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原文作者：Keith Devlin， 英国数学家和科普作家，斯坦福大学教授

翻译： 哆嗒数学网， www.duodaa.com

实数有多少个呢？一种回答是：“无穷多个”。由于康托证明了实直线--即连续统--不能和自然数有一一对应，于是能得到更好一些的回答是，“不可数多个”。但我们能更精确一些吗？康托引进了一种度量无穷集合个数的方法：使用阿列夫数。阿列夫是一个希伯来字母，康托用它来表示无限集合的个数(阿列夫“ℵ”这个号很多时候在网页上都打不出来)。他把所有的无限集合的个数都用这样的无限数量(基数)进行了分层，ℵ0(第一个无穷基数，自然数集的数量)，ℵ1(第一个不可数基数)，ℵ2，等等。

无穷基数和有限的自然数一样，可以做加法和乘法，只是比自然数的加法和乘法容易得多。两个无穷基数相乘或者相加，都等于这两个中最大的那个。

我们也能把任何一个有限或无限的基数来计算它的幂。这样问题瞬间变得不那么容易了。我们来看一个相对最简单的情况，如果κ(西腊字母,Kappa)是一个无穷基数，那么2^κ(2的κ次幂，即κ基数集合的幂集的基数)的值是多少？康托证明了这个幂一定比κ本身大，但这也就是他得到的最深的结果了。特别的，他无法表明2^ℵ0是否等于ℵ1。

这个问题有何意义呢？在数学其它地方，已经证明了2^ℵ0正好是连续统的个数，即实数的个数。由于康托能证明有理数的大小是ℵ0，那接下来一个自然的问题，实数到底有多少个？这样的问题不能回答是让人沮丧的。希尔伯特也在1900年，把它列入了他《数学问题》中的23个问题之一。

命题2^ℵ0=ℵ1的就是著名的连续统假设。它和选用的构造无限集合的公理体系密切相关。这个公理体系是由策梅罗和弗兰克尔在20世纪初建立的，叫做ZF公理体系，是被数学界普遍接受的。1936年，哥德尔用他的证明震惊了数学界。他证明了ZF公理体系是不能证明连续统假设是一个假命题的。

其实，部分逻辑学家、一些实分析学家，以及大部分数学家并不关心连续统假设是真是假。所以，让人震惊的并不是这个结果本身。让大家惊奇的是，哥德尔发现了一种证明手段，可以证明一些数学命题是不能被证明的。(注意，哥德尔证明的是连续统假设不可能在ZF公理体系下被证明是假的，但这并不意味着连续统假设可以在这个体系下被证明是真的。他没有一个证明它是真命题的逻辑推导。)于是，大家知道了连续统假设不可能被证明是假命题，研究转向去证明它是真命题。但这样的研究是徒劳的，1963年科恩的证明告诉了大家，为什么之前的研究是徒劳的。科恩用他发明的力迫法证明了连续统假设也不可能被证明是真命题(在ZF公理体系的框架下)。于是这个假设是不可判定的。因为这个发现，科恩还在1966年获得菲尔兹奖。

当然，一个很自然的想法。我们想在ZF公理体系下增加一些公理，让连续统假设变得可以判定是真是假。的确有很多数学家做了这样的工作，但都没有成功。问题在于，我们试图为所有的数学分支提供一个统一的集合论的基础框架(这个框架包含算术系统)，框架中的公理要被大家接受，还必须看上去是“显然的”。没人能找到这样的公理。有一种我个人觉得很吸引人的公理叫做构造性公理(我博士期间是研究集合论和无穷基数算术的，我研究生涯的前15年都在搞那个)。

