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今天介绍一个在国外某著名视频网站上有60万点击的音乐视频。视频展现了一位亚裔女孩在数学考试前的精神状态。歌曲的原曲调来自“火星哥”布鲁诺·马尔斯的《懒汉之歌》(THE LAZY SONG)，歌词也模仿了不少,很有意思。


Girl:come in
进吧！
Mom:  Kim,it's time to go to bed.what have you been studying for?
Kim，该睡了，你还在学习什么？
Girl: Maths, I don't know what I'm gonna do. I'm not going to get it.
数学，我不知道做什么，我得不到答案。
Mom:  Don't worry,honey, it'll come to you.
别担心，宝贝，答案会有的。
Girl: I am so worried about my test.
我好担心我的考试。
Mom:  Don't worry honey, just sleep on it
别担心，宝贝，明天再说吧。
Girl: Ok, good night.
好吧，晚安。




歌词

Today I don’t feel like doing anything
今天我什么都不想干
I just wanna focus on math
只想专注于数学
Domain and range and rate of change
定义域、值域还有变化率
It all makes me go insane
这一切让我疯掉了

Today I don’t feel like doing anything
今天我什么都不想干
Now let’s sketch graphs
那我们就来画函数图象吧
Try to figure out how to represent relation
试着弄清关系的表达
Ordered pairs and table are the destination
做出有序对和表格是我们的目标
Learn about this function notation
了解这个函数符号
I’ll be graphing linier functions
我来画线性函数图象
And interpreting relations
和表示函数关系
Did you know that y=mx+b?
y=mx+b你懂了吗？
So in my math class, I’ll get good grades
所以我的数学课，我能得到好成绩

Oh yes, I know, I know
噢，是的，我懂了，我懂了
I said it cause I know
我那样说，因为我懂了
Today I don’t feel like doing anything
今天我什么都不想干
I just wanna focus on math
只想专注于数学
Domain and range and rate of change
定义域、值域还有变化率
It all makes me go insane
这一切让我疯掉了

Today I don’t feel like doing anything
今天我什么都不想干
Now let’s sketch graphs
那我们就来画函数图象吧
Gonna ace my test and stop all that slacking
绝不懈怠，通关考试。
And I’m gonna scream out “I did great!”
然后尖叫着说：“我做得很好！”
I’m gonna walk around
我还四处奔走
And show all my friends
向我所有的朋友秀成绩
I bet my old man will be so proud of me
我打赌我的老爸会以我为荣
Don’t worry pops , I’ll keep doing great
不过，老爹您别担心，我会继续保持的。
Oh yes I aced it, I aced it
噢，是的。我通过了，我通过了！

I aced it cause I can
我通过了，因为我能！

Today I don’t feel like doing anything
今天我什么都不想干
I just wanna focus on math
只想专注于数学
Domain and range and rate of change
定义域、值域还有变化率
It all makes me go insane
这一切让我疯掉了

Today I don’t feel like doing anything
今天我什么都不想干
Now let’s sketch graphs
那我们就来画函数图象吧
Oh，I know all the definitions
噢，我知道了所有的定义
And I know what a function is
还知道函数是什么
One element of the domain
定义域中的一个元素
Goes with the range
映射到值域
There are different types of variables
有不同类型的变量
The dependent and independent
相关和不相关的
The relationship between
有关系存在于
Two sets of things
两个集合之间

Today I don’t feel like doing anything
今天我什么都不想干
I just wanna focus on math
只想专注于数学
Domain and range and rate of change
定义域、值域还有变化率
It all makes me go insane
这一切让我疯掉了

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今天我什么都不想干
Now let’s sketch graphs
那我们就来画函数图象吧

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导读语： 近十几年来，给数学猜想玩百万级悬赏似乎成了一种时尚。先有2000年3月Faber为哥德巴赫猜想给出100万美元悬赏，要求人类尽快把猜想两字改成定理。然后克雷研究所紧随其后，在5月悬赏700万美元，给出包括黎曼猜想、庞加莱猜想在内的7个问题的悬赏，每个100万，俗称“千禧年问题”。2013年，美国数学会发布消息，比尔猜想悬赏也提高到了100万美元。除了具体的数学问题的悬赏，对数家本身也进行百万级悬赏表彰。2002年，邵逸夫数学奖100万美元。2014年，科学突破数学奖300万美元。虽然数学家们并不以追逐奖金为数学研究的动力，但俗话说，重赏之下必有勇夫，在高额奖金刺激下，一定会有更多人投入到数学研究的行列中的。比如说比尔猜想，在没有100万的刺激之前，关注度定不会像现在这样高的。

