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作者，基斯·德夫林，斯坦福大学教授 ，原文《What Is Algebra》。
翻译，Aria，哆嗒数学网翻译组成员。

我们常常听人说小孩子在中学阶段掌握代数是如何如何重要，但是代数到底是什么，她又是否真如人们声称的那样重要？为什么这么多人觉得代数很难学？ 

要回答这些问题可比回答一道常见的代数习题要容易些，令人吃惊的是，几乎没有人能给出满意的答案。 

首先，代数并不是“字母的算术”(Aria: 其实译者在中学就是这么认为的)。在最基本的层面上，算术和代数是思考数的问题的两种不同的方式。(我必须强调这篇文章中我注重的是学校里学习的算术和代数，数学家通常用这两个术语来表示某些更一般的概念。)

让我们从算术说起。她本来指的是用加减乘除四则运算来计算各种数值问题，是数学中最古老的部分，起源于大约一万年前的苏美尔(大概就是今天的伊拉克)。苏美尔社会已经达到了用钱衡量财富和进行商品交易的阶段。其他的货币象征最终让路给了黏土片上抽象的划刻(现在我们认为这是最早的数字)。时光流逝，这些符号逐渐获得了她们自身的意义：数。换句话说，数字起初是以钱的形式产生的，算术则是一种货币贸易的方式。(Aria: 今天的状况其实也差不多是吧...)

需要注意的是，数数使数字和算术的使用提前了数万年。骨头上的刻痕证明人们至少在三万五千年前就开始数数了(大多是数家人、动物、季节、财产等)，人类学家认为他们刻下的就是今天称为"数据记录"的东西。但是这些古人没有数字，也没有任何证据说明他们有任何算术。这些刻痕自身只是记录，它们直接代表着这个世界上的事物，而不是抽象的数。 

此外，算术并不必像学校里教的那样，用符号的操作来完成。现代的方法经历数个世纪才发展起来，在公元千年前半年在印度出现，在后半年被阿拉伯语系的商人所接受和采用，直到13世纪才传入欧洲(因此这种算术现在的名字是“印度-阿拉伯算术”)。在采用这种以符号为基础的印度-阿拉伯算术之前，商人们用一种非常复杂的手指计数或者计数板(板上画有线，线上有可以移动的小珠子；Aria: 听起来跟算盘有点像)来进行运算。算术书上描述了如何用文字进行计算，直到15世纪，符号操作开始成为主流。 

虽然许多人觉得算术难学，但我们大多掌握了这项技能，或者在足够的练习下至少没有挂科。我们之所以能够学会她，是因为算术大厦的基础材料——数字，在我们的周围很自然地出现：当我们数东西、测量、买东西、做小制作、打电话、去银行、查看垒球赛的比分等等。数也许抽象些——你从没看见过、感受过、听到过、闻到过数字“3”——但是数字和我们生活的世界里真实的事物紧密地联系着。 

至于代数，你的思维必须进一步脱离我们的日常生活。在代数中你学着去打交道的"x"们和”y”们表示的是数字，不过这是一种广义的“数”而不是具体的数。人的大脑并不会自然而然地适应这种程度的抽象，要做到如此，需要相当一些努力和训练。 

你必须认识到，代数是一种思维方式，并且和算术的思维方式不同。那些带着x和y的公式和等式，仅仅是在纸上体现这种思维的表示。她们表示着代数，这并不比用一纸音符表示音乐来的高明。不需要符号就可以做代数，好比你不必熟练地读谱也可以演奏乐器。 

事实上，商人和其他有需要的人，在符号形式被推广的16世纪前，已经使用代数长达3000年(这种早期的代数被称为rhetorical algebra"文辞代数"，区别于今天通用的符号代数)。这里有几个帮助你理解算术和(学校里学习的)代数的区别的方法： 

♢ 首先，代数涉及逻辑的思维而不是数值的 
♢ 在算术中，你“使用”数的计算来思考；在代数中你用“关于”数的逻辑来思考 
♢ 算术包括数的定量推理；代数包括数的定性推理 
♢ 在算术中，你用已知的数来计算另一个数；在代数中，你引入了未知数并且用逻辑来确定她的值 