这个公理是哥德尔发现的。哥德尔用它来证明了连续统假设在ZF公理体系下不是假命题。虽然哥德尔不建议让它成为一个集合论的公理，但我觉得它还是比较“自然”，能成为一条公理。不是因为我相信那个是“真”的。当我们在无限集合上讨论数学时，我认为不应该较真公理的对错。甚至，我觉得科恩的结果(以及很多之后的结果)向我们表明的原始信息应该是：我们在选择集合论的公理时，应该务实一点。由于集合论的终极目的是为数学提供一个普遍的根基，我可以提出（事实上在1977年我已经提出过）一个非常好的支持将构造公理纳入公理体系的论点。(我把这个观点写进了我的专著《The Axiom of Constructibity: A Guide for the Mathematician》，于1977年在Springer-Verlag出版。) 如果构造性公理被假定成立(作为一条新的公理，加到ZF公理体系里)，就可以证明连续统假设是真命题。由于各种原因，很多数学家不支持我以及其他支持构造公理体系的人的观点。但没有一个人提出一个我认为令人信服的反对理由。至少，在那个时候没有。

1986年，情况发生了改变。Freiling在《Journal of Symbolic Logic》上发表了一个有趣的文章，题目叫《公理的对称性：往实直线上投飞标》。在文章中，Freiling提出了下面这个假想实验。你我两人向一个飞标靶子投掷飞标。我们之间隔了一个屏风，所以我们之间互不影响。当我们收到一个来自第三方的信号的时候，我们一起向靶子投掷飞镖。我们投掷的结果完全是随机的。(形式上，由于靶子上的点可和实数产生一一对应，所以我们两个人可以简单的看成两个独立的随机数发生器。)那谁是赢家呢？恩，实验的组织者把所有实数排成一个良序(即把靶子上的点排成良序)，记为“<<”。我们的目标是在这个良序下，击中的目标比对手大。如果你击中的实数是Y，而我击中的M，若Y<<M，就我赢，否则，你赢。

好的，再多说几句。假如连续统假设成立。实验的组织者可以把这个良序排成这样：对任意实数x，集合{r|r<<x}是可数的。同意吗？好，由于我们是独立投掷的，我可以假设我第一个投，我击中了M。现你轮到你投了，由于{r|r<M}是可数的，所以如果你击中的是Y，那么Y<<M的概率是1，即你赢的概率是1。但，我们的条件是完全对称的，所以相似讨论，我赢的概率也应该是1.但这是不可能的。结论：我们不到找到这样的良序，所以连续统假设是假命题。

是吧?别急，别太武断。要让上面的推理成立，我们假设了良序“<<”是可测的。但没有任何理由支持这个假设。所以，我们并没有证明连续统假设是一个假命题。但我们(或者Freiling)也不是要证明他是假命题。相反，我们是在找一些似是而非的理由，来找一个公理集合论体系来解决连续统假设。如果，你们公理集合集结看成一个构造集合的框架，这个框架为数学其它所有分支都提供一个构造集合的保守方法，那么，你可以用构造性公理。这时，连续统假设成立。但是，如果你认为数学是现实经验的抽象，且你认为Freiling的投标假想实验是直观、自然且“应该是对的”，那么你能承认的集合论中的公理就得让连续统假设是一个假命题。(或者，退一万步来讲，你的公理体系不能让连续统假设是真命题。)那我现在是观点是什么呢？恩，我还是在考虑一个支持构造性公理的论点。但我也发现Freiling的假想实难是宁人信服的。

所以，我的观点是，从直观的层面上考虑，肯定要让连续统假设是一个假命题。当一个数学家发现他在支持两个互相矛盾的命题的时候，他显然是当系主任或者院长太长时间了。是时候放弃职位而继续前进了。你知道吗？我这样做了。请注意我的联系地址已经变了。

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    市里发生一起凶杀案，警方断定：

1. 凶手是男性
2. 受害者是女性
3. 凶手做案之前有大量饮酒
4. 凶手用双手掐死了受害者

    受害者的丈夫在案发现前和受害者有过激烈争吵，并且案发时就在案发现场附近。由于是健美教练，有足够的手力掐死一名成年女生。并且，有很多案件，在夫妻发生激烈冲突后发生的。于是被控方锁定为重大嫌疑人。

