写成了5和11两个素数和。

 

注意,k=0 的特殊情况是这样的: 从n+1一直直线往下走,踩过一路空格踩到2。比如上面图从4出发向下走的黄色部分,说明了6满足哥德巴赫猜想。

 

 

 

 

  • 谁发现(发明)的这个游戏?

 

好的,我们把孪生素数猜想和歌德巴赫猜想都在一个有趣的表格上重新实现了。那么这个游戏是谁发明的呢。

 

发明这个游戏的人叫Cloitre,是一位法国的数学的业余爱好者。他把他的这个发现写成的论文,可以在http://www.les-mathematiques.net/articles/Chemins.pdf 看到。我们哆嗒君把他的玩法优化,并处理完几个小错误之后呈现给了大家。这个游戏不是他在数学上唯一的发现。Cloitre的很多发现并不逊色于在大学任教的数学专业人士,。比如2004年,他发现了ζ(2) = 1 + 1/4 + 1/9 + ... + 1/n² + ... 的一个极其简单,但之前无人发现的公式,这个公式被收录在WolframMathWorld的词条中。

 

 

一些专业的数学教授也乐意和Cloitre合作,Cloitre也乐于在网上分享他的数学上点点滴滴。著名数列百科网站OEIS有Cloitre的4000多条贡献,一些数列中隐含的问题也激发了一些专业人士的研究兴趣。

 

所以,业余人士做的数学,也会被人叫好,也是会被人们承认的。这个时候,专业人士也不会叫你“民科”,当然——前提是你的研究是对的。   

 

 

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英国专家:中国数学教学体系能促进社会阶层流动

 

原文作者:Harry Low,BBC记者。

翻译作者:胡杨,哆嗒数学网翻译组成员,就读于华南理工大学

校对:mathyrl

 
 

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中国上海在2009年和2012年参加了三年一度的针对15岁学生学术能力的国际学生评估项目测试(PISA测试),结果是上海学生的数学能力在国际上排名第一,德国,英国,美国,甚至连新加坡,日本都排在后面,这里的奥秘是怎样的呢?

 


上海小学教师的教课生涯和世界其他国家老师是不一样的,有一点就是,每一个老师专攻一定的科目,如果你教数学的老师那你就只教数学。


这些专业的教师需要连续5年接受专业的培训,这个培训针对固定年龄层的学生,在这5年中,教师可以更好的了解自己所从事的科目和学生的学习情况。


在取得教师资格后,小学教师一般每天上两节课,他们每天剩余的工作时间就是辅导那些需要额外学习帮助的同学以及和同事讨论教学方法。


“如果你把这些专业的老师和现在的英国小学教师比较的话,那些英国小学教师可能只接受过5天职前教师培训”,伦敦Ashburnha社区学校的校长BenMcMullen说到。


“他们可能会在培训生涯的第一年第二年接受后续的培训,通过在职培训和员工会议等等,但这样只接受几天教育培训的人和那些接受了特定科目训练5年的专业教师没有可比性”。


在中学也有相似的故事,老师花少量的时间和学生们在教室里上课,而更多的时间会花在课程计划制定和课程优化方案上。


还有其他的一些不同:上学时间更长,从早上7点到下午4、5点。班级人数也更多,课程时间也更短,每一课只有35分钟,每一课中间有15分钟的自由活动时间。


不会按照学生的能力把学生分成小组,每个学生都必须在老师讲解下一部分时搞明白刚才讲的东西。每年被教育部门派遣来到上海参观学习的英国教师McMullen说在学校早期的基础算数教育比英国的教的更慢。

 

“他们看到了我们的课程,被我们的教学内容吓到了”,他说。“他们直到四五年级才会教学生分数,因为他们觉得那时候学生已经熟练掌握乘法和除法,这本质上就是一个‘掌握学习’的教学模式:每次的教学内容少一点,取得逐步的小进步,通过不断的复习直到学生都明白掌握了,确保全班整体进步”。


中国大陆其他城市学生的数学水平可能和上海学生不同,2015年的国际学生评估项目测试显示,上海、北京、江苏、广东联合排名第五,落后于新加坡、日本、台湾和香港。


也有人提出上海前几年的测试结果被四分之一的城市学生影响。然而PISA测试项目组坚持说他们的结果说明上海农民工的孩子比西方国家专业人士的孩子要厉害。

这是此体系吸引人的一个关键点,它让贫穷的孩子认识到他们自己的潜力,增加社会阶层转变的社会流动性。但是伦敦大学学院的Henrietta Moore认为此体系也有不足之处。

