2015年1月

李克强总理:国际数学界的最高奖项菲尔兹奖,中国至今没有一人获得


 

 

 

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据2015年1月29日新华网转载新京报的消息:2015年1月27日,国务院总理李克强在北京中南海主持召开座谈会,听取教育、科技、文化、卫生、体育界人士和基层群众代表对《政府工作报告(征求意见稿)》的意见和建议。其间李总理提出了对数学学科的期望。

在国务院第一会议室,围坐在会场中央椭圆形桌边的分别是国务院领导,以及被邀请来中南海给《政府工作报告》提意见和建议的10位代表。10位代表中既有棚户区搬迁居民、年轻创业者和种粮大户,也有大学校长、工程院院士,还有文艺体育界的“超级明星”。

 

 

复旦大学校长许宁生上来表示,教育界有些担忧,在经济新常态下,教育投入占GDP4%的比例还能不能保住?李克强马上回应:“我可以承诺,这个比例不会变。尽管目前财政增幅下降不小,但国家再困难,教育投入也不会减少。”

当许宁生建议政府要加大对科技创新支持时,李克强突然问:“复旦大学这几年报考纯数学的人数是多了还是少了?”

对于总理的这一提问,现场一些人最初有点不解。李克强把“包袱”留到最后。他说:“刚才为什么我要问纯数学?我们要搞原始创新,就必须更加重视基础研究,没有扎实的基础研究,就不可能有原始创新。国际数学界的最高奖项菲尔兹奖,中国至今没有一人获得。现在IT业发展迅猛,源代码靠什么?靠数学!我们造大飞机,但发动机还要买国外的,为什么?数学基础不行。材料我们都过关了。所以,大学要从百年大计着眼,确实要有一批人坐得住冷板凳的人。”

 

当哆嗒数学网的小编把这个消息发到QQ群里的时候,群友们也纷纷展开了讨论,各位网友也可以看看,注意不代表作者立场:

张小可:“最感动的,是没提到诺贝尔奖,哪次提到菲尔资,不是说,数学界的诺贝尔奖。”

黑老矮丑笨菜19:“(以前)搞得好像菲尔资奖是诺贝尔奖陪衬的一样。谁比谁厉害还不一定,菲尔资人数,尼玛,屈指可数。”

小数学:“以后提到诺贝尔奖就说是非数学界的菲尔兹奖。”

天堂在左,我往右:“只是知道菲尔兹的人少,才这么介绍的,毕竟几乎文盲都听过诺贝尔。”

Yaleking:“国家领导人提倡数学是好事啊,我有时候做梦如果我成了领导,一定要大力提倡数学.”

二次元天然呆:“但是我们国家的数学大部分还是学来考试的,不能学以致用唉”

张小可:"最好克强的话可以上腾讯新闻头条."

浙江杨尚明:“李总理有眼光!”

武汉彭翕成:“领导人重视数学,是大好事,以前拿破仑重视数学,对法国的强盛有明显的促进作用。”

武汉张德凡:“我们都搞奥数去了嘛!”

 

 

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山大数院院长:数学家是“仰望星空的人”

文章来源:山大视点

地址:http://www.view.sdu.edu.cn/new/2015/0116/69713.html

 

 

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   1月9日,山东大学数学学院刘建亚教授等完成的“自守形式与素数分布的研究”项目荣获国家自然科学二等奖。这是继1982年陈景润、王元、潘承洞获得国家自然科学奖一等奖后,数论领域再次有人获奖,期间空白了整整32年。此外也是继2008年王小云教授获自然科学二等奖之后,山大时隔6年再次获得该奖,对数论研究和山大来说都意义非凡。


  基于此,山大视点记者走近刘建亚,听他谈这次获奖,谈数学文化以及数学家的养成。时间仓促中得来些许零散的观点碎片,却不妨碍我们一窥数学女王的神秘真容,同时也体味20年磨一剑背后的艰辛与不易。

 

 

 

数学是不器之学,要多一点耐心

 

  “每个数学家房间里都有一块黑板”,这句话在刘建亚那里得到了验证。刚在办公室落座,墙上一块密密麻麻写着数学公式的黑板就吸引了记者的眼光。刘建亚解释,数学思想需要一个载体,而日常生活的语言不足以成为这个载体,所以数学家需要公式。

 

 

  初中时期的刘建亚,在读过《哥德巴赫猜想》的报告文学后,有了想要摘取数学王冠上那颗名为“哥德巴赫猜想”明珠的想法。随着研究的逐步深入他发现,哥德巴赫猜想虽然家喻户晓,但它只是线性问题,也只是素数分布领域众多著名问题之一。素数分布领域就像一个丰富多彩的果园,有着各种各样的果树与果实。哥德巴赫猜想只是一棵苹果树顶尖的一个苹果。


  早在1990年代,刘建亚与展涛教授已经开始合作,后来他们共同的学生吕广世也加入了研究团队。团队的研究不断取得进展。经过近20年的耕耘,这个团队已经系统研究了自守形式理论,尤其是自守L-函数的分析理论,开辟了一个新途径,成功地将高维自守形式应用到素数分布,并在多个问题中取得了实质性突破。


  刘建亚说,这次获奖“是个好事”,但相对于学校、学院层面的备受震撼,他本人并没有大喜过望。“可以说,这个奖是我们之前多年工作的一个总结,是一种长时间的积累。”他转而表达了自己对科研工作的看法,谈起了数学作为理论科学的独特性。


  刘建亚在期刊《数学文化》的发刊词中这样写道:“子曰:'君子不器。'数学恰是一门不器之学,堪比孔子意义下的君子。”在刘建亚看来,数学本身是形而上学,有着自身的哲学意义与文化意义;虽然数学有用,但数学不以有用为自身的目的。数学家,是康德意义下“仰望星空的人”,是这个世界的观察者,不可能像富豪名媛那样得到社会的关注,“正如哲学家从来都不是全民投票产生的”


  也正是因为这个原因,刘建亚郑重提出了自己的建议:“我们要对做事情的人多一点耐心,只要他真的是在做事情。不管做的人还是看的人,都要对数学有点耐心。

 

 

数学家,这样存在

  做数学似乎是一个苦行僧的行当。刘建亚开玩笑说任何一所大学毕不了业的学生中有一半是学数学的,“对那些数学挂科的同学说,你们绝不孤独。”


