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上过大学的同学，大概都参加过军训。每天出操整队，持续数周的时间。军训列队的时候，都会做一件事——报数。一列人员从数字1开始，依次递增的报出一个自然数，一直到队伍的末尾。而队伍的指挥官会默默的记下最后一个报出的数字。

今天我们说的宇宙就从这报数说起。每一位队员都被自己报出的数字标志了在队伍里的顺序，最后的一个报出的数字n，既表示最后一位队员是第几个，也能表示这个队伍有多少人。在一个有限长度的队伍里，在判定队伍长短的时候，我们可以不必纠结这两个意思的差别，但如果我们打开脑洞，考虑无限长的一列队伍就会有不同。

比如，队长小明面对一个无限长的队伍0、1、2、……，这个时候，他走进队伍会形成一个新的队伍。一个办法是站在队伍前面，变成——小明、0、1、2、……；另一个办法只站在队伍末尾，变成0、1、2、……、小明。两个的排序方式是不同的，因为后者有末尾的一个，而前者没有。然而两个队伍的人数都是一样的。在数学中，如果关注末尾的那个“数字”的顺序的性质，我们叫做“序数”，如果关注队伍中人数的绝对的多少，我们叫做“基数”。

其实，之前讲冯·诺依曼宇宙和哥德尔宇宙的时候，我们已经提到“序数”这个东西了。只是没解释过它到底是什么。按照数学的逻辑顺序，应该先有这个东西，才会有前面两篇文章中的操作。

队列训练中，我们还经常干一件事。比如教官会喊：“双数，向前一步走！”。然后所以报偶数的队员会形成一个新的子队列，或者用其他规则，取队列中的一部分形成其他的子队列。但无论怎么样去抽出子队列，我们都能在子队列中找出一个排位最靠前的一个人。在数学里，如果所有的子队列里，都能找到一个最前面的，这个队列叫做“良序”的。

我们很容易看出，之前小明的两种站队方法都是良序的。数学里还规定第二个队列比第一个队列长，因为第一个队列的排序和第二个队列前面部分一模一样。

如果我们把所有这样“良序”的排序办法聚集起来，他会形成一堆庞大的东西，同样大到不能是一个集合。因为如果是一个集合，那么这个集合也是良序的，而且是最大的良序集合。于是我在这个集合里强行加入一个更大的Max符号，于是形成了比最大还要大的排序办法。这是一个矛盾。

这个矛盾在公理化集合论成熟之前，就已经被集合论之父康托发现了。所以又叫康托悖论。这个悖论比罗素悖论的发现更早，也足以引发对集合论为基础的数学的“第三次数学危机”。但是，这个悖论的表述，在当年的数学圈里，还是算生僻的，所以关注的人不多，也没引发太多的波澜，直到罗素悖论的出现——毕竟，罗素悖论是不需要太多数学基础的人都能看懂的。

好吧，今天有到时间了。下一次，我们纠结本文前面提到的队伍数量——“基数”宇宙。

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就这样，一场车祸带走了纳什夫妇的生命——而5天前，他们还在奥斯陆的颁奖典礼上接受阿贝尔奖的殊荣。

当官方宣布纳什成为2015年阿贝尔奖得主的时候，纳什成为了第一位也是目前唯一一位同获得过诺贝尔奖和阿贝尔奖的学者。由于两个奖项的颁发国家瑞典和挪威同处于北欧的斯堪的纳维亚半岛，纳什还调侃着说：“我是一名光荣的斯堪的纳维亚人。”

一般的人们知道纳什更多是因为电影《美丽心灵》，这部电影在2002年奥斯卡金像奖的评选中独揽四项大奖，成为最大赢家。而这部电影的原型正是这位纳什——电影里，着重介绍他的博弈论方面的学术成就，以及几十年来与精神疾病的抗争。因为在博弈论上的开创性成果，纳什获得了1994年诺贝尔经济学奖。