上述的区别应该能让你更清楚地认识到，代数不是用一个或者更多的字母表示已知或者未知的数来做算术。 

比如用一元二次方程求根公式来计算一元二次方程的根，这不是代数，这是算术。 

相反地，首先推导出一元二次方程求根公式却是代数。用标准的配方法和因式分解而不是公式来解二次方程也是代数。 

当学生开始学习代数，他们无可避免地用算术的思维来解决问题。考虑到他们曾经为学习算术付出的苦辛，这很自然，并且他们一开始他们遇到的代数题也是相当简单的(这是对老师而言的)，这种方法也的确管用。 

事实上，一个学生的算术思维越强，在代数中他可以用算术走得更远。例如，许多学生可以用简单的算术解二次方程方程: x²=2x+15，完全不用代数。 

奇怪的是，或者仅仅是看起来如此，那些更优秀的学生认为代数更难学，因为对于代数学习来说，除了最基本的题例，学生必须要放弃算术思维，然后才可能开始用代数来思考。 

值得花这些精力去掌握代数思维吗？当然了——我相信在你历经艰辛地掌握了多数学校代数课本上的知识后，你会得出这个结论的。当今世界，大多数人的确有必要掌握代数思维。比如，如果你想要在像微软的办公软件EXCEL这样的电子表格里编写一个宏来计算格子里的项目，你需要代数思维。仅仅这个例子就能清楚地说明为什么代数而不是算术，现在是学校数学教学的一个目标。在一张电子表格里，你不用做算术，计算机自己会做，而且比人算得更好更快。使用者真正需要做的是，首先创建一个电子表格——计算机并不会帮你做这件事。 

不管你的电子表格是用来计算体育比赛的比分、追踪你的财务、运营公司或者俱乐部、或者计算你魔兽世界（暴雪公司出品的网络游戏，曾经拥有最多的玩家，在中国由网易代理）里角色的最佳装备，你都需要代数地思考如何建立你想要的东西。这意味着你必须使用广义的数而不是具体的数。 

当然，代数的需求并不能让学习代数变得简单——即使我认为比起火车出站和游泳池的放水问题(我们这代人做的题)，电子表格对于今天的学生来说是更有意义和一个不错的应用。在如今这样一国生计依靠科技领先的世界之中，让我们的学生拥有世界所要求的思维是非常重要的。学会使用计算机正是这些技能中的一个。然而使用计算机来计算要求使用者的代数思维。 

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在一般人眼里，数学家们似乎都很呆，他们“应该”成天拿着演草纸和笔，独自在房间某个角落对着电脑，计算和演化着各种数字、算式、符号和代码，然后冷不丁地来一句：我做出来了！

这样“不食烟火”的生活，很容易把“数学家”和“注孤生”两个本来毫不相干的两个词语联系起来。

然而，数学家Hannah Fry却不这样认为，她坚持数学厉害的人在寻找真爱方面也一定也是高手，因为用数学思维很容易分析出如何找到自己的Mr. Right的策略。

为什么要用数学？这里的一个例子，也许能说明利用一个靠谱的办法规划自己寻求另一半的行为是多么重要。Peter的家住在伦敦，他想找到高智商，高颜值的另一半，那么情况大致是这样的：

Peter附近住了多少女人？——伦敦，400万。

和Peter在适合的年龄范围内的有多少？——20%，还有80万。

单身的还剩多少？——50%，还有40万。

大学毕业的有多少？——26%，还有10400人。

其中，我能看上眼的有多少？5%，5200人。

能看Peter上眼的？5%，260人。

和Peter能相处不错的？10%，26人。

是的最后就剩下26个人 。

实际上无论是帅哥找妹子，还是靓女找男神，无论是通过线下社交圈的交往，还是线上的婚恋、约会网站上的约会，无论是恋爱中的相处，还是老夫老妻的日常生活。数学都能帮助你规划出一个最佳策略，让你在通往幸福的道路上更容易一点。

