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文章来源：英中网 http://www.ukchinese.com/News/2014-11-14/9955.html

11月3日起，上海数学教师精英团队来到英格兰的一些小学，传授他们世界领先的数学教学方法，将他们的教学秘诀与英国老师和学生分享，帮助英国学校提高数学教育质量。据悉，这也是中国数学教学经验的首次“输出”。

29名上海数学老师抵英授课

为期三周，以提高英国教师教学技巧

继今年9月，71名来自英国32所数学中心学校的数学老师前往上海师范大学，开启了中英数学教师交流项目的英国老师中国行之后，按照日程安排，上周，第一批29名上海小学数学教师抵达英国，开始了为期三周的数学教学交流工作。

据了解，2015年2月到3月期间，第二批30名上海小学数学教师也将赴英国工作4周。到明年6月，英国的中学数学老师和上海的中学数学老师将进行交流。

此次项目中第一批来到英国的这29位老师，将在挑选出的英国小学工作三周，并与当地数学教学中心的专家们合作。

在这次交流中，英国教师将重点学习上海教师如何使学生掌握重点数学知识，从而为以后的学习打下坚实基础。

英国学校改革部长尼克·吉布（Nick Gibb）十分欢迎中国教师的到来，并表示此次交流项目将会为世界教育领域的相互学习和合作树立一个典范。

据调查发现，小学阶段学生如果学习数学和物理的成绩比周围的孩子水平更高一点，未来进入顶尖大学的可能性也就更高，而且这类小学生未来的收入比其他人要高10%。

“显然，在上海，人人都知道学好数理化，走遍天下都不怕，这也是为什么有那么多校内外老师非常擅长教授数学。而且上海的孩子们很大程度上受益于数学教学的专业性，甚至上海孩子从5岁时就开始学数学。”尼克告诉《英中时报》记者。

他说：“我们的计划是保证在英国的孩子能够接受世界领先的教育，学习在全球竞争环境中生存所必须的技能和知识。”

“上海的数学教育有着世界领先的水平，英国的孩子没有理由达不到这样的标准。这次独创性的教学交流项目将会提高英国教师的教学技巧，也是履行我们提升英国数学教育质量承诺的一部分。”尼克说到。

上海老师推崇“教学至上”

分享教学方法，提供额外辅导

据负责此次中英数学教学交流计划的安娜贝尔·埃利斯（Annabel Ellis）介绍，上海的数学教育一直处于世界领先行列，这次来自上海的老师们将分享他们的教学方法，同时，他们还会对在数学学习中有困难的学生提供及时的额外辅导。

据了解，上海在小学数学教学方面的全方位方法主要体现在五个方面：

首先，推崇“教学至上”，即老师不断强化学生有能力学好数学的信心，鼓励学生努力学习以获得优异成绩。其次，除了让大多数学生能够在课程内容上达到相同的进度外，透过加深知识点来实现学生与学生之间的区别化。同时，为了强化教学质量，老师会根据学生的不同特点，有效地结合教科书和教学方法来设计课程，不仅提高了教学质量，同时也减少了老师的工作量。此外，在教授不同的相关数学概念时，实现流畅的过度，帮助学生巩固了旧知识，同时学习了新的概念点。最后，老师时常进行随堂测验，考察已学习的知识和概念，从而定期评估学生的学习结果和能力，并且判断是否需要加以辅导，使得尚未掌握全面的学生能够跟上进度。

“我们想从上海优秀的数学老师身上，学习如何教导世界级数学方式，以提升英国数学水平。在交换计划的第二阶段，我们将提供英国老师机会去发展他们的教学技巧，跟与目前在领导数学领域的专业人士交流知识。”她说。

“上海方法”适合英国新教纲

英国老师“取经”将广泛运用

早在今年9月，来自英国各个地区的71位顶尖数学老师已奔赴上海与当地的重点学校和大学进行教学交流。在培训中，英国老师已经发现了可以应用于英国教学体系的方法，其中的一些老师已经把学习到的方法运用到他们的实践教学中。”

来自达灵顿地区的St. Augustine's R.C.小学校长，马提娜·马克库洛姆也参与了这次交换项目，她告诉《英中时报》的记者：“这次来到上海的学习经历是极其有价值的。我们在这里见识到了精准的教学设计和强大的教学调研团队，也在数学课上亲眼目睹了学生们的显著进步。”

“我们已经研究了上海数学教学的各个方面，比如数学课的长度，频率和家庭作业的内容以及对数学较差学生的课外补习。”她说。

对于此次中国教师来到英国，她表示：“我们非常高兴又一次与中国同事们一起工作，我们可以互相学习，确立正确的教学策略以保证英国学生接受到最好的教育。”

