所谓悖论就是矛盾的命题。众所周知，数学是非常追求严谨的。在数学中是绝对不允许悖论存在的。因为数学体系内部“可能存在”的悖论，历史上引发了三次数学危机，让数学家们费尽了心神。好在结果是好的，总算解决问题，解决危机。

    但是，现在危机又来了！

    据世界数学联盟主席马斯•马提卡透露，由于这次危机来的过于迅猛，让数学界是如此的措手不及。

   这次引发危机的主要是下面三个悖论。且听哆嗒数学网的小骗向你慢慢道来

一、    自然数悖论。
自然数是数学的基石，我们一直认为有无穷多个自然数彼此不相等。但是，最新的结果太令人震撼了——其实所有自然数居然是全部是相等的。
证明过程大致如下：
对于自然数m和n。设max(m,n)表示m和n中的最大值。如果max(m,n)=0，则有m=n=0。现在假设max(m,n) = k 时有m=n,则max(m,n)=k+1时有max (m-1,n-1)=k。 就是说m-1=n-1。得到m=n也成立。于是由归纳法得到结论。

二、圆周率悖论
    圆周率π是曾经是数学里最重要的无理数之一。但最新结果表明，他是有理数，而且是自然数，就等于4。请参见下图：

 
三、    虚数单位悖论
我们中学学的复数现在也不靠谱了。就在于那个平方等于-1的虚数单位i。 这回悖论产生更简单，只需要一个式子：

   现在马斯•马提卡主席已经召集世界上的数学权威人士，一起商讨危机的解决方案，用以拯救生命岌岌可危的数学学科。

   哆嗒数学网，小愚4月1日为您报道。

 

 

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作者系道格拉斯·霍夫斯塔特，美国印地安纳州布鲁明顿印地安纳大学认知科学教授。

嗨！欢迎光临！此刻我算是老板（真走运）！

先请你看一下圆周率π，或说得更准确一点儿，是它的十进位展开式中的前几位：

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944....

你是否曾对中的数字排列如此混乱而感到困惑？为什么 “圆的周长含有多少个直径的长度” 这样一个简单而又自然的问题，竟导致这么一个玄奥难解的数，它不仅不是整数，甚至也不是两个整数之比？

再看看下面的数字花样：

1, -3, 5, -7, 9, -11, 13, -15, 17, -19, .....
你会想到它和圆的直径或周长有某种关联吗？可能不会。怎么可能呢？奇数列和圆周会有什么关系？为什么这些奇数的符号还变来变去？再让我们对这个模式做一点儿小小的修改，将这些奇数改为其倒数，并在它们之间添上加号：

1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15 + 1/17 - 1/19 +.....

这个新的模式描绘了一种沿着数轴的锯齿状的运动。从1开始，然后向左1/3，再向右1/5，又向左1/7，再向右1/9，如此继续下去。当然，步长会变得越来越短，所以你会看出我们不可避免地逐渐瞄准到了一个特定的点，这个点明显地会大于2/3而又小于1。这个点到底在数轴上什么地方？这样的问题是否值得关注？

在告诉你这个点是什么之前，让我先问一下，你是否真的在乎了解这个问题？有的人会觉得这种涉及无限的模式很吸引人，甚至感到神奇；而另外一些人则会耸耸肩说：“这算什么？谁会在乎这个？”这两种态度反映出在人类成员中的一种根深蒂固的一分为二的状况。有时我会感到迷惑不解，那些说“不在乎”的人，到底是由于天生或遗传上就对数学的美和魅力有某种“免疫力”呢，还是需要有合适的人出来对他们讲合适的话，或给他们举出合适的例子，再或者给他们看合适的图片，才能使他们睁开眼敞开心灵，看到数学的魅力。我并不知道这类问题的答案，但我觉得，如果到目前为止你还在读这篇前言而不是在打鼾，那你还算是至少对数学及其模式的迷人之处可能有点感觉的人。

那么我刚才所讲的数轴上的那个点究竟在哪里？下面就是答案（可以肯定不是显而易见的！）：

1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15 + 1/17 - 1/19 + ....= π/4

这意味着，被用作在数轴上左右来回运动步长的奇数的倒数，与完美的曲线圆和它的笔直的直径之间，有着不可思议的密切关系。这样一种奇特的事实究竟来自何方？

圆周率π到底是高深莫测还是极为简单？如果你知道如何去看它，它就变得非常简单；而最明显的作法（如列出其十进制展开式）却使之变得不可想象地棘手难解。从事数学就是如此。对以正确的适当方式去观察模式的人，秘密是敞开的；而对那些没能摸到窍门儿的人来说，秘密就掩盖着。

人类从事数学已有几千年了，许许多多的秘密已被发现，当然也已被公开了，从而在横跨几大洲的范围内，通过对隐藏在数学中的关键性模式的建构和分享，达成了某种集体共识。但是不管学习了多少这类关键性的模式，似乎没人能达到这样一种状态，即对所遇到的每一个挑战都能通过应用已知的模式加以解决。为了取得新的进展，常常需要有全新的想法。这些想法是突然闪现的，似乎真正是来自天才的头脑。

为什么会是这种情况？为什么数学总是要求有天才的灵光闪现呢？我们大家都记得在小学时，只要学会了几条固定的规则，就能把任意两个数相加，乘法、减法和除法的情况也是如此。（想象一下，如果只是把一组数字加到一起都需要天才的创造力的话，那日子真是没法过了！人们有时的确会说到“很有创意的记帐法”(这是英语中一个讽刺的词，用来指公司在帐上玩花样以蒙骗股民。一般记帐只需要算术的加减乘除。[译者注])之类的话，但那完全是两回事…）也许你知道求某个数平方根的技巧，有点像是长除法。不管怎样，小时候父亲就教过我，我曾花费了大量的时间计算2、3、5 等数的平方根，这给我带来了极大的乐趣，但这并不需要创造力——实际上涉及的创造力是零。

与此类似，一个孩子也可以使用简单的硬性的计算规则，列出一个递增的素数表：

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,59....

做法是十分简单和机械性的，但是，这种简单的体力劳动所得到的结果却显得十分混乱。除了看出头一个素数之后的所有素数都是奇数外，其中还有什么别的模式？为什么前后两数之差在上下跳动：2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, ....? 正如你可能会想到的，不久表中就会出现某个“8”，然后在某处会现“10”，并且随后就会有越来越大的偶数出现在这个差值列表中。但是，模式是什么？

在某种意义上，你也可以说没有模式。然而在这个序列中，的确存在着不可思议的，隐藏着的规律性。这里涉及的是它的增长率。简而言之，当 n 越来越大趋于无限的过程中，第 n 个素数的值越来越接近 n log n，其中“log n”是自然对数，意思是说，当它是著名的常数 e 的幂时，我们可得到 n。这里我不打算定义 e 或是自然对数，因为我这里要表述的观点与这些技术细节无关。我要讲的是，在数学中，每当遇到一个表现为混沌的现象时，最终都会表明，原来都是具有某种意外的、隐藏着的模式的；但是，每次都需要有新的创造力去辨认出这些模式，然后还需要有进一步的创造力去严格证明这些模式。

就上面所讲的“素数定理”而言，直到1900年左右这个重要的结果才最终得到了证明，在阿达马（Jacques Hadamard）和德·拉·瓦莱·布森（Charles-Jean de la Vallée Poussin）令人惊叹的证明中，用到了复数的解析工具。目的是为了解释素数序列的密度(素数定理的另一结果是：不超过n的素数的数目，随着n的增大趋近于n/logn。[译者注])，而通过的却是万万想不到的门径！但是话又说回来，谁又曾料到基于奇数的倒数的无限来回又能和圆及其直径发生关系呢？

你可能还不清楚我讲所有这些到底是为了说明什么。其实很简单，简而言之，我的意思是说要发现数学问题的答案，似乎从来就没有像做算术演算那样的固定处方。从事数学，事实上是在挑战最伟大的人类心灵，因为和机械式地自动操作相反，它不断地要求产生新的思想。

为什么情况会是这样？为什么研究数学和算术演算会如此不同？难道就不可能存在固定的一套方法用以得到所有的数学证明吗？这套规则可能会多于在小学里学到的加法和除法等规则，也可能更困难，或者更微妙精细，但难道就不可能在原则上是存在的吗？

事实上，这正是二十世纪初在数学家们心中的普遍信念——必然会存在某种固定的，严格的规则集合，用一个完全不用思考的自动机，能够完全机械地产生所有的数学真理。数学家们为什么会相信这个？因为他们是证明概念的信奉者，而在十九世纪，证明概念的焦点变得越来越清晰，所谓一个证明似乎就是在一个形式公理系统内部进行严格符号操作而得到的必然结果。