 


她说:“这个的初衷是,努力就会带来回报,所以这么做的功利性就很强,由此来带来了孩子们创造力不足的问题,现在中国的数学老师们最热衷于找到解决此问题的办法,而解决这些问题需要社会空间和所处的环境综合作用。”


“我们英国实际上做得更好,他们也在尝试发展和向我们学习”。


另一个对这个体系的批判就是父母逼迫孩子学习。大约有80%的学生参加校外补课。


Moore说:“家长对教育兴趣带来的一个问题是家长变得争强好胜——家长之间的攀比他们的孩子还要明显,所以他们想让自己的孩子参加所有的这些课外辅导班”。


所以别的国家可以借鉴这套体系吗?


“我同意教学数学的老师们都需要深入了解数学概念的建构和对孩子们如何学习的深刻理解”,Anne Watson说,她是牛津大学的数学荣誉退休教师。“我也同意对每个学生拥有高期待值的想法”。


互联网公司老板Martha Lane-Fox也是这个体系的支持者。


“有两个吸引我的地方”,她说,“那种认为人人都有可能成为数学高手的观念比英国社会的观念要强烈,我也很喜欢对细节的关注,我对渐进学习法和让事物进行微小的进步的观念很感兴趣”。


“这套体系的基本面是正确的,当一想到人人都可以放飞数学天性,我就心潮澎湃。”


McMullen的小学已经向上海的学校借鉴了一些观点。


学生不按成绩分方向分开上课,学生们自由交流互动,课堂上有一种“不一样的氛围”。


McMullen说:“年轻的学生们在学校能够学到令人难以置信的扎实数学基础、熟练的计算技能和清晰的概念”。

对于老师来说,还有一个很大的好处,他说,就是不用再划那么多重点了。

 

 

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女神艾米的美妙数学

 

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连接了对称性和理论物理学的诺特定理,是我所了解过的最美丽和优雅的概念之一。然而最出乎我意料的是,诺特居然是一个名为艾米的女子。尽管我一向相信女性和男性一样,拥有做到任何事情的能力,但是,当我刚接触这件数学中的美妙艺术品的时候,我相信这无疑是由一位男数学家得到的;至于它的发现者实则是一位女性,则从来没有想到过。当然,那时我知道玛丽·居里,一位女科学家,她的盛名足以让她成为物理学圣殿中的传奇。但我,作为一个已经大二的学生,以前却从来没有在物理课上听说过诺特,或者是其他女性!这个认识让我擦亮了眼睛,明白了从前不知情的偏见,也让我想要了解更多。

 

 

诺特是一位真正的数学家,是建立抽象代数学的先驱者之一,她擅长以全新的方式处理问题。她在物理中的工作尤其引起了我的关注,即帮助一位可怜的物理学家弄清楚了他的理论中所需要的数学知识,而这只不过是她的成就中的冰山一角。作为其结果,诺特定理诞生了,专业地来说,就是上面的公式。该定理断言,对于一个物理(力学)体系的每一个连续的对称变换,都有一个与之相关联的守恒量与之对应。守恒定律是理论物理中的一个基本规律,它让我们可以决定一个现象在物理学中是否会发生。诺特定理把它和力学系统的对称性联结了起来,从而使得我们能够单单从拉格朗日量,一个关于系统能量的函数的性质中,决定哪些物理量是守恒的。很多守恒定律都众所周知,例如一个封闭系统的能量和动量守恒定律,但是诺特定理成功地消释了在近代物理学新理论中出现的那些守恒律(例如广义相对论)中的悖论。说这条定理是物理学中的一个“重要结果”,是有些轻描淡写了。

 

 