英国国家数学教学中心主管，查理·斯德普（Charlie Stripp）在接受采访时说：“我对上海小学教授数学的方法印象深刻，并且我肯定英国的老师和学生可以在与上海老师的交流中获益。

“上海教师掌握着非常优秀的数学教学方法，这很适合新的英国数学教学大纲。”

“有些数学教学方法已经成功地在一些英国学校中实施，我确信这些方法将在英国学校中更深入更广泛地运用。”他说。

他还乐观的表示，“我是第一批在上海亲眼目睹这些教学方法有效性的人，所以我相信与上海教师的交流将会成为英国数学教育改革的催化剂，同时也将提高全英学生的数学水平。”

英国新课标数学难度更高

“学好数学将来能挣更多钱”

据悉，英国政府已将数学教育的研究摆在首要地位，因为学好数学对年轻人的未来起着至关重要的作用：它意味着更高的收入，更低的失业率和更多的就业机会。

根据研究调查，将学生先天资质和后天努力相结合，在十岁时获得数学高分的孩子，到了30岁时的收入，将比十岁时获得较低分数的孩子多7%。研究同时显示，数学成绩达到Ａ level的人，未来将比拥有同等天赋却没有获得同样成绩的人，多赚7~10%。

由于数学教育备受诟病，英国今年新学期开始启用“同步世界标准”的教育新课标，其中一个重点就是更加注重小学生的阅读理解、写作和数学教育。新课标针对多个年龄组，对历史、数学、英语、科学、计算器应用、设计及技术等多门学科进行改革。借鉴了世界各地顶尖的教育体系精髓，包括中国香港、美国马萨诸塞州、新加坡和芬兰等地的实践经验。

按照新课标，低龄学生接受难度更高的数学教育；5岁学生将要学会二分之一和四分之一等基本的分数概念；9岁学生将接受12以内乘法教育；二年级学生应在期末前学会20以内的运算，并能理解和运用位数；初中学生的新课标还加强了数学建模和解题能力的培养，其中包括精密机械的内容。

此外，新的课程内容还引入了计算器的课程，将教小学生如何编写代码。按照新标准，5至7岁学生将学习“计算器演算规则的概念”，并能够“创建并调试简单的程序”；11至14岁学龄儿童将研习编写代码和实用多种编程语言去解决计算器问题。

据悉，在中国老师来英国之前，英国教育部已经于9月派出71名数学老师到上海实地“取经”和交流。这些老师在上海停留两周，在上海的小学里观摩优质教学，并与上海的同行们讨论学习方法，有的英国老师在回国后已经开始在教学方法上有所改变。

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窗花可能是我们生活中用得最多的分形装饰。在圣诞假期未过，新年将至的时节。我们来把数学、诺贝尔奖和剪纸艺术结合一番——把诺贝尔奖的得主们做成分形贴在窗户上试试？哈哈，哆嗒数学网的小编想着都觉得好好玩！

第一个中招的必须是爱因斯坦啦！他是1921年诺贝尔物理学奖得主，获奖理由是光电效应规律的发现。其实，爱因斯坦还有三个伟大成就：布朗运动理论、狭义和广义相对论以及质能守恒定律。

第二个嘛——居里夫人。凭借对放射性的研究，居里夫人两次获得诺贝尔奖，1903年的物理学奖和1911年的化学奖。所以，窗花上放射性的标志不可少啦。

最后一个，就是他了！薛定谔和他的猫。薛定谔因发现量子力学的基本方程获得1933年诺贝尔物理学奖。当然，和薛定谔同样出名的还有“薛定谔的猫”。

最后，哆嗒数学网的小编们和大家一起伴随着视频中圣诞节的欢快音乐，共祝来年更美好！

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在陶哲轩、西蒙·唐纳森、马克西姆·孔采维奇、雅各·卢里、与理查·泰勒五位数学家参加完科学突破奖的颁奖典礼之后，他们又来到斯坦福大学参加学术活动。活动有一个与五位顶尖数学家问答互动环节，数学家们与提问者一起讨论了关于数学的有趣的问题。其间，他们还为历史上的数学家排了排座次，非常有意思。