然后，还有一些数学猜想，表述简单，但难度极大，几十年没有解决。这些问题，有的没有公开的悬赏，有的即使有悬赏，赏金也没有达到100万美元之巨。但这些问题，在很多人心目中，同样值100万美元。

这是哆嗒数学网《被人忽略的“穷”猜想》系列第四篇：沙努尔猜想。


沙努尔猜想(Schanuel’s Conjecture)其实是超越数论中最基本最前沿的问题之一。这个猜想其实并没有被“忽略”过。在2009年5月由科学出版社出版的《10000个科学难题•数学卷》中也有专门的介绍。这里把他写出来还是因为他“穷”。沙努尔其实提出了两个猜想，一个是猜想本身，一个是沙努尔猜想的逆猜想，各自悬赏1000美元，共2000美元。


本文只介绍猜想本身，它已经足够难了。


我们先来回忆两个高等代数中的内容。对于$n$个复数$z_1,z_2,…,z_n$,如果不存在不全为零的有理数$q_1,q_2,…,q_n$,使得$q_1\cdot z_1 + q_2\cdot z_2 + … + q_n\cdot z_n = 0$，我们说$z_1,z_2,…,z_n$在有理数域上线性独立。比如，我们可以证明$1$和$1/2$不是线性独立的，只需要取$q_1=1,q_2=-2$就行。而$1$和$π$是线性独立的，因为π是无理数。另外一个概念，对于$n$个复数$z_1,z_2,…,z_n$,如果不存在一个有理系数的$n$元非零多项式$P$，使得$P(z_1,z_2,…,z_n)=0$，我们说$z_1,z_2,…,z_n$在有理数域上代数独立。比如$1$和$π$不是代数独立的，我们可令$P(x,y)=1-x$，于是$P(1,π)=0$。而只有一个$π$它本身是代数独立的，因为$π$是超越数。


沙努尔猜想说：对于$n$个在有理数域上线性独立复数$z_1,z_2,…,z_n$,,它们和$e^{z_1},e^{z_2},…,e^{z_n}$组成的$2n$个复数中，最少有$n$个是在有理数域上代数独立的。


关于这个猜想的一个有趣的特例。当$n=2$时，令$z_1=1,z_2=πi$，由欧拉公式$e^{πi} + 1 = 0$，沙努尔猜想能推出$e$和$π$是代数独立的。就是这样一个特殊情况，人们也还没有证明。实际上，现在我们对这两个最常使用的无理数四则运算后的结果知道的并不多，连$e+π$和$e/π$是有理数还是无理数都还不知道。

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去年，随着其成果的公布，张益唐登上了数学的主舞台。他发现的定理被誉为“素数分布研究领域里程碑式的定理”。这位华裔学者所做的工作，使得孪生素数猜想这一最古老数论问题的研究有了重大进展。他的一如既往与坚持让他战胜了在该领域其他专家没有的困难。他已经58岁，但在他成果公之于众之前却默默无闻。北大研究生毕业，并在1991年在美国普渡大学完成博士学业。在新罕布什尔大学找到了一份讲师的工作之前，有很长一段时间没有一份稳定的学术工作。现在，张益唐已经是学院的教授了。

 

在2014年韩国首尔国际数学家大会期间，张益唐在接受了一次采访时说，他乐观的天性和对数学热爱帮助他度过了艰难的岁月。采访是在星期二韩国首尔COEX中心，由牛津大学的数学教授Minhyong Kim 主持进行的。（注本文由哆嗒数学网翻译自2014国际数学家大会《Math & Presso》，因水平有限，有不足之足，望得指正）

 

问：跟我们谈谈，在你的发现之后，孪生素数猜想的进展吧。

张益唐：2013年五月，我收到来自一家普林斯顿杂志的一封邮件，问我是否能宣传我的事。然后，数学界的所有人都知道那些事了。那时，我说素数间隔小于7000万，到了现在，我所知道的，经过一年多一点时间，素数间隔已经缩小到了252。（随后，他又更正为246）。