换句话说，纯逻辑似乎可以通过称为“符号逻辑”的一套形式规则被机械化，然后向里面输入几条特定的公理（例如，交换律、结合律和分配律，加上“数学归纳法”），然后开始运作就行了！人们可以得到这样的机器，至少在原则上用它可以一个接一个地输出数学真理，并且从原则说，每一条真理都能或迟或早地从这台机器中产生出来。

这就是当时数学家们关于他们的学科的普遍信念。你可能会认为，他们在想到这一点时多少会有些失落感，甚至觉得受到威胁，因为这意味着在他们专业中的一切都可用一台无心灵、无思想、无理解力的自动机或机器人来替代完成。但是，使人感到奇怪的是，这种前景并未使数学家们感到困扰；事实上，倒是使他们对自己学科的高度规范，高度一致，高度精确有了进一步的信心。

随后，在1931年，伴随着年青的奥地利逻辑学家库尔特·哥德尔的出现，这种想法被打得粉碎。25岁的哥德尔瞄准将数学视为机械地符号操作的观念，证明其内部潜藏着致命的矛盾。只要你将一台产生真理的机器交到哥德尔手上，他就会检验一下它的结构，瞬时间就交给你一个你的这台机器永远也产生不出来的真数学命题。至于他怎么知道这台机器产生不了这个命题？他怎样利用这台机器的结构制造了这样一条它永远产出不了的真的数学命题？那好办，阅读完此书你就会知道了。最重要的是，哥德尔完全摧毁了将数学视为纯粹机械性活动的观念。他确凿地表明，创造性的思想将永远体现在数学中，创造力将永远是必需的。在所有这些事情中，最令人惊叹的是，年轻的哥德尔是证明了事实的确是如此。他的证明，是地球上所有曾进行过的数学思考中最有创意的成果之一。

所以数学虽然是一门有关模式和规则的科学，但是从其本性来讲却并不是一个总体模式或总体规则而已。数学自身的本质在于，虽然它包括模式，而模式又构成模式（如此这般以致无穷），然而总会有不能预见到的在新的层次上的模式；新的层次上的模式总是会使人感到意外，总是好像在回避先前已有的思维方式。

哥德尔定理是如此奇妙，如此使人惊喜！虽然在我看来，1931年看到这一点的数学家们应该感到高兴才是，但是相反地，他们却是如此难以接受。数学家们一直沉浸于对他们所从事的学科具有完美的机械性的想象之中，而现在却被告知数学是不可预测的，难以驾驭的，充满着对持续创造能力的永恒需求。这个信息多少会使人惊慌失措和感到威胁，并不符合他们对自身学科的想象。

然而随着二十世纪进程的展开，随着观念的梳理和澄清，数学家们逐渐认识到，这种对其学科性质的看法非但并不那么可怕，那么糟糕，而且是不可避免的。随着计算机渗入我们的生活，人们开始看到在计算机适合做的事和心灵适合做的事之间，存在着巨大的鸿沟。因此，哥德尔带来的信息显得越来越合理，甚而是必然的。但所有这一切并不意味着哥德尔证明本身就变得显而易见了——远非如此！哥德尔的观念是美妙的，而其艰深的一整套思想对大多数人来说，却是难以消化的；几十年当中，只有少数人才能够理解。

这个问题的解决落在了内格尔和纽曼——他们俩个人都不是数学家，而是有关数学和人类心灵的深刻思想家——身上。他们合写的初版于1958年，现已成为经典的《哥德尔证明》一书，使哥德尔证明为广大的读者所了解。这本书曾在成千上万人中传播，改变了其中很多人的生活，其中就包括当时只有十来岁的我本人。就我个人来讲，我的确要把我生活中的全部事业追溯到那至关重要的一天：当时是1959年秋天，在门罗公园的开普勒书店里，我完全偶然地见到了《哥德尔证明》。

可能此刻在中国，有个人——可能就是你——正在书店里面随意浏览这本书，正在翻动它的书页并正在读着眼前这些词句。或许如果你买了这本书，会使你的生活发生革命性的变化，就像这本书对我那样！当然，也可能什么也没有发生。或许正在读这些话的不是你，而是站在书店别处的另外的人。也可能你根本就不在书店里。或许你还正在睡觉呢！但是不管是哪种情况，不管是你或是别的什么人，我的确希望在中国有人能发现这本书，能感受到它是如此之美妙，如此之激动人心，就像我在14岁，然后在15岁，再在16岁，以及之后在所有的年龄段时所感受到的那样。事实上，从对这些思想的感受的角度讲，我从来就没有变得太老。这些思想是如此美妙，如此难以忘怀，如此神秘，它们将会伴随你整个一生。

我个人的情况是，我已用了几十年的时间来思考哥德尔的观念，我选择了认知科学这个专业领域，因为我想要了解人类的心灵怎么会不像最初所感到的那样简单，而是具有如此丰富得多的创造性；我想要了解心灵和机器之间难以捉摸的联系；我想要了解数的模式为什么一方面是如此完满和单纯，另一方面又如此不可预见和狂乱；我想要了解隐藏在思维、创造力和意识背后的秘密。

如果你问我是否取得了最后的成功，答案是“当然没有！”如果是的话，生活将会变得令人厌烦。如果人的心灵会被化简为几条僵化的规则，即便是相当大的一个僵化规则的集合，那会是一件令人极度悲哀的憾事。哥德尔证明了，情况不会是这样。我们是幸运的，因为我们的心灵是如此不可预知；而正因如此，生活才充满了情趣。尽管如此，我们仍在进行努力来科学地了解我们自身。

如果要说在科学发现中有哪一件工作曾使我们洞察到我们自身心灵的微妙和深度，那就是哥德尔在1930-1931年间所创造的关于不完全性定理的证明。我希望你在阅读这本宝石般珍贵的小书时，是像在进行会获得极大欢乐的一次航行。这次航行是在驶向数学的核心，数学思想的核心，思想本身的核心，说到底是在驶向人类心灵的核心。就像是乘坐过山车一样，这将是一次你会不时地感到昏眩，失去方向感，迷狂的曲折旅程。但正因如此，这将是你所有过的最不可思议的经历。

我当然希望如此。祝你一路顺风。

2007年2月

布鲁明顿 印地安纳州

 

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来自挪威科学与文学院的阿贝尔官方网站消息 (AbelPrize.no)。 2015年阿贝尔奖得主于3月25日揭晓。该殊荣由来自美国的两位数学泰斗约翰·纳什和路易斯·尼伦伯格获得，表彰他们在“非线性微分方程理论及其在几何分析中的应用”上的“令人瞩目和开创性的贡献”。

 

 

约翰·纳什，现年86岁。1994年因为博弈论的研究获得诺贝尔经济学奖。另外，约翰纳什的名字被人熟知，还因为描写他人物传记电影《美丽心灵》的播出。该电影获得了2002年奥斯卡金像奖的最佳影片奖和最佳导演奖。

 

路易斯·尼伦伯格，现年90岁，出生于加拿大。他拥有着最长时间及最受人尊敬数学家职业生涯。和约翰·纳什喜欢独自研究不同的是，路易斯·尼伦伯格喜欢和其他人合作做研究。他90%的论文都是和其他人合作完成的。

 

年度颁奖仪式将在5月19日在挪威首都奥斯陆举行。奖金600万挪威克朗，约合82万美元。

 

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今天(2015年3月23日)谷歌徽标出现了一位女性，在这位女性背后，是一大堆“数学元件”——圆规、钟表、陀螺、茶杯与甜甜圈。

 

 

是的，今天纪念了一位女性数学家。

 

她，曾经让大数学家希尔伯特为她的教职工作的落选而大骂哥廷根的教授们。

 

她，曾经被家爱因斯坦曾高度评价，称赞她是“自妇女接受高等教育以来最杰出的富有创造性的数学天才”。

 

她，是历史上第一位女数学博士。

 

她，为环论的奠基性工作，让抽象代数真正意义上成为一个数学分支。

 

她是德国数学家——艾米·诺特。

 

1935年，癌症夺取了这位伟大女数学家的生命。爱因斯坦亲自为她撰写了讣闻，著名数学家外尔、范德瓦尔登、亚历山德罗夫都为她写了悼词。其中外尔这样写道：

 

她曾经是充满生命活力的典范，

 

以她那刚毅的心情和生活的勇气，

 

坚定地屹立在我们这个星球上，

 

所以大家对此毫无思想准备。

 

她正处于她的数学创造能力的顶峰。

 

她那深远的想像力，

 

同她那长期经验积累起来的技能，

 

已经达到完美的平衡。

 

她热烈地开始了新问题的研究。而这一切现在突然宣告结束，

 

她的工作猝然中断。

 

坠落到了黑暗的坟墓，

 

美丽的、仁慈的、善良的，

 