  但数学又是一门充满魅力的学科,她是所有科学的女王,是一门真善美的学问,因而吸引着众多学子围绕在她身边。


  他们中的每个人,都怀揣着数学家的梦想。那么数学家,到底是怎么炼成的?又是一种什么样的存在?作为过来人的刘建亚跟我们谈了很多。


  他说,要成为数学家,你得有一点天资,虽然用不上所谓的“最强大脑”;必须要努力,没有人仅凭聪明就能成为数学家。除了这些,起重要作用的还有另一个因素:机遇。


  在刘建亚看来,数学研究是一个纯智力的创造性过程,并非“水到”就能“渠成”,或者“铁杵磨成针”。“铁杵磨成针”强调了积累的重要性,但是不足以导致数学突破的发生。在有了积累之后,突破的发生往往出人意料,往往由别的因素诱发,正如古人说的“功夫在诗外”。这些可能诱发突破的事件,就是所谓的机遇。突破恰似数学上的“奇点”,而奇点的性质是难以研究的。

 

   “机遇是什么?有时候很简单,就是在什么时候遇见什么人。”所以刘建亚非常支持学生走出去,跟做不同学问的人交流,在碰撞中产生灵感。


  相同的道理,有人说数学家的组织是个旅行俱乐部,常常坐十几个小时的飞机去地球的另一边,只为了见一个与自己有共同语言的人,聊上几个小时。因为遇见不同的人、说不同的语言往往能给人启发,也便有了可能“豁然开朗”的机遇。


  刘建亚笑言自己如今已沦为“半个数学家”,因为院长身份而来的行政事务占据了白天很多时间,所以他选择在晚上做数学并会做到很晚,出国交流期间更是可以集中精力做研究,“那个时候会猛做”。


  前几天,一位已经成为知名数学家的学生回来看望自己,说了这么一句话:好的数学家要拿命来换。刘建亚很认同,又在后面补充了一句:有的人拿命换也换不来。

 

数学之外更有书法,一直在心中从未被放下

  在刘建亚的办公室,还有一处特别的地方。那是一方书桌,桌上并没有铺开的宣纸,砚里的墨汁也已变干,几管大小不一的毛笔静静躺在那里。书桌旁边,却有厚厚的几摞字帖。“这里有我的一百来本字帖,好几十斤。”

 

  曾经,刘建亚在数学与书法的选择上有过一次激烈的思想斗争。当时的他顶住生活压力选择了数学。这也成为无数数学学子心中在面临抉择时的一个示范。如今,已过知天命年纪的刘建亚,在面对当时“被放下”的书法时,却是怎么都放不下。

 

  “现在的我可以努力做一个业余书家,未必是作为一种职业,但心里一直装着(书法)这件事。”他这么说。

 

 


  交谈中,刘建亚指着墙上悬挂的大幅书法作品说:“练书法就像是学数学。”数学需要不断做问题练手,书法需要不断练字,这是二者的相同之处。此外当二者达到一定程度,就不是仅靠多练就能进步了,而是需要前面提过的一点机遇。


  “数学需要一个奇点去创造,书法同样需要一个突破点去创作。”所以,对于事务繁多无法保证“一天仨小时练字”这样的情况,刘建亚也坦然接受。“每天都想着,或许比每天都写来得更为重要”,想着想着就想通了,然后就会“豁然开朗”。


  兜兜转转,数学与书法当年在留与弃之间角逐,如今又重归一体,不禁让人感慨,同时又欣慰于刘建亚对两者的“执念”终能双全。

 

 

寄语年轻人:做村里第一还是世界第一,你自己定

 

  怎么样才算成功?


  一位著名数学家在接受采访时说:“这个领域里的科学家,99%的人永远也不会取得成功。”对此刘建亚笑称,可能99%的人不会取得那位数学家那样的成功,但一个人有一个人的活法,而不同的人对成功的定义也不一样。如果将成功定义为种植红薯,那么99%的人都能成功。


  他还笑着给出了自己的一句“名言”:“我们不是高斯,但不能因此就跳楼啊,为什么呢?若是我们都跳楼了,那这个世界连欣赏高斯的人都没了”。


  即便是同一个人种红薯,是否成功也有不同的标准。“是选择安安稳稳做村里的第一,还是要去争个世界第一”,还要看自己对目标的定义。种红薯要想达到世界第一,估计也得有拿命来换的思想准备。


  对于现在的年轻人,刘建亚持有同样的态度。他建议大家在成长过程中最好是有个目标,“如果你有拿命来换的打算,就定个高一点的目标;如果不打算这么做,那就定个不高的目标。总之,既不能让目标很容易就实现,也别让自己承受不起。


  同时,追求不同性质的目标,会给人带来不同变化。刘建亚总结说:“你的目标越是不含私利,你就越是趋于哲学上的善。”

 

 

 

 

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把π做成音乐玩玩

 

 

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我们都知道圆周率π等于3.141592…是一个无限不循环的无理数,把这些数字与音符做好对应,比如1对应“do”,2对应“re”,3对应“mi”等等,得到的旋律会怎么样?

 

当然,只听一个声部音乐的不会感觉十分美妙。我们报合音也做好这样的简单对应,一起弹唱。

 

最后,314除以2,得到的157的每分钟节拍数(BPM)。

 

这样,我们就把π做成音乐玩啦,听听,好听不?

 

 

 

 

 

 

 

 

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让中学生能看懂的线性拟合最小二乘的证明

 

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我们有一组数据$x_1,x_2,\cdots,x_i,\cdots,x_n$,每个$x_i$对应着一个$y_i$,于是有了另外$n$个数据$y_1,y_2,\cdots,y_i\cdots,y_n$。现在假设数据大致分布在一条直线周围,我们要找出这条直线。

 

找的思路是这样的,假设这条直线是$y=ax+b$,因为会有误差,$(x_i,y_i)$这些点,一般来说不会都在这条直线上。你把$x_i$带进直线方程的右边的时候,得到都是数不一定正好是$y_i$,就是说$y_i-ax_i+b$可能不是零。为了保证偏差最小,我们希望$\sum(y_i-ax_i-b)^2$这个值最小。这就是最小二乘法的思想。那么取怎样的$a,b$能让他最小呢?

