2014年7月

韩国数学家大会纪念邮票

2014715日,韩国邮政发行2014国际数学家大会邮票一套3枚,面值分别为300300540韩元。整版包含5套邮票及3枚附票。邮票编号298829892990。由ShinJae-yong设计。三枚邮票的图案为数学界三个著名数学家,以及关于他们的数学成果。

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出现在面值300韩元,编号为2988的邮票上的人物是,毕达哥拉斯,对应的成果当然是他的关于直角三角形的“毕达哥拉斯定理”。


而另外一个300韩元面值,编号为2989的邮票上的人物是大名鼎鼎的欧拉,设计师在欧拉的众多成果中,选择了“哥尼斯堡七桥问题”展现于邮票之上。


本次发行的邮票最大面值为540韩元,这枚邮票纪念的是帕斯卡以及他发现的“帕斯卡三角形”。

 

 

哆嗒数学网的小编发现一个值得一提的地方,是关于毕达哥拉斯和帕斯卡的两枚邮票的。这两位的数学家的数学成果都有中国名字。“毕达哥拉斯定理”在中国的教材上,一般叫做“勾股定理”;而“帕斯卡三角形”在中国一般叫做“杨辉三角形”或“贾宪三角形”。

 国际数际数学家大会(International Congress of Mathematicians,简称ICM)每四年召开一届,有着“数学界的奥运会”之称。2014国际数学家大会将于2014813日至21日在韩国首尔举行。2014年的大会将有来自全球100个国家和地区的约5000名数学家参加,将是历史上规模最大的一次大会。

 本次大会将安排各种演讲和交流活动,以及数学电影节、数学体验等配套活动。最引人关注的演讲包括阿贝尔奖得主的演讲和世界上最赚钱的数学家——文艺复兴科技公司主席詹姆斯·西蒙(JamesSimons)的公开演讲。


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陶哲轩实分析教材的一个乌龙

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陶哲轩的确是一位大师,连写一本别人已经写了很多的实分析教材,也要写出自己思想,而拒绝抄写别人的东西。由于一切都需要自己动手,书中难免出现一些笔误,于是陶教授在他的博客上专门开辟了一个页面,来修订他的错误。

 这回哆嗒数学网的小编也找到了陶哲轩一个疏漏。这个疏漏出现在第231页,习题8.4.3,中文版的是在166页,同样也是习题8.4.3。问题是这样的:AB是集合,并且存在一个满射gB→A,用选择公理证明,存在一个单射fA→B…..反过来,证明如果上述命题对任意集合AB以及满射gB→A都成立,那么选择公理成立。疏漏就出现在那个反过来后面后的一系列文字。

 对于这样一个命题对任意(非空)集合AB,如果存在AB的满射,则存在BA的单射,这个命题是有一个名字的,叫做分类原理,英文叫做The Partition Principle,简称PP。显然,有一定数学基础的人都能看出,在选择公理成立的前提下,很容易证明分类原理是一个真命题,但反过来分类原理是否能推导出选择公理成立,这到目前还是一个公开问题,就是说这是数学界还没有解决的问题。而陶神在他写的教材的习题,恰恰是这个公开问题。

 当哆嗒数学网的小编把这个疏漏提到陶神的博客上的时候,陶神回复先是惊呼一个“Ooops”,然后说:我忘了加其它条件了!。能看出陶神的回复还是萌萌哒。不过陶教授的认真也能看出一斑,他立刻在他的修订页里添加了这个疏漏,说会在这个书的第三版中改掉。下面截图为证。



 在数学发展的历史里,的确有很多把一个没解决的问题,在不知情的情况下,当成练习题而解决的情况。这个问题会不因此成为又一个呢?


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打小就会算账的奥数冠军

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2014年第55届国际数学奥林匹克(IMO)中,中国队再次获得团体总分第一。来自上海中学的高一学生高继扬在此次IMO中发挥出色,成绩为满分,荣获金牌。而取得这样优异成绩的他,可是上海历史上第一位入选奥数国家集训队的初中生喔!