    受害者的丈夫的律师却说：另外一个城市，也是相同情况，但受害人是被一个流窜作案的流动人员杀害的，所以现有证据无法证明嫌疑人就是凶手。

    当然，目前为止，也无法证明嫌疑人是凶手。

    所以，控辩双方都要继续找证据，来证明他们相要的结果。

    其实，数学公理就是“证据”。这种“证据”是一个要求人们先接受，而无需证明的一些命题。至于，为什么要接受，或是因为生活经验，或是因为某些实验结果，再或没有任何理由，反正先接受。但接受的东西之间不能有矛盾的地方。比如，下面一串的东西，不能看成公理。

1. 世界中存在两个人类小明和小红
2. 小明是男人
3. 小红是女人
4. 小明与小红是相同性别的
5. 男女是两个不同性别

    我们再来说一个数学的例子，高等代数中学过数域的定义，我们把这些定义的条件看成公理吧。一个实数子集$F$，满足就是下面几条公理，就称为数域(简单起见，我们只在实数上讨论)。

1. $1\in F$
2. 如果$a,b\in F$，则$a+b\in F$
3. 如果$a,b\in F$，则$ab\in F$
4. 如果$a,b∈F$，则$a-b\in F$
5. 如果$a,b∈F$，$b≠0$，则$a/b\in F$

    那么，对于一个数域$F$，由这几条公理(加上默认的一些公理，比如实数完备性的公理)，是否能推导出$x^2=2$在$F$上有解？我们说，不能，因为如果我们让$F$为有理数集的时候，有理数集是一个数域，但$x^2=2$无解。那能否推出$x²=2$无解呢，我们说也不能，因为如果我们让$F=R$时，在这个域上是有解的。

    于是，得到结论“代数方程$x^2=2$有解”这个命题，在数域公理体系下，是无法证明，也无法证伪的。于是这个$x^2=2$是否有解，与数域公理独立。

    通过上面的讨论，我们知道，我们要一个命题的证明独立性，有一个办法是，找两个模型，两个模型都满足所有公理的条件，但这个命题在其中一个模型里是真命题，在另外一个是假命题（比如前文中的有理数集和$R$）。

    我们都熟知的连续统假设与ZFC公理系统独立就是用这样的办法证明的。

    第一个找到让连续统假设是真命题模型是哥德尔，他利用了构造性公理。由于ZF和构造性公理一起还能顺便推出选择公理，于是他证明了连续统假设和ZFC是不矛盾的。

    找到另一个让连续统假设是假命题模型，要难得多。不过还是由科恩(P.J Cohen)找到了，找的过程中，他用了他本人发明的数学工具力迫法(Forcing)。于是，连续统假设与ZFC公理体系就独立了。由此，科恩获得了1966年的菲尔兹奖，也是唯一一个在数理逻辑领域的菲尔兹奖的获得者。

    最后补充一点，我们说公理就是“证据”。现代的公理代数学到底是哪些“证据”呢。这些证据被称为ZF公理体系。我这里列举一下，不过我全部用口语不严谨的列举(严谨的要用形式语言)。

1. 公理1 外延公理
   两个集合有相同的元素则两集合相等

2. 公理2 正规公理
   每个非空集合$x$ 都包含一个元素$y\in x$ ，使得$x$和$y$不相交。

3. 公理3 分类公理
   $x$是一个集合，$p$是一个描述集合的性质，则$\{ y\in x:~ p(y) \}$是一个集合

4. 公理4 配对公理
   $x,y$都是集合，则$\{x,y\}$也是集合。

5. 公理5 并集公理
   一簇集合的并，还是集合。

6. 公理6 替代公理模式
   一个集合被映射后，得到到的像还是一个集合。这个公理之所以称为模式，无穷多的映射，对同一个集和都能产生像，这些像都是集合。所以这其实无穷多条公理。

7. 公理7 无穷公理
   存在一个无限个元素的集合(所有自然数在一起是集合)。

8. 公理8 幂集公理
   一个集合的子集做元素，能形成一个集合。

上面8条就构成ZF公理体系，再加上下面的选择公理，就是ZFC公理体系。

9. 公理9 选择公理
   对一簇集合，我们可以每一个集合里抓出一个来，形成一个新集合。