 

遗憾的是,大部分给出的求$a,b$的办法都是用拉格朗日乘数法。这个办法需要用多元微积分的知识才能解释,这是大学学习的内容。再不然就是什么矩阵范数什么的,是更高端的数学办法。网上也有人给出一些办法,是中学生也许能看懂,不过符号过于复杂,而且就是硬算,没有思想。这里哆嗒数学网的小编,给个中学生能看懂,而且有过程有思想,过程还很漂亮的办法。

 

第一步:计算平均数,这几个常数以后会用的。

 

$\overline{X}=\cfrac{1}{n}\sum x_i$     $\overline{Y}=\cfrac{1}{n}\sum y_i$ 。

 

第二步:做变换,中学时候也说是变形的。

 

$t_i=\cfrac{x_i-\overline{X}}{\sqrt{\sum(x_i-\overline{X})^2}}$     $s_i=\cfrac{y_i-\overline{Y}}{\sqrt{\sum(y_i-\overline{Y})^2}}$

 

这篇文章最精彩的部分就是这个变形了。变形之后你会发现$\sum s_i=\sum t_i=0$,平方和$\sum s_i^2=\sum t_i^2=1$,而且能知道他是一条新的直线。对新的直线进行拟合$s=ct+d$,还是要$\sum(s_i-ct_i-d)^2$最小。啊哦,是不是已经看到漂亮的轮廓了?当然好戏在后面。

 

第三步,当然计算不可少啦。

 

$\sum(s_i-ct_i-d)^2 = \sum(s_i^2+c^2t_i^2+d^2-2cs_it_i-2ds_i+2cdt_i)$

$=\sum s_i^2+c^2\sum t_i^2+ nd^2-2c\sum s_it_i-2d\sum s_i+2cd\sum t_i$

$=1+nd^2+c^2-2c\sum s_it_i$

 

这令$p=\sum s_it_i$,那么可以进一步得到结果为$1-p^2+nd^2+(c-p)^2$。要让这个式子的值最小,当然是是让$d=0,c=p$啦。

 

得到直线方程的结果$s=pt$。这个结果简直得太漂亮了!

 

最后一步,代回本来的结果啦。

 

 $\cfrac{y-\overline{Y}}{\sqrt{\sum(y_i-\overline{Y})^2}}=\sum\cfrac{(y_i-\overline{Y})(x_i-\overline{X})}{\sqrt{\sum(y_i-\overline{Y})^2}\cdot\sqrt{\sum(x_i-\overline{X})^2}}\cdot\cfrac{(x-\overline{X})}{\sqrt{\sum(x_i-\overline{X})^2}}$

 

即$y=\cfrac{\sum[(x_i-\overline{X})(y_i-\overline{Y})]}{\sum(x_i-\overline{X})^2}\cdot x+\overline{Y}-\overline{X}\cdot\cfrac{\sum[(x_i-\overline{X})(y_i-\overline{Y})]}{\sum(x_i-\overline{X})^2}$

 

就是说,令$a=\cfrac{\sum[(x_i-\overline{X})(y_i-\overline{Y})]}{\sum(x_i-\overline{X})^2}=\cfrac{\sum x_iy_i -n\overline{X}\overline{Y}}{\sum x_i^2-n\overline{X}^2},b=\overline{Y}-a\overline{X}$,就是我们经常见到的结果啦。

 

什么?最后一步不漂亮。额,这里说一个生活经验吧,当我看见一个远远看见一位“美女”的时候,那时是“盼望”,走近时还有“希望”,真正面相对时,咳咳——我很绝望。

 

 

 

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我们太过沉迷地把科学和数学强加于孩子们

 

 

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原文2014年12月29日发表于《华盛顿邮报》的网站上,作者Emily Eckart。哆嗒数学网为你翻译。

 

 

我小时候的愿望是成为一名科学家。在一次学校的活动中,我还打扮得和亚历山大·弗莱明(英国细菌学家,青霉素发现者)一样,做了培养面包霉的实验。我狂热追逐居里夫人的事迹,就像其他女生追逐他们的影星和歌星一样。微生物学、昆虫学、神经科学、药物学——都在召唤我去探索、发现那些隐藏显微镜和数学方程背后的基本事实。

 

然后,……,就没有然后了。

 

七年级的时候,我看了劳伦斯·克劳斯(美国理论物理学家和宇宙学家)的《原子》。书中跟随了一个原子从宇宙大爆炸开始写,一直写到现在。克劳斯说:他完全是由原子组成的,即便他最后死去,这些原子也会一直存在,去组成其他物体。这段显然是书中的一个小高潮,但却让我很不爽。这些微粒和细胞相互机械作用的目的是什么——我们为什么而活,我们应该做什么?

 

当我们文艺的心在“浪荡”的时候,我们的数学和科学老师的表达会让我们这些喜欢人文学科的人深切的失望。高中的时候,当我告诉我之前的科学老师我选择音乐专业的时候,他脸色很难看地说:“你的科学怎么了?”。

 

一般认为STEM专业(STEM是科学、技术、工程和数学的简称)是“最有价值的”——价值的意思是指容易找工作以及高的收入。各种推荐STEM的文章都有明确的焦点:工作和钱。高校的各种形式的假期培训也不断增加,但也只教一些对我们当今数字时代有用的实用技能。

 

我现在还是坚定的认为,年轻人学STEM专业是有好处的,但也是短视的。由于我们的数字时代的需求,我们只教量化操作的技能。对于能把思想转化成数字语言表达的数学和科学,受到大量的偏爱,并不让人感到奇怪。

 

但是,人文学科的捍卫者们也一直认为对历史、文学、艺术以及其他技能的培养对学生的成功更为关键。品读和解析文章,人文学科培养了清晰交流的能力,无论是口头的还是书面的。

 

不断前进的世界里,还有很多问题没有确切的答案。比如什么是伦理道德,以及什么是幸福人生。《教育领导》中,大卫·费雷罗总结人文学科非常完美:“自省的国民、睿智的领袖以及优秀的人”。

 

而现在没人讨论那些最基本的问题:为什么人文学科很重要。有种冲动想知道,我们为什么存在,生死意味着什么?——这些天性可以用散文、音乐和绘画来表达——但还是无法解释又不可争辩的和地球上各个文化联系起来。不承认这些人文活动的固有价值就是不承认人之所以为人的基本特性。