的确，在现在，学过经济学的没有不知道博弈论的，学过博弈论的没有人不知道“纳什均衡”的。但是，我要说的是，即便“纳什均衡”在经济学里取得巨大成功，后来帮助纳什夺得了诺贝尔奖，但在数学圈子里——至少在一开始——并没把它当成一个重要的结果。现代博弈论的开山鼻祖冯·诺依曼甚至说它“不过是又一个不动点理论”。在数学界，纳什之所以被人敬佩，并不是他的“纳什均衡”，而是因为他在纯数学上的研究——纳什在微分几何和偏微分方程的数学成就同样光彩照人！

沃尔夫数学奖及阿贝尔奖双料得主格罗莫夫就这样说过：“依我看来，(纳什)在几何学中的成果比在经济学中的成果高出好几个数量级，后者根本没法比。这些成果带来的是思考问题的态度上的巨大转变。”

纳什第一个在纯数学的突破性成果是在他20岁刚出头的时候做出的——“一个关于流形和实代数簇的漂亮发现”。他的同行们认为，这是一个重要且深刻的结果。

1951年，纳什离开普林斯顿来到麻省理工。这里，纳什开始了关于“等距嵌入”研究。考虑黎曼流形是否能看成欧几里得空间的子空间。在数学里，前者非常抽象，而后者一般认为接近现实世界。最后，他用两个“纳什嵌入定理”解决问题。这些结果，被认为是上个世纪经典结论，提供了最深层次的数学直观。

同时，纳什嵌入定理的发现让纳什进入了另外一个数学分支的研究——偏微分方程。他利用纳什嵌入定理研究出一种办法，能够解出一类偏微分方程，而这类方程之前一直被认为不可能解出的。他所用的方法，被另外一位沃尔夫数学奖得主墨瑟完善后发表，定名“纳什-墨瑟定理”。

在这次与他分享阿贝尔奖的数学家尼伦伯格建议下，纳什开展了对椭圆偏微分方程的一个公开问题的研究。而这后来的成果也许是纳什最伟大的数学成就。仅数月时间，他就解决了这个问题，正常情况下，这个成就足以让纳什获得菲尔兹奖——数学界的最高荣誉，只给不超过40岁的数学家颁发。而在这之前，意大利人德·吉奥吉用另外一个方法也解决了这个问题，他们都互不知道对方的研究。于是属于各自的独立发现，这个结果定名为“德·吉奥吉-纳什定理”。

有人说，这次阿贝尔奖的颁发，是对纳什几十年前没能获得菲尔兹奖的“补偿”，纳什终于以数学家身份得以“正名”。然而，谁也没想到，这次挪威之旅却是他最后一次旅行。

每当不幸发生，我们总会去假设“如果”。如果纳什回国时，那传言中的“专车”准时到达而不用上出租车；如果纳什一上车就系好了安全带；甚至，如果纳什没有进行这次去斯堪的纳维亚半岛的旅行，也许就会是另外结果。

但是，一切的“如果”都没有了意义，人类不得不面对一个重大的损失。面对大师的离去，我们也只能最后说一句：

一路走好！天堂里没有车祸，没有精神疾病，只有美丽心灵……

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好吧，真是巧，在我写这篇文章的时候正好肚子饿了，于是我的去搞点吃的。吃什么呢？嗯，我吃蒸饺。

有面粉和水，我和面做成饺子皮；另一方面，有白菜和猪肉，剁碎和成了馅儿。把饺子皮和馅儿包在一起有了饺子。再把饺子放在锅里开火蒸熟，就有了蒸饺。

整个过程，我们用我们一些基本的东西一步一步，做出了蒸饺。也就是说，只要你不嫌麻烦，我都可以这样从面粉、水、白菜、猪肉什么的开始，用符号和一些规则给你解释蒸饺是什么，而且，层层递进，条理清楚——这里用的符号叫做汉字，用的规则是汉语语法。