艾米成长于一个数学家辈出的家庭,但她的家人并没有注意到她的天赋,也不鼓励她追求她的数学梦想。当她开始被数学吸引时,她还在为成为一名语言教师接受训练。就在此时,她开始去埃尔朗根大学听课。作为一位女性,她不能够正式注册,所以她只能在课上旁听。几年之后,女性开始被正式允许去上课。但关于女性权利的公平政策,她一向没有赶上太多。有一段时间,当她通过博士毕业论文答辩后,她仅被允许以希尔伯特的名义去哥廷根大学教书。几年后,她总算找到了一份教职,尽管薪水微薄。她从来没有能够在德国成为一位全职教授,甚至凭借她的工作得到相应报酬。1933年,由于她的犹太人身份,她被德国法西斯赶出了哥廷根大学,之后她搬到了布林茅尔学院,一所美国的女子名校。在这所学院的日子总是伴随着困境,比如不能够授课研究生课程,找到一份终身教职,健康状况不容乐观,并且当时德国的政治情形也很糟糕。但是,她却从不同的角度看待事情,并称“最后的一年半是我整个生命中最快乐的,因为在布林茅尔和普林斯顿得到了认可,而从来没有在自己的国家得到过这些”。不幸的是,她不久之后就因为肿瘤切除手术的并发症去世了。

 

当浏览诺特的生平时,最让我感到震撼的是她的个性。她是一位传奇女性,一位声誉卓著的数学家。她非常规的生活方式引起了很多笑话,但她自己从来不以为意。她的容貌、着装和体重常常被人评论,她的声音也是如此,被认为是“大声而令人不快的”,因为不像其他女性传统意义上那样柔和和高雅。她非常关爱学生,经常和他们分享自己的观点,充满激情和热情地授课,甚至不论他们的政治立场(那时她有一个学生常常穿着一件纳粹冲锋队的褐色T恤去她家中上课)。她的学生们高度赞扬她,因为她让他们感到她是学生群体中的一份子,“好像她也是在第一次思考这些定理”。她将一种简洁化和去除不必要部分的原则应用于数学和生活。她穿着男士皮鞋和外套,在那时,她一个星期有六天在同一个餐馆的同一个时间档的同一时刻吃同一顿晚饭。据诺特的唯一一位美国研究生学生说,“她思考问题和工作的方式简直就是她生活方式的一个写照:那就是,甄别出一切不必要的东西,把它们推到一边,然后全身心地投入到现实工作中去”。

 

 

她同样得到了她的同事们的高度赞扬,也正是由于他们持续不断的努力她才得以找到教职,第一次是在哥廷根,后来则是在布林茅尔学院和普林斯顿高等研究院(尽管很不幸地,她原本可以在去世前加入后者)。赫尔曼·外尔,二战前哥廷根的一位教授,说他“对于在她身边从事一份比她待遇更好的教职感到羞愧。因为作为一位数学家,她在很多方面都胜过我”。在她对爱因斯坦的广义相对论做出重要贡献之后,爱因斯坦写信给希尔伯特说:“昨天我收到了诺特女士的一篇关于不变量的很有意思的论文。我对这种东西居然可以以这样一般的方式被理解感到印象深刻。哥廷根的老家伙应该向诺特女士讨教。她是真正理解这些东西的人”。他后来在为《纽约时报》准备的她的讣告中写道,“在当世健在的最具竞争力的数学家的评判中,诺特是自高等教育向女性开放以来最具有独创性的数学天才”。

 

不像她的男性同事们,诺特并没有在她的一生中得到过太多认可,却反而因为一些不重要的事情受到批判。身为历史学家的克里斯和曼说:“如果诺特是一个男子,她的容貌、举止、和教室里的行为,会被解读为健忘性的天才,此常见于世人对于男子的评价”。我发现诺特确实给人很多启迪。因为她的成就,都是在逆着人潮行走,怀着她对追寻数学的终生热情,经过艰辛的挣扎而取得的;因为她对学生和同事的驱动力和态度,对于批判的无视;因为她的——美妙数学。

 

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神奇的分数维

编者按:如果你第一次看到豪斯多夫维度的严谨定义,你一定多少有点晕吧,过程是:

对于度量空间X, S为X的一个子集,d为非负实数

1、 先定义S的d维豪斯多夫容量(d-dimensional Hausdorff content )

   

2、 然后定义S的豪斯多夫维度为使得S的d维豪斯多夫容量为零的那些d的下确界,即:

