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作者系来自Varsity Tutors的Erica Cirino。哆嗒数学网翻译。 

问起任何一个大学生哪门课程对他来说最有挑战性，他一定会说：“数学”。

从代数到微积分再到三角学，数学已经被誉为最具挑战性的大学课程之一。这是因为大学数学的问题往往是复杂的——他们要求学生执行多步操作才能得出正确的答案。大学数学是需要很大的努力去记住和了解如何使用方程，而不这样做几乎你总是得不到好的成绩。

当一些大学生能够真正理解数学概念时，其他一些数学厌恶者常犯一些简单的错误导致他们作业和成绩失分。

知道如何防止这些错误是确保你不成为这些人的最好方式。现在，让我们来看一下学习大学数学的四个最常见的错误以及如何避免它们：

1、 做完数学题不仔细检查

你的数学教授可能假设你已经在高中时期养成复查作业的习惯。因此，他可能不强调要求你在大学时还这样做。然而，学习任何领域任何水平的数学，检查是必不可少的。

重温你的解题步骤并不仅仅在检查作业。为了审核一个数学问题，可以采用另一种方法解题。如果能得到相同的答案，那么结果应该是正确的。为什么？简单地说，用两种不同计算方法得出同一个错误答案一般是不可能的。

2、书写混乱易混淆

谈及数学不可避免整洁问题。首先，潦草的字迹可以令你在解决一个数学问题时得出一个错误的答案。假如你不花时间写清楚，有些看起来相像的数字如“2”和“7”，还有一些运算符号和变量如“+”、“T”“容易混淆起来。一些教授在无法读懂你的作业时，甚至会扣分或者否定你。（也许2和z的例子更好，2和7之间如果能混淆，那得有多潦草？——哆嗒数学网注）

为了解决数学问题，小心地避免潦草的字迹，你可以使用铅笔，而不是钢笔。这样，你就不会有任何使你的理解发生障碍的笔误。还有一种确保你不混淆相似的数学字母或数字的方法就是使用明显易于区分的表达方式。例如，加法符号“+”和变量符号“T”可以采用独特的写法使得它不太可能互相混淆以避免错误。

3、思维定势

一些大学生总是在看到家庭作业或考试中一个特定类型的数学问题时使用同一类型的方法来解决它。但这并非总有效。事实上，你的教授也许希望你能用另一种不同于你的习惯的解题方法来解答它。

假设你知道你需要使用哪种解题方法会结束你的失分，请花时间全方面地理解你在作业和考试中遇到的每一个问题。

4、 需要帮助的时候羞于提问

师者，传道授业解惑也。另外教授也会支持大学生学术成长。尽管如此，许多大学生在数学中挣扎时并不敢畅所欲言。

这是一个巨大的错误。不提问题可能造成你在短期内的学习混乱，比如你很难理解一个特定的论题，从长远来看，它可以让你的研究明显落后。如果你不懂一个论题，一定要问你的教授问题——无论是课前，课上还是课后，甚至通过电子邮件都可以提问。你的教授会很乐意伸手帮助你。

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近日，爱拼网(iPin.com)发布2015年度《大学薪酬排行榜》，同时公开课各学校各专业的大数据统计的薪酬数据。

在数学与应用数学专业方面，毕业五年薪酬（月薪）最高的是复旦大学，达到15379元。列第二、第三名的分别为中国农业大学和中央财经大学，月薪分别达到12500元和12499元。而榜单的前14名都超过了万元大关。

值得注意的是，传统的数学学术强校不一定是该专业毕业生的收入强校，实际上决定毕业生收入还有学校的社会影响力以及就业地点，于是北上广等经济发达的城市毕业生的收入普遍会被拔高。

不得不提的是，由于各方面原因，一些即便开设了此专业的名校也没在网站上公布出数据。网站给出的主要原因有“政策原因”、“样本太少”及“样本不足”。比如南京航空航天大学、东北大学、国防科技大学等，都没有进入榜单，这不得不说是一个遗憾。