而我们今天要说的宇宙就是来自上面解释饺子的思想，叫做可构造宇宙。而用的符号是变量(比如x,y,z)、常量(比如0、1、π)、量词(比如∀、∃)、关系符号——(比如∈、=、>)、运算(比如+、-、×)、分割符号(比如各种括号、逗号)、函数符号(比如f,g,h)……，反正在严谨的数学里，会有相关的规定。而语法规则我们会用数学中不会产生歧义的语言，叫做形式语言。

这里举个例子，我们如果表述任意实数的平方，都是非负数，我们的形式语言会这样写——∀x∈R(x×x≥0)。

多说一句，如果有一堆东西是X，那么能从X中造出来的，我们记成Def(X)。比如粗略的讲，按上面的例子可以这样说，如果X={面粉、水}，Def(X)={饺子皮、包子皮、馄钝皮……}。

现在我们可以来构建我们的宇宙了。和之前我们讨论过的“万有”的冯·诺依曼宇宙一样(微信版回复#98可见这篇文章)，我们还是从空集开始，同样用“序数”做工具，一步一步的来。第0步做出空集∅，第1步做出Def(∅)={∅},第2步再做Def({∅})……这样一直做下去，当到了某个极限，再把之前切做过的所有东西统合起来，之后又继续往下做。当然这里，我直接给出了一些结果，这里不再解释原因，有兴趣的读者可以参阅相关的wiki和集合论的书籍。同样，如果你更习惯数学符号的表述，可参阅之后的一个图。

好了，总算是做完了。做出的这堆东西也足够多，足够大，大到不能成为集合，成为了一种宇宙。这个宇宙，是同样大名鼎鼎证明了不完备性定理的哥德尔首先做出来的，所以又叫哥德尔宇宙，经常用字母L来表示。

问题来了，哥德尔宇宙到底有多大呢？和“万有”的冯·诺依曼宇宙V一样大吗？从直观上来讲，L似乎比V小得多。这个时候，数学里又一个奇迹发生了——当你觉得一切都显而易见的时候，数学用一连串推理告诉你，你之前的“三观”的错的，需要尽数毁掉！哥德尔证明了L是否与V一样大，竟然在我们常用的ZF公理体系下不可判定，就算加入选择公理的体系ZFC，V=L也与ZFC没有任何矛盾！

于是，V=L能够成为一条公理，叫做构造性公理。实际上如果我们承认ZF加入V=L这样的体系，选择公理其实是这个体系的一个定理，就是说，在这个体系下，选择公理能够被证明出来。而这个公理，还能把另外一个著名的猜想变成定理——连续统假设。注意这实际上是证明了连续统假设与常用的ZFC是没有矛盾的，而这个结果也是哥德尔证明的(之后，科恩证明了连续统假设的否定也和ZFC不矛盾，于是连续统假设与ZFC独立，因此科恩获得1966年菲尔兹奖)。

好了，哥德尔的构造性宇宙讲到这里。之前我们还讨论了“万有”的冯·诺依曼宇宙，两个宇宙都用到了“序数”做工具，而这个序数同样是一种宇宙，我们下次见。

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来自译言网，译者瑶草2015，原文作者Steve Barnes 

http://select.yeeyan.org/view/531059/454605

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杜夏特勒侯爵夫人拥有超凡的头脑。她在数学和科学上的巨大成就是她非凡智慧的明证。她生活在18世纪的法国，生前已享有盛誉，但她的非凡才能却似乎被主流历史忽略了，因为她是个女人。

正如劳伦·甘德森2009年的戏剧《艾米丽——杜夏特勒侯爵夫人——今夜捍卫自己的生活》刻画的那样，杜夏特勒侯爵夫人有幸生于启蒙时代。她的父亲是布雷德伊·普勒伊利男爵，一个贵族男子，曾当过路易十四的秘书。她是个早慧的女孩儿，不仅怂恿他哥哥的几位家庭教师转而教导自己，还经常参加她父亲每周举办的思想家和科学家的聚会。10岁时，她已经跟从伯纳德•丰特奈尔[i]学习天文学，后者在法国科学院担任了40多年的秘书。到12岁的时候，她已经精通德语、希腊语、意大利语和拉丁语。