他们都轻轻地去了；

 

聪颖的、机智的、勇敢的，

 

他们都平静地去了；

 

我知道，但我决不认可，

 

而且我也不会顺从。

 

 

 

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    今年三八妇女节之前，《华尔街日报》“新浪”微博在３月６日和３月７日连发了一篇文章的上、下两部分。这篇题为《Sex and the City：“剩女”经济学》的文章，似乎是用经济学理论为“剩女”正名——原来“剩女”其实是“胜女”。其实，对研究者而言，还是价值中立、感情零度比较好。剩女，胜女或圣女，名称而已，如果有人因此感情严重受伤害，那是她／他个人的事，研究者没义务为之做心理按摩。

而且，如果研究者感情偏向太热烈，或许会讲了互相矛盾的话而不自知。比如，那篇文章说，“很多男性在婚姻市场上会有强烈的双重标准，要上的厅堂下的厨房，聪慧风趣漂亮赚钱之外还要扫地洗碗做饭看娃，一边说男女平等，一边要三从四”。但文章后面又说，“假如我们把所有男人女人按照相貌、收入、性格等综合排序，那么最棒的男性最终可能选择了第二组女性，第二组男性选择了第三组女性。最后剩下的就是受教育最高收入最高的女性，还有第三组男性”。男人真要有那么强烈的双重标准，最棒的男性凭什么选择第二组女性？如果他最终选择了第二组女性，那么他的双重标准只是哄哄自尊心的牛皮而已，不值得研究者认真对待。

老农我一贯强调中学程度的极端重要——当然，这首先是因为老农自己只有中学程度。不过，那篇文章所研究的问题，倒是一个极好例子，证明中学程度足够混社会了。

实际上，用一点中学数学，很容易就可以看出：如果女男趋于平等，平均教育程度和中位收入等大致都相同，那么高学历、高职位、高收入的女性一定会遇到择偶困难。

美国大学里，现在女生比例越来越高。不少学校的招生办公室的最大任务是守住60%这条线，不让女生超过。这些女生对男生有什么看法？老农在美国校园打猪草时，听过这样一个笑话。

丽莎约会回来，同室女生琳达问：“这个新朋友怎么样啊？”丽莎说：“还行，虽然是男人，他倒不笨。”

受过教育的女人一般很难容忍愚蠢的男人。“胜女”通常也希望嫁一个比她聪明些的丈夫。但是，智商分布曲线决定了她们中的相当一部份无法实现这一愿望。且看下面的智商分布图。智商分布曲线在两端（高智商与低智商）大滑坡，人越聪明，数量越少。不查正态分布表格，难以想象有才女子竞争如意郎君之激烈。

 

 

衡量智商高于（或低于）平均值的一种量度是均方差——为中学里未读过统计基础知识的同学理解方便——这里不管这一统计术语的定义，暂以“台阶”称之。比平均智商高一个台阶的人占人口总数的16%，高两个台阶的则只有2.2%。如果智商至少高一个台阶的女子一定要找至少高两个台阶的聪明男人，那就是八个争一个。这里假设在同龄人中争，不考虑其他因素的影响。

即使要求不那么高，比如说，智商比平均值高一至一个半台阶的女子，找到智商比她高半个台阶的男人就心满意足了。在一万个同龄女人里，智商在这一段的有918个。但在一万零六百个同龄男人里（按106:100的男女出生率算），智商比她们高半个台阶的聪明男人只有467个。是两个争一个。

上面还只是考虑了智商单一因素。如果再考虑其他择偶条件，诸如情商要高，人要长得帅，经济状况要好，等等，那么，即使将范围扩大到同龄人之外，“胜女”也是很难找到婆家的。

只要你具备中学程度的统计常识，再加一条科学常识（智商或人的其他属性通常呈正态分布）和两条生活常识（女人通常还是想结婚的；而且她们通常想找一个比自己略强的男人——这一条包括了那篇文章讲的男性高工资地区会有较多女性的情况），你就知道：“胜女”嫁人难，不是男人的错，更不是女人的错，正态分布的“钟形曲线”（Bell Curve）——其形状像一口倒扣的大钟——才是罪魁祸首。“钟形曲线”决定了“胜女”和她们愿嫁的男人之间，必然存在着不可调和的人数比例失调。

“女子无才便是德”这一貌似愚昧的华夏古老格言背后，居然有着中学程度的深刻智慧。女人普遍受教育了，智力开发了，有才了，选择配偶的眼界高了，建立家庭就要困难些，大龄未婚女子也必然增多。这是世界性趋势。

当然，我们不可能倒退到“美好”旧时光。好在按唯物辩证法，人是其社会关系的总和。现在不讲阶级斗争了，人最重要的社会关系就成了女男关系。对自己最重要的关系，不管有什么问题，人在实践中一定会找出解决办法，至少会把旧的问题改造成新的问题。

或许，因着教育上的全面优势，女性正日益强势，她们正在向“第一性”迈进。美国有心理学家预言：如果女人成了“第一性”，她们就会有“第一性”的心理。到了那一天，她们会倾向于嫁（或许那时会说“娶”）一个年龄略小的温顺听话的美貌男人。那时候，苦恼的就该是“剩男”了。

 

 

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哆嗒数学网注：作者系美国波兰裔逻辑学家和数学家塔尔斯基，逻辑学方面逻辑学家们将塔斯基的成就与亚里士多德、弗雷格、罗素和哥德尔相提并论。数学上他发现了著名的“分球怪论”——巴拿赫-塔尔斯基悖论，引发了数学界对选择公理更深刻的讨论。本文作者从几何学出发，不断深入，详细讨论了任意学科的"逻辑概念"这一概念。其间还讨论了“数学是否是逻辑的一部分”这样的问题。此文原载于《世界哲学》2014年3期。

 

 

1、 我演讲的题目是一个问题；它属于现如今非常时髦的一类问题。你们还常常听到另一类问题：什么是心理学、什么是物理学、什么是历史学？这类问题有时由在特定科学中工作的专家来回答，有时由科学哲学家来回答；在这样的问题上，有时，人们也把逻辑学家当作所谓的权威而问及其观点。好了，让我们这样来说，在一门特定的科学中工作的专家通常是这样一些人，他们至少有资格为这门科学给出一个好的定义。在这个范围内，你们通常会期望从科学哲学家那里获得一种明智的讨论。逻辑学家显然不是权威，逻辑学家并没有特殊资格来回答这类问题。相反，逻辑学家的角色和影响具有负面特点——他提出批评意见，指出某种表述多么糊涂，对某一门科学的说明多么不明确。鉴于逻辑学家讨论其他科学的定义的负面方式，逻辑学家在讨论自己的科学并且试图说逻辑是什么的时候，当然必须特别谨慎。

 

对于“什么是逻辑？”或者“什么是如此这般的科学？”这个问题，回答可能是千差万别的。在有些情况下我们会说明这门科学的名称的流行用法。因此，要说什么是心理学时，你可以试试说明使用“心理学”这个词的大多数人通常指什么。有些情况下，我们并不在意使用一个词的所有人的流行用法，而是在意有资格使用它的人的流行用法，这些人是该领域的专家。这里，我们就会在意心理学家对“心理学”这个词的理解。在另一些情况下，我们的回答带有规范性特征：我们建议这个词以特定的方式使用，而不管它实际使用的方式。另一些回答似乎另有不同的目的，对此我难以说明白它是什么；人们常常会谈论把握一个概念专有的、真正的意义，或者某种独立于实际用法、独立于任何规范性建议的东西，抑或某种类似于这个概念背后柏拉图式的理念的东西。最后这种探讨对我来说十分怪异，我会忽略不计，因为对这类问题我无法给出任何明智的说明。

 

让我提前告诉你们，要回答“什么是逻辑概念？”这个问题，我的做法是为“逻辑概念”这个术语的一种可能用法提出一项建议或提议。对我而言，即便这个建议并非与“逻辑概念”这个术语的所有流行用法一致，它也至少与实践中所遇到的一种用法一致。我认为这个术语在几种不同意义上使用，而我的建议说明了其中一种意义。①此外，我将不讨论“什么是逻辑？”这个一般性的问题，我把逻辑看作一门科学、一个真句子系统，这些句子中包含指称特定概念、逻辑概念的语词。在这里我仅考虑该问题的一个方面，即逻辑概念的问题，而不考虑比如逻辑真的问题。

 

 

2、 我的建议的基本思想要回归到德国数学家F. 克莱因(Felix Klein)。在19世纪后半叶，F. 克莱因在几何基础中做出了相当严肃的工作，对该领域后来的研究产生了巨大的影响。②吸引他的一个问题是区分各种几何体系、各种几何理论中讨论的概念，比如普通欧氏几何、仿射几何和拓扑学。我将尝试把他的方法扩展到几何学之外，还把这种方法应用到逻辑学。我倾向于相信，同样的思想还可以扩展到其他科学。据我所知，至今还没有人尝试这样做，但是或许可以运用克莱因的想法，阐述一些合理的建议，用于区分生物学概念、物理学概念与化学概念。