互动讨论，由科学突破奖的出资人之一的尤里·米尔纳主持。

问：数学是人类的发明吗，还是说他是一种发现？

理查·泰勒: 发现。我非常强烈的感受到我在发现已经存在数学思想。我们之中一些人猜想了一些确定事实，只是证明来要很长时间。

问：如果有一天我们联系上了外星文明，他们的数学会和我们一样吗。

陶哲轩：我想是一样的。

理查·泰勒：我同意。但用的语言和符号可能会不同，所以也很难看出数学的底层结构会不会有大的不同。

问：数学能被“统一”吗？数学的发现会不会终结？

雅各·卢里：数学在一定意义下已经被“统一”了，几乎所有的数学家都在几十年前确定的一系列公理为基础进行工作。

其它人：不管怎样，数学会不会终结这个问题没有意义——每次进步都会有新问题出现的。

问：我们还不知道ABC猜想是否真的被证明了。类似这种情况——就是说我们可能要用相当长的时间来确认一个伟大的数学成果的正确性——会越来越频繁的发生吗？

一些人：的确有这样的情况，但也有很多原因。比如，望月新一提交的证明方法用了一些只有他本人才用的“奇怪”方式。验证佩雷尔曼的庞加莱猜想用了两年，但在完整证明被确定之前，已经有另外好几位数学家为此做了贡献。

马克西姆·孔采维奇：在更早的时候，这个问题做了细化及扫清了障碍。这些更复杂的情形，是数学中重要但被低估的贡献。

问：在未来，我们可以用计算机系统来验证每一篇数学论文吗？

陶哲轩：我希望能。或许，再简单点说，我们写论文能不用LaTeX，而是用一些形式数学系统。

问：数学的集体学术组织会继续向前发展吗

陶哲轩：现今有一个最好的例子就是数学“博学者”计划(PolyMath)。现在，我们有很多正在合作实例项目，有数十位数学家参与。现在我们有生物论文有超过300人的作者，有物理论文超过2000人的作者。

雅各·卢里：但是，大多数论文是被一个或者几个作者完成了。

问：100年或者1000年后，计算机的数学能力会超过人类吗，就像它们在国际象棋中的那样？

陶哲轩：计算机当然会越来越强大，但我还是希望还是由人来做数学，计算机辅助。

理查·泰勒：问题更好的提法是，计算机能不能得到菲尔兹奖。

马克西姆·孔采维奇：我想它能。

雅各·卢里：1000年时间太长了，很难讨论出一个可信的答案。

问：最伟大的三位数学家是哪些？

理查·泰勒：我会说高斯、欧拉还有希尔伯特。

陶哲轩：我会加上牛顿和费马。

西蒙·唐纳森：我会加上黎曼和庞加莱。

问：在未来数学的研究中，最有用的计算机工具会是什么？

陶哲轩：我真的需要一个搜索工具来搜数学文章。现在我搜到的东西很多时候是没用的。

雅各·卢里：我想看到一个计算机的数学证明验证系统，并且有很好的用户界面，而且不需要100倍我写讨论的时间来验证。能想象吗，25年内，都用计算机来验证数学证明？

问：对新入行的数学家们，有什么职业建议？

陶哲轩：多问傻问题。别怕这个问题是不是很简单。

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澳大利亚国立大学的一位数学家发明一种新的数学方法，去揭示一些看上去很复杂系统的规律模式。比如，云团、材料裂纹或者股市走向。

新方法叫做分形傅里叶分析，是建立在分形几何上的一个新数学分支。

分形傅里叶分析或许能帮助科学家们把一些从身体里传出的复杂的信号理解得更好，比如神经冲动或脑波。

 “这个方法提供了一个全新的方法来分析信号。”在澳大利亚国立大学分形几何新方向大会工作的迈克尔·巴恩斯利教授说道。

“分形几何是描述世界本来面貌的数学新分支，他比用一系列直线或者球体描述得更好。在自然界中，直线和球体是很少的。在自然界中，你找到的形状都很粗糙。”

 “新的分析方法和传统的傅里叶分析关联很大，而傅里叶分析已经成为图像处理和音频信号过程领域中的必备数学工具。”

“分形傅里叶分析提供了一种办法，把复杂信号拆分成一些易于理解的构建单元，就像傅里叶分析中把信号拆分成一些光滑的正弦波一样”，迈克尔·巴恩斯利教授继续说。

迈克尔·巴恩斯利教授的工作基于19世界末的数学家卡尔·魏尔斯特拉斯的工作的。后者发现了一系列的函数，它们处处连续，但处处不可导。

“我们非常好的办法，来把连续函数和可导函数打散成分形。”

“我们的身体也是由不断重复的分支结构组成的——呼吸系统、供血系统、皮肤细胞排列，甚至癌症都是分形。”

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2015年的美国联合数学会议将于明年1月10日到13日在圣安东尼奥举行。届时，将颁发美国数学届的开年大奖斯蒂尔奖(Steele Prize)。现在斯蒂尔奖的得主已经提前确定，他们是：

