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作者，Colm Mulcahy ，斯贝尔曼学院数学教授。

翻译，Jacob，哆嗒数学网翻译组成员。

​原文地址：http://blogs.scientificamerican.com/guest-blog/martin-gardner-at-101-it-s-as-not-so-easy-as-3-4-5/​

 

著名的科学普及和数学普及作家马丁·加德纳(Martin Gardner , 1914-2010) 名下有101本非虚构类书籍，也有一些虚构类的。如果他还活着的话，在今年10月21日会度过101岁生日。在过去25年中，加德纳为科学美国人上极具影响力的“数学游戏”专栏提供了大量的数学问题。这些问题中的大部分题目衍生出了更多的问题，而不是问题的答案。这实际上是件好事。

 

时至今日，“数学游戏”专栏以及它带来的对数学娱乐重要性的认知仍在持续产生着影响，加德纳的读者范围也涵盖了几代人。他的铁杆“粉丝”们依然持续举办着两年一度的邀请制的“加德纳聚会”，而其他的任何人(任何地方)在每年十月都可以举办或参加叫做“头脑庆典”的活动。 更重要的是，因为不断提出加德纳难题的新解法和改进旧解法，人们不断地超越自己，突破自己。

 

接下来，我们怀着轻松的心情，回顾一下加德纳的关于二维平面上图形“剖分”与“平铺”的问题的突破历程——这些曾让大家激动不已的谜题突破历程。值得一提的是，下面有一些结果还是最近才发现的，这让人非常开心，由此证实了加德纳的观点——好玩的数学能真真正正产生的持续不断的研究，更能成为满足好奇心和创造新思想的跳板。

 

三角形和正方形

“剖分”问题就是把熟悉的图形切开，形成若干个有趣的更小的碎片的问题，而“平铺”问题则要处理与之相对的概念，用大量的某一种或几种特定的小图形来填满一大片空间的问题。

 

这是加德纳在他1960年2月专栏中提出的一个简单的剖分问题：“给定一个钝角三角形，是否可能将其切成若干个更小的锐角三角形？” 无疑地，最初的数种尝试都失败了，比如下图所展示的(小三角形4不是锐角)

 

 

还有一道更难的，选自加德纳1981年4月的专栏：“将一个正方形分割成互不充叠的锐角三角形，那么小三角形的数量最少可以是多少块？”他自己做出了一个令人惊讶的解答。另一个选自1989年的题目问道：“是否可能将一个边长为整数的正方形三角形划分，且划出的三角形每条边仍是正整数？” 这道至今没被解决的题由Richard Guy所提出，他刚刚以一次飞跃阿西尼博因山山顶的直升机之旅庆祝完99岁的生日。 正如Richard在本月的一份电子邮件中评论道，我们仍不知道是否可能在平面上的单位正方形中找到一个点，使得此点与正方形四个顶点的距离都是有理数。

 

在1958年11月，加德纳提出一个问题，一个正方形是否能够被切成若干个更小的正方形——这些小正方的边长必须为互不相同的整数，而不是类似国际象棋棋盘样子的那种排成方阵简单的形式。从19世纪30年代开始，人们开始了解到这个问题与电网络理论有关联。加德纳提供过的一个近似的答案—— 一个32×33的长方剖分成这样的一些正方形 — 荣登《科学美国人》某月的杂志的封面。

 

 

上面的寻找“正方形中的正方形”问题的真正的解答花了20年，其中的一个解是边长为112单位的正方形，它按照要求被切成了21个正方形。加德纳给出过一个有趣的基本论断，来说明为什么这些方式中没有一种可以适用于三维情况—— 就是说一个正方体不能被拆开成为若干的不相等的正方体。自从40年前读到这个论断起，我就深陷其中。这暗示着，在更高维度下，这些方法也不会有用！

 

从现在起，我们把正方形的问题放在一边，我们来讨论平铺问题吧。在1979年10月，加德纳写出了老友Golomb在1975年提出的挑战问题：整个无限平面是否能被正方形铺满，而且这些正方形边长还是形如(1,2,3,4....)的整数？

 

Golomb的挑战问题很长时间没被攻破，2008年，它才被Jum Henle 与 他的儿子Fred征服。 Jim解释说：“证明的关键在于一个引理 — “对任意给定L形区域都可以通过添加正方形来使其构成一个长方形。”下面的动画展示了此引理对于28x28的正方形和17x17的正方形组成的L形区域成立的情况。(为了看起来方便，正方形都用3D的正方体来表示)