附录：没有进入榜单的211(985)大学名单。

东北大学（985）

西北农林科技大学（985）

中央民族大学（985）

国防科技大学（985）

北京工业大学

北京化工大学

北京中医药大学

大连海事大学

华中农业大学

海南大学

四川农业大学

青海大学

对外经济贸易大学

中国政法大学

天津医科大学

第二军医大学 

南京航空航天大学

北京外国语大学

北京体育大学

华北电力大学

东北农业大学

上海外国语大学

南京农业大学

中南财经政法大学

第四军医大学

北京交通大学

中央音乐学院

中国药科大学

武汉理工大学

长安大学

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本文摘抄自《数学犹聊天》。作者系美国数学科普作家基斯·德夫林(Keith Devlin)，译者是谈祥柏与谈欣。

一系列智力属性缔造了我们搞数学的能力。随着我们的叙述向前展开，我们将逐一察看每一个属性（他们相互之间并非完全独立）。尤其是，我们将反躬自问：我们的祖先是在何时及怎样获得这些能力的，它们又怎样结合起来，造就了数学能力。我们也许还想搞清楚：之所以没有本事去搞数学，是否由于缺少了某种能力，或是问题出在没有把各种能力有效地组合起来，又或是出自什么其他原因。现在，就让我略微说一下这些能力中最重要的几种。

数的意识

人类与其他几种生物拥有数量的意识。我们能够立即认识到一个物体、两个物体与三个物体的集合之间的差异。我们还能认识到，三个物体的集合要比两个物去的集合有着更多的成员。这种意识不是我们学来的，而是生来就有的。

数值能力

数的意识，即区别与比较较小的数的能力，是不需要作为抽象实体的数的概念，也不需要计数的能力。不过，数与计数是学来的东西。(尽管也存在着一些证据表明计数是一种本能。)经过相当的努力之后，可以教会黑猩猩与类人猿一直计数到10左右。但就我们所知，只有人类能把数的序列无限延伸，并对任意大的集合进行计数。

算法能力

所谓算法，就是一系列指定步骤，用以达到一个特定目标，它是数学家采用的类似于蛋糕烘烤法的数学方法。做算术就需要学习对数进行各式各样的操作。数学的其他分支则要求人们把算法应用到其他各种实体上。例如，求解一个二次方程就需要执行一种代数算法。

上述三种属性提供了让我们能够进行算术运算的大部分要素。但一些擅长算术的人也会经常利用其他一些附加属性。例如，小时候学习个九九乘法表时，我感到非常困难(我是整个班级里排在最后几名的“差生”之一) ，但我后来意识到只需要背出一半，然后此事就变得容易了。倘若我知道7×9 =63，那么我就能应用逻辑规则得到9×7的结果。在做乘法时，先后顺序是不重要的，9×7与7×9的结果完全一样。至今 我在计算9×7时仍是先把它倒转成为7×9，然后唤醒我的记忆，得出结果7×9 =63。

以下的一些属性都将或多或少地影响到一个人的(相对于算术能力来说的)数学能力。

抽象能力

我认为，在处理抽象概念方面的能力局限是搞数学的最大障碍。然而，正如我将要指出的那样，人脑在获取（人人都具备的）语言能力的同时获取了这种能力。因此，大多数人在数学上有困难的原因并不是他们不拥有这种能力，而是他们没有本事把他应用数学中的抽象概念。要想解释清楚情况为什么会演变成这样，是一项有趣的挑战。

因果意识

像其他几种生物一样，人类似乎很早就拥有了这种意识。它对生存的益处是十分明显的。

构建与遵循事实/事件因果链的能力

除了一生的最初几年之外，构建与遵循相当长的因果链看来是人类独有的能力。正如我将要解释的，我们的祖先在掌握语言能力之时，就获取了这种能力。数学家对定理的证明，其实就是事实因果链的高度抽象的形式。