斯蒂尔终身成就奖：由来自麻省理工学院的Victor Kac获得 , 他因为“对李理论及其在数学和数学物理中的应用的突破性贡献”而获奖。(哆嗒数学网的小编这里再多嘴一句，代数方向的数学家大概无人不知的Kac-Moody代数就是Kac发现的)。

斯蒂尔开创贡献奖：由来自德州农工大学的Rostislav Grigorchuk获得。他因为其具有广泛影响的论文《有限生成群增长的度及不变均值理论》(Degrees of growth of finitely generated groups and the theory of invariant means)而获奖。

斯蒂尔 论述奖：由来石溪大学的Robert Lazarsfeld 获得。他因为他的专著《代数几何中的正性》(Positivity in Algebraic Geometry)而获奖。

斯蒂尔奖1970年由斯蒂尔捐资设立，美国数学会颁奖。1979年开始每年颁发三个奖，奖励全部数学工作有影响的数学家、一篇具有基础性或长期影响的论文的作者、有重要价值的一本书或一篇综述论文的作者，每一个方面授奖一人。

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翻译自Business Insider网站的《The Only 8 Numbers You Need To Do Maths》，有改动。

原文链接：http://www.businessinsider.com.au/numbers-you-need-to-do-math-2013-11?op=1#zero-1

数是无限多的，处理数的办法也是无限多的。

数学家们常常把数表示在一条直线上，这条直线就是教材上说的数轴。在数轴上取一个点，这个点就代表了一个数。

到头来，我们所用的几乎所有的数都是建立在构成数学基础的那些非常重要的数之上。

下面介绍的的八个数，是你构建数轴必须的，也是你做其它和数相关的事需要的。

“0”：一切从“零”开始

“0”表示没有。“0”也是我们构造数系必需的一个数。当我们要写的数不止一位数时，“0”就是一个占位符号——“0”让我们清楚地知道2块钱和20块钱的区别。

“0”本身在数学时也是至关重要的数。“0”是“加法单位元”——任何数加上“0”得到的还是那个数本身：3+0=3。“0”的这个性质也是它在算术和代数中的核心性质。“0”在数轴中间，把数轴分成正半轴和负半轴两部分，而且它还是我们构建数系的起点。

“1”:只有零我们做不了太多，于是我们有了“一”

“0”是“加法单位元”，而是“1”是乘法单位元——任何一个数乘以“1”得到的数都是那个数本身：5×1=5。

有了“1”，我们就能开始构建我们的数轴了。特别的，我们用“1”来得到自然数：0，1，2，3，4，5，等等。我们不断地在其自身上加上“1”来得到不同的数：2就是1+1，3就是2+1，4就是3+1，不断下去，直到无穷。

自然数是我们最基本的数。我们利用它们来数东西。同样，我们可以用自然数来做算术：两个自数然，它们相加或者相乘，能得到别的自然数。 一些时候——当然不是任何时候——我们也能用减法和除法得到别的自然数：10-7=3以及18÷2=9。只需用“0”、“1”和基本的算术运算，我们已经能做得很不错了，很多数学也只用到了自然数。

 “-1”： 自然数已经非常好了，但它能做的事还是很有限。

刚才说过，不是任何两个自然数相减都能得到自然数。如果我们所有事都围绕自然数来做，我们无法解释像这样一个式子：3-7。

在数学里，有一种精彩的事故——当遇到类似局限时，我们可以扩充我们的系统来打破这样的局限。为了让每个减法有意义，我们加入“-1”来扩充我们的数轴。“-1”能生产出所有负整数，因为“-1”与任何数相乘能得到那个数的相反数：-3就是-1×3。带来负整数的同时，我们也解决了刚才减法的问题：3-8=-5。把正整数、零和负整数放在一起，我们得到了整数，而且我们在任何时候都可以将两个整数做减法，得到的还是整数。整数为数轴提供了很多锚点。

负数对欠款的表示很有用。如果我信用透资取了500块钱，于是我可以认为银行账户的余额为-500元。负数也让我们在一些数量表示时，使用比零小的数成为可能，比如说气温。在冰冷南极，平均气温能达到-40°C左右。

“1/10”：整数适用于描述完整的事物，但对于一些事物我们需要讨论它的一部分。

同样的，整数的算术体系同样不完整——即便我们任何时候把两个整数做加、减、乘还是得到整数，但是有时候，两个整数做除法，我们得不到整数。如只有整数，9÷5将没有意义。