Hannah Fry给出三点秘诀也许对正在电脑或手机前的你有所帮助，而这些都是经过数学验证或者证明的：

一、 如何赢得线上交友的机会：在线上交友网站上，你的魅力程度无法预测你受欢迎的程度，事实上，让人们觉得你丑可能获得优势。

二、如何选择完美伴侣结婚：37%原则和次优选择原则，会让人在20多岁的末期找到最好的。这不能保证100%成功，但已经找不到更好的办法了。

三、如何避免离婚：不要忽略矛盾，不要让一些琐碎的问题堆积成大问题。数学博弈论的方程中的消极阈值能够解释这一点。

不过，这一切的讨论都限于理论。要找到自己满意的对象依旧不是件容易的事。你还是得自己亲自去做应该做的事情。今天是七夕节，本应当是你对心仪对象做点什么的日子，而你却还在把弄着电脑或者手机看我这篇无聊文章。——这样的机会不把握，你真得注孤生了——赶紧出门约会吧。

等等，出门之前，我最后告诉你让你看此文的目的——正如Hannah Fry在视频结尾说的那样： 我希望你们中的一部分人，能够了解一些关于爱的数学，能够让你爱数学稍微多一点。

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上海交通大学日前公布的2015年世界大学学术排名，前三名还是由美国学校占据。它们是哈佛大学、斯坦福大学、麻省理工学院。以这个榜单来看，美国在当今世界学术中心的地位不可动摇。

数学学科排名方面，美国院校依旧表现强势，占据前十名中的五个席位，并包揽前四。而英国和法国分别占据两席。第一到第四分别是：普林斯顿大学、斯坦福大学、哈佛大学、加州大学伯克利分校。另外一所美国名校加州大学洛杉矶分校位列第八。英国的牛津大学和剑桥大学分获第七和第九，法国的巴黎第六大学和巴黎第十一大学分获第五和第十。 前十中的唯一一个非美英法大学的席位被沙特阿拉伯的阿卜杜勒阿齐兹国王大学占据，位次是第六。

中国高校有42所大学进入榜单。在中国的高校的排名中，排名第一的是香港城市大学，世界排名第22名。第二名是兰州大学，世界排名第37名。兰州大学成为内地排名最高的大学，甚至超过了北大、复旦等传统的数学强校。中国排名第三的是香港中文大学，世界排名第39名。

哆嗒数学网下面再为你奉上所有中国高校的排名。

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作者，Sean Li 。原文《10 Mind Blowing Mathematical Equations》

翻译，小米，哆嗒数学网翻译组成员。

很多时候，人们认为数学公式只是为了记忆来应付考试的。但有些时候，数学公式的价值却远超于此——它们本身就是艺术品，为纯粹的享受而生。今天我就收集了以此为目的的10个最惊人、眩目和疯狂的数学公式。这些方程应该能向任何人说明，数学不仅仅只是公式的记忆。

1. 欧拉恒等式

这是一个非常著名的恒等式。它给出了3个看似随机的量之间的联系：π、e和-1的平方根。许多人认为这是数学中最漂亮的公式。

一个更一般的公式是e^(ix) =cosx+isinx (a^b表示a的b次方，下同)。当x=π，cosx取值为-1，而isinx取值为0。由-1+1=0，我们得到了欧拉恒等式。

2. 欧拉乘积公式

等式左边的符号是无穷求和，而右边的符号则是无穷乘积。这个公式也是欧拉首先发现的。它联系了出现在等式左边的自然数（如n=1，2，3，4，5等等）与出现在等式右边的素数（如p=2，3，5，7，11等等）。而且我们可以选取s为任意大于1的数，并保证等式成立。

欧拉乘积公式的左边是黎曼ζ函数最常见的一种表示形式。

3. 高斯积分

函数e^(-x²)本身在积分中是很难对付的。可是当我们对它在整个实数轴上积分，也就是说从负 无穷到正无穷时，我们却得到了一个十分干净的答案。至于为什么曲线下面的面积是π的平方根，这可不是一眼就能看出来的。