逻辑推理能力

这是一种构建与遵循一步一步的逻辑论据的能力。它同上面那种能力密切关联，也是数学的重要基础。

关系推理能力

数学中有很大一部分是关于各种(抽象)对象之间关系的。我认为，对各种数学对象之间数学关系的推理，实质上无异于对各种现实对象之间现实关系的推理，以及对人与人之间人际关系的推理。由于我们中间的绝大多数人每天都在从事这种推理活动，这就再次产生了一个问题：为什么有如此众多的人认为对数学对象的推理有那么难？

空间推理能力

空间推理能力对许多生物的生存至关重要。这种能力奠定了几何学的基础，它也可以应用到表面上看来同空间无关的一些领域的推理中。实际上，高等数学中的许多重要发现源自数学家发现了一种新奇的用空间方式看待问题的思路。(1994年对费马大定理的证明采用的基本上就是这种方式。)

以上这些心智能力结合起来，就形成了能让我们研究数学的综合素养。而我们对数学能力源头的探寻，可以在很大程度上简化为对上述各种能力起源的探寻。探寻主干便是人类的进化。上面列举的每种能力都需要耗用大脑的能量。（有的还需要付出其他代价。）因此，其对生存带来的益处必然大大超越所付出的代价。在某些情况下，诸如空间推理或因果意识所带来的益处是十分显著的。而在其他情况下，则需要我们进行更深的挖掘。

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导读语：这是我哆嗒数学网的读者的投稿，我们小编觉得这篇文章梗太多，有的梗还挺深。当我们注解玩所有梗后，不禁会心一笑。应作者要求，匿名发布。同时欢迎广大看官投稿。投稿联系QQ群：128709478 。

蓝淋的《浣熊帮帮忙》中有这样一个经典桥段，每当可爱的女主睡不着时，男神就拿起一本国家地理杂志进行催眠，百试百灵！然而我却一直觉得，也许一本数学家的著作更能胜任。

不信？一个小学生日记里简单词句“小明洗了手”足以让你睡意大增。数学学霸会这样说：存在一个x<0,使得这x在自然的映射x→小明(x)之下的像属于脏手组成的集合，并且还存在一个y，x<y≤0，使得y在上面得到映射之下的像属于前一句中定义的集合的补集。”[1]

相信这么一串读下来一般的小女孩基本上已经昏昏欲睡了吧。无怪乎歌德感叹：“数学家犹如法国人：无论你对他们说什么，他们把他翻译成自己的语言，于是就成了全然不同的东西。”

很不幸，有时候数学学霸们会遇到这样的情况：可爱的小女孩被你这么一串读下来的结果不但是瞌睡连天，之后再也不和学霸玩耍。于是，心塞绝望的学霸感到无所依靠，定下了自杀的日子，决定在午夜之时，告别这个世界。由于他的效率比较高，在午夜之前，他就搞定遗言杂事，剩下的几个小时，他就跑到了图书馆，随便翻起了数学书。很快,被库默尔解释柯西等前人做费马大定理为什么不行的一篇论文吸引住了。他竟然发现了库默尔的一个bug，一直到黎明的时候，他做出了这个证明。于是可爱的学霸傲娇不止，小女孩什么的哪有费马大定理可爱！谁证明了费马定理果断以身相许啊！[2]

不过，要是让萌妹子知道了你这个想法，可能会反过来“傲娇不止”，给个什么哥德巴赫猜想之类的，看你拿什么证明定理，到什么时候才有以身相许的机会！[3]

某年某月某日，阳光正好，春风和煦。小女孩吃着萌哒哒的小零食，把周围的人逗笑得魂都在飘的时候，问了学霸一个问题：“‘派’是什么? ”作为数学学霸必然果断秒答：“ π是圆周长与直径的比.。”妹子瞟了一眼，转头又睡。痛定思痛，学霸决定自己不足，基友来助，果断问基友中的各类学霸！工程专业学霸基友说：“ π大约是22/7。”计算机专业学霸基友说:“ 双精度下π是 3.141592653589”。然而还是老姐说得有道理，“这些死心眼的数学脑瓜, ‘派’是一种好吃的甜点，麦当劳有售！”默默给小女孩买苹果派去了。