国际奥林匹克数学竞赛是世界上最高级别的数学竞赛,主要面向高中学生。要代表中国参加国际奥林匹克数学竞赛,必须先入选国家集训队,全国能入选的高中学生已是凤毛麟角,而当时还在还在华育中学初三(8)班读初中的高继扬却在2013年做到了。另外,哆嗒数学网的小编获知,高继扬因为在IMO的优异表现,已经保送北京大学。

优异的数学成绩

“我也没有想到自己会取得这样的成绩,可能很大程度上是靠运气。”高继扬自己这么说。可是一路过关斩将的背后,高继扬的成绩都好得惊人。他先是在2012年的高中数学联赛中,取得上海赛区一等奖,并入选参加中国高中数学冬令营的上海市代表队。随后在2013年1月的冬令营比赛中,即 2013年中国数学奥林匹克(CMO)比赛中,以102分的优异成绩获得金牌,从而入选国家集训队。“今年全国一共有61名学生入选,全是高二、高三的学生,我是唯一一名初中生。”同年3月份,他启程赴江阴开始国家集训队的集训。

超越老师的解题学霸

“小时候,我的数学成绩并不是特别好。其实我们班上,数学比我好的人多的是。”高继扬说,自己并非最优秀的学生,能够脱颖而出靠的是学校老师给的机会。高继扬口中的机会指的是,华育中学每届初三学生中,有一、两个学生可以去上海中学跟着高中生一起学习数学,每周2次。

在班主任季燕丽老师的眼中,高继扬好学,大部分的时间都在做题目。有一件小事让季老师印象深刻,“之前学校有一个孩子曾经入选过冬令营,当时学校为他办了个展览,高继扬每天都去看展出的那些奥数题目。”季燕丽说,高继扬的数学在学生中间算顶尖,“现在学校老师做数学题也做不过他。”

 

成功的秘诀:“天赋”+自觉+好心态

就是这样一位奥数“天才”,奥数上取得如此佳绩,高继扬的母亲王女士却告诉记者,孩子从来没有在外面参加过任何奥数辅导班。王女士说,在孩子学习问题上,自己管得很少,基本靠自觉。“高继扬喜欢自学,有什么问题都会自己去琢磨”。

不过,王女士坦言,自己的孩子在数学方面还是有些天赋,“他从小就对数学有感觉,4、5岁时数学就比较突出,去超市买东西,很快能算出价钱。”王女士说,那些与计算相关的益智类游戏,比如打牌、下棋,动手搭积木,一直是高继扬童年的最爱。


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美国学生拒上哈佛:因为课程太简单

作者:秦春化

原文地址:http://blog.sina.com.cn/s/blog_539c5bd20102uwxb.html

本文删节版发表于《光明日报》2014年7月1日第13版,题目为《何谓好大学》。


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世界上有许多大学,但真正能够称得上是好大学的并不多。在美国,对一所大学的最高评价,是说它是一所好大学。好在哪里呢?首先,学生愿意去。一所学校申请的学生越多,说明它在家长和学生心目中的地位越高。因此,许多大学把录取率——被录取学生占申请学生的比例——视为学校声誉的重要标准;其次,教授喜欢去。世界上的顶尖高手就那么多人,他(她)们到了哪所大学,就说明哪所大学的水平高。因此,每一所大学都使出浑身解数,千方百计吸引最优秀的教授加盟,同时,还要千方百计使自己的好教授不要被别人挖走。前一个还相对容易些,要做到后一点真的很难。不需要任何机构的评估和排名,这两条标准都在人们的心里。人们“用脚投票”,选择他(她)们喜欢的好大学。