为了应付这个情况，我们在数轴上加入“1/10”，或者说“0.1”。有了“0.1”，我们对他做乘方能得到0.01，0,001，0.0001，等等。这样，我们能表示分数和小数了。9÷5就是1.8。两个整数相除（被除数不能为零）能得到小数。它们有的是有限小数，像1.8，有的是循环小数，像1÷3=0.33333……,无限个3循环下去。这种形式的小数，我们叫有理数，他们能表示成两个整数的比值，即分数。有理数在算术运算下已经是封闭的了——对任何两个有理数做加、减、乘、除得到的还是有理数。

有理数让我们能表示出整数之间的数，也能表示出一个整体的一部分。比如我和我的三个朋友要分享一个大蛋糕，我们把蛋糕切了，每人拿到蛋糕的1/4，0.25或者25%。有理数帮助我们开始填补数轴上整数与整数之前的缝隙了。

“根号2”：有理数打开了无理数的大门，因为有的数不能表示成整数的之间的比。

一个数的算术平方根是这样一个非负数，即它的平方等于原来的那个数。于是9的算术平方根是3，因为3² = 3 x 3 = 9。我们能为每一个正数找到算术平方根，只是有一些，他们的算术平方根有些复杂。

2的算术平方根就是这样复杂的数。它是一个无理数——他的小数展开后，不会终止，也不会循环。“根号2”展开的数字是这样的1.41421356237……看起来规律很奇怪和混乱。实际上，大部分有理数的算术平方根都是无理数——而一些例外，比如说9叫做完全平方数。平方根在代数是非常重要，它们是很多方程的解。比如说“根号2”是x²=2的解。 

有理数和无理数放在数轴上，我们就能铺满整个数轴。有理数和无理数一起，我们称为实数，它们是在各种计算中最常用到的数。现在，我们完成了整个数轴的构建，我们来看看一对非常重要的无理数。

“π”： 现在我们来增加维度，到平面和立体几何中去

圆周率“π”——圆周长与直径之比——可能是几何中最重要的一个数。“π”展示了一些关于圆和球的基本关系——半径为r的圆的面积是πr²，半径为r的球的体积是4πr³/3。

“π”在三角函数也有重要性质。2π是基本三角函数正弦函数和余弦函数是最小正周期。就是说，函数值在每一个2π长度的区间上不断重复。这样的函数用于描述周期变化或者不断往复的事物，比如说声波。

和“根号2”一样，“π”是一个无理数。它的小数展开不会终止，也不会循环。开始的几位小数大家非常熟悉， 3.14159……，数学家用计算机，通过夜以继日的计算，面把“π”展开到了10万亿位以后，但我们大多时候只需要前面很少的几位，去得到一些精确的结果。

“e”: 用它来计算复利

自然对数底，又叫欧拉数，用“e”来表示。“e”是指数函数的底数。指数函数用来表示一个事物数理倍增或者衰减的过程。如果一开始两只兔子，一个月后有了4只，两个月后有了8只，三个月后有了16只。推广下去，n个月后，有了2ⁿ⁺¹只，——n+1个2自己乘起来。

“e”是无理数，展开是2.71828……，但和所有无理数一样，小数点后面的数字永远不会终止也不会循环。e^x叫做自然指数函数，他是其它指数函数的基准。原因有些许复杂，因为e^x很特别。如果你们学过微积分，你会知道e^x 的导数还是e^x。就是说对每个x，函数e^x的在点x的增长率正好是函数值本身——比如x=2，那么e^x在这点的增长率是e²。这是只有e^x才具有的唯一性质，使得e^x在数学上有着非常漂亮的操作性。

e^x在大部分指数过程中很有用。有一个常见应用就是计算复利。初始的本金是P，年利率是r，那么在t年投资回报A(t)可以表示成公式A(t)=Pe^rt。

“i”：现在，虚数来了

我们之前提到的内容，我们知道每个正数都能计算的算术平方根，所以我们来看看对于负数会发生什么。负数在实数范围内是没有算术平方根的。两个负数相乘得到的是正数，所以任何实数的平方都是不小于零的，即没有一个实数的平方是负数。但是，我们之前也说过，当遇到局限时，我们可以扩充我们的系统来打破这样的局限。

所以，我们遇到的局限是“-1”没有平方根，于我们就傻傻地问自己，如果有会怎么样？我们定义了“i”，叫做虚数单位，作为“-1”的平方根。然后，把所有的数作加、减、乘、除，想办法让这些结果有意义，于是我们把实数扩展到了复数。

复数有着很多让人惊奇的性质和应用。我们把实数用一条直线表示，我们也能把复数用一个平面表示，横轴表示实数，纵轴上的点都是虚数，用来表示负数的平方根。每个多项式方程至少有一个复数解，这是一个非常重要的结果，数学家们称为代数基本定理。在几何上，复平面能导出很多让人吃惊和漂亮的结果，在物理的电学和工程中也有很多应用。