 

现在让我试着向你们非常简要地解释克莱因的思想。克莱因的思想基于“变换”这个技术性的名词，而这个词又是每个人都熟知的、来自高中数学的另一个名词——“函数”的特例。我们都知道，一个函数或者函数性关系是一个具有如下性质的二元关系r，无论考虑什么样的对象$x$ ，至多存在一个对象$y$ 使得$x$ 与$y$ 具有关系$r$ 。这些使这样一个$y$ 存在的$x$ 称为“自变量值”。对应的y称为“函数值”。我们也写成$y=r(x)$；这就是通常的函数记号。自变量值的集合称为“函数的定义域”，函数值的集合在《数学原理》中称为该函数的“反域”(counter-domain)，更常见的叫法是“值域”(range)。所以，每个函数都有定义域和值域。数学中经常处理由数构成定义域和值域的函数。然而，还有其他类型的函数。比如可以考虑由点构成定义域和值域的函数。特别地，在几何学中，我们处理定义域与值域均与整个几何空间重合的函数。这样的函数被看作几何空间到自身的“变换”。此外，我们还常常处理一些$1-1$ 函数，这些函数具有如下性质：对任何两个不同的自变量值，对应的函数值总是不同的。我们便说这样的函数在其定义域和值域之间建立了一一对应关系。因此，定义域和值域均与整个空间重合的1－1函数称为几何空间到自身的一一变换(更简单地称为“变换”)。现在开始讨论普通几何空间的变换。

 

接着让我们考虑我们高中就熟知的普通欧氏几何。这门几何学最初是一门经验科学——其目的在于研究我们周围的世界。这个世界充斥着各种物理对象，尤其是刚性物体，刚性物体的一个特征是它们在移动时不改变形状。这样一个刚性物体的每一次运动都对应于某种变换，因为一个刚性物体在开始移动时占据一个位置，而作为该运动的结果它又占据另外一个位置。这个刚性物体在运动开始占据的每一个点都对应同一物体在运动终止之时占据的一个点。于是便有了一个函数性关系。这确实不是一个其定义域包含空间中所有点的函数性关系，但是由几何学可知，它总是可以扩展到整个空间。现在，这个变换的典型特征是两点之间的距离不变。如果x和y有一定的距离，而$f(x)$ 和$f(y)$ 是对应于$x$ 和$y$ 的终点，那么$f(x)$ 和$f(y)$ 之间的距离等于$x$ 和$y$ 之间的距离。我们称距离对这个变换保持不变。这是刚性物体的运动特性——要是它不成立，我们便不会称这个物体为刚性物体。

 

正如你们看到的那样，在几何学中我们很自然来考虑这个空间中的一种特殊变换，也就是不改变点之间的距离的变换。数学家有一个坏习惯，从其他领域——物理学、人类学等等借用一个词，赋予它一种相关而不同的意义。对“运动”这个词他们已然这样做了。他们在数学意义上使用“运动”这个词，在这种意义上，它只是表示距离不变的变换。因而一个特殊的物理对象、一个刚性物体的运动导致某种变换；但是对于数学家来说，运动只不过是不改变距离的变换。这样的变换更恰当地称为“等距变换”(isometric transformation)。

 

克莱因接着指出，欧几里得几何学中讨论的所有概念对所有运动都保持不变，也就是说，对所有等距变换都保持不变。让我再说一遍我们说一个概念对某些变换保持不变的意思是什么。我在一种非常宽泛和一般的意义上使用“概念”这个词，粗略地说，意思是在某种类似于《数学原理》的类型分层中所有可能类型的对象。因此，概念包括个体(在这里就是点)、个体的类、个体的关系、个体的类的类，等等。比如，说个体的类对变换f保持不变是什么意思？它的意思是，$x$ 属于这个类当且仅当$f(x)$ 也属于这个类，换句话说，这个类由这个变换映射到自身。说一个关系对变换f保持不变又是什么意思？它的意思是，x和y具有这种关系当且仅当$f(x)$ 和$f(y)$ 也具有这种关系。我们可以很容易地按熟悉的方式把不变性的概念扩展到类的类、类之间的关系等等。

 

对欧几里得几何学的详细分析表明，在这门几何学中讨论的所有概念，不仅对运动保持不变、对等距变换保持不变，而且还对更广泛的变换类保持不变，即对几何学家所谓“相似性变换”保持不变。有一些变换并非都保持距离，但可以说它们在所有方向上统一增大或缩小几何图形的尺寸。更确切地说，有些相似性变换不保持距离，但是都保持两个距离的比例。比方说，你有三个点$x$ 、$y$ 和$z$ ，如果$y$ 到$z$ 的距离比x到y的距离大25％，那么相似性变换的结果仍然是三个点$f(x)$ 、$f(y)$ 和$f(z)$ ，其中$f(y)$ 到$f(z)$ 的距离比$f(x)$ 到$f(y)$ 的距离大25％。换句话说，一个三角形变换为另一个相似三角形，两者都有相同的角，而且它们的边成比例增大或缩小。于是，在欧几里得几何学中讨论的所有性质，对所有可能的相似性变换保持不变。顺便说一句，这意味着在欧几里得几何学中不能讨论度量单位的概念。我们不应该问这样一位几何学家，从他的学科观点看，米制系统和非米制系统哪个更好。用欧氏的术语来说，我们无法区分一米和一码，甚至也不能把一厘米与一码区分开。任何两条线段都是“相同的”，因为你总可以通过相似性变换把一条线段变换成另一条线段。属于一条线段的每种欧几里得性质也属于其他每一条线段。

 

克莱因接着说，对所有相似性变换的不变性是度量几何学(普通欧氏几何的另外一个名称)的特性。③这一点可以用定义来表达：一个度量概念，或者度量几何学的概念，只不过是对所有可能的相似性变换保持不变的概念。我们当然也可以设想一门学科，在其中我们考虑较窄范围的变换类，比如只考虑等距变换，或者只考虑保持左右两边的区分的变换(在普通几何学中无法给出这种区分)，或者只考虑保持顺时针运动与逆时针运动的区分的变换(在通常的欧几里得几何学中也无法给出这种区分)。但是，通过缩小可容许变换的类的范围，可以作出更多的区分，也就是说，我们拓宽了对可容许变换保持不变的概念的类。在这个方向上，几何学的极端情况就是挑出4个点，给它们命名，然后只考虑那些让这4个点保持不变的变换。这将意味着引入一个坐标系，然后我们将处于几何学范围的极限位置，即处于所谓的分形几何的位置。实际上，在这种情形中，除了一个“不足道的”恒等变换，不会有可容许的变换。

 

另一方面，可从反方向入手；不是缩小可容许变换的类的范围并以这种方式拓宽不变性概念的类的范围，而是做相反的事情，拓宽变换类。比如，我们还可以增加距离可变的变换，但是不变的东西是点彼此之间的线性位置。更确切地说，如果3个点在一条直线上，那么它们经过变换之后的像也在一条直线上。如果一个点位于其他两个点之间，那么它的像也位于其他两点的像之间。有人称这样的变换为“仿射变换”。共线性(coilinearity)和居间性(betweeness)恰好是两个对所有这类变换保持不变的概念。使用这样的概念的几何学分支称为仿射几何学。④在这门几何学中，我们无法区分一些东西，比如一条线段与另一条线段，实际上我们无法在三角形中作出任何区分。这样说来，任何两个三角形都是相等的，也就是说，从仿射几何学的观点看是不可区分的。这意味着，在仿射几何学中，我们无法指出任何一种性质，它为某一个三角形所具有，而不为所有其他三角形所具有。在度量几何学中，我们知道许多这样的性质，例如等边性、直角性。在仿射几何学中，我们无法作出任何这样的区分。我们所能区分的，乃是把三角形与四边形区分开，因为不存在仿射变换可以从一个三角形出发而得出一个四边形。因此，这里我们有了一个更宽范围的变换类的例子，这致使我们也有了一个更窄范围的概念类的例子，这些概念都对这个较宽范围的变换类保持不变；概念越少，特征更“一般”。

 