在芝加哥大学的时候,我见到了一位去年刚刚入学的小朋友迈克。我问他为什么要选择芝加哥大学,因为他也同时拿到了哈佛等其他顶尖大学的入学通知书。他看了我一眼,似乎觉得我这个问题提得很奇怪。想了想之后说,因为芝大是好学校啊!这个答案显然不能令我满意——好学校多了去了,哈佛、斯坦福不也都是好学校吗?于是我接着追问:你说芝大好在哪里?迈克说,这里的人都很有趣。不像有些学校的学生,看上去就像家具——表面上挺好看,但都是一个模子里刻出来的。他有一位去了斯坦福大学的同学,就是这样很无趣的“家具”。我又问他,你也拿到了哈佛大学的入学通知书,为什么最后没有选择哈佛?迈克说,哈佛课程的难度和挑战性没有芝大的强。


这是一个典型的美国学生的选择。和中国学生不同,他没有根据名气去选择大学——在许多大学排行榜中,哈佛大学和斯坦福大学的排名都要比芝加哥大学高。他也没有根据城市去进行选择——波士顿和旧金山位于东西海岸,地理位置要比中部的芝加哥好得多。他甚至没有根据专业排名去选择。实际上,中国学生选择大学时主要考虑的就是学校的名气、所在的城市和专业,目的是为了将来的就业。但迈克选择学校的原因是有趣。这的确是芝大的特点。这所大学的有趣甚至达到了古怪的程度:它的入学申请要求就是无数怪诞不经的作文。从这个意义上说,迈克和芝大都选对了对方。


迈克的答案出乎我的意料。在我和大多数中国人的心目中,哈佛就是一所圣殿,只有它拒绝别人的份儿,怎么会有学生“傻”到不选择它?但在美国,学生并没有非哈佛不上的情结——许多人甚至不喜欢哈佛——这样的“傻”学生还真不少。一位住在波士顿的朋友的孩子,今年获得了耶鲁大学的优先录取通知书,最后很不情愿地在妈妈的逼迫下在报名截止的那一天申请了哈佛并被录取。他妈妈这样做的原因也不是因为和耶鲁相比哈佛更好或更有名气,只不过是因为哈佛离家近而已。


斯坦福大学同样是很多中国学生的梦想。2013年,申请斯坦福大学的学生人数达到了创纪录的38828人,其中华裔学生的申请数量增长很快。在很多美国教授看来,这样一所位于加州的大学,气候条件这样舒适,办学经费如此雄厚,理应成为最顶尖的大学才是。但在他(她)们的心目中,斯坦福大学似乎还没有达到这一目标。原因在于,他(她)们认为,斯坦福的工科色彩过于浓厚,与工商业和大公司的距离太近,虽然培养出了数量众多的亿万富翁,但却因为急功近利而变成了一所“失去灵魂的大学”。在美国高等教育界,人们往往把MIT比作猫,而把斯坦福比作老虎——猫曾经是老虎的师傅,斯坦福本身就是按照MIT模式创办的。今天,MIT的教师数量大约只有斯坦福的一半,办学基金只有斯坦福的三分之一,而且两校的专业高度重合,波士顿的夏天很热,冬天还有暴风雪,按理说,MIT的顶尖教授们还不都被斯坦福用重金和加州的阳光吸引过去?但事实上并没有,个中原因令人玩味。


在美国,芝加哥大学是一所很特别的大学。它所在的城市芝加哥,治安状况是出了名的差。在一些街区,人们大白天出门时身上至少也要带上20美元,用来应付抢劫,而且还不能只放在一个兜里——20美元是购买毒品的最低金额,多放几个兜是为了防止二次被抢——当然,由于学校投入了巨大力量加强安保,芝大校园内还是很安全的。近年来,美国资源大量地集中在东西两个海岸,再加上传统制造业的衰落,地处美国中部的芝加哥在经济上的活力和竞争力日渐消退,也由此产生了大量的社会问题。但即便如此,芝加哥大学仍然被认为是美国最好的大学之一。2013年,申请它的学生数量是30369人,录取率为8.81%