 

问：在你的启发下，很多数学家一起加入Polymath项目来缩小素数间隔，并取得重大进展。对此，有何看法？

张益唐：要证明孪生素数猜想，最终的目标是要把素数间隔缩小到2。我去年刚得到这个结果的时候，我就意识到它非常有可能缩小到小于7000万。但那个时候，我没有计算机程序，不能做大量计算。我发表了我的论文，我认为他已经足够好了。我没有预料到素数间隔会以这种方式被缩小，但我明白它在将来一起会被缩小的。报道我工作的记者们说，证明这样一个常数的存在性已经是了不起的成就了。如果我能给出这样一个数，而我的确给出了这样一个数，我想已经足够了。

 

问：你是如何启动对孪生素数猜想的研究的？

张益唐：我喜欢关注数学里的主要进展。2005年，三位数学家（Goldston，Pintz和Yildirim）进行了一次学术演讲,展示他们对证明孪生素数猜想所取得的重大进展。虽然，他们没有得到一个有限的素数间隔，但他们的结果离得到一个有限值已经很接近了。2005年11月，在加州理工学院举行了一个专题讨论会，想要得到这个有限素数间隔。几年之后，他们发现了一个无法逾越的关系性困难。我进入这个问题要晚一些，大约是在2007年或者2008年。我读一篇文章，文章里有提到这个问题的的进展，其它人做了什么以及有哪些主要问题需要我们解决。于是，我开始了对这个问题的研究，并用各种办法对它进行思考。你可能都听说过这个事了，2012年7月，我正在科罗拉多的朋友家休假的时候，我找到了这个问题的解决办法。我只是利用我这些年积累的知识，尽我所能，做到了我能做的事。你也许会说，那只是你一时的灵感，但我知道我能做到。

 

问：你很多年不在主流的数学圈子了。你是如何完成这个一个壮举的？

张益唐：对我来讲，我认为那并不难。就算在我去新罕布什尔大学之前，我也一直操持着对数学问题的思考。有些时候，我也会一所大学里，到它们的图书馆里去查阅一些论文。就算在那些时候，我也总是在做一些数学相关的事。所以，当我来到新罕布什尔大学的时候，我已经能很快发表一篇论文了。我没有完全离开过数学。我真的是热爱数学。这是最重要的。我知道如何坚持。这是我的基本品格。

 

问：你是否认为在做日常的数学和做难度更大的长周期项目之间找到一个平衡点是件重要的事。你是如考虑协调它们的办法的。

张益唐：如果要我给其它搞数学的人，尤其是年轻人建议的话，那我的建议是：“我不是学习的榜样。”我的情况非常特殊，我酷爱挑战各种问题。而且不喜欢做小问题。但是，如果我需要给其它人建议的话，我会说你同样需要做一些短周期的小问题。你得发表论文，否则你可能找不到工作，可能没有邀请，以及其它别的什么事。但有一件事，我得说明，平时做短周期的小问题，但要保持对长周期大问题的关注。这很重要，至少要关注，而且要关心那些有重大意义的问题。

 

问：有一种观念是说数学是年青人的游戏，而你是一个很好的反面例子。你有试图刻意的去反驳这种观念吗？

张益唐：因为年轻人脑子好身体棒，所以数学应该年轻人来做。虽然我身体是老了，但我感到自己还年轻。现在的生活条件比以前好多了。中国有句古诗说，人活七十古来稀。但现在并非如此。我对自己说，我真的依然保持着青春。如果你能在心理上保持年轻，你就能像年轻人一样思考。拥有梦想不是年轻人的专利。今年春天，我见到了高等研究院的著名数学家Bombieri，他已经70多岁了，好像是74岁（Bombieri实际上73岁）。他每天都去办公室，一直在研究黎曼假设。

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张益唐——美国新罕布什尔大学华裔数学家——又获奖了！这回是麦克阿瑟奖！