不过，不知道数学学霸之间为什么能懂！两个数学学霸去餐厅吃饭，于是问题来了，吃什么主食，米饭还是面条？谁知他们居然不知道“面条”是什么。喜爱数学的服务员向他们比划了半天也没让他们搞懂。最后终于忍不住说了：“米饭是零维的，面条是一维的！”于是秒懂！[4]

阳春白雪，曲高和寡，数学是一门孤独的学问。数学学霸是一群可爱的逗比，他们会在葬礼上兴致勃勃地演讲黎曼猜想的证明[5]，或者吵一个问题一个小时不欢而散第二天互相同意对方继续吵这个相同问题[6]。

卡佩尔说：“所有的数学家生活在两个不同的世界里。一个是由完美的理想形式构成的晶莹剔透的世界，一座冰宫。但他们还生活在普通世界里，事物因其发展或转瞬即逝，或模糊不清。数学家们穿梭于这两个世界，在透明的世界里，他们是成人，在现实的世界里，他们则成了婴儿。 ”

最后补充一下，第一个例子中数学家弗拉基米尔·阿诺尔德还说道“要想读当代数学家们的著述，几乎是不可能的。而17世纪的数学家们的那些著述最清晰而且实际上也更现代。顺便说一说，依我看，从惠更斯和牛顿到黎曼和庞加莱这二百年的间隔，是数学的仅仅充斥着计算的荒芜时代。 ”所以说，数学家的阳春白雪可不能把一些仅仅是数学的语言分析算进去哦~

[1] 著名数学家，2001年沃尔夫数学奖得主弗拉基米尔·阿诺尔德在回答记者关于“数学都读什么”的问题时，说过类似的话。

[2] 这个大概是在说沃尔夫斯凯尔奖的来历。

[3] 哥德巴赫猜想，简称“1+1”。至今没有解决的数论问题，被誉为“数学皇冠上的明珠”。

[4] 据说李尚志教授在于两位俄罗斯数学教授吃饭的时候，发生过类似的故事。

[5] 希尔伯特在他学生的葬礼上的一个故事，他甚至在致悼词时说出了：“考虑一个单变量的复变函数……”

[6] 勒贝格和蒙泰尔曾经讨论一个问题吵得不可开交，但第二天又都同意了对方的观点，于是又吵。

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本文整理至微信公众号 闰土社交，有些许修改，鸣谢！

一年一度的高考又将拉开了大幕，近千万学生十几年的汗水将在这三天接受最终的检验。数学的难度往往决定最后高考的分数线的高低。而三个月后，他们又将开始高等数学的学习。会躺在大学宿舍的床上跟室友扯山海经，偶尔聊起其他省份高考情况，略显青涩的脸上会开始微微抽搐，他们紧攥着拳头大喊：“德玛西亚！——坑爹呢，这是！”

下面就来看看各省难度在《英雄联盟》里是什么模式——人在塔在。

地狱模式：江苏

江苏以令人发指的高考模式著称。两年读完三年课程，剩下一年还得玩命。三年平均每天睡眠时间不足六小时，学生把自己当牲口看待，最变态的是江苏的老师把学生当超人看待。全省2所985名校、12所211名校把高考分数线提到越来越高，全国统考时12次录取分数线第一。

         
另外，江苏高考界还有一位传奇——Legendary！：葛军，江湖人称“葛大爷”，“数学帝”，2003年江苏高考数学卷出题人，一战成，“秒杀”30万江苏考生，全省平均分43分（满分150分），2010年葛大爷重出江湖，再次“虐杀”52万江苏考生，该卷也被成为史上最难高考卷。考试后，两篇名为《2010，江苏数学帝葛军，一个人秒杀江苏52万考生》和《数学帝葛军，你做人太数学了》的帖子在猫扑论坛和商都社区迅速走红。