一所好的大学,一定是一所有灵魂的大学。有时候,卓越和有灵魂不一定是一回事。一所卓越的大学并不一定意味着它就是有灵魂的大学——在市场经济的驱动下,结论很可能恰好相反。曾在哈佛大学任教长达30多年的哈佛学院院长哈瑞·刘易斯写过一本发人深省的著作——《失去灵魂的卓越》,深刻分析了哈佛大学是如何在从一个教育机构蜕变成一个商业机构的过程中逐渐忘记了自己的教育宗旨的。在我看来,刘易斯所谈的“灵魂”,其实指的就是大学引领社会的思想。今天,当中国的大学越来越醉心于发表了多少多少篇SCI论文,获得了多少多少个奖项,引进了多少多少各种各样的计划中的人才时,却常常忘记了,当取得这些成就的同时,大学为人类社会,特别是为这个国家和民族贡献了多少有价值的思想?大学是否通过教师的教学活动改善和提高了学生的思想境界和价值观,并进而通过教师和学生的活动和言论引导和影响了社会的价值观?大学是否依然履行了作为大学之所以存在的教育责任?大学之所以为大学而非技能培训班,最根本的区别在于大学生产思想和有思想的人,这意味着大学必须要和社会保持一定的警惕性距离,必须要引领社会而不是被社会牵着鼻子走,更不应当盲目地迎合当下社会某些明显不理性的需求。当社会热的时候,大学反而应该冷一冷,甚至故意去浇两瓢凉水,哪怕会因为暂时的冷而丧失了某些所谓的“时机”。对于以百年计龄的大学来说,时机永远都是存在的,区别只在于当它来临的时候,大学是否已经做好了充足的准备。事实上,除了大学之外,没有任何机构能够承担起这样“冷眼旁观”的任务。因此,如果大学或主动或被动地放弃了自己的这一责任,社会就会因为失去思想上的源泉和动力而可能陷入停滞。


反之,一所有灵魂的大学一定是一所卓越的大学。芝加哥大学之所以被认为是好大学是因为它生产思想,也生产有思想的人,是美国最重要的思想家的汇集地,拥有80多位诺贝尔奖得主,在它最辉煌的时代,堪称群星璀璨,形成了在各个学科中著名的“芝加哥学派”。近年来,由于年事已高,众多大师一个个离世——去年是罗纳德·科斯,今年是加里·贝克尔——这是芝加哥大学最惨痛的损失。但这些大师们毕其一生所营建出来的精神传统,却像芝大图书馆门前的雕塑一般历久而弥新。


这是一所自由宽松的大学。在芝大,没有人要求教授一定要做出什么科研成果,但一定要上课。因此,系里某个教授半年见不着一面,没有人觉得奇怪。有的教授五六年不发表一篇文章,也很正常,没有人会去督促检查。每个人都很从容,很有耐心,彼此之间充满信心和信任。尤其是人文社会科学的教授,主要精力都用在了教书和写“传世之作”上,很少去花时间写一般意义上的学术论文,学校对此也无要求。科斯从1964年起任芝加哥大学教授,直至逝世。在他漫长的一生中,只写了为数不多的几篇文章,而且有些几乎不能被称作严格意义上的学术论文——至少形式上不“规范”——充其量只能算是学术随笔。然而,就凭这一两篇文章,科斯就建立了一个学科,开创了一个学派,并获得了诺贝尔经济学奖。今天,全世界的经济学家都在研究、讨论、引用他的“交易费用”概念,虽然绝大多数人都不明白这个概念到底指的是什么。奥巴马在芝大法学院任教的12年里,也没有发表任何学术成果。然而,正是在这样一所对教授几乎没有要求的大学,却产生了费米、萨缪尔森、弗里德曼、哈耶克、杜威、亨廷顿、波斯纳,以及周培源、吴阶平、叶企孙,等等,数也数不清的思想家和人类文明史上的大师。据说,在芝大经济系流传着一个笑话:如果允许芝加哥大学独立建国的话,那么该国将成为仅次于美国的诺贝尔经济学奖得主第二大国。