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最近，哆嗒数学网的一位小编成为百度实变函数吧的吧主。发现很多初学者都会提一些新手问题，而很多问题都和我的这篇文章要讲的博雷尔分层（Borel Hierarchy）有关系。

哆嗒数学网温馨提示：这篇文章需要学完同学有数学分析的基础。本文的目的诣在于帮助各位实变新手梳理一套思考方式。

博雷尔分层是什么东西呢，它把博雷尔集（Borel Set）按一定规则“排队”的办法。就像我们有一堆书，要把他按一种分类方式放进一个高高的书架，第一层是哲学，第二层是数学之类，这样放好之后，以后需要用的时候，只要告诉这书是在哪一层取的，比如说第二层，恩，我就能知道它就是数学书，书里一定有很多数学定理之类，使用起来就很方便了。

一般实变书没在定义博雷尔集的时候，只说博雷尔集所组成的集族是由所有开集生成的σ代数，即是由开集出发，不断地做可数个集合之间交、并、补运算得到的结果还是在集族里。注意所有博雷尔集一定是包含所有开集的最小σ代数，所谓最小是指在集族包含关系的最小，就是说如果还有一个族是包含所有开集σ代数，那么这个集族一定以博雷尔集族为子集族。比如，一个集合的所有子集组成幂集集族也是包含所有开集的σ代数，但不是最小的，这意味着存在一个集合，它不是博雷尔集，这个在后面会讲。

这里顺便说一句，理论上应该证明一下这样的最小的σ代数是存在的。证明过程大致是这样，幂集集族说明了包含所有开集σ代数是存在的。而任意多个所有开集σ代数的交起来还是所有开集σ代数，于是，我们把所有包含所有开集σ代数交起来，就得到了那个最小的博雷尔集簇。

现在，我们要来做书架来放书了，来说我们的博雷尔分层。

每一层，我们分为两部分，说成一左一右吧。

第零层，把所有开集放左边，并把左边部分取个名字叫$G_0$，然后把每个左边的开集取补集放入右边，即所有的闭集放成了右边，右边就叫做$F_0$吧。这样第一层的东西就放完了。

第一层，把$F_0$里所有的东西之间做所有可能的可数并，再放入左边，取名$G_1$，同样的，我们把G_1里的每个成员做补集，放入右边,定名$F_1$。这样放完第二层。熟悉实变函数的人知道，第二层的左边其实就是$F_σ$集，而右边是$G_δ$集。

这一直做下去，一直要做完每一个可数序数（Countable Ordinal）。可数序数的概念说起来有点话长，这里请读者自行wiki吧。

对于一个后继的可数序数$ξ+1$，第ξ+1层左边的东西就是$F_{ξ}$里东西之间做所有可能的可数并，并定名$G_{ξ+1}$，而再把$G_{ξ+1}$里的每个成员做补集，放入右边得到$F_{ξ+1}$。这样$ξ+1$层放完。

而对于一个极限的可数序数$ξ$，那边第ξ层左边的东西，就是把之前所有比$ξ$低的那些合在一起，即并起来，叫$G_ξ$。右边同样是把左边的每个成员取补集,叫做$F_ξ$。

这样，我们就把博雷尔集分成$ω_1$层，这里$ω_1$是最小的不可数序数。

还是要啰嗦一句，我们还需要说明的事，这样的分层的确是一个不漏，且无任何额外添加的把所有博雷尔集分完了。无额外添加好说，因为每一层的东西，无非是对前面的东西做可数并或者补运算。对于一个不漏，我们这样说明，注意到一个很有趣事，对于第$ξ$层里的左边的$F_ξ$和右边的$G_ξ$,它们里面成员是分别包含了比他低层里的所有成员的。所以任意在这个分层里取可数成员，一定能找到一个它们存在的一个共有层次，于是他们之间做可数并或者补运算不会越过$ξ+1$层。这说明，把所有层的成员凑在一起，它们构成一个σ代数，所以一定包含博雷尔集族（回忆一下前文说过的，博雷尔集族是最小的σ代数）。

于是我们把所有的博雷尔集放到一个分层良好的“书架”里。

分层好了，我们来看看一起实变的简单结论。

结论1： 所有博雷尔集有$\mathfrak{c}$个，这里$\mathfrak{c}$是连续统基数，即实数的基数。

用超限归纳法可以证明，每一层的成员个数都是$\mathfrak{c}$个，所以所有博雷尔集的势不会超过$ω_1·\mathfrak{c} = \mathfrak{c}$ 。而每个单点集都是博雷尔集，所以不会少于$\mathfrak{c}$个。再由伯恩斯坦定理，得到基数正好为$\mathfrak{c}$。