由于这个公式代表了正态分布，它在统计中也十分重要。

4. 连续统的基数

上面的公式说明了实数集的基数与自然数全体子集的基数相同。这首先是被集合论的建立者康托尔证明的。值得注意的是，这也说明了连续统是不可数，因为2^N > N。

一个相关的假设是连续统假设。这个假设是说，在N和R之间不存在其它的基数。有趣的是，这个假设有一个奇怪的性质：它既不能被证明也不能被证伪。

5. 阶乘函数的解析延拓

阶乘函数通常被定义为n!=n(n-1)(n-2)……1。但是这个定义只对n是正整数时有效，而上面积分方程则对分数和小数也有效，而且还可以用于负数、复数等等……

同样的积分式中我们把n换成n-1就定义了伽马函数。

6. 勾股定理

勾股定理恐怕是这个清单中最熟悉的公式了。它给出了直角三角形三边的联系，其中a和b是直角边长，而c是斜边长。这个公式还将三角形和正方形联系了起来。

7. 斐波那契数列的通项

这里，注意到φ这个数字是黄金分割比例。很多人可能听说过斐波那契数列（0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…，数列中每一项是前两项的和），却很少人知道有一个公式能够计算出任意某一项斐波那契数：这就是上面我们给出的公式，公式里面F(n)代表第n个斐波那契数。也就是说，为了得到第100个斐波那契数，你不需要去计算前99个，而只需要把100代入公式。

值得注意的是，即便在计算过程中出现了许多根号和除法，最后的答案总是一个精确的正整数。

8. 巴塞尔问题

这个公式告诉我们，如果你取所有完全平方数并将它们的倒数和相加，你将会得到\pi^2/6。这是欧拉首先证明的。注意到这个式子只是在前面的第二个方程（欧拉乘积公式）中令s=2。后者是黎曼ζ方程，因此我们可以说ζ(2)的值是π²/6。

9. 调和级数

这个公式有点反直觉，因为它告诉我们，如果你把一些不断变小的数（最终趋向0）加起来，最后将会得到无穷。可是如果你是取它们的平方，和却是一个有限的值（答案是π²/6）。如果仔细观察调和级数，你会发现它正是ζ(1)。

10. 素数计数公式的显式表达

这个方程的重要性体现在：

素数是那些除了1和它本身以外没有其它因子的数。小于100的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97 。 由此可知，素数的出现没有显然的规律：对于一串连续正整数，有时候你会找到许多素数，有时候你会一个也找不到。找到很多或一个找不到似乎是完全随机的。

很长时间以来，数学家都在尝试给出素数分布的规律。上面的公式正是不大于一个给定数素数个数的显式表达。

以下是各个符号的意义：

π(x): 素数计数函数。它给出了不大于一个给定数的素数个数。例如，π(6)=3，因为有3个素数不大于6：2，3，5。

μ(n): 莫比乌斯函数。它依据n的质因数分解而取值为0， -1或1。

Li(x):  对数积分函数。它被定义为函数1/lnt从0到x的积分。

ρ:  黎曼ζ函数的任意非平凡零点。

令人吃惊的是，整个公式的结果总是一个精确的正整数！这说明，给定一个实数，我们可以把它代入公式并得到不大于它的素数个数。存在着这样一个公式的事实说明，素数的分布存在某些规律，只是我们现在还不能理解罢了。

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作者，小米，哆嗒数学网群友。

1827年，英国植物学家布朗观察了水中悬浮花粉的运动轨迹，他发现，尽管每一时刻花粉的运动杂乱无章，但是却遵循如下的统计规律：在时间T内，花粉运动的平均位移正比于sqrt(T)( sqrt(T)表示T的算术平方根，下同——哆嗒数学网注)。这就是布朗运动的来历。爱因斯坦在1905年发表的关于布朗运动的论文中，利用分子动力学分析布朗运动，提出花粉的运动是水分子无规律撞击的结果。这是第一次对布朗运动的数学解释。但布朗运动的故事并未就此结束。1923年，美国数学家维纳第一次给出布朗运动作为随机过程的数学构造，从此布朗运动成为了概率论中严格化的数学对象。因此，布朗运动在概率论中也称为“维纳过程”。