这是一所民主平等的大学,实现了真正的“教授治校”。在芝大,一个教授的影响力有时候要比校长大得多。校长决心要干的事情,如果教授们坚决反对的话,一定做不成;反过来,教授们支持的事情,校长即使持反对意见,多数情况下却能做得成。我曾问过芝大的一位教授,为什么他喜欢这里而不去别的大学,即使别的大学所提供的条件要优厚得多。他告诉我,在芝大,是多数人统治少数人,但在很多大学——包括那些被认为是最顶尖的大学——里,则是少数人统治多数人。这是芝大有别于其他大学的最关键的地方,也是它无可替代的魅力所在。也许从芝加哥大学的办学风格中,我们可以窥见到好大学的一丝真谛。做到了这些也就成为了真正意义上的好大学。这也许正是中国大学应当为之努力的方向。


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最坑爹的数学题点评

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几千年以来,人类在研究数学的过程中,提出并解决了很多难题。有些数学难题不仅玩坏了很多研究者,其解决的过程或结果也让人觉得十分坑爹。哆嗒数学网小编就在这里列举Top5给大家看看。

 

第五名  古西腊三大几何难题

 这是三个尺规作图题,即只使用圆规和没有刻度的直尺作出下面的东西:

1、  立方倍积:求作一立方体的边,使该立方体的体积为给定立方体的两倍

2、  化圆为方:作一正方形,使其与一给定的圆面积相等

3、  三等分角:分一个给定的任意角为三个相等的部分

 

解决:

问题提出大约在公元前400年,直到1830年开始,这三个问题才陆续解决,历经两千多年。化圆为方问题在林德曼证明π是超越数后解决。后两个则是要利用伽罗华的抽象代数理论,而这个理论在刚出炉时,柏松大牛的评语是:“完全不能理解”。而最后的结论,则是“没有结果的结果”——没有任何作图办法完成上面三个中的任何一个,它们都是作图不能问题。

 

第四名  五次方程求根公式

 我们从初中开始就开始学习二次方程ax²+bx+c=0的求根公式。先求判别式Δ,然后对Δ进行讨论,得到方程的根,于是二次方式的求根公式就得到了。其实数学也经过了长期的研究,得到了三次及四次方程的求根公式。而对于五次方程ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f=0,却一直没找到求根公式。

 解决:

一个叫阿贝尔的数学家在他21岁那年发现,五次方程求根公式是不存在的(又是坑爹的不存在)。他把他的结果印成了小册子进行了分发。据说高斯和柯西两位大数学家都得到了过这个小册子,高斯没认真看,因他觉得阿贝尔不可能解决作为“数学王子”的他都没办法解决的问题,而柯西连看都没看就把小册子当废纸扔了。后来,因为一直没得到认可,贫病交加的阿贝尔27岁时在绝望中死去。这位有如此重大发现的数学家,生前最大的理想是成为一所大学的讲师,而这个愿望到死也没能实现。

 

第三名 四色定理

 四色定理的通俗版本是:“任意一个无飞地的地图都可以用四种颜色染色,使得没有两个相邻国家染的颜色相同。”这最初是由法兰西斯·古德里在1852年提出的猜想。当然,作为一个数学定理,四色定理有着更为严谨的数学叙述,是关于拓扑或者图论,这里就不细述了。

 解决:

四色猜想刚提出时,并不被数学家们重视,比如哈密顿就说“不会尝试解决这个四色问题”。后来在德·摩根的不断推动下,才开始进入数学家们的视野。历史上,曾有一个叫肯普的伦敦律师声名证明了这个猜想,他的证明几乎已经得到了学界的承认,甚至已经得到《自然》杂志的确认。对于一个非专业人士解决的问题,人们开始认为他不难。那个时候,有一所大学给学生留下的习题是“证明四色猜想,且不得超过一页纸的文字,30行算式以及一页纸的图”。而剧情的反转在证明公开的11年后,有人发现了肯普证明无法修补的错误,而使四色猜想重新成为公开问题。1975年,经过IBM360电脑夜以继日近两个月,1200小时的验证,四色猜想被证明,成为四色定理。回想一下那个30行的要求,哆嗒数学网的小编只想说,写作业的学生们,你们还好吗?