我们再往前走一步。比如，我们可以增加一些甚至不保存居间性关系的变换，甚至增加一些把位于同一条直线上的点变成位于不同直线上的点的变换。粗略地说，这里被保持的典型事物就是联通性或者封闭性。联通了的图仍是联通的。封闭了的曲线仍是封闭的。从“负面”角度看事物，有时候人们说，这些变换就是那些不“打碎”或“撕裂”的变换。这是一种非常不精确的表述方式，但是你们中有些人大概已经猜到我在想什么；我在想所谓的连续变换，这部分几何学，亦即处理对这些变换保持不变的概念的几何学，就是拓扑学。在度量几何学中，可以把一个三角形与另外一个三角形区别开；在仿射几何学中无法做到这一点，但仍然可以把一个三角形和一个(比如说)四边形区分开。而在拓扑学中，我们无法在两个多边形之间作出区分，甚至在一个多边形和一个圆之间也无法区分，因为给定一个多边形，如果我们想象它由金属丝制成，那么总可以把它弯成一个圆或者任意其他多边形。这样的变换是连续的：任何联通的东西不分离出来。在拓扑学中可以区分一些东西，比如说，把一个三角形从两个三角形区分出来。因为如果一根三角形的金属丝可以弯曲成两个三角形，那么就把它分裂为两部分，每个三角形从一部分得到——这就不会是连续变换。

 

 

3、 现在假设我们继续思考这一点，还考虑更宽范围的变换类。在极端的情形中，我们会考虑空间、论域或者“世界”到自身的所有一一变换组成的类。处理对这个最宽范围的变换类保持不变的概念的科学将是哪一门科学呢？这里只有非常少的概念，所有这些概念都具有非常一般性的特征。我认为，它们就是逻辑概念，称一个概念是“逻辑的”，如果它对世界到自身的所有可能的一一变换都保持不变。⑤这样的提议或许听起来有些奇怪——看它是否合理的唯一方式便是讨论它的某些推论，看它会导致什么样的结果，若我们同意在这种意义上使用“逻辑的”这个词，就必须相信这些结果。

 

一个自然的问题是这样的：考虑在现有的任何逻辑系统(比如《数学原理》)中可定义的语词所指的概念。在《数学原理》中定义的概念都是我提议的那种意义上的逻辑概念吗？回答是肯定的；这是一个很简单的元逻辑结果，很久以前(1936年)林登堡姆和我就在一篇短文中进行了阐述。虽然这个结果是简单的，但是我依然认为大多数逻辑教科书应该包含这个结果，因为它显示了逻辑手段所能表达的事物的一种特性。我不会用非常精确的方式表述这个结果，但是它的本质恰如我刚才所言。《数学原理》中定义的每个概念，对任何其他常见的逻辑系统中的那些东西，对“世界”或“论域”到自身的每个一一变换都是保持不变的。⑥

 

下面我们系统地寻找逻辑概念的例子，从最简单的语义范畴⑦或类型开始，逐步达到越来越复杂的范畴或类型。比如，我们可以从个体、从最低类型的对象开始，并且问下面这个问题：个体中的逻辑概念的例子有哪些？我的意思是：哪些个体的例子在上述意义上是逻辑的？答案很简单：不存在这样的例子。不存在这种类型的逻辑概念，这仅仅是因为我们总能找到世界到自身的一个变换，其中一个个体变换成另一个个体。我们总可以定义这样一个函数，这个简单事实意味着在这个层次上不存在逻辑概念。

 

如果我们进入下一个层次，到达个体的类，我们问：个体的类有哪些在这种意义上是逻辑概念？依然由一个简单论证便得出结论，恰有两个个体类是逻辑概念，即全域类和空类。只有这两个类才是对论域到自身的每个变换保持不变的个体类。

 

如果我们再进一步并考虑二元关系，简单论证即可表明，只有4个二元关系在这种意义上是逻辑概念：总是在任意两个对象之间成立的全域关系，绝不会成立的空关系，当“两个”对象相等时只在它们之间成立的恒等关系，以及与它相反的多样性关系。因此，全域关系、空关系、恒等关系以及多样性关系，这四者是个体之间仅有的逻辑的二元关系。这一点很有趣，因为皮尔士、施罗德和其他19世纪的逻辑学家在关系理论中恰好引入和讨论了这4种关系。如果你考虑三元关系、四元关系等等，情况也是类似的：对于这些关系中的每一种关系，你都将有少量的有穷多个逻辑关系。

 

如果你再进入下一个层次，考虑类的类，情况变得更有趣一些。我们不说“类的类”，而说“类的性质”，并且问：类的哪些性质是逻辑概念？答案仍旧很简单，尽管十分难以精确地阐述。可以证明，(个体的)类的性质中只有与这些类中元素的数目有关的性质才是逻辑概念。一个类由3个元素组成，或者由4个元素组成……这个类是有穷的，或者一个类是无穷的——这些都是逻辑概念，而且本质上是这个层次中仅有的逻辑概念。

 

在我看来，这个结果相当有趣，因为在19世纪，有一些关于我们的逻辑是外延的逻辑还是内涵的逻辑的讨论。人们说过多次，尤其是数理逻辑学家说过多次，我们的逻辑确实是外延的逻辑。⑧这意味着，如果两个概念有相同的外延，便不能从逻辑上加以区分，即使它们的内涵不同。正如通常所认为的那样，我们不能从逻辑上区分性质和类。现在根据我们的建议，可以证明我们的逻辑甚至比外延的逻辑还要少，它是数的逻辑、数字关系的逻辑。如果两个类中每个类恰有两个个体，我们便不能从逻辑上区分它们，因为如果你有两个类，每个类都由两个个体组成，你总能找到论域的一个变换，在这个变换下，一个类变换为另外一个类。每一项属于两个个体组成的一个类的逻辑性质，都属于恰好包含两个个体的每一个类。

 

如果你接着考虑更复杂的概念，比如类之间的关系，那么逻辑概念的种类就会增加。在这里你将平生第一次遇到许多重要的和有趣的逻辑关系，学过逻辑基础的人对这些关系了如指掌。我指这样一些东西：类之间的包含、两个类的不相交性、两个类的重叠以及许多其他关系；所有这些关系都是通常意义上的逻辑关系的例子，在我所说的意义上它们也都是逻辑的。由此你便有了关于逻辑概念是什么的想法。我自己仅仅考虑了4种最简单的类型，只在这些类型的范围内讨论了逻辑概念的例子。作为这个讨论的结论，我想转向另一个问题，在听我的说明时，你们中有些人大概已经有了这个问题。

 

 

4、 数学是否是逻辑的一部分？这是常常被问及的问题。在这里我们仅考虑该问题的一个方面，即数学概念是否都是逻辑概念，而不涉及比如数学真命题是否都是逻辑真命题这样的问题，它超出了我们讨论的范围。众所周知，全部数学可以在集合论⑨或类理论中构造，因此，上述问题可以归约为如下问题：集合论的概念是否都是逻辑概念？我们又知道，所有通常的集合论概念可以用一个概念来定义⑩，即归属概念或属于关系的概念，因此我们的问题的最后一种形式是：属于关系是否是我所建议的意义上的逻辑概念？答案似乎令人失望。我们可以这样来发展集合论、属于关系的理论，使得这个问题的答案是肯定的，或者我们也可以这样来进行，使得这个问题的答案是否定的。

 

所以答案是：“如你所愿！”你们都知道，由于悖论的出现，主要是本世纪之交在集合论中出现的罗素悖论，必须重新对集合论基础进行彻底的研究。这项研究至今绝没有完成的一个结果是说，在集合论经历惨痛重击之后，两种构造从集合论中挽救出来的东西的方法发展起来了。一种方法本质上是《数学原理》的方法、怀特海和罗素的方法——类型方法。第二种方法是策梅洛、冯•诺依曼和贝奈斯等人的方法——一阶方法。现在让我们从这两种方法的观点来看我们的问题。(11)

 

使用《数学原理》的方法，集合论就是逻辑的一部分。该方法可以大致描述如下：我们有一个基础论域，即个体域，然后我们从这个个体域构造一些概念，比如类、关系、类的类、关系的类等等。然而只有基本论域、个体域才是根本的。一个变换定义在这个个体域上，而这个变换又诱导出由个体、个体之间的关系等等构成的类上的变换。更明确地说，我们考虑最低类型的全类，一个变换以这个全类为定义域和值域。然后这个变换也诱导出一个变换，其定义域和值域是第二类型的全类，即个体的类的类。当我们讨论“世界”到自身的变换时，我们仅仅指基本论域、个体域的变换(这个论域可以解释为物理对象的论域，尽管《数学原理》中没有任何东西强迫我们接受这样一个解释)。使用这个方法，显然，属于关系确实是一个逻辑概念。它出现于几个类型中，因为个体是个体的类的元素，个体的类又是个体的类的类的元素等等。恰恰根据诱导变换的定义，属于关系对世界到自身的每个变化都保持不变。

 