麦克阿瑟奖，很多媒体称它为“天才”奖，创设于1981年，旨在表彰社会上在各自领域彰显出非凡创造力和奉献精神的“天才”（talented individual）。每年选出20到40人的获奖者。获奖者可以得到62.5万美元奖金。和一些别的奖要求奖金用于科研用途不同的是，这个奖金完全归个人支配，没有任何使用限制的。


张益唐，这回是因为他对素数间隔的研究而获奖的。他第一次给出了这个间隔一个有限的上界，是一个古老数论猜想“孪生素数”猜想的重大进展。

张益唐的科研经历也堪称传奇。他分别于1982年和1984年在中国的北京大学获得学士和硕士学，然后在1991年获得美国普渡大学博士。他干了很多工作，比如会计员、快递员。就算1999年到了新罕布什尔大学工作，也是长期当讲师。成为教授也只是最近事，这时，已经58岁了。

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导读语： 近十几年来，给数学猜想玩百万级悬赏似乎成了一种时尚。先有2000年3月Faber为哥德巴赫猜想给出100万美元悬赏，要求人类尽快把猜想两字改成定理。然后克雷研究所紧随其后，在5月悬赏700万美元，给出包括黎曼猜想、庞加莱猜想在内的7个问题的悬赏，每个100万，俗称“千禧年问题”。2013年，美国数学会发布消息，比尔猜想悬赏也提高到了100万美元。除了具体的数学问题的悬赏，对数家本身也进行百万级悬赏表彰。2002年，邵逸夫数学奖100万美元。2014年，科学突破数学奖300万美元。虽然数学家们并不以追逐奖金为数学研究的动力，但俗话说，重赏之下必有勇夫，在高额奖金刺激下，一定会有更多人投入到数学研究的行列中的。比如说比尔猜想，在没有100万的刺激之前，关注度定不会像现在这样高的。

然后，还有一些数学猜想，表述简单，但难度极大，几十年没有解决。这些问题，有的没有公开的悬赏，有的即使有悬赏，赏金也没有达到100万美元之巨。但这些问题，在很多人心目中，同样值100万美元。

这是哆嗒数学网《被人忽略的“穷”猜想》系列第三篇：箱式乘积问题。


学过拓扑的同学都知道，对于实数集的可数无穷笛尔卡乘积$R^ω$的拓扑有两种生成方式。第一种，也是最常用的，叫做吉洪诺夫(Tychonov)乘积，就是取所有形如有限个开区间与剩下无限个R做笛尔卡乘积来生成拓扑空间。这样，好处是可以保持很多有限乘积拓扑的性质。另外一种做法，虽然不常用，但想法却很自然，就是用所有开区间做笛尔卡乘积来生成拓扑空间。这个叫做箱式乘积(Box Product)，生成的拓扑叫做箱式拓扑(Box Topology)。箱式拓扑，一般大家不太喜欢因为很多性质不太好。比如说紧空间的乘积可能不紧，$R^ω$甚至都不可能成为度量空间。


虽然不太喜欢，但我们可以提问。箱式乘积问题(The Box Product Problem)是问：实数集的可数无穷箱式乘积是否是正规空间。即对其中任意两个不相交的闭集，是否存在分离它们的开集。


如果把可数的条件换成不可数在1994年被证明不是正规空间。而可数无穷的情况，在那之前的20多年前的1972年，在承认连续统假设的情况下，证明了猜想是成立的。但这不是大家想要的结果，但最少说明猜想本身一定不是假命题。现在只剩两种可能，要么猜想真成立，要么猜想是不可判定的命题。如果是后者，从以往的情况来看，问题将会变成非常麻烦。


纽约州立大学水牛城分校的教授Scott W. Williams给这个问题的悬赏是42美元。问题提出已经过了三、四十年了，上网查了查，没有查到这个奖金是否一直没变过……

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导读语： 近十几年来，给数学猜想玩百万级悬赏似乎成了一种时尚。先有2000年3月Faber为哥德巴赫猜想给出100万美元悬赏，要求人类尽快把猜想两字改成定理。然后克雷研究所紧随其后，在5月悬赏700万美元，给出包括黎曼猜想、庞加莱猜想在内的7个问题的悬赏，每个100万，俗称“千禧年问题”。2013年，美国数学会发布消息，比尔猜想悬赏也提高到了100万美元。除了具体的数学问题的悬赏，对数家本身也进行百万级悬赏表彰。2002年，邵逸夫数学奖100万美元。2014年，科学突破数学奖300万美元。虽然数学家们并不以追逐奖金为数学研究的动力，但俗话说，重赏之下必有勇夫，在高额奖金刺激下，一定会有更多人投入到数学研究的行列中的。比如说比尔猜想，在没有100万的刺激之前，关注度定不会像现在这样高的。