 

第二名 连续统假设

 康托尔创立集合论的同时,也发明了一种比较无穷集合元素个数多少的方法。他把无穷集合中的元素个数叫做基数。他研究了很多无穷集合的基数,发现自然数、整数、有理数、整系数方程等等,它们的基数都是一样多的,而实数、无理数、复数、三维空间中的点,它们也是一样多的,而且比自然数要多。他所发现的所有集合,它们的个数都不会在自然数的基数和实数基数之间。于是他猜想:没有一个集合,它的基数在自然数基数和实数基数之间,这就是连续统假设。

 解决:

康托尔为这个猜想几乎耗费了一生,他几次声称证明了连续统假设,但都发现自己的错误又将其声明收回。康托尔后来产生精神问题不知道和这个猜想的证明的有没有关系。问题在1963年终于有了个结论:连续统假设在数学家公认的ZFC公理系统下,即不能证明是真命题,也不能证明是假命题。而在康托尔那个年代,还没有公理化集论的概念,也就是说他的年代是无论如何也解决不了的。

 

第一名  费马大定理

 Xn+Yn=Zn这个方程,在n大于2的时候没有正整数解!这就是费马大定理。

 解决:

费马是在1637年阅读一本书时,在书中写注解时留下这个猜想的,同时,他还写道:对此定理,我有一个美妙的证明,但因书中空白太小写不下。这让痴迷数学的研究者们,对于这个空白充满了好奇和不甘。问题终于在300多年后的1995年被英国数学家怀尔斯证明。证明过程用到模型式等,在费马年代根本没有方法。怀尔斯证明的第一稿用了300多页,在修改精简后,缩至100多页,发表于数学最顶级的杂志《数学年刊》。有人感慨,那个空白的事,简直就是费马挖下的大坑啊。


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发现数学中鬼魂的人

 

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经过许多人多年的努力,终于在17世纪晚期,形成了无穷小演算──微积分这门学科。牛顿被公认为微积分的奠基者之一。由于运算的完整性和应用的广泛性,微积分成为解决问题的重要工具。

 

同时,关于微积分基础的问题也越来越严重。大部问题都指向微积分的基础--极限。其实就是对无穷小量的质疑。

 

据说牛顿在计算自由落体瞬时速度的时候是这样做的。在t时刻和t+Δ t的物体的位移就分别是gt²/2和g(t+Δ t)²/2,于是这段时间内的变化就是两个相减,得到这断时间内的位移变化就是gtΔ t+Δ t²/2,除以时间变化Δ t就是平均速度gt +Δ t/2。最后牛顿说,因为是时间是瞬间的,所以Δ t可以认为是零,于是瞬时速度就是gt。

 

一个叫贝克莱(Berkeley)的主教发现上面的推理有严重的问题。由历史原因,我们也许对反对科学家的宗教人士天生不怀好感,但这里要说的是,这个贝克莱主教其实并分等闲之辈。贝克莱是十八世纪最著名的哲学家之一,英国近代经验主义的三大代表人物中的一个。美国加州的伯克利市也是用他的名字命名的(加州大学伯克利分校的数学也是相当牛的)。他问:“这个Δ t到底是什么,是不是零?”,他继续说到:“如果Δ t是零,那么在求平均速度的时候就不能当被除数; 如果他不是零,最后不能随便消掉。无论怎么样,都是说不通的!”,最后贝克莱还补充:“难道这个Δ t是一个鬼魂?”。

 

 

哆嗒数学网的小编认为:无论贝克莱出于什么目的来攻击牛顿的微积分,但不得不承认的贝克莱的攻击是切中要害的。以当时的数学发展水平,也是说不清那个Δ t的。贝克莱的上述表述被冠以“贝克莱悖论”的名称,而这个“悖论”导致了一次关于数学基础可靠性的危机,史称“第二次数学危机”。

 