戏剧开幕了，杜夏特勒侯爵夫人以一种超自然的方式在舞台上复活（杜夏特勒侯爵夫人于1749年辞世，年仅42岁，那时距她生完自己的第四个孩子仅有一周），为自己作为数学家和物理学家的成就提出有力证据。她最重要的成就包括她从拉丁语到法语的翻译，以及她对艾萨克·牛顿《数学原理》一书的评注。在她的职业生涯中，她还研究了火的本质，预测了红外能的特质，撰写了一本物理学入门课本，解释了动能，开发了一种早期形式的金融衍生品，提出了自己关于《圣经》和幸福的思索。

正如冈德森描绘的那样，杜夏特勒侯爵夫人对生活的热情同她对知识的渴求一样强烈。未满18岁时，她就遵照父母的安排嫁给了一个地位不高的贵族男子，这位男子比她大十几岁。但他因参加战争长时间不在家，于是杜夏特勒侯爵夫人热烈地追求秘密恋情，还与作家伏尔泰有过一段长期的婚外恋。他们的恋情是一场史诗般的恋爱，智力的斗争与情欲的激情同样激烈。冈德森明确指出舞台布景的一侧要用粉笔草写杜夏特勒侯爵夫人的数学方程；对面的墙上是一块小黑板，分为“爱”与“哲学”两栏。杜夏特勒侯爵夫人在讲述自己的人生故事时，会不时合计两栏分别得到的分数。

杜夏特勒侯爵夫人是一个打破传统观念习俗的人，例如她突破了女性有限的生活选择。在剧中，她有时得到伏尔泰的支持，有时却要忍受他的折磨，尽管伏尔泰是欣赏和尊敬她的。他象征了杜夏特勒侯爵夫人在事业上受到的阻碍和在科学界获得认可的困难。他恭维她，“我认为那位女士是一个伟大的人”，在其它地方却又讽刺挖苦她，“那位伟人唯一的缺点就是她生为女人。”也许正是这种态度激励了杜夏特勒侯爵夫人为女性教育而奋争。

对女性教育的倡导，再加上杜夏特勒侯爵夫人与众不同的人生经历及冈德森的描绘，使克里斯汀·范·金何宛——马萨诸塞州皮茨菲尔德剧院的艺术指导——最终决定将杜夏特勒侯爵夫人作为他们剧团2013年秋季的作品。（该公司英文名字（Women’s Action Movement）的缩写为WAM，代表“妇女行动主义运动”。）该剧团是一个专业剧团，成立于2010年1月，致力于推广聚焦女性艺术家和女性故事的戏剧。

范·金何宛说“人们都听说过伏尔泰……但人们都不知道杜夏特勒侯爵夫人在物理界和数学界的巨大成就，这一事实太让人震惊了。”她还说“如果这位女士在那样一个时代能够取得这么多成就，那么我们更能取得多少成就啊——既然我们在现在这个世界上拥有了这么多东西。。”

WAM为这部作品筹集了三万美元，包括来自“大众人文”[ii]组织的一万美元。有了这笔钱的支持，WAM制作了一本研究杜夏特勒侯爵夫人的指南，还为学生进行了专场表演，使WAM所在地区五家机构的女孩和年轻女性拥有了观看这部戏剧的机会。她们还通过社交媒体活动和观前及观后讨论探索了戏剧主题。

在11月份的一场表演后，在一次和观众的电话对讲中，范·金何宛描述了她和演员班底与少女观众的一次交谈。那次交谈发生在早些时候的戏剧演出期。当她问道是否有女孩觉得像杜夏特勒侯爵夫人一样在追求数学和科学的过程中遇到了重大障碍时，她们都说没有。
四年前，这部戏剧在美国西海岸首次进行了公演，但令人吃惊的是像《杜夏特勒侯爵夫人》这样一部如此有魅力的戏剧竟然还没有在纽约上演。