 

 

我决定把我的大学时光用于研究音乐和文学。我沉浸于弦乐四重奏和研究舒伯特的各种调式。我被《伍尔夫和乔伊斯》中的内容深深抓住。人文学科的课程让我学会分析,倾听和写作,去领会美,去探究人心的深处。和朋友们的预测相反,我没有失业,我在大学图书馆找了份工作。我的生活被各种音乐会和小说阅读充实着。我开始涉足幻想小说的写作,这个挑战让人兴奋和刺激,和以前遇到过的一样。

 

由于过分强调STEM,我们给自己制造了极大的风险。我们在阻碍甚至在丧失一些依托于人类主观感受的学科。我们必须培养科学家和工程师,但我们也不能忘记培养未来的诗人、艺术家、演员和音乐家。他们会不断说出无价的真理:那是道德选择的意义;那是超越肉体的意义,那是我们短暂生命的意义,那是艺术,那是我们的爱。

 

 

 

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数据科学家成为2015年最热门职业?

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据腾讯科技1月3日报道。

 

你擅长数学,会用Python编程,而且还对某个行业了如指掌?


如果你拥有这样的技能集,那你就有可能当上数据科学家。而如果你当上了数据科学家,那你的日子就可以过得风风光光了——LinkedIn的最新投票结果显示,“统计分析和数据挖掘” 是2014年最大的求职法宝。


美国招聘网站Glassdoor的报告称,数据科学家的平均年薪为118709美元(约合人民币737550元),而程序员的平均年薪为64537美元(约合人民币400974元)。麦肯锡公司的一份研究预测称,到2018年,在“具有深入分析能力的人才”方面,美国可能面临着14万到19万的缺口,而“可以利用大数据分析来做出有效决策的经理和分析师” 缺口则会达到150万。


该领域目前异常火爆,纽约大学数据科学中心课程的负责人罗伊•洛伦斯(Roy Lowrance)表示,现在可能已经到了巅峰期。“也许存在着泡沫,” 他说。 “无论什么事情,一旦变得这样火爆,之后就肯定就会冷下来。”不过,纽约大学希望在未来几年里扩大数据科学课程的招生规模,把学生人数从40名增加到60名。本学年还有五个月才会结束,但50%到75%的学生已经找到了比较理想的工作。


为什么该领域会变得如此火爆?琳达•博奇(Linda Burtch)是芝加哥的猎头公司博奇工程的董事总经理,她表示,尽管像谷歌、亚马逊、Netflix和Uber这样的高科技公司都有自己的数据科学团队,但那些非高科技公司,比如Neiman Marcus、沃尔玛、Clorox和Gap,它们现在也需要使用这方面的人才,“很多公司都在物色数据科学家,”她说。


这些公司希望,数据科学专业人才可以挖掘新的信息,来帮助公司开源节流。IBM负责大数据业务的副总裁Anjul Bhambhri表示,航空航天制造商Pratt & Whitney现在可以预测出飞机发动机何时需要进行维护,准确率达到97%,这可以帮助它更加有效地开展业务。
虽然IBM在本月刚刚推出了基于云计算的Watson Analytics免费增值工具,但是,为了分析非结构化数据,数据科学家常常不得不亲自动手编写专门的软件程序,这正是数据科学家必须掌握编程技巧的一个原因。

 

 

学校教育


洛伦斯说,数据科学家需要具备三项基本技能:数学/统计、计算机能力、在特定业务领域的知识。纽约大学数据科学中心希望招收至少具备其中一种技能的学生,然后培养他们掌握其他技能,让学生到毕业的时候,可以独当一面负责处理数据工作。 “在学习过程中,他们要做一些数据科学项目,这些项目需要他们用到这三种技能,”他说。


但是,如果你想成为一名数据科学,也不一定非得去大学读书才行。从今年9月开始,一家名为梅蒂斯(Metis)的公司开始在纽约举办为期十二周的数据科学训练营,费用为1.4万美元。报名的人非常之多,入学竞争相当激烈。梅蒂斯公司的联合创始人杰森•莫斯(Jason Moss)说,大约有一半的学生都拥有硕士或博士学位。


第一期训练营在12月初结束。莫斯说,不过几周, 15名学生中就有6名拿到了聘用通知。


“我不认为训练营可以替代大学教育,”莫斯说。“训练营可以提供一条捷径,让你以最快的速度找到一份工作,但大学的目的不在于此。但我也不认为你必须上大学才能成为一名数据科学家,”他说。“有一种人,他们天生具有好奇心,有勇气,有决心,总想把事情理出头绪,他们在这一行可以干得很好。”


Anmol Rajpurohit是一名独立的数据科学家兼顾问,他说,做这一行工作最重要的素质就是能够快速学习东西。“与专长于任何特定编程语言相比,泛型编程技巧远远更加重要,”他说。 “在如今这个时代,技术的发展突飞猛进,语言会很快过时,新的语言则将迅速普及。因此,学东西很快的人,会比单独领域的专家更有前途。”


洛伦斯说,他认为,在某些技能方面,训练营和网上课程可以为学习者提供很大的帮助。但在另外一些方面,它们的作用就就相对有限了。纽约大学的数据科学课程有一个优势,就是可以按照正确的先后顺序来培养你的技能。“我们的教学顺序可以让你循序渐进、融会贯通地掌握技能。”他说。

 

 


数据科学家要做哪些事?