150年后,波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄利克雷等人的开始工作,中间经历了50多年,直到魏尔斯特拉斯、戴德金和康托尔的工作结束,才基本上解决了“贝尔莱悖论”,为微积分奠定了严格的基础。解决的终极方案就是我们高等数学书上常见的ε-δ语言,对初学者来讲,它晦涩难懂,但的确是数学家近200年的结晶。我们感谢这些为数学基础做出贡献的人!当然,也要感谢贝克莱,哪怕他的贡献是那么的间接。

 

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中美俄包揽前四-2014第55届国际数学奥林匹克(IMO)成绩揭晓

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2014第55届国际数学奥林匹克成绩(IMO)在久前揭晓,中国队再次获得团体总分第一,成绩是201分,也是唯一一支总分超过200分的队伍。美国、中国台湾、俄罗斯分获总分第二、三、四名,成绩分别为193分、192分、191分。值得注意的是,中国台湾的第三名是该地区参加IMO以来的最好成绩。


从奖牌成绩来看:中国与美国获得5金1银、俄罗斯获得4金两银,而中国台湾获得4金两铜。
中国还有两个地区派队参赛。中国香港以4银两铜143分成绩列18位。澳门获得2铜74分,名列62位。

2014第55届国际数学奥林匹克在南非开普敦举行,共有101个国家的560名选手参赛(其中女选手56名)。选手在参赛期间将做6道数学题,每题7分,满分42分。其中获得29分及以上的参赛者将获金牌,22分及以上获银牌,16分及以上获铜牌。本届比赛,分别有49名、113名、133名选手获得金、银、铜牌。


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2014第55届国际数学奥林匹克(IMO)真题官方中文版(全6题完整高清版)

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第一天


$\textbf{第1题}$

设$a_0<a_1<a_2<\cdots$是一个无穷正整数列,

证明:存在唯一的整数$n\ge1$使得:$a_n<\frac{a_0+a_1+\cdots+a_n}{n}\le a_{n+1}$


$\textbf{第2题}$

设$n\ge2$是一个整数.考虑由$n^2$个单位正方形组成的$n\times n$棋盘.一种放置$n$个棋子“车”的方案被称为是和平的.如果每一行和每一列上都恰好有一个“车”.求最大的正整数$k$,使得对任何一种和平放置$n$个“车”的方案,都存在一个$k\times k$的正方形,它的$k^2$个单位正方形里都没有“车”.


$\textbf{第3题}$

在凸四边形$ABCD$中$\angle ABC=\angle CDA=90^{\circ}$.点$H$是$A$向$BD$引的垂线的垂足.点$S$和点$T$分别在边$AB$和边$AD$上,使得$H$在三角形$SCT$内部,且:$\angle CHS-\angle CSB=90^{\circ},\angle THC-\angle DTC=90^{\circ}$

证明:直线$BD$和三角形$TSH$的外接圆相切.


第二天


$\textbf{第4题}$
点$P$和$Q$在锐角三角形$ABC$的边$BC$上,满足$\angle PAB=\angle BCA$且$\angle CAQ=\angle ABC$.点$M$和$N$分别在直线$AP$和$AQ$上,使得$P$是$AM$的中点,$Q$是$CN$的中点.
证明:直线$BM$和$CN$的交点在三角形$ABC$的外接圆上.

$\textbf{第5题}$
对每一个正整数$n$,开普敦银行都发行面值为$\frac{1}{n}$的硬币.给定总额不超过$99+\frac{1}{2}$的有限多个这样的硬币(面值不必两两不同),证明可以把他们分为至多100组,使得每一组中硬币面值之和最多是1.

$\textbf{第6题}$
平面上的一族直线被称为是处于一般位置的,如果其中没有两条直线平行,没有三条直线共点.一族处于一般位置的直线把平面分割成若干区域,我们把其中面积有限的区域称为这族直线的有限区域.

证明: 对于充分大的$n$和任意处于一般位置的$n$条直线,我们都可以把其中至少$\sqrt{n}$条直线染成蓝色,使得每一个有限区域的边界都不全是蓝色的.

注:如果你的答卷上证明的是$c\sqrt{n}$(而不是$\sqrt{n}$),那么将会根据常数$c$的值给分.