另一方面，考虑构造集合论的第二种方法，这里我们没有类型分层，只有一个论域，个体之间的属于关系是不加定义的关系、一个初始概念。现在，显然这个属于关系不是逻辑概念，因为正如我前面提到的那样，个体之间只有4个逻辑关系：全域关系、空关系、恒等关系和多样性关系。如果个体和集合被看作属于同一个论域，那么属于关系并不是这些关系中的任何一种关系；因此，在这第二种设想之下，数学概念不是逻辑概念。

 

这个结论在我看来非常有趣，因为这两个可能的答案对应于两种不同类型的思想。我认为，一种关于逻辑、集合论和数学的一元论看法(依据这一看法，整个数学是逻辑的一部分)，要求助于现代哲学家的一种基础倾向。另一方面，若是数学家听说数学这门在他们看来是世界上最高的学科竟然是某种像逻辑那样不足道的东西，他们一定会很沮丧；因此，他们喜欢这样来发展集合论，在其中集合论的概念不是逻辑概念。我所给出的建议，自身并不蕴含对于数学概念是否是逻辑概念这个问题的回答。

 

 

 

*1966年5月16日，塔尔斯基在伦敦大学贝德福德学院以《什么是逻辑概念？》为题做了一次演讲，然后根据演讲录音整理了一份打字稿。1973年4月20日，在纽约州立大学布法罗分校的会议上，他依据这份打字稿做了一次主题演讲，该校教授著名的美国逻辑学家、哲学家、数学家和逻辑史家J. 柯可兰(1937—)对本次演讲做了详细的笔记，并在笔记基础上写了一份扩展性说明，发表在该大学的报纸上。1982年，塔尔斯基把打字稿以及需要完善的说明交给了柯可兰。柯可兰纠正了稿件中存在的标点符号、句子结构和语法问题，并添加了参考文献和脚注。1983年，塔尔斯基去世。在其去世前他的儿子扬•塔尔斯基和夫人玛丽亚•塔尔斯基征得塔尔斯基同意决定发表经柯可兰编辑后的文章。编辑版本最后于1986年发表在《逻辑史和逻辑哲学》第7卷。征得扬•塔尔斯基教授、柯可兰教授和《逻辑史和逻辑哲学》现任主编裴克豪斯(Volker Peckhaus)教授的许可，我们把塔尔斯基的这篇经典论文翻译介绍给国内读者。该文发表时编者柯可兰教授在文前加了一段“编者导论”和一段“编辑处理”，文后还有一个“编者致谢”，限于篇幅译文删除了这些内容。本文在翻译过程中得到了圣何塞州立大学(San Jose State University)牟博教授的热情支持和帮助，西南大学的马明辉博士提出过具体的修改意见。一并致谢！——译者

 

Alfred Tarski,"What are Logical Notions?" Edited by John Corcoran, in History and Philosophy of Logic, vol. 7, 1986

 

•  【注释】

•  ①把这些说明与塔尔斯基1935年的论文中关于真的说明以及1936年的论文中关于逻辑后承的说明(特别是第420页)联系起来看，很有启发性。也可以参阅柯可兰(Corcoran, 1983)，特别是第xx－xxii页。

•  ②例如，参见克莱因(Klein, 1872)。

•  ③这个领域的术语不统一，有些读者可能不太熟悉塔尔斯基的用法。此处的术语源自塔尔斯基(Tarski, 1935b)，其中用“描述几何学”表示普通欧几里得几何学中仅基于“点”和“介于……之间”(塔尔斯基称为“描述的初始概念”)的那一部分。用“度量几何学”这个词表示全部的普通欧几里得几何学(如塔尔斯基注解，它可以看作仅基于“点”和“同余”——塔尔斯基称这些概念为“度量的初始概念”)。在同一篇论文中，塔尔斯基指出，描述几何学在如下意义上是度量几何学的一个真子部分：“介于……之间”可由“点”和“同余”来定义，而“同余”不能由“点”和“介于……之间”来定义。

•  ④目前使用的“仿射几何学”恰恰就是在这种意义上使用的。塔尔斯基这里所谓的“仿射几何学”，在1935年的文献(Tarski, 1935b)中称为“描述几何学”。一个并非相似性的仿射变换，可以在平面几何学中通过平面到其自身的一个非垂直的、相交“复制平面”的平行投射而得到。具体地说，一个恰当放置的等腰直角三角形的像是不等边的，但三角形所有的像都是三角形。

•  ⑤如果不考虑莫特纳的文章(Mautner, 1946)(塔尔斯基当时似乎并不知道这篇论文)，我相信是塔尔斯基第一次以英语把克莱因的厄尔兰根纲领应用于逻辑。不过，在席尔瓦(Silva, 1945)用意大利语写的论文中，我们找到一些应用，这些应用预示了后来模型论的一些基本要素。凯瑟尔(Keyser, 1922, p. 219)与威尔(Weyl, 1949, p. 73)隐约表明了逻辑与厄尔兰根纲领之间相互联系的可能性。塔尔斯基从1923年到1938年的论文(Tarski, 1983)中并没有提到F. 克莱因。厄尔兰根纲领对逻辑历史发展的影响有待研究。厄尔兰根纲领在物理学、尤其是相对性中的作用也尚需研究。

•  ⑥在布法罗演讲中，塔尔斯基指出，目前的说明可以应用到狭义的集合、集合的类等“概念”，但是《数学原理》中的真值函数、量词和关系算子等等，可以解释为狭义的概念，按照这种解释，这里的说明同样适合它们。例如，把真值T和F解释为论域和空集，立即致使把真值函数解释为(更高层的)概念。这种解释对于数学家来说是常见的和自然的，但它们牵扯到当代逻辑哲学家研究的那种哲学问题。

•  ⑦在论文《真之概念》(Tarski, 1935a)中，塔尔斯基对语义范畴有一段扩展性讨论(这些语义范畴恰好包含怀特海和罗素所处理的“类型”)。在第125页，塔尔斯基把语义范畴这个概念归于胡塞尔。

•  ⑧参见怀特海和罗素(Whitehead and Russell, 1910), III(2)。

•  ⑨在这里，塔尔斯基在一种模糊的、一般的意义上使用“集合论”这个词，在这种意义上，几种不同的具体理论也有资格成为集合论。特别地，怀特海－罗素的类型论与(一阶的)策梅洛－弗兰克尔理论都有资格成为集合论。在这一点上要注意，塔尔斯基把目前各种“集合理论”只看作这个领域中可以有用地发展起来的小样本。编者在“导论”中，相对于类型论，只在一种狭义上使用“集合论”。

•  ⑩这个说明预设以下约定：一个给定的概念被说成可以通过某个固定的概念来定义，如果存在一个除下述概念外不使用任何其他概念的(对给定概念的)定义：(1)固定的概念；(2)论域；(3)其他已被接受的逻辑概念。例如，显然，使用属于关系而绝不用任何其他东西，就无法定义空集。还需要注意，塔尔斯基说“所有通常的集合论概念”而非“所有集合论关系”；后者有不可数多个，定义却只有可数多个。

•  (11)塔尔斯基认为第一种方法还包括一个高阶的基础的逻辑，第二种方法还包括一个一阶的基础的逻辑。当然可以在多种类的一阶基础逻辑中重新解释类型论，但与本演讲在精神上和文字上都不相洽。类似地，也可以在高阶逻辑中发展策梅洛的集合论。这同样也与本演讲的精神不相洽——尽管策梅洛自己可能已经这样做过，这是一个历史事实。顺便说一句，建立这两种方法的历史性文章都发表于同一年，即1908年。

 

   

【参考文献】

•  [1]J. Corcoran(1983),"Editor's Introduction to the Revised Edition", in Tarski 1983.

•  [2]C. J. Keyser(1922), Mathematical Philosophy, E. P. Dutton & Company, p. 219.

•  [3]F. Klein(1872),"A Comparative Review of Recent Researches in Geometry", English trans, by M. W. Haskell, in Bulletin of the New York Mathematical Society, 2(1892-1893).

•  [4]A. Lindenbaum and A. Tarski(1936),"On the Limitations of the Means of Expression of Deductive Theories", in Tarski 1983.

•  [5]F. I. Mautner(1946),"An Extension of Klein's Erlanger Programm: Logic as an Invariant Theory", in American Journal of Mathematics, 68(1946).

•  [6]J. S. Silva(1945),"On Automorphisms of Arbitrary Mathematical Systems", English trans, by A. J. F. de Oliveira, in History and Philosophy of Logic, 6(1985).

• [7]A. Tarski(1935a),"The Concept of Truth in Formalized Languages", in Tarski 1983.

•  [8]A. Tarski(1935b),"Some Methodological Investigations on the Definability of Concepts", in Tarski 1983.

•  [9]A. Tarski(1936),"On the Concept of Logical Consequence", in Tarski 1983.

•  [10]A. Tarski(1969),"Truth and Proof", in Scientific American 220, no. 6.