噩梦模式：浙江，湖北，湖南

 
这三地全国统考时都以高考难著称分别获得9次，9次，6次录取分数线第一（1978-1998江浙两湖相加全国统考时分数线第一占了四分之三），但论丧心病狂度和江苏相比略逊一筹，除去江苏不谈，浙江的才子院士，湖北的黄冈密卷，湖南的奥数堪称无省可及…

困难模式：安徽，河南，山东，四川，广东，江西，山西，河北
    

来自以上地区考生到了大学！期末是酱紫的！ 对他们来说题目有两种：会做的，题目出错的。他们拿到考卷，被扣分了，找到老师，老师马上改正参考答案，他们面对一道难题，说，虽然我不会做，但算出正确答案还是没有问题的。他们考试做出了一道难题，好像什么都没发生过，他们从来不刷题，偶尔翻翻书就足够拿满分了，他们平时一般不轻易露面，他们一般不说话，他们的成绩分两种：满分的、被老师故意找茬扣了一两分的 ，他们答题从不套格式，但他随手写的解答会被别人用作标准格式，他们只背基本公式，其它公式自己推导。

一般模式：陕西，黑龙江，吉林，内蒙古，福建，重庆，贵州，甘肃，辽宁

来自以上地区考生到了大学！期末是酱紫的！ 对他们来说题目有两种：会做的，超纲的。他们拿到考卷，被扣分了，找了N久找不出错，又找来几个学霸一起为答案的正确性争得面红耳赤 他们面对一道难题，翻了翻书感觉超纲了，或者要求过高，果断放弃 他们考试做出了一道难题，会发一个状态，第一句话一定是：这题其实不难 他们一直在刷题，成套成套地做 他们经常和别的学霸约好一起去自习方便讨论问题 他们考完试喜欢说都不会肯定挂了。他们的成绩分两种：上90的、失误了离90还差一点的 他们答题只用自己的解题格式 他们努力背完所有要用到的公式 。

简单模式：北京，上海，天津，青海，新疆，西藏，海南，宁夏

来自以上地区考生到了大学！期末是酱紫的！对他们来说题目有三种：会的，看起来会的，不会的。他们拿到考卷，被扣分了，大骂老师太狠，但是没人理他们。面对一道难题，直接翻答案。他们考试做出了一道难题，巴不得召告天下 他们考前才刷题，只挑简单题做。他们经常在人人、贴吧或者知道上求助。他们考完试喜欢说好难啊求不挂。他们的成绩分两种：挂了的、差点就挂的，他们答题喜欢搜集各种解题格式，他们常常为公式太难背而烦恼。

好吧，高考和高中生活总会过去。对大多数人来讲，即便经历过黑色高三的洗礼，当上了大学，乃至大学毕业后踏入社会，对高中生活的回忆都是满满的甜蜜。高中时，不知道有没有妹纸对着高年级的大哥哥萌萌哒的说——内个，你有看见我的小熊吗？

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上次说排队的序数宇宙的时候，我们队伍里报数的最后一个数字既可以表示末尾的队员所在的顺序，又可以表示队伍里队员的数量。而且我们说过，在有限个队员的队伍里，我们不用太纠结它们之间的区别，但在有无穷个队员的队伍里却有不同。上次我们“纠结”了顺序，今天，轮到“数量”了。

为什么这里要用“纠结”一词？那是因为，在数学里，关于无穷的数量的确是一件纠结的事情。比如，在一个只有有限个队员的队伍里，这时小明站进了队伍形成了新的队伍，如过之前队伍里有n个队员，那么新的队伍的人数就变成了n+1，人数增加了。如果，这是小明面对的是无限长的队伍，0、1、2、3、……，那么情况就不同了。这时小明站了进去，但是虽然队伍里多了一个之前没有的小明，但队伍的人数并没有增加。因为我们只需要把小明对应0，把0对应1，把1对应2，把2对应3，以此类推，于是我们找到一个办法把新旧两个队伍里的队员正好一个对上一个，不多也不少。于是这样说明，两个队伍的人数是一样多的。