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无限不循环的无理数其实很逗比

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圆周率$\pi$是一个我们既熟悉又陌生的无理数。作为一个常见的数学常数,当它以小数形式展现的时候——3.14159265358979323846......,你又能记得它多少位数字?

它是无限不循环的无理数,当它们以小数形式展开的时候,你能告诉我它小数点后的前1万位,前10万位,或者第100万位数分别是多少吗?

不过,有了计算机,我们可以编写一个程序,在时间允许情况下,无论你想知道$\pi$小数点后多少位的数字,利用这个程序,我们都能把它们呈现在你眼前。

 

 

不仅是$\pi$,像$\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$,自然对数底$e$等等,这些熟知的无理数,我们都能编写一个程序,来呈现他们的小数的展开的数字。

那么,有一个问题,对任意的无理数,我们都能编写一个计算机程序,把这个无理数的小数位全部展开出来吗?

答案是:不能!

这要从可数,不可数来说起。且听哆嗒数学网的小编们慢慢道来。

一个集合可数的意思是说,他能被自然数“编号”写成:a1,a2,a3,...,an,....这样的形式。数学上已经证明,有理数是可数的,而无理数是不可数的。

我们怎么写一个计算机的程序呢?一般来讲,我们会用一个键盘敲打出来。键盘上只有有限多个键(一般的键盘只有100多个键吧),这意味着每次敲击键盘,只有有限多个可能的符号被打出来,这些符号可能是英文字母,数字,括号,空格,换行符等等。而程序无论有多复杂,它总有写完的时候,于是哪怕是100亿行代码的程序,它也是由有限多个符号组成的。

因为上述原因,数学上也可证明,能写出的程序只有可数多个!

所有的计算机程序可数,而无理数不可数。于是一定有一个无理数,无法用计算机把它的小数位展开!

那么,能确切的告诉我,哪一个无理数的小数位不能用计算机程序展开吗?

还真有人找到了一个数,也和计算机的程序有关。1975年,一个叫蔡廷的计算机科学家研究了一个有意思的问题:在给定的编程语言中,随机输入一段代码,这段代码能成功运行,并且在有限时间内运行完毕的概率是多少?当然,数学家描述这个问题会用更严格的语言。在严格的表述下,这样的概率是存在的且是确定的一个常数。这个常数叫做蔡廷常数。这个蔡廷常数是一个确定的数,但数学上已经证明,它无法用程序展开。

一个实数是确定的,但无法用某个程式展开。听起来,好像很逗比。但这就是数学神奇的地方!

 

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陶哲轩:奥数改变人的一生--写在国际数学奥林匹克开幕之际

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7月3日,第55届国际数学奥林匹克(IMO)在南非开普敦开幕。这次IMO将有100多个国家和地区派队参加,覆盖全球90%以上的人口。并且IMO受到了南非教育部和科技部的支持。


在国内媒体对奥数教育口诛笔伐的环境下,IMO却不断受到其它国家的重视。在韩国宣传国际数学家大会的视频上,韩国获得2012年IMO金牌也成了他们国家的数学成果,着重宣传。另外,还不断有数学界的大人物公开支持IMO,其中一人就是陶哲轩。


关注IMO官网的人或许和哆嗒数学网的小编一样,已经发现在该官网首页,已经在醒目位置“骄傲的宣布”:“陶哲轩成为IMO基金会赞助者”。陶哲轩其实和IMO颇有渊源,三次参赛,分别获得铜牌、银牌、金牌,至今保持着最年青获得IMO金牌的记录(那年陶12岁)。


 “我对参加国际数学奥林匹克竞赛有着非常美好的回忆。”,陶哲轩教授说,“和其它任何学校的运动会一样,在IMO有一群有着差不多能力与好爱的人在一起狂热的进行比拼。我强烈推荐这个赛事给每一位高中生,因为它也是一个全国性和国际性的旅行机会。参加IMO可能是一位有天赋青年数学家改变一生的事件。因此,我将全身心的支持国际数学奥林匹克基金会。”


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