范·金何宛向观看过戏剧的观众提出问题：“这提出了另一种形式的玻璃天花板问题[iii]，难道不是吗？”她还说“[冈德森]是一个杰出的剧作家——她在28岁的时候就写出了《杜夏特勒侯爵夫人》这部剧——但她经历了一个艰难的过程才使她的作品得以公演。这听起来不正像我们刚刚看过的戏剧吗？”

关于作者：
Steve Barnes 是纽约州奥尔巴尼市《时代联盟》的主笔、戏剧评论家和餐厅专栏作家。

译者注：
[i]伯纳德•丰特奈尔（Bernard le Bovier de Fontenelle，1657-1757）一位法国作家，1935年月球上的“丰特奈尔火山坑”即以他而命名。自1697年开始，他担任了42年的法国科学院常任秘书。

[ii]大众人文（Mass Humanities）在马萨诸塞州开展并支持开展用历史、文学、哲学和其他人文学科来提高和改善市民生活的项目。该组织成立于1974年，当时附属于马萨诸塞州国家人文基金会。现在是一个独立组织。

[iii]玻璃天花板（glass ceiling）指的是女性在职业晋升过程中由于观念或组织上存在的偏见而导致的障碍，使得本来够资格的人在组织里的晋升变得可望而不可及。

人名对照：

杜夏特勒侯爵夫人  Émilie du Châtelet

劳伦•甘德森  Lauren Gunderson

布雷德伊·普勒伊利  Louis Nicolas le Tonnelier de Breteuil

伯纳德•丰特奈尔  Bernard le Bovier de Fontenelle

克里斯汀•范•金何宛  Kristen van Ginhoven

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把世间万物，统统的集合到一起我们叫做宇宙。所谓“万物”，包括了所有的东西，一些事实体的，比如我们喝水用的茶杯、使用的电脑、生活的地球以及地球所在太阳系，还有一些非实体的东西，比如个人的期望、母亲的爱、哲学家的思想等等。甚至，一些抽象的规律也被包含于我们所说的宇宙之中——温度变化的规律、天体运动的规律、数学的定理、人类活动的规律以及一些人们还没有发现的定律。

然而，在数学中，或者说更狭义的，在集合论中，“万物”不是一个集合，因为它太大了。在数学里，经常发生这样事情——我们描述一类东西，由于这类东西过于庞大，哪怕对它描述非常简单，这些东西也不能是一个集合，否则就会产生悖论。我们把这样的不是集合的对象叫做“真类”，因为它足够大，也把它称为“宇宙”。

数学里，讨论过很多著名的宇宙，它们很多引发过一些悖论。前面提到的“万有”宇宙也是其中一个，通常用字母V来表示它。很容易理解，V是数学里讨论过的最大的一个宇宙。然而，只是一个万有的性质还没法对它进行细致的研究。对一个复杂的东西，我们经常干的事就是把它“切割”成一块一块的，看看每一块是什么样子。

对V动刀的大神，其名字是如雷贯耳的——冯·诺依曼，所以V还有一个名字，叫做冯·诺依曼宇宙。大神用“序数”做刀具——第0块是空集，第1块是空集的幂集{∅}，第2块是第1块的幂集{∅, {∅}}，……，一直做下去，当到了某个极限，再把之前切好的块在聚拢起来，之后又继续切。如果你更喜欢看数学符号的表达，下图图里的表述也许适合你。

等等，你之前不是在切割“万有”的宇宙吗？我怎么只看到了一个从空集出发，不断取幂集和并集的构造过程。是的，的确是一个构造过程，但是，数学上可以证明，如此构造，任何集合都能在前面的构造过程中被“制造”出来。也就是说，这个构造和前面说的切割是一回事。数学里经常发生的神奇的事又发生了——有时候，我们明明在做两件看似完全不同的两件事，然后，数学用一连串推理告诉你，两件事其实没有区别，这样的事有个专有名词叫做等价。