那究竟什么是布朗运动呢？我们还是想像着花粉的运动。首先，既然花粉的运动是水分子撞击的结果，那么任一时刻之前和之后，花粉的运动应该遵循相同的规律，而且彼此是独立的。其次，花粉运动的规律应该具有尺度不变性。花粉在时间T内平均位移正比于sqrt(T)，无论T是1秒钟、1分钟还是1小时，都是一样的，而且sqrt(T)前面的常数也应该与T无关。更进一步，当我们通过正确的时间空间尺度去看观察布朗运动时，观察到的物理规律应该完全一样。例如在10倍的放大镜下，视野中花粉移动1厘米用了1秒钟；那当我们去掉放大镜后（相当于把长度缩小了10倍），同样观察到1厘米的移动就需要100秒钟（相当于钟拨慢了100倍）。这个100：10符合T：sqrt(T)的关系，因而是正确的尺度变换。另一个例子是我们把（1维）的布朗运动轨道画在坐标系中，横轴是时间，纵轴是空间。假设我们把时间轴放大4倍，而把空间轴放大2倍时，看到的轨道应该是一样的（符合相同的规律）。聪明的读者可能看出来了，和雪花、海岸线一样，布朗运动的轨道也是分形。

接下来我们要谈谈随机微积分了。随机微积分的最重要的对象就是布朗运动。记得在高等数学的第二型曲线积分中，我们会遇到形如F(t)ds(t)的积分微元，这里s(t)可以是空间中一个粒子运动的轨迹，F(t)是t时刻施加在粒子上的力，那么整个积分就是某段时间内粒子被做的功。高等数学里面我们学习了如何把微元F(t)ds(t)写成F(t)*s'(t)dt的形式，从而问题转化成为了第一型曲线积分。如果我们的粒子像花粉一样做布朗运动，那么微元就应该写作F(t)dB(t)（注：B(t)表示布朗运动--B是布朗的首字母）。我们能不能定义布朗运动的微分B'(t)呢？最短的答案是：不能。因为我们知道，布朗运动在时间T内的位移是sqrt(T)，在微元的情况下就是dt的时间微元里面运动了sqrt(dt)。但是微分（我们这里是速度）的定义是空间微元除以时间微元，我们得到了1/sqrt(dt)，这是一个无穷大量！所以高等数学中通过微分来转化问题的方法在这里失败了。

有没有其它方法呢？布朗运动的导数虽然没有意义，但是并不代表积分也没有意义。历史上随机积分都好几种不同的定义方式，我们接下来要介绍概率论中应用最广的一种，也就是日本数学家伊藤清首先发展起来的伊藤积分。对时刻[a,b]内的布朗运动，我们可以把[a,b]分成很多个小区间a=t(0)<t(1)<...<t(n)=b，在每一个小区间[t(k),t(k+1)]上认为布朗运动是直线，受力F也是恒力F(t(k))。如果是普通的积分，这一步就是定积分的黎曼和逼近。因为布朗运动不可导，所以对每一条轨道而言，当我们把小区间越分越细时，黎曼和并不存在一个极限。但是，我们并没有充分利用布朗运动的随机性。对于小区间的每一个分划，因为轨道是随机的，所以黎曼和也是一个随机数，用概率论的语言来说就是随机变量。每一条轨道上，随机变量因为轨道的不可微性而不存在极限，在概率论的框架下，这只能说明不存在“几乎处处”的极限。但这只是概率论中最强的一种极限形式。对于随机变量而言，除了几乎处处收敛，还有依概率收敛、Lp收敛、依分布收敛等等，这些概念相信接触过初等概率论中大数定律、中心极限定理的读者都不会陌生。在更弱的收敛意义下，那些黎曼和确实存在极限（当然极限也是一个随机变量，因为布朗运动本来就是随机的）。既然积分能够被定义，而积分和微分又是相反的运算，所以微分在某种意义下也可以说是存在的，这也就是为什么在文献中布朗运动也是可以被“求导”的，而“随机微积分”也就名副其实了。