由结论1，能得到这个推论1。

推论1：存在一个不是Borel集的可测集合。

因为康托集(Cantor Set)是零测的基数为$\mathfrak{c}$的集合，而零测集的子集都是零测的。且零测集都是可测的。于是康托集有$2^\mathfrak{c}$个可测子集，而$2^\mathfrak{c} > \mathfrak{c}$。而Borel只有$\mathfrak{c}$个，于是得证。

结论2：对于可测函数$f$和博雷尔集$B$，$f^{-1}(B)$可测。

注意到这些事实$f^{-1}(A∪B)=f^{-1}(A)∪f^{-1}(B),f^{-1}(A∩B)=f^{-1}(A)∩f^{-1}(B),f^{-1}(A^c)=f^{-1}(A)^c$。利用超限归纳法，对每一层的博雷尔集进行归纳即可。

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2015年的美国数学会年会将于明年1月10日到13日在萨斯州圣安东尼奥举行。关于该学会2015年度的各项大奖也在陆续揭晓。由于美国在数学界的领军地位，所以其学会的各项颁奖也及其受人关注。

这一次，美国数学会首次将学会大奖颁发给在中国工作的数学家。来自中国北京大学的宗传明教授以及美国密歇根大学教授Lagarias一起将被授予莱维·柯南特奖。颁奖仪式将于2015年1月11日举行。

宗传明与Lagarias的获奖工作——文章《神秘的正四面体堆积》（Mysteries in Packing Regular Tetrahedra），系统评述了正四面体的堆积理论。这个问题的追溯也的确够得上神秘。2300多年前古希腊哲学家亚里士多德认为，所有的正多面体都被神赋予了灵性，而正四面体应该和正方体（正六面体）一样，通过无缝隙的拼接，可以塞满整个空间。但这是亚里士多德犯下的又一个错误，这个论断虽然饱受质疑，但在1800年以后的16世纪，才被严格证明是错的。在之后的研究中，关于这个问题不断有人取得进展，也有断有人犯错。犯错的人当中，也不乏数学大师，比如闵可夫斯基。1900年，数学大师希尔伯特在第二届数学家大会上提出著名的23个问题，其中第18问题是：“确定一个给定几何体的最大堆积（或定向堆积）密度”。而正四面体的堆积问题，是这个问题的一部分。2006年，这个问题有了一个里程杯式进展，有数学家发现能用四面体堆积，能填上72%的空间。而本身这个堆积方式还是比较松的，那么还有填补更多的堆积方式吗？或者说最大填补的堆积方式是什么？

宗传明与Lagarias两位获奖者的文章详细讲述了上面的故事。文章漂亮的讲述了这一古老问题魅力和戏剧性以及与我们世界错综复杂的联系。

据了解，莱维·柯南特奖设立于2001年，每年颁发一次，旨在奖励过去5年中发表于《美国数学会纪要》或《美国数学会通讯》，评述数学领域重要研究方向或报道重大科研成果的最杰出论文作者。过去的14届获奖者中，多位还曾获得过菲尔茨奖、沃尔夫奖、奈望林纳奖等其他重要奖项，其中就包括在中国人气极旺的陶哲轩。

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米老鼠在数学里出现？当然，还会出现在在科学、艺术、阅读里，甚至他还会来教你社交技能。

正当国内互联网教育逐渐兴起的同时，引来腾讯、网易、搜狐等各巨头纷纷加入的同时。国外教育界也在经历这场“革命”。这次，哆嗒数学网小编给你介绍的是世界娱乐巨头迪士尼。

迪士尼上线了一个新的学习工具的产品线，用来辅助家长帮助3到8岁孩子们的课外学习。其旗下的品牌Imagicademy首先从一系列移动应用入手，然后逐步扩展到它的其它产品，诸如书籍和互动玩具。再晚些时候，针对的年龄层次会提高。

迪士尼的首款应用，会在12月11日在iPad上发布，应用名称叫做《米奇魔法数学世界》（Mickey's Magical Math World），用于教孩子一些基础的数学知识，比如数数，图形，逻辑和排序。应用中有五个扩展包，我们熟悉的米老鼠和他的朋友本会在这些扩展包中出场，比如米奇的女朋友米妮，以及笨狗高飞。应用的基本版是免费的，而扩展包是每个4.99美元，或者19.99美元得到全部五个。