•  [11]A. Tarski(1983), Logic, Semantics, Metamathematics, 1[st] ed. (ed. and trans. Woodger, J. H.), Clarendon Press, 1956.

•  [12]A. Tarski and S. Givant(1987), A Formalization of Set Theory Without Variables, American Mathematical Society.

•  [13]H. Weyl(1949), Philosophy of Mathematics and Natural Science, Princeton University Press, p. 73.

•  [14]A. Whitehead and B. Russell(1910), Principia Mathematica, vol. 1, Cambridge University Press.

 

 

 

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3月14日是白色情人节，如果之前2月14日那天收到过情人节礼物，那么这天就是应该回赠的日子。

对于“数学痴”们，3月14日同样是个非常特别的日子，叫做圆周率节，因为组成这个日期的三个日期3、1、4正好是圆周率π展开3.1415926……的前三个数字。另外，3.14还是π的近似值中最常用的，在很多时候3.14和π是不加区别的应用于各种算式中。

哆嗒数学网这里不得不多嘴一句。别看圆周率日的建立理由如此戏谑，就像把双十一定成光棍节一样，但其实圆周率节是有正式“名分”的。2009年美国众议院通过决议设立圆周率节。所以在美国，这个节日可以称为“国家圆周率节”。为此，谷歌在2010年3月14日发布了谷歌徽标来纪念这个节日。

 

那么，对于有伴儿的你，还如此热爱数学，应该过哪个节呢？问题是，这是问题吗？一起玩，一起吃，然后一起度过浪漫时刻——情人们过节不就这些事儿吗。

一起看电影？没问题！当然我们不推荐《死亡密码π》这部黑白的惊悚片了。关于数学家的电影很多，《美丽心灵》还有刚刚获得奥斯卡最佳改编剧本奖的《模仿游戏》，里面的女主对数学家男主那是相当的好！

 

一起吃饭？同样没问题！π在英语里读作“派”，和单词Pie同音。Pie在中国现在有了一个最时髦的叫法，叫做“打卤馕”。那么，问题就来了，“打卤馕”中国哪家强？必胜客吗?不知道必胜客有没有我需要的那种，不过，不管有没有，吃的都是“派”啦。

 

 

最后，还做浪漫的事？向他或者她念首诗吧：

你就是π，

虽然永远无法触及，

但我一直默默接近

……

 

 

 

 

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每年3月8日，是“联合国妇女权益和国际和平日”，在中国这个节日经常被称为“三八妇女节”。然而，这个节日名称越来越不被人喜欢，女人们不喜欢被称为“妇女”，更不喜欢被称为“三八”；男人们也一样，他们不喜欢在这表达爱与温情的节日里，表达的对象被唤作那样。于是，这个节日在很多人嘴里已经变成了“女人节”或者“妹子节”。

 

虽然，我们要在本文里谈“数学妹子”，但其实喜欢数学的“妹子”很少，成为数学家的妹子就更少了。成为数学家的“妹子”中，似乎也很少有完美榜样。希帕蒂亚，虽然才貌双全，但死的过于悲惨；热尔曼，为了数学不得不放弃女人扮靓的“权力”而女扮男装；柯瓦列夫斯卡娅，虽然荣誉颇丰，但一度极度贫困，且寿命不长；还有一位叫诺特的女数学家，干脆直接被另一些男人叫做“男人婆”。似乎要成为女数学家，女人们要么短命，要么得放弃外在的美丽，这是很多“妹子”绝不能接受的，尤其后者。

 

 

在当代，为数不多的“数学妹子”们也在努力的成为榜样。2014年，米尔扎哈妮成为了获得数学最高奖“菲尔兹奖”的第一位女性。在数学界给喜欢数学的女孩们提供了一个大大的榜样。而“菲尔兹奖”的颁发机构国际数学联合会的现任主席多贝茜，也是一位“妹子”。在大部分都是男人的数学界里，多贝茜主席的女王范儿一定是很多“妹子”们喜欢的感觉。

 

然而，榜样的多少与是否完美不见得是“数学妹子”稀少的原因。女孩子不喜欢数学，或者其他科学，也许在她们很小的时候就决定了。有研究表明，原因就在于他们的玩具。男孩们得到的玩具往往是积木、橡皮泥、汽车、武器，这些玩具既影响了孩子的空间抽象与理解能力，又促使他们对机械等产生了持续的兴趣，使得他们在未来更容易进入理工科学习。而女孩得到的则大多是芭比娃娃、洋娃娃、过家家的器具，这些玩具则更多的是对孩子的主观感受能力进行培养，使得他们在未来进入艺术或者人文领域的可能更大。研究还说，性别本身和先天智力因素并非主因。

 

Duang！那么问题就来了，改变“数学妹子”稀少的现状，我们应该做什么，从娃娃抓起？这个，我们哆嗒数学网的小编还真不知道。 不过美国人已经开始行动了。他们设计了符合小女孩心理的“工程学”玩具，在各个地方宣传数学和理工科的对未来找工作的作用——理工科的“妹子”在收入方面比非理工科的“妹子”多出33%。就连总统奥巴马都坐不住了，他站出来说：“我坚信一件事，我们需要更多对数学、科学、工程学感兴趣的女生，我们有一半的人并没有涉身这些领域，这就意味着有大量的天才，没有得到他们应该需要的鼓励和支持。”

 

 

好吧，我来说我们要做什么，虽然我一开始是反对说这个的。从身边的小事做起，我建议当身边的“妹子”做成一道他思考很久后才得到答案的题目后，给个大拇指，说句“你真棒”。因为她天赋并不比你差，只是一开始玩错了玩具……

 

 

 

 

新闻晨报记者 李星言

 

　　上海学生熟悉的华东师大版《一课一练》，要在英国出分册了。昨天，记者向华东师大出版社核实，《一课一练》 数学分册英国版已经在翻译中，有望于今年暑期出版。而《一课一练》英国版的起因，则是上海学生在全球PISA中取得的好成绩，让英国教育界决意“取经”。

　　据悉，在《一课一练》英国版共有11册，分别对应英国从小学到初中的11个年级，将以原书中题目为基础，进行适当改变，但不会降低难度。

 

　　

  有望今年暑假出版

　　昨天傍晚，福州路上的上海书城人头攒动，不少家长带着孩子来购买新学期的教辅书，而《一课一练》则是他们的首选。三年级学生陈佳凡买了数学分册，他说，这是班上同学的必备教辅书，老师也经常会列举其中的题目进行讲解。

　　就在今年1月，华东师大出版社与英国著名的哈珀柯林斯出版社签订协议，将推出《一课一练》数学分册的英国版，名字定为《上海数学一课一练》。目前，这套书正在翻译过程中，有望于今年暑假正式出版。

　　“把‘上海数学’放进书名里，就是因为英国方面非常重视上海在基础教育、尤其是数学方面的教育经验。”华东师大出版社社长王焰表示。

　　2013年12月3日，经济合作与发展组织(经合组织，OECD)发布了2012年《国际学生评估项目》(PISA2012)结果。数据显示，上海中学生的数学、阅读、科学能力均为世界第一。数学成绩方面，上海学生平均分是613分，英国学生仅为494分。其中，上海学生数学素养的平均成绩为600分，比第二名高38分。这一权威的评估结果在西方引发轰动。据悉，正是上海学生在PISA考试中的优异成绩，成为此次《上海数学一课一练》出版的重要原因。

　　“降低难度就失去意义了”

　　华东师范大学出版社教辅分社社长倪明透露，《上海数学一课一练》共有11册，分别对应英国从小学到初中的11个年级。该书将以原书中题目为基础，根据当地教育的需要，由既熟悉国内教材、又对英国教育有深入了解的专家团队，负责翻译与改编。

　　由于两国学制和课程标准都不一样，比如英国版《一课一练》5年级的内容，可能会同时涉及到上海版四年级、六年级的内容，所以将根据英国的年级课标，来选取具体的知识体系内容。

　　值得一提的是，英国版《一课一练》并没有降低难度，“不然就失去意义了。”倪明表示。

　　英国曾派老师来沪“取经”

　　上海老师和英国老师在数学教育上的区别，到底在哪里？

　　为了求解，去年2月下旬，英国教育和儿童事务部副部长莉兹·特鲁斯女士率领英国教育代表团专程来沪“取经”，探访福山外国语小学、建平中学西校、上海中学，了解上海基础教育均衡发展、尤其是学生数学成绩出众的原因。上海市基础教育国际课程比较研究所所长、原上海中学校长唐盛昌，与英国教育代表团就“PISA2012上海领先与上海中学数学有潜质学生培育”这一话题进行了交流。此后，唐盛昌又应英国教育大臣迈克尔·戈夫之邀，参加英国首届教育改革高端峰会并作主题发言。