值得注意的是，伊藤积分和普通微分满足不同的运算规则。像我们熟知的莱布尼茨法则、牛顿-莱布尼茨公式都需要做额外的修改才能在伊藤积分中成立，这些规则可以泛称为“伊藤公式”。伊藤积分还满足概率论中的鞅性质，而鞅又是概率论中一个很好的研究对象。另一方面，注意到我们定义黎曼和时取左端点F(t(k))而非任意点吗？这可是很有讲究的。取左端点、右端点抑或是中点对应3种不同的随机积分，它们满足的运算法则也不相同，其中也只有伊藤积分满足鞅性质。例如，取中点对应的Stratonovich积分是通过光滑化布朗运动再作逼近得到的，它不满足鞅性质，却与普通微积分满足相同的牛顿-莱布尼茨公式，因此深受物理学家们的喜爱。

看到最后，有的读者可能要问，为什么要费那么大力气去定义关于布朗运动的随机积分呢？其实随机微积分的运用十分广泛。例如股票市场中一支股票的升降可以看作某种布朗运动，而持股人的决策--什么时候卖出或买入多少--就和前面例子中的力F充当着相当的作用。随机积分的结果恰好就是一段时间能持股人在给定决策下的收益！知道了这一点，对金融数学中频繁用到随机积分也就不会奇怪了。

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作者，浪荡游侠，哆嗒数学网群友。

在上一章中，我们提到统计学中有一些经典模式，这些模式或多或少有一定的道理，而且能很大程度上简化模型。当你无从入手时，这些模式也许会给你一些启发，或者起码能给你一个出发点。

1、平稳性假设(smooth)

物理学中瞎逼求导的坏习惯百年来屹立不倒。很多东西在数学上我们无法确定它是否可导，但我们总愿意给出光滑性假设或平稳性假设(反正英文中都是smoothness)。这个直觉沿用到了统计学中。我们希望信号非常光滑，比如音乐的音调不会突然变化，无噪点图上颜色的变化近乎平稳，人的习惯不会突然变化，视频的图像具有连续性。从这些例子来看，这个假设还是有一定道理的，起码与我们的经验感觉相符。

下面说说统计学中的噪声。统计学中的噪声一般都是白噪声或布朗运动这些七里拐弯，乱七八糟的东西，它们简直是平稳性的天敌。这样，信号与噪声就有了区别，我们有了足够底气来分离它们。

在平稳性假设下的统计可以用两个字概括——平滑。其实数学里有专门的一个分支来研究平滑，就是调和分析。所以在平稳性假设下，调和分析就可以大展身手了。很多统计方法实际上就是移用调和分析的工具，比如用Fourier变换将无限维变为可数维是调和分析中的技巧，再如非参估计里的kernel就是调和分析中的approximate identity。我知道到了这里我已经显得神神叨叨，那么这一节就这么结束吧，我们讨论下一个经典模式。

2、稀疏性假设(sparse) 与 同质性原则(homogeneity)

在高维统计问题中，要估计某个量，我们往往要考虑成千上万个因素。但这些因素中很多都是没用的。比如要估计一个人的智商，给你今天降水量多少显然起不到什么作用，我们要找到像 看不看韩剧，转发没转发过锦鲤这样的关键性因素。如果一个因素提供的信息很少而掺进大量噪声，估计的质量反而要下降。所以我们有稀疏性假设：对一个事件产生重大影响的只有很少几个因素，影响小的因素我们索性将其置为0。

但是我们如何将这些“重要因素”筛选出来呢？人工选择是工科干的事，况且有时看似无关的因素实际却很重要。统计归根结底是一门关乎数据的科学，我们希望由数据来告诉我们哪些是重要因素。在数学中，也有一门近来兴起的分支来研究稀疏性问题，称作“压缩感知”，代表方法是L1惩罚，当然也有很多其他的方法(group lasso, SCAD)。它的好处是可以自动筛选重要的变量。