但当你用这样定义去验证一个简单集合(比如康托集)的豪斯多夫维度的时候,过程是比较复杂的。但你细细评味,你会发现,证明过程貌似就是在做收缩,放大之类事情,也是本文介绍的豪斯多夫维度最初始的思想。有的时候,数学的难度就是这样产生的:一个简单的思想,教科书只能用最严谨的方式告诉你,这时候用的表述已经看不到最早的想法,于是你必然开始用最复杂的字面意义去理解它。如果,这个时候有个知道背景的人提醒你,那能少走多少弯路呀。

 

作者: 金星光,就读于重庆师范大学数学与应用数学专业

 

投稿可发至邮箱1178853280@qq.com。

 

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看过《哈利波特》的人想必对于9又3/4站台并不陌生,这是通往霍格沃兹魔法学院的入口。当年哈利、赫敏与罗恩推着装满魔法物品的小推车冲进墙内的场景到现在都还令我记忆犹新。9又3/4站台为我们揭示了一个魔法世界中的一个分数维的车站,那么在数学世界中是否存在着维数为分数的事物呢?今天我们就来探究一下神奇的分数维。

    

     众所周知我们生活在一个三维的空间中,我们需要三个数值就能唯一的确定我们在空间中所处的位置:经度、纬度和高度。在这里我们对维数的定义借用了拓扑中对于维数的定义:空间的维数等于决定空间中任何一点位置所需要变量的数目。显然这种拓扑方法定义的维数当然只能是整数,那么对于分数维我们就不能采用拓扑中对于维数的定义了。接下来我们就要从另一角度重新定义维数。

     首先我们要先要了解一个概念叫做图形的自相似性,即一个图形本身可以看成是由许多与自己相似的、大小不一的部分组成。如一条线段是由两个与原线段相似、长度一半的线段接成的;一个矩形可以看成是由4个与自己相似、面积为原矩形面积的1/4的小矩形组成;一个立方体则可以看成是由8个体积为原立方体体积的1/8的小立方体组成;利用自相似性,维数就可以这样简单而直观的理解:首先将图形按照M:1的比例缩小,然后,如果原来的图形可以由N个缩小之后的图形拼成的话,这个图形的维数d=ln(N)/ln(M) 。(注:这个数也叫做豪斯多夫维数Hausdorff dimension)。我们可以用这个办法轻易的计算立方体的维数为3,当将正方体按照2:1的比例缩小,可以得到8个小正方体,即M=2,N=8,则d=ln(8)/ln(2)=3。

      其实对于非整数维的几何图形,早在1890年,就已经被意大利数学家皮亚诺(G.Peano)提出。当时他构造出一种奇怪的曲线,被称作“皮亚诺曲线”。

具体的构造方式见下图。

             

按照这种方法最后所逼近的极限曲线,应该能够通过正方形内的所有的点,充满这个正方形,即曲线有面积。这个结论令当时的数学家惶恐。在皮亚诺之后,科学家对于这种几何的研究形成一个新的几何分支叫做“分形几何”。

另一个在数学中比较著名的分数维的图形是科赫曲线(Koch snowflake)。它的产生可以采用如下方法:在一段直线中间,以边长的1/3为边的等边三角形的两边来代替直线中间的1/3,得到图形(a),对(a)的每条线段重复以上做法又得到图形(b),对(b)的每段线段又重复得到图形(c),而对(c)的每段线段又重复就得到了图形(d),如此无穷地继续下去得到的极限曲线就是科赫曲线。

 

    我们采用上述计算维数的办法来计算科赫曲线的维数。

首先将科赫曲线的尺寸缩小至原来的1/3,然后用4个这样的小科赫曲线便能构成与原来一模一样的科赫曲线。即此时:M=3,N=4, 即d = ln(4)/ln(3) = 1.2618……

很明显我们可以看出科赫曲线的维数不是一个整数,而是一个小数或分数。

    分数维的出现滋生出数学中“分形几何”这门学科的发展,为我们打开了一个新世界的大门,它的神奇之处在于弥补了我们的未知、颠覆了我们的已知。数学的发展始于观察、形于思考、终于证明。每次新事物的出现看似是对于已有数学框架的撼动,其实本质上是一种进步与发展,来弥补这个美好的数学世界。而数学以其自身的魅力吸引着每一位热爱他、追随他的人,在远方智慧深处闪耀着永恒的星光。

 

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