啊哦，我开始不能接受了。按你所说，一切集合都能从空集作原料造出来？好吧，这太好了，请用空集造出俺村所有的鸡舍吧。空集里可是什么都没有，你得无中生有的造出来！

我只能说我做不到。实际上，但我们试图用数学来描述世界的时候，我们先做了一次“符号”的抽象对应。比如，我们处理苹果数目的时候，我把一堆苹果对应成阿拉伯数字符号“1”、“2”、“3”……，把两堆苹果合起来的操作对应成符号“+”，并把它叫做加法。然后，用定好的符号处理的规则推理出一个结果。最后把结果再对应回现实的操作。

遗憾的是，这种抽象与现实之间，有时能够很好的对应，有时却不能。还有有时候，数学里成立的做法，在现实中不一定能证实。比如，如果有人让我用空集造鸡舍，那么空集对应什么？对应成空盒子？这是“好”的对应吗？况且，数学里还有一件事也经常发生，我只能告诉你可以做到，但无法告诉你如何做到。数学里叫做存在性证明。

好了，我们这一次讲了包含所有的东西的冯·诺依曼宇宙，还讲了所有东西都是空集“造”的。那么，是不是所有东西都是能“造”的？下一次，我们讲哥德尔的可构造宇宙。

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不知道什么时候，网上突然流行一种叫“招生广告体”的各种文章。这些文章有个共同的特点是，它们会先讲述一段感人至深的故事，故事或是关于爱情，或是关于亲情，然后到高潮之处，突然话锋一转，进入招生广告模式，开始介绍某大学——XX大学是985或者211之类，然后就是该学校的一大堆介绍，比如下面的这些。

“这是二十万，离开我女儿”
“阿姨，我们是真心相爱的”
“四十万”
“阿姨，我不是为了钱，我觉得这个世界感情不能用金钱衡量的啊”
“六十万”
“阿姨，您这是逼我啊”
“一百万！我说最后一次，离开我女儿！”
我叹了口气，顿了三秒之后缓缓从口袋里掏出支票。 
“这是两千万，我要娶你女儿！”
阿姨惊讶地说不出话：“......”
过了一会阿姨缓缓问道：“你是什么背景...”
“阿姨，我毕业于XX大学。XX大学是是中国“985工程”和“211工程”重点建设的大学之一，首批入选“2011计划”、“珠峰计划”、“卓越计划”、“111计划”的高校之一，是国家32所副部级大学之一，教育部批准建研究生院的56所高校之一，研究生自主划线的34所名牌大学之一，“国家海外高层次人才创新创业基地” ”。

这些天，哆嗒数学网的一位小编在看美剧《犯罪心理》，发现这个美剧也进入了这个模式。这回打“招生广告”的是哈佛，从课程到就业都介绍了个遍，瞬间感到之前看到的“招生广告体”都弱爆了。

且看下面的视频，和文字实录——中英对照哦——不过小编认为，有些翻译不够数学。

加密术是一项高度专业化的技能，
Encryption's highly specialized skill set，

但其根本还是数学过程，
but it's fundamentally a mathematical process，

也就是人文过程，
which means it's a human process,

但有时候技术能透露你是在哪儿学到的。
but sometimes your technique can reveal where you learned it.

我知道他是在哪学到的。
I think I know where he learned how to do this。

哪儿？
Where?
.
哈佛。
Harvard. 

哈佛不是以先进的数学课程闻名的，
Which oddly enough isn't know for its advanced math program,

但有一门数学课程却特别有名。
but it is for one particular class,

如果你数学好，又能考入哈佛，
when you're good at math, you're good enough to get into Harvard,

就可以参加“15级数学”课程。
you take a math class called math 15.

如果比这更好，就可以参加“25级数学”，
When you're better than that, you take math 25，

如果是最最厉害的，就可以参加“55级数学”……
but when you're the best, the absolute best, you take math 55...

高等微积分和线性代数。
honors advanced calculus and linear algebra.

毕业生会立即被美国政府录用
Graduates are immediately employed by the U.S. government

因为他们太危险了，不能去别处工作。
because they're too dangerous to work anywhere else.

再说细一点，他们是被国安局录用。
More specifically, they're employed at the NSA.

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