游戏公司Playstudios的数据科学家乔恩•格林伯格(Jon Greenberg)说:“在日常工作中,我需要管理一系列控制面板,它们提供的信息可以让公司知道,我们的生意到底做得怎么样? 用户在做什么事情?”格林伯格现在是一名经理了,所以他编程的时候没有以往那么多,但是他有时候仍然需要编程。通常来说,他把数据从Apache Hadoop的存储器里调取出来,在分析平台Revolution R上运行它,并对它进行一些可视化处理。 “比如说,我们可以从中得知一部分用户如何与新推出的功能互动,”他解释说。


六年前,格林伯格拿到了统计学的硕士学位。他希望进入政府部门工作,但却惊讶地发现,公司企业非常需要数据科学家。 “那个时候,数据科学领域还没有现在这么火爆,,”他说。现在,他每天都能从猎头那里收到一个电话或一封邮件。 “这种情况不只是发生在我身上,”他说。“所有的数据科学家可能都是这样。”


对于格林伯格来说,就业机会很好只是一个加分项,因为他本来就热爱这一行。 “我认为,要做数据科学工作,你必须得有分析头脑才行,而且还得有好奇心,”他说。“你必须得有灵活性和创造性,构思出不同的方法来解决问题。”这项工作的唯一缺点,格林伯格说,就是“清洁”数据(去掉那些没有相关性的结果)需要花费大量时间。“这部分任务并不是那么招人喜欢,你得花很多时间来做它。”他说。


Rajpurohit说,他花了很多精力来清洁数据和做研究。 “我很大一部分时间都花在做研究上,因为我经常会遇到全新的问题,因此,我需要研究特定领域最新文献,或者是找找专家,听听他们在这方面的看法,”他说。


“尽管数据科学这个名字和艺术毫不沾边,但是你需要把艺术和科学很好地结合起来。科学的部分很明显——数学,程序设计等等。但艺术部分是同样重要——创造力,对语境有着深刻的理解。把这两部分结合在一起,你就会变得善于解决问题。”


尽管如此,Rajpurohit也承认,数据科学并不像眼下很多人以为的那样善良迷人。这个领域确实是在变得越来越重要,而且也出现了很多高薪机会,但在数据科学家需要做的日常工作中,有很多其实都很枯燥。

 

 


你是当数据科学家的料吗?


每天花大量时间来编程,分析控制面板上的数据,获得相关信息,如果你对这样的工作感兴趣,那么你可能就适合干这一行。但如果你仅仅是想拿高工资,那么你可能就会觉得这样的日子过起来苦不堪言。你要知道:真正适合干这一行的人,常常会在业余时间里编写程序,分析数据,而他们这样做只是为了自娱自乐。


亚当•弗洛葛尔(Adam Flugel)是博奇公司的数据科学招聘猎头,他谈到了最近遇到的一名候选人。此人拥有博士学位,今年秋天将去电艺公司(Electronic Arts)工作。“真正让他脱颖而出的是优势是,他在空闲时间也做这种事情,而且纯粹就是为了好玩,”弗洛葛尔说。“他是多人在线游戏世界《坦克世界大战》的玩家,领导着一个玩家团队。于是他编写了一个从游戏服务器抓取数据的程序,然后进行数据分析,评估自己团队的表现。然后他利用这些信息来弄清应该如何调整自己的战略,应该招收哪些类型的成员,才能提升团队的整体表现。”


所以,如果你爱的并不是数据本身,而是它可以给你带来的高薪,那么你会发现,自己很难与那样的人竞争。但是博奇说,每个人都应该学会热爱数据,即便只是为了自己事业前途着想,也该这样做。 “十年之内,如果你不是数据大咖,你就别想升到‘首席XX官’的位置上”博奇说。


但是像史蒂夫•乔布斯、比尔•盖茨那样的情况又怎么解释呢?他们拥有远见卓识,并没有陷入数据科学的细枝末节之中。“那是30年前的事了,”博奇说。 “我说的是未来10年。”

 

 

 

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印度科技部长:勾股定理和代数都是印度的

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据《印度时报》网站报道,第102届印度科学大会在印度的孟买大学日前召开。刚上任不久的印度科技部部长瓦德汉博士在会议间不断强调和赞扬了古代印度的科学贡献。他表示,印度人无私地向世界分享了他们的科学知识。那么大家一起随哆嗒数学网的小编一起看看,这位部长还说了什么。


瓦德汉部长说:“我们的科学家发现了毕达哥拉斯定理(中国称作勾股定理),我们却世故的把荣誉给了希腊人。我们都清楚我们比阿拉伯人早太多得知道'beej ganit'(印度对代数的称呼),但我们仍然无私地允许它仍被唤作代数。”


实际上,这次大会非常隆重,并非一次“山寨”大会。印度总理莫迪也亲自到会参加活动。另外,还开辟了由诺贝尔奖得主、著名科学家和学术人参加的各种讨论分会。

印度的一些数学专家对这位部长的话却不以为然。一位孟买大学的教授说:“我们知道印度人为数学做出过杰出的贡献。但是,当我听到瓦德汉那样说的时候,还是很吃惊。也许,他所理解的数学和我们学术人所理解的有很大差异。”


但是,瓦德汉的言论也有支持者,他们说印度的贡献是不容忽视的。另外的一些教授说:“我们给予了世界‘0’。数学里的一切,无论是代数还是别的分支,我们必须从‘0’开始。所以我们不能忽视我们曾经对数学做出的贡献。” 瓦德汉部长还组织举办了一场题为印度之骄傲的科技展览,展示了技术、产品、研发计划以及学者。

相比之下,总理莫迪的发言还算中规中矩。莫迪说,我们需要重燃对科学与技术的爱,并且放松一些对大学不必要的管制来促进科研。

 

莫迪说:“我们的科学家应该可以去探索科学的奥秘,而不是在一些繁文缛节上羁绊太多。我们必须改变大学的体系,从砍掉我们国家的一些边缘的研究和开发活动开始。”不过,莫迪也同时强调,研究还是会有一些限制,但要给出宽泛的空间。

 

莫迪还表示出了对未来的关心,他说:“我们的孩子们都把体育明星当作偶像,科学家们也应该一样被当作偶像。爸爸妈妈们应该为自己的孩子成为科学家而感到骄傲。”

 

本次科学大会还有别的“奇景”:一位退休飞行教练在大会上指出印度人早在7000年前就发明了飞机,而且是能进行星际飞行的飞机。

 

 

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清华大学特等奖学金得主:我梦想成为数学大师

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编者按: 2013-2014学年度,清华大学共有9名本科生、10名研究生获得“特等奖学金”。本文描述的邱聪灵还有一句名言:“与数学这么美妙的东西相比,百万美元又算什么!”本文原文来自清华大学:http://www.tsinghua.edu.cn/publish/newthu/9351/2015/20150105132748922958591/20150105132748922958591_.html