迪士尼进入学习应用领域可谓是在教育类应用最热门时候。移动设备的增长越来越快，越来越多的父母们也愿意让自己的孩子使用移动设备。然而美国儿科学会建议，儿童每天花在类似电视、电脑、手机等娱乐媒体的时间不要超过2个小时，而这两个小时应该是接触“高品质”的内容。

迪士尼是世界上最大的儿童读物出版商，他们希望他们的应用内容能在娱乐和学习中找到平衡点。迪士尼坚信他们的品牌认同度及应用的品质能让他们在超过十万的儿童教学应用中鹤立鸡群。

其实在教育应用领域内，并不缺乏大品牌，比如说“芝麻街”。但迪士尼消费产品部门总裁鲍勃·查伯克仍对自己的产品充满信心，他说：“家长们向我们公司说，在列表中的数千个应用中找到一个高品质的太难了，好不容易找到一款合适的，但应用中又没有一个系统化的进程，让你进入一下阶段和下一课程的学习。”

查伯克继续说：“不同的是，我们提供的课程是系统化全方位的。而且，我们会用孩子们喜欢的人物和故事来讲述课程。”

数学的应用上线后，会很快上线其它学科的课程。比如科学、艺术、阅读、社交技能。

我们来听一位妈妈对这样应用的评价：“这当然很有用！现在的孩子太难管了，但是如果你说你要拿走他手上的iPad的话，情况则完全不同了。”

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《星际穿越》在2014年11月7日在美国各大院线公映，11月12日登陆中国大陆。应该说这是一部非常不错科幻电影，无论从视觉效果，揭示的主题，还是从科幻本身的硬度来讲，都是值得称道的。

影片讲的是科幻故事里的老生常谈。地球快完了，人类必须搬家，要找一个新星系，因为太阳系已经没有用了。要瞬间到达别的星系不是件容易是事，但从虫洞过去就能很快。一切关于虫洞，以及虫洞对面的事都是未知的，也许充满着危险，所以一定是要勇敢人。于是乎，主角们进行了一段勇敢的故事。

然而，所有的科幻艺术作品，只要你认真起来，它一定是会“输”的。公映以来，无数的“科学家”们开始吐嘈电影里的设置。“为什么穿越虫洞还能活着？”，“半米深的水面何来千米高的巨浪？”，“什么枯萎病毒如此牛X，能传染地球上所有植物？”。

OK，都很有道理！哆嗒数学网小编也来加入吐嘈，吐嘈的对象是影片里的B计划——PLAN B。 B计划是说，如果没有能力把大量的地球人带到新的星系生活，那么就把飞船上的5000个受精卵，通过“代孕”方式在新的星球上进行“孵化”，达到殖民目的。

为什么要带5000个那么多？影片解释是为了遗传多样性，要有足够多的个体才能保证遗传多样性。很不错，很专业，考虑很周到！

这里，我不吐槽船队只带了一个女人过去，如果这个代孕体“孵化”不出新的女人（宫廷剧里就有很多王的女人，好几胎都“刷”不到阿哥，因而郁闷得要死，这里需要“刷”足够多的格格），得到新的代孕体怎么办。就算有一个技术，影片没有交代，就是人类可以像《星际争霸》游戏里的虫族的母巢那样，一下子把数千个受精卵“爆”成“成品”。那么，那5000个成品，恐怕也是不够的。

卡梅隆·史密茨是美国波特兰州立大学的天文学家。他做了一项研究，计算了如果人类要做星际殖民，要带多人合适，才能保证遗传多样性。他的研究结果发表在今年4月的《天文学报》（Acta Astronomica）上。注意，这是一个严肃的学术杂志。

答案是，1万人是下限，如果能带4万人以上是最好不过的。史密茨用的方法是数学建模模拟，设定好非常非常多的与之相关的随机变量，然后用著名的数学软件Matlab分别对带150人、500人、2000人、10000人及40000人的情况进行模拟。除40000人的那情况只模拟一次外，其它情况都每种模拟10次（因为40000人的那情况模拟时间实在太长，需要18小时）。摸似的繁衍时长是300年。

从上面的图表看出，4万人的表现是最棒的，多样性被100%的保持着，而1万人也还不错。如果你觉得2000人的那个曲线还行话，有件事必须告诉你，你得考虑一些极端情况——灾难。诸如地震之类的天灾，或者人为事故，比如把什么引爆了都可能让人口骤然减少，下面的两个图，就是遇到灾难的情况。

再把人口少的放大了看看。

总之，在《星际穿越》里，还好有个书架后面的四维空间，要不人类挂定了。所以小墨菲对父亲说的一句话的确是最好的选择：“留下！Stay！”。

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