然后，还有一些数学猜想，表述简单，但难度极大，几十年没有解决。这些问题，有的没有公开的悬赏，有的即使有悬赏，赏金也没有达到100万美元之巨。但这些问题，在很多人心目中，同样值100万美元。

这是哆嗒数学网《被人忽略的“穷”猜想》系列第二篇：柯拉柯斯基序列问题。


我们来看下面这个只由“1”和“2”组成的字符串：
 
“122112122122112112212112122112112122122112122121121122122112”


我们把上面那个字符串中，连续出现最长的相同数字的那部分，叫做这个字符串的一节，那以这个字符串就由很多节组成。从左往右数，第一节是“1”，由1个“1”组成，第二节是”22”，由2个“2”组成，第三节是“11”，由2个“1”组成，第四节是“1”，由1个“1”组成，等等。我们再做一件事，从左往右开始，把每一节里组成数字的个数写出来，拼成一个新的字符串，你会得到：第一个数字是1，第二数字是2，第三个数字是2，第四个数字是1，第五数字是1，第六个数字是2……。拼在一起，”12211212212211211…”。太坑了！居然和原来的那个的前面的部分一模一样！


实际上，我们可以做出一个无限长的“字符串”。这个“字符串”只由“1”和“2”组成，并且按上面的办法，把每一节的个数写出来拼成一个新的无限长的“字符串”，两个字符串是一模一样的！如果，这时我们还规定“字符串”的第一个字符是是“1”的话，这个字符串还是唯一确定的。这个唯一确定的“字符串”就叫做柯拉柯斯基序列(Kolakoski sequence)。


一位名叫Chris Kimberling数学教授围绕这个数列提出了5个问题，并为每个问题悬赏200美元。这五个问题是：


1、 这个数列是否有显式表达的公式？
2、 如果一串数字在柯拉柯斯基序列中出现过一次，那么它是不是一定会再出现一次？比如“2122122”。
3、 如果一串数字在柯拉柯斯基序列中出现过一次，那么把这串数字倒着写的一串新数字是不是也一定会出现一次？比如“122122”，“221221”。
4、 如果一串数字在柯拉柯斯基序列出现过一次，那么把1换成2，2换成1得到新的一串数字是不是也一定会出现一次？比如“122122”，”211211”。
5、 数字“1”在这个字符串里的出现频率是否是存在，如果存在是否等于0.5。


Chris Kimberling说，虽然是五个问题但你解决其中任意一个，就有可能顺便解决其它的问题，尤其是后面4个问题。


对于第5个问题，维基百科上给出目前最好的结果是，如果这个频率存在，那么这个频的值不会超过0.50084。不过，在维基百科上看，这只是一个声明结果，没有公开发表。

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然后，还有一些数学猜想，表述简单，但难度极大，几十年没有解决。这些问题，有的没有公开的悬赏，有的即使有悬赏，赏金也没有达到100万美元之巨。但这些问题，在很多人心目中，同样值100万美元。



这是哆嗒数学网《被人忽略的“穷”猜想》系列第一篇：回文数猜想。

在说这个数学问题之前，我们现来说一个历史故事。

清朝乾隆年间，乾隆爷到一家名叫“天然居”的酒楼吃饭。然后机灵一想，想出一个句子：客上天然居，居然天上客。这个句子很有意境，而且这个句字正读倒读都一样，我们把这样的句子叫做“回文”。回文其实是语句中文字上的对称。

英语中，也有类似的回文。据说亚当遇见夏娃的第一句话是：“MADAM, I’M ADAM!”这句话的字母从正着看或者倒着看都是一样的。

自然数中，也有和上面提到的文字一样，数字无论从左往右，还是从右往左都是相同字符顺序的数，我们叫它们“回文数”。比如323、3334333、345676543都是回文数，而35456、45等，都不是回文数。