“我从小热爱数学,以数学大师为英雄。我心目中的大师有两种。一种做出开创性工作,如陈省身先生,三篇论文奠定整体内蕴几何学基础,并培养了一大批杰出的几何大师;另一种则解决伟大的问题,如Wiles,证明了困扰世界358年之久的费马大定理。我梦想成为大师,成为这样的英雄。”这是获得2014年度清华大学本科生特等奖学金的邱聪灵的个人自述,这也是他从进入清华以来一直为之努力的方向。
 
与大部分学生一样,邱聪灵一考入清华学堂数学班的,就摆脱了原来枯燥的高中学习生活,仿佛进入了一个全新的世界。大一军训拉练的第二天,当大家都还在休息的时候,他就在图书馆啃了一天的数学书,这里是一个崭新的世界。他说,在这个新世界中,学数学就像呼吸一样自然和必要。
 
初窥门径的邱聪灵更加如饥似渴地探索这片美丽的新大陆。他超前选修和旁听了很多高年级甚至研究生的课程,并参与了十门数学科学中心邀请国外知名数学家开设的前沿课程。他说:“学的越多越是感动于数学的美妙,因此即使磕磕绊绊也根本停不下自己探索的脚步。”大学前三年,他的学分绩一直排在年级第一,22门专业课有4门满分,10门98分以上,他还获得了丘成桐大学生数学竞赛全能金牌、几何金牌,团体、代数银牌。
 
虽然获得了一些成绩,但邱聪灵深知一个数学大师不只在于他们能掌握并使用许多数学知识,更在于他们有原创的想法。随着学习的深入,创造的冲动归于平静,随之而来的是对数学创造更深的理解。他说:“现今数学的任何一个领域都至少有几十年甚至数百年的发展,创造谈何容易。真正的数学创造应该是来自精神深处的洪流,而不是为创造而创造。” 现在,他鼓起勇气钻研最前沿,最深奥的理论,“即使不能做,也要心怀大问题。”
 
除了自己的钻研,邱聪灵也从华罗庚先生为工人、农民讲解运筹优化的经历体会到,真正的数学大师不仅发展数学科学,也能创造数学文化。因此,他组织和参与了许多讨论班,和同学们共同进步。他还担任学术系刊《荷思》的副主编,努力提高《荷思》的影响力。他坚持给学校后勤部的职工们辅导了一年数学,希望能用数学知识帮助他们改进工作。渴望成为大师的同时,邱聪灵也希望帮助更多的人认识和进入美丽的数学世界。

 

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2015年北京大学数学专业数学分析考研试题及答案

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2015年北京大学数学专业数学分析考研试题及答案

 

答案由哆嗒数学网的数学Geek们提供,如有疏漏,敬请各位指正。

感谢:天书、鼠阿大、龙凤呈祥、Daivid、微尘、Veer的大力支持

特别感谢上海交大的姚老师的指正。

 


1. 计算 $\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\int_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt-x} {\sin x-x}$.


2. 讨论广义积分 $\int_1^{+\infty}\Big[\ln\Big(1+\dfrac1x\Big) -\sin{\dfrac1x}\Big]\,\mathrm dx$ 的敛散性.


3. 函数 $f(x,y)=\begin{cases} \Big(1-\cos\dfrac{x^2}y\Big)\sqrt{x^2+y^2}, &y\ne0;\\0, & y=0.\end{cases}$ $f (x,y)$ 在 $(0,0)$ 可微吗? 证明你的结论.


4. 计算 $\int_L e^x\Big[\big(1-\cos y\big)\,\mathrm dx-\big(y-\sin y\big)\,\mathrm dy\Big]$, 这里 $L$ 是曲线 $y=\sin x$ 从 $(0,0)$ 到 $(\pi,0)$.


5. 证明函数级数 $\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{\cos{nx}}{n^2+1}$ 在 $(0,2\pi)$ 一致收敛, 并且在 $(0,2\pi)$ 有连续导数.


6. $x_0=1$, $x_{n+1}=\dfrac{3+2x_n}{3+x_n}$, $n\geq 0$. 证明序列 $\{x_n\}$ 收敛并求其极限.


7. 函数 $f\in C^2(\Bbb R^2)$, 且对于任意 $(x,y)\in \Bbb R^2$, $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)+\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)\gt0$. 证明: $f$ 没有极大值点.


8. $f$ 在 $[a,b]$ 连续, 在 $(a,b)$ 可导, 且 $f(b)\gt f(a)$. $c=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$. 证明: $f$ 必具备下述 两条性质中的一个:
(1) 任意 $x\in[a,b]$, 有 $f(x)-f(a)=c(x-a)$;
(2) 存在 $\xi\in(a,b)$, 使得 $f^\prime(\xi)\gt c$.


9. $\mathbf F\colon\Bbb R^3\to\Bbb R^2$ 是 $C^1$ 映射, $x_0\in\Bbb R^3$, $y_0\in\Bbb R^2$, $\mathbf F(x_0) =y_0$, 且 $\mathbf F$ 在 $x_0$ 处的 Jacobi 矩阵 $\mathbf{DF}(x_0)$ 的秩为 $2$. 证明: 存在 $\varepsilon\gt0$, 以及$C^1$ 映射 $\gamma(t)\colon(-\varepsilon,\varepsilon)\to\Bbb R^3$, 使得 $\gamma^\prime(0)$ 是非零向量, 且 $\mathbf F(\gamma(0))=y_0$.


10. 开集 $U\subseteq\Bbb R^n$, $f\colon U\to\Bbb R^n$ 是同胚映射, 且 $f$ 在 $U$ 上一致连续. 证明: $U=\Bbb R^n $.

 

 

 

参考答案:

 

1. 计算 $\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\int_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt-x} {\sin x-x}$.
由罗必塔法则有:


$原式=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{ e^{-x^2}-1} {\cos x-1}=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{ {-x^2}} {-\frac{x^2}{2}}=2$

 

 

2. 讨论广义积分 $\int_1^{+\infty}\Big[\ln\Big(1+\dfrac1x\Big) -\sin{\dfrac1x}\Big]\,\mathrm dx$ 的敛散性.