构建模型时也可能遇到这样一种情况，在诸多变量中几个变量都起作用，但是它们起的作用都相同，这就是所谓的"同质性(homogeneity)"。这种情况用压缩感知的方法同样可以解决，不过之前要做一些技术性处理。

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今天，数学已经渗透到每个人生活的各个方面，可以说已经无处不在。虽然你网上支付的时候不会想到密码学中的数论，坐飞机时候也不会想到空气动力学的微分方程，但数学就在那里默默的发挥着作用。

军事科学也不例外，无论是尖端武器设计还是战斗指挥决策，数学已经渗透军事领域的各个层面。甚至，数学对战争的作用可能是决定性的。有人曾经用这样话来突出数学在未来战争的作用：一战是“化学战”，二战是“物理战”，如果未来再次发生世界大战，那一定是“数学战”。

下面五个人，在数学界他们已经大名鼎鼎，虽然他们也许从来没真正在军中服过役，但却发挥着优秀军人的作用。为保卫家园、维护和平做出过不可磨灭的贡献。

阿基米德：“数学之神”一己之力击退罗马军队

阿基米德在数学上有着“数学之神”称谓。有一次罗马军队来犯，他连夜研发了起重机和投石车，从而击退罗马军队。当时他造了巨大的起重机，可以将敌人的战舰吊到半空中，然后重重摔下使战舰在水面上粉碎；他还利用杠杆原理制造出一批投石机，凡是靠近城墙的敌人，都会被投石车投出石块砸中。这些武器弄的罗马军队惊慌失措、人人害怕，连大将军马塞拉斯都苦笑的承认：“这是一场罗马舰队与阿基米德一人的战争”、“阿基米德是神话中的百手巨人”。

图灵：计算机科学之父破译密码，扭转盟军的大西洋战场战局

图灵有在军队服役过，他可以说是真正的军人。二战期间，作为主要参与者和贡献者之一，在破译纳粹德国通讯密码的工作上成就杰出，并成功破译了德军U-潜艇密码，为扭转二战盟军的大西洋战场战局立下汗马功劳。另外，他还协助破译德军著名的密码系统“恩格玛”，帮助盟军取得了二战的胜利。2015年奥斯卡最佳改编剧本奖《模仿游戏》就是讲述图灵的这段故事。

冯·诺依曼：原子弹、氢弹和计算机

1943年，冯·诺依曼以顾问身份参与研制原子弹的“曼哈顿计划”。他主导完成了在原子弹爆炸设计中的关键计算。由他团队完成的EDVAC方案，是计算机设计的一座里程碑，这个方案使得原子弹的研制工作顺利完成。他还参与了原子弹的投弹目标地点的决策。二战结束后，冯·诺依曼研制出来当时最快的计算机，帮助美军完成了氢弹研制的计算工作。

维纳：因火力控制项目成为控制论之父

二战期间，维纳接受了一项与火力控制系统有关的工作，由此建立了预测理论并将其应用于防空火力控制系统的预测装置。希特勒的空军优势给同盟军造成很大的困难，英国面对德国的空袭，要求美国帮助增加地面防空力量。维纳认为：潜水艇和轰炸机的战斗是两个我们应用数学帮助制服的主要威胁。而维纳的数学家生涯也因为这段军方项目的经历产生了质变，促使他的跨时代的论文《控制论——关于在动物和机器中控制和通讯的科学》在1948年横空出世，使得维纳进入伟大数学家行列。

柯尔莫哥洛夫：重新制定苏联军队轰炸计算系统为斯大林的解忧

柯尔莫哥洛夫在数学上是绝对的名声显赫，他几乎与维纳在相同的时间研究火力控制，只是服务的对象变成了苏联军队。当时，苏联的空军力量就德军被彻底毁坏。斯大林试图将民航机改造为轰炸机来重建空军。但民航机速度太慢，无法预测和控制打击目标所需要的时间。柯尔莫哥洛夫等苏联数学家重新制定苏联军队的所有轰炸计算系统，消除了斯大林的烦恼。此外，他还在战争期间发展了平稳随机过程的理论。

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