　　英国教育部则与上海市教委进一步合作，互派小学数学老师，分享教学经验。去年9月，英国71名优秀数学老师来到上海进行了为期两周的交流活动；11月，上海的29名教师也被派到英国，在一些小学驻校三周。

　　在上海的基地小学，部分英国老师为中国孩子临时上课，展示出教学时对发散性思维的培养和鼓励孩子寻找知识的能力。有意思的是，英国老师教学时更发散，而中国的老师更强调推理的逻辑过程，现场不少教育专家表示，也许这正是中国的教育培养创新能力较弱，但是学生数理逻辑基本功比较扎实，而英国教育更能够培养孩子动手能力和创新能力的原因。

　　当时，前往洋泾菊园小学交流的英国老师苏珊听的是五年级的“循环小数”课程和二年级的“2的乘法”，“中国小学的数学教学中计算教学目标非常清晰，而且每个年级之间的衔接很科学”。

　　在英国教师结束中国考察之际，曾进行了专门的讨论总结。在他们看来，“上海数学教育秘密”首先是“相信”与“期望”。在上海的老师眼中，每个孩子都能够学好学校所教的基础数学，上海老师和家长对每个孩子都寄予很高的期望，由此形成了合力。此外，“上海经验”还包括数学教师的专业性较强，重视在职进修和集体分享等。

 

 

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本文作者系华东师范大学数学系林磊

 

我们华东师范大学数学系在开放接受外校的插班生初期进行的复试时，曾经出过这样一道数学分析题：

设$A$、$B$是一个鸭蛋壳形状的曲面上距离最远的两点。证明：过$A$点的切平面与过$B$点的切平面相互平行.

首先，我们来看看命题人希望看到的解答：

解法一：设该曲面为$\Gamma:G(x,y,z)=0$。$A(x_1',y_1',z_1')$，$B(x_2',y_2',z_2')$，是$\Gamma$上使距离平方：

$$|AB|^2=(x_1'-x_2')^2+(y_1'-y_2')^2+(z_1'-z_2')^2$$

达到最大，且满足限制条件

$$G(x_1',y_1',z_1')=0,~\text{及}~~G(x_2',y_2',z_2')=0$$

的两点. 于是，根据拉格朗日乘数法，考虑函数

$$F(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2)=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2+\lambda G(x_1,y_1,z_1)+\mu G(x_2,y_2,z_2)$$

则令函数$F$的各变$(x_1',y_1',z_1',x_2',y_2',z_2')$处的偏导数为零，得

$$ 2(x_1'-x_2')+\lambda G_x(x_1',y_1',z_1')=0\\ ~\\ 2(y_1'-y_2')+\lambda G_y(x_1',y_1',z_1')=0\\ ~\\ 2(z_1'-z_2')+\lambda G_z(x_1',y_1',z_1')=0\\ ~\\ 2(x_1'-x_2')+\mu G_x(x_2',y_2',z_2')=0\\ ~\\ 2(y_1'-y_2')+\mu G_y(x_2',y_2',z_2')=0\\ ~\\ 2(z_1'-z_2')+\mu G_z(x_2',y_2',z_2')=0\\ $$

所以，

$$\dfrac{x_1'-x_2'}{G_x(x_1',y_1',z_1')} = \dfrac{y_1'-y_2'}{G_y(x_1',y_1',z_1')}= \dfrac{z_1'-z_2'}{G_z(x_1',y_1',z_1')}~~~~~~~~~~(1) \\~\\ \dfrac{x_1'-x_2'}{G_x(x_2',y_2',z_2')} = \dfrac{y_2'-y_2'}{G_y(x_2',y_2',z_2')}= \dfrac{z_1'-z_2'}{G_z(x_2',y_2',z_2')}~~~~~~~~~~(2) $$

于是，由$(1)$式，非零向量$(x_1'-x_2',y_1'-y_2',z_1'-z_2')$与向量$\vec{n_1}=( G_x(x_1',y_1',z_1'),G_y(x_1',y_1',z_1'),G_z(x_1',y_1',z_1'))$共线，同理，由$(2)$式，非零向量$(x_1'-x_2',y_1'-y_2',z_1'-z_2')$与向量$\vec{n_2}=( G_x(x_2',y_2',z_2'),G_y(x_2',y_2',z_2'),G_z(x_2',y_2',z_2'))$共线，从而，过$A$点的切平面的法向量$\vec{n_1}$与过$B$点的切平面的法向量$\vec{n_2}$共线，所以，两切平面平行。

考试下来，此题几乎没有人得分. 分析下来，学生对题目不理解，无法将描述性的语言转化为数学语言，甚至都没有给出曲面的方程！实际上，所谓鸭蛋壳形状的曲面是指一个光滑的凸的封闭曲面。 而光滑的是指曲面在任意点处都有切平面存在，即可假设定义曲面$\Gamma$的函数$G(x,y,z)$在任意点处都有至少连续的一阶偏导数，且偏导数不全为零。 许多学生根本就没有想到可以自己假设曲面的方程! 当然，更没法想到此题实际上是一道条件极值的问题，并可以应用拉格朗日乘数法。

有一个学生对曲面方程做了这样的假设：

$$\Gamma':~\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1~\text{其中}~a>b>c>0$$

然后断言，$A(-a,0,0)$，$B(a,0,0)$是$\Gamma'$上距离最远的两点。于是过这两点的切平面都与$yOz$平面平行。但是，我们知道，鸭蛋是有大头与小头的，所以它并不是中心对称的，而椭球面太完美了！所以曲面太特殊，不够一般化。另外，就是对于椭球面，$x$轴上的两顶点是椭球面上距离最远的两顶点也不是个显然的事实，所以这个证明基本是不能得分的。

下面，我们利用三角不等式来证明上述事实 (此证明受湖北武汉的陈起航老师的启发，在此表示感谢)：

设$P(x_1,y_1,z_1)$，$Q(x_2,y_2,z_2)$是曲面$\Gamma'$上的任意两点，则 $$|OP|=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}=a\sqrt{\dfrac{x_1^2}{a^2}+\dfrac{y_1^2}{a^2}+\dfrac{z_1^2}{a^2}}\le a\sqrt{\dfrac{x_1^2}{a^2}+\dfrac{y_1^2}{b^2}+\dfrac{z_1^2}{c^2}}=a$$

同理，$|OQ|\le a$，从而$|PQ|\le|OP|+|OQ|\le 2a$。且从上述不等式取等号的条件分析，等号仅当$P$，$Q$取曲面$\Gamma'$在$x$轴上的两交点时才成立。因此，$\Gamma'$上的两点间的最大距离是$2a$，且$A$、$B$是使距离为$2a$的唯一点。

但事实上，就是不用多元函数的条件极值的方法，我们还是可以完成这个题目的证明的. 请看下面的解法。

解法二：过$A$点与$B$点任取一平面$\pi_1$，设与曲面$\Gamma$的交线为$\alpha$，这是一条过$A$点与$B$点的封闭的平面曲线. 以$B$为原点，$\overline{BA}$为$y$轴正向，建立平面直角坐标系。由于$A$点与$B$点是曲线$\alpha$上距离最远的两点，于是，曲线$\alpha$在以$B$为圆心，$|AB|$为半径的圆内(或圆上)，从而曲线$\alpha$在$A$点取得极大值，则根据费马引理，曲线$\alpha$在$A$点处的切线$l_1$平行于$x$轴，即$l_1\perp AB$。同理，如果过$A$点与$B$点取另一平面$\pi_2$，得与曲面$\Gamma$的交线为$\beta$，则平面曲线在$A$点的切线$l_2\perp AB$。由于$l_1$与$l_2$ 是以$A$为交点的相交直线，且它们都是曲面$\Gamma$在$A$点的切线，因此这两直线确定了过$A$点的切平面（注意：切平面的存在性是已知的！），$\overline{AB}$就是该切平面的法向量。 同理，$\overline{AB}$也是曲面过$B$点的切平面的法向量，于是，过这两点的切平面平行！

注：解法二将一个空间的多元函数的问题通过考虑曲面与平面的截线，转化成了一个平面的问题，再通过一元函数的结论，得到了证明. 这种解题的方式比较特别，也属于化繁为简，或化难为易的方法。

此外，利用这一方法我们可以看到满足题目结论的曲面不一定非要是鸭蛋的壳，它也完全可以是一个土豆的皮，即我们并不一定要求该曲面是凸的！它完全可以象土豆那样有凹点！因为从我们的证明中看到，当$A$、$B$是曲面上距离最远的两点时，它们一定是凸点，所以，其他地方是不是凸点无所谓。

我们姑且将这种证明方法称为切土豆法！这是家庭主妇都熟悉的方法！

 

 

 

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