$\lim\limits_{x\to+\infty} \left|\cfrac{\ln\Big(1+\dfrac1x\Big) -\sin{\dfrac1x}}{\dfrac{1}{x^2}}\right|=\left|\lim\limits_{u\to0} \cfrac{\ln\Big(1+u\Big) -\sin{u}}{u^2}\right|$
$=\left|\lim\limits_{u\to0} \cfrac{\dfrac{1}{1+u}-\cos{u}}{2u}\right| = =\left|\lim\limits_{u\to0} \cfrac{-\dfrac{1}{(1+u)^2}-\sin{u}}{2}\right|=\dfrac{1}{2} $

所以绝对收敛

 

3. 函数 $f(x,y)=\begin{cases} \Big(1-\cos\dfrac{x^2}y\Big)\sqrt{x^2+y^2}, &y\ne0;\\0, & y=0.\end{cases}$ $f
(x,y)$ 在 $(0,0)$ 可微吗? 证明你的结论.

解:不可微,证明如下

若$f(x,y)$在$(0,0)$可微,则在$(0,0)$的某邻域有:
存在$A,B$使得$f(x,y)=f(x,y)-f(0,0)=Ax+By+o(\sqrt{x^2+y^2})$
于是$f(0,y)=0=By+o(y)$,得到$B=0$。
$f(x,0)=0=Ax+o(x)$,得到$A=0$
于是$f(x,y)=o(\sqrt{x^2+y^2})$,
但$\dfrac{f(\dfrac{1}{n},\dfrac{1}{n^2})}{\sqrt{(\dfrac{1}{n})^2+(\dfrac{1}{n^2})^2}}=1-\cos1\not\to0$矛盾

 

 

4. 计算 $\int_L e^x\Big[\big(1-\cos y\big)\,\mathrm dx-\big(y-\sin y\big)\,\mathrm dy\Big]$, 这里 $L$ 是曲线 $y= \sin x$ 从 $(0,0)$ 到 $(\pi,0)$

 

解: 令$D$为$y=0$从$(\pi,0)$到$(0,0)$,$D'$为$y=0$从$(0,0)$到$(\pi,0)$,则$L$与$D$构成单连通区域$\Omega$的边界。
于是由格林公式
$原式=\int_{\partial\Omega} \Big[e^x\big(1-\cos y\big)\,\mathrm dx-e^x\big(y-\sin y\big)\,\mathrm dy\Big]+\int_{ D'} \Big[e^x\big(1-\cos y\big)\,\mathrm dx-e^x\big(y-\sin y\big)\,\mathrm dy\Big]$,
$=-\iint_{\Omega} \Big[\dfrac{\partial (-e^x\big(y-\sin y\big))}{\partial x}-\dfrac{\partial(e^x\big(1-\cos y\big))}{\partial y}\,\mathrm dx\,\mathrm dy\Big]+0$
$=\iint_{\Omega} ye^x\mathrm dx\mathrm dy$
$=\int_0^\pi e^x\mathrm dx\int_0^{\sin x} y\mathrm dy$
$=\dfrac{1}{2}\int_0^\pi e^x\sin^2x\mathrm dx$
$=\dfrac{1}{2}(\sin^2 xe^x|_0^\pi - \int_0^\pi e^x\sin2x\mathrm dx)$
$=-\cfrac{1}{2} \int_0^\pi e^x\sin2x\mathrm dx$
最后的那个定积分,分部积分两次可得一方程,解得
$原式=\dfrac{1}{5}(e^\pi-1)$

 

5. 证明函数级数 $\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{\cos{nx}}{n^2+1}$ 在 $(0,2\pi)$ 一致收敛, 并且在 $(0,2\pi)$ 有连续
导数.

证: 由$n>1$时,$\left|\dfrac{\cos{nx}}{n^2+1}\right|\le\dfrac{1}{n^2}$,由M判别法得到级数一致收敛。
在任意关于$x=\pi$对称的闭区间$[\pi-p,\pi+p]\subset(0.2\pi)$上考察,
首先每个一般项可导,且$(\dfrac{\cos{nx}}{n^2+1})'=\dfrac{n}{n^2+1}\cdot (-\cos{nx})$,连续。
对于函数$h(x)=\dfrac{x}{1+x^2},x\ge1$有$h'(x)=\dfrac{1-x^2}{(1+x^2)^2}\le0$,
说明$\dfrac{n}{1+n^2}$单调递减趋于$0$。
再注意到$\sin{\dfrac{2n+1}{2}x}-\sin{\dfrac{2n-1}{2}x}=2\cos{nx}\sin\dfrac{ x}{2}$
于是,时有,$\left|\sum_{k=0}^n(-\cos{kx})\right|=\left| \dfrac{1}{2}\dfrac{\sin{\dfrac{2n+1}{2}x}+\sin\dfrac{x}{2}}{\sin\dfrac{ x}{2}}\right|\le \dfrac{1}{\cos\dfrac{p}{2}}$
说明$\left|\sum_{k=0}^n(-\cos{kx})\right|$一致有界。
由狄利克雷判别法知,一般项求导后的级数一致收敛。
又逐项求导定理知,在这个闭区间上,原函数项级数可导,且导函数连续。
对任意 $x\in(0,2\pi)$,只需取$p_x=\min\{\dfrac{x}{2},\pi-\dfrac{x}{2}\}$,在闭区间$[\pi-p_x,\pi+p_x]$做上述讨论即可。

 

 

6. $x_0=1$, $x_{n+1}=\dfrac{3+2x_n}{3+x_n}$, $n\geq 0$. 证明序列 $\{x_n\}$ 收敛并求其极限.