在数学里，前面说的一个集合数量叫做“基数”。前面“小明进队”的例子其实说明，对于无穷的集合来讲，一个集合有可能和它的真子集一样多。数学里，还有一个叫做“选择公理”的公理，这个公理能保证所有的集合都是有一个基数的。如果我们把所有有限集合的的基数统合在一起，它能做成一个集合，叫做自然数集。但如果我们把所有无限集合的基数凑在一起，就太大了，大到超过集合的标准，成了宇宙。

我们可以用康托定理来证明所有基数不能形成一个集合。康托定理是说，一个集合的基数严格地小于这个集合幂集的基数。如果所有的基数能形成一个集合，那么这个集合的基数比每一个集合的基数都大。但是，它其实比它幂集的基数小。于是矛盾。

这里值得一提的，康托定理的证明过程所使用的方法叫做“对角线法”，这个在集合轮里是一个非常重要的方法。甚至有人说，当“对角线法”被发明的那一刻起，集合论就真正的诞生了。

康托还证明了自然数的基数比实数的基数少。那么有没有一个集合，比自然数多而比实数少？康托认为是没有这样的集合，他把这个猜想叫做连续统假设。康托耗费了几乎一生的精力都没有解决这个问题。然而，时候的结果说明，康托是不可能解决它。数学家们在20世纪60年代证明了，连续统假设是关于ZFC体系的独立命题——就是说它不可能被证明出来，甚至连否定这个命题的机会都没有。

于是，我能说康托是被坑了吗？

这一次就到这里把，下一次会是什么呢？

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据邵逸夫奖官网(shawprize.org)6月1日消息。2015年度邵逸夫奖得主揭晓，五位科学家获颁奖项。今年为第十二届颁发，颁奖典礼定于9月24日(星期四)于香港举行。

数学科学奖方面，有两位数学家获奖，他们是德国马克斯普朗克数学研究所所长格尔德·法尔廷斯(Gerd Faltings)以及美国罗格斯大学数学系新泽西讲座教授亨里克·伊万尼克(Henryk Iwaniec)，以表彰他们对数论基本工具的推行及发展，让他们及其他人能够解决存在已久的经典问题。

格尔德·法尔廷斯，德国人。1983年，他29岁时，发表了他用代数几何方法对于莫德尔猜想的证明，引起了轰动。莫德尔猜想是数论领域的核心猜想，他的证明是的数论邻域另外一个著名猜想费马大猜想($x^n+y^n=z^n$，当$n\ge3$时没有正整数解)有了重大进展。莫德尔猜想能推出$n\ge4$时，满足方程$x^n+y^n=z^n$的互素正整数解至多有限多个。法尔廷斯因此猜想的证明获得1986年数学最高荣誉菲尔兹奖。

亨里克·伊万尼克，波兰人。1997年伊万尼克和另外一位数学家合作，证明了存在无穷多个形如$a^2+b^4$的素数。这种高度的结果在这之前被人为是遥不可及的：两人结合其他技术所使用的筛理论认为通常不能区分两个素数的乘积和其他素数。2002年伊万尼克获得美国数学会柯尔奖，该奖项被誉为数论界的最高奖项。

附录：“邵逸夫奖”简介

“邵逸夫奖”是按邵逸夫先生的意愿在2002年成立，以表彰在学术及科学研究或应用上在近期获得突破性的成果，和该成果对人类生活产生深远影响的科学家，原则是不论得奖者的种族、国籍、性别和宗教信仰。

“邵逸夫奖”是国际性奖项，由邵逸夫奖基金会管理及执行。邵逸夫先生亦为邵逸夫慈善信托基金和邵氏基金会的创办人，这两个慈善组织主要发展教育科研、推广医疗福利及推动文化艺术。
 
“邵逸夫奖”有三个奖项，分别为:天文学、生命科学与医学、数学科学。每年颁奖一次，每项奖金一百万美元。

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