对于一个自然数，如果他不是回文数，我们把他的数字顺序倒过来，再和原有数相加得到一个新的自然数。如果新的自然数还不是回文数，就再倒过来，再相加，一直做下去。比如自然数38，倒过来就是83，然后38+83=121得到了一个回文数。再比如176，按前面的办法反复做：176+671=847，867+748=1595，1595+5951=7546，7546+6457=14003，14003+30041=44044，还是得到一个回文数，虽然过程的步骤更多。那么是不是所有的自然数按上面的办法反复操作，都能在某一步得到一个回文数呢？如果和哆嗒数学网的小编们一样猜“是”，就是回文数猜想。

也有很多人猜不是。那么如果一个自然数无法通过上面的步聚得到回文数，我们把他叫做利克瑞尔数(Lychrel Number)。回文数猜想也可以是这样表述：不存在利克瑞尔数。

最小的疑似利克瑞尔数是196。但也有人想通过计算机，以196起始，按上面过程，希望在某一步得到一个回文数。可是，人们对196已经做了很多步骤了，仍然没有得到回文数。

1987年一个叫John Walker的人，用当年电脑程序算了近3年，算了2415836步，得到了一个包含100万位的自然数，但没有得到回文数。

1995年 Tim Irvin用超级计算机，得到了一个200万位的自然数，这回只用了三个月，但没有得到回文数。

2000年Jason Doucette得到了1千多万位的自然数，但没有得到回文数。

2006年VanLandingham得到了3亿位的自然数，但没有得到回文数。

2011年 Romain Dolbeau用分布式处理，进行了10亿步，得到一个4亿多位的自然数。但没有得到回文数。

2012年同样是Romain Dolbeau，同样用分布式处理，得到一个6亿位的自然数。但没有得到回文数。

至今196是不是利克瑞尔数还是不被人知晓。

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2013年6月，美国数学会在其网站发布，将比尔猜想(The Beal Conjecture)的悬赏额度提升到100万美元（当然钱由赞助者提供啦）。于是，这个猜想继哥德巴赫猜想、千禧年七问题之后，又一个有“百万身价”的数学猜想。俗话说，重赏之下必有勇夫，在100万的高额刺激下，一定会有更多的数学家关注这个问题的。

比尔猜想是这样一个命题：设$A,B,C,x,y,z$都是正整数，且$x,y,z>2$。若$A^x+B^y=C^z$，那么$A,B,C$必有大于$1$的公因数,这里$A^x$表示$A$的$x$次方。

然而，当哆嗒数学网的小编百度这个“比尔猜想”的时候，在搜索结果首页却是大量“吐槽”这个猜想的条目。甚至，有人还说，这个猜想值100万“简直一个笑话”。

首先，如果这个命题对的。那么是这个问题的难度证将会相当相当的逆天。因为这时，只需要令$x=y=z$，这时方程变成了$A^x+B^x=C^x$。于是两边约去最大公因数，就能得到没有公因数的解。这样就得到了矛盾。于是这里方程只能无解。哇呜，我们做了什么？对！我们证明了著名的费马大定理！就是说，如果这个命题如果能得到证明，我们用这个能一句话证明费马大定理。而费马大定理的难度，我这里就不再多说了。

有人试图找过一些满足方程的例子。比如$2^x+2^x=2^{x+1}$，这里有公因数2。$7^3+7^4=14^3$这里有公因数$7$。但去找一个反例，似乎也不太容易。前些时候，日本数学家望月新一声明证明了ABC猜想，而ABC猜想能推出满足比尔猜想的反例最多有限多个。我相信有不少数学家或者程序员把这个方程验证到了很大的数，而没找到反例。如果，ABC猜想也被证实。那么反例可能非常非常的大，如果数学理论不能给一个比较好的寻找方向，那么对于无穷多的自然数来讲，找这样的反例，无异于大海捞针。

这里再多说几句。有的所谓的“反例”是不合法的。比如$1^x+2^3=3^2$，因为我们要求所有指数位置的数都得大于$2$。而所有底数，也只能在正整数范围内。这里有一个好玩的事：有人找到了底数在高斯整数内取值的“反例”$(-2+i)^3+(-2-i)^3=(1+i)^4$，于是得到了象征性的50美元的奖金。

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