解: 注意到:$x_n>1$,$x_1=\dfrac{5}{4}>x_0$,于是$x_1-x_0>0$。
注意到:$x_{n+2}-x_{n+1}=\dfrac{3+2x_{n+1}}{3+x_{n+1}}-\dfrac{3+2x_{n}}{3+x_{n}}=\dfrac{6(x_{n+1}-x_n)}{(3+x_{n+1})(3+x_n)}$
知$x_{n+1}-x_{n}$的符号都与$x_1-x_0$相同,说明$x_n$单调,
而$x_{n+1}=\dfrac{3+2x_n}{3+x_n}=2-\dfrac{3}{3+x_n}<2$
从而$x_n$有界,$x_n$极限存在,记作$x$,在递推式令$n\to+\infty$得到:
$x=\frac{3+2x}{3+x}\Rightarrow x^2+x-3=0\Rightarrow x=\dfrac{-1\pm\sqrt{13}}{2}$
因$x_n>0$知有:$\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=\dfrac{\sqrt{13}-1}{2}$
注意:在搞定$1$和$2$的上下界后,用上下极限的知识,可以迅速搞定。另外可以由数列的压缩性来证明极限的存在性。

 

7. 函数 $f\in C^2(\Bbb R^2)$, 且对于任意 $(x,y)\in \Bbb R^2$, $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)+\dfrac
{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)\gt0$. 证明: $f$ 没有极大值点。

证: 设$f$在$(a,b)$出取得极大值,则有$f_x(a,b)=f_y(a,b)=0$。
那么$f(x,b)$在$x=a$的某领域内有$f(x,b)-f(a,b)\le0$,
在这个邻域内使用由中值定理,则存在$x$与$a$之间的某数$c_x$,
使得$f(x,b)-f(a,b)=f_x(a,b))(x-a)+\dfrac{1}{2}f_{xx}(c_x,b)(x-a)^2=\dfrac{1}{2}f_{xx}(c_x,b)(x-a)^2\le0$
得到$f_{xx}(c_x,b)\le0$
令$x\to a$,则$c_x\to a$,得到$f_{xx}(a,b)=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a,b)\le0$
同理可证$\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a,b)\le0$。
于是$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a,b)+\dfrac {\partial^2 f}{\partial y^2}(a,b)\le0$。矛盾。

注意:利用黑塞矩阵相关手段,会有更简洁的表达。

 

8. $f$ 在 $[a,b]$ 连续, 在 $(a,b)$ 可导, 且 $f(b)\gt f(a)$. $c=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$. 证明: $f$ 必具备下述两条性质中的一个:
(1) 任意 $x\in[a,b]$, 有 $f(x)-f(a)=c(x-a)$;
(2) 存在 $\xi\in(a,b)$, 使得 $f^\prime(\xi)\gt c$.

定义$F(x)=f(x)-f(a)-c(x-a)$
令$F(x)=f(x)-f(a)-c(x-a)$,有$F(a)=F(b)=0$
若$F(x)$恒为$0$,则满足条件(1)
否则存在$y\in(a,b)$,$F(y)\neq0$
现在只需证明存在$\xi\in(a,b)$,$F'(\xi)>0$
由中值定理存在$\eta\in(a,y)$及$\zeta\in(y,b)$满足:
$F'(\eta)=\dfrac{F(y)-F(a)}{y-a}=\dfrac{F(y)}{y-a}$及$F'(\zeta)=\dfrac{F(y)-F(b)}{y-b}=\dfrac{F(y)}{y-b}$
因为$y-a,y-b$异号,故$F'(\eta),F'(\zeta)$中必有一个为正数

 

9. $\mathbf F\colon\Bbb R^3\to\Bbb R^2$ 是 $C^1$ 映射, $x_0\in\Bbb R^3$, $y_0\in\Bbb R^2$, $\mathbf F(x_0)=y_0$, 且 $\mathbf F$ 在 $x_0$ 处的 Jacobi 矩阵 $\mathbf{DF}(x_0)$ 的秩为 $2$. 证明: 存在 $\varepsilon\gt0$, 以及 $C^1$ 映射 $\gamma(t)\colon(-\varepsilon,\varepsilon)\to\Bbb R^3$, 使得 $\gamma^\prime(0)$ 是非零向量, 且$\mathbf F(\gamma(0))=y_0$。

 

证: 记$\overrightarrow{x}\in\mathbb{R}^3$,$(\overrightarrow{x})_i$为$\overrightarrow{x}$的第$i$个分量。
由于${\rm rank}J\mathbf{F}=2$,所以存在一个二阶子式非零,不妨设$\left.\dfrac{\partial(f_{1},f_{2})}{\partial(x_{1},x_{2})}\right|_{\overrightarrow{x_{0}}}\neq0$
考虑映射$\mathbf{f}:\mathbb R^3\to\mathbb R^3 ,\overrightarrow{x}\mapsto (\mathbf{F}(\overrightarrow{x}),(\overrightarrow{x})_{3})$
那么$\mathbf{f}$在$\overrightarrow{x_{0}}$处的雅可比行列式$\left.\det\left(\begin{matrix}\dfrac{\partial(f_{1},f_{2})}{\partial(x_{1},x_{2})}&\\&1\end{matrix}\right)\right|_{\overrightarrow{x_{0}}}\neq0$
记$a=(\overrightarrow{x_{0}})_{3}$,根据局部的逆映射定理,存在$(\overrightarrow{y_{0}},a)$邻域上的映射$\mathbf{T}$满足$\mathbf{f}\circ\mathbf{T}=\mathbf{\mathscr E}$
因此存在$a$的邻域$I=(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$使得$
\mathbf{f}\circ\mathbf{T}(\overrightarrow{y_{0}},x)=(\overrightarrow{y_{0}},x),\forall x\in I$
令映射$m(t)=a+t,t\in(-\varepsilon,\varepsilon)$
那么考虑$\gamma(t)=\mathbf{T}(\overrightarrow{y_{0}},m(t))$
显然$\gamma\in C^1$且$\gamma'(0)\neq0$,而且$\mathbf{F}(\gamma(0))=\overrightarrow{y_{0}}.$

 

 

10. 开集 $U\subseteq\Bbb R^n$, $f\colon U\to\Bbb R^n$ 是同胚映射, 且 $f$ 在 $U$ 上一致连续. 证明: $U=\Bbb R^n $.

证: 设$U\not=\mathbb{R}^n$,取$x\in \overline{U}\setminus U$,则存在$U$中的点列$x_n$收敛于$x$。

由一致连续性,对给定$\epsilon >0$,存在$\delta>0$,当$s,t\in U,\|s-t\|<\delta$时,$\|f(s)-f(t)\|<\epsilon$

于是存在自然数$N$,当$m,n>N$时$|x_m-x_n|<\delta$,于是$\|f(x_m)-f(x_n)\|<\epsilon$

说明$\{f(x_n)\}$柯西列,设$f(x_n)\to y,n\to\infty$。

得到$x_n=f^{-1}(f(x_n))\to f^{-1}(y)$。

即$x=f^{-1}(y)\not\in U$,矛盾。

 

感谢阅读。

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