 

 

Henle继续说道：“由这个引理开始，证明就很轻松了。因为一旦构成了长方形，你就可以用之前没出现在拼图中的最小的正方形，把它和长方形拼一起，形成一个新的L形区域(这个L形区域也能通过添加更多的正方形被扩大成另一个长方形，而且此做法可以继续下去)。” 因此，每个得整数在拼接过程中都能被不遗漏的选择到，而且最后这个平面(立方体的上表面)将被完全铺满。

 

在他们论文的结尾，作者对满足相同限制的用三角形铺满平面的可行性进行了讨论。讨论中提及另一个至今待定的问题：“整个平面是否能被所有的有理等边三角形所铺满，而且满足所有三角形相邻的三角形的数量都是有限多个？”

 

这里说一下另外一个比较扯的趣味智力题，加德纳展示了这个将一个由等边三角形构成的梯形(其实是一个triamond，汉语中没找到对应的词汇)切成四块全等的凸块的剖分方法，并寻求一种用五块全等的凸块分割一个正方形的方法。

 

 

事后看来，答案是相当明显的——我们有提过加德纳也是一个顶级魔术师，也因此是位误导大师么？ 就仅在一个月之前，一份“不存在其他解”的证明被公布出来了。(在由Lipin Yuan, Carol Zamfirescu 和 Tudor Zamfirescu所著的“正方形切成五个全等块的分割”的预稿中)

 

永远令人惊讶的五边形

 

将三角形和四边形放在脑后，我们来看看五边形。正五边形无法仅靠自身铺满整个平面，而像等腰三角形，正方形和正六边形却能完美的铺满整个平面，不规则的五边形却可以铺满平面。下面的故事的可能都可以在 Wolfram五边形平铺论证计划网页这个互动项目中看到。这个故事在100年前开始，那时Karl Rheinhardt发现了5中不同五边形平铺，这儿有其中的两种。

 

 

50年之后，在1968年，Richard Kershner发现另外三种形式，并随着Martin在他1975年7月的专栏中的报道，Richard E.James 又发现了一种形式。加德纳及时的在接着的专栏里报道了这件事。而已到中年的圣迭戈的家庭主妇Marjorie Rice在她儿子的一本杂志中读到了这份报告。尽管没受过数学训练，她开始着手探索、组织自己的思绪并开创自己特有的记号来记录自己研究的过程。在1977年之前，通过发现四种全新的五边形平铺平面方法，她令数学界刮起了一阵风暴。这四种方式早先被其他所有人都忽略了，其中的两种展示如下：

 

 

她的一件在1995年发现的成果被数学家Doris Schattschneider采纳，用于华盛顿的美国数学协会本部的瓷砖铺设。

 

 

在1985年，Rolf Stein发现一种新的五边形平铺，这将总数目提升到14种。之后又过去了30年，Casey Mann，Jennifer McLoud 和 David Von Derau，这三位都来自于华盛顿大学博塞尔分校的学者，在2015年7月宣布了第15种方法。如下是它的一种体现形式：

 

 

下面是所有的15种平面平铺，为了方便比较，像博塞尔团队提供的一样，放在一个新的面板中：

 

 

那么还有更多这样铺满整个平面五边形平铺吗？如果还有，一共有多少种这样的平铺呢。博塞尔团队中的印第安人 McLoud（她是她家里第一个拿到大学文凭的人）说：“现在还不知道凸五边形平铺方法数量的上界。”就是说，可能还有几十种，或者有无限种。也有可能就这么多，不再有了。

 

盖棺了结

仔细看看博塞尔团队五边形是很有建设性的，这个五边形就像一个不规则棺材。也许McLoud和他的同事真的靠着发现最后一种五边形平铺的类型给它钉上了钉子。

 

 

接下来我们来描述得到这个图形的过程：这个形状可被通过折弯一条的5个单位长度的稻草杆子CDEaAB来获得，(这里a代表着图像中线段EA的中点；它也代表着EA的长度)，这之后会如下调整：

 

在右侧，将AB逆时针旋转120°，使得角A成60°。在左侧，将CD顺时针扭成直角，之后保持角D90°的同时，将DE也顺时针旋转30°。EaA保持直线，并且为2个单位长度长。最后，连接将D与B的终点相连：可以看出CB长度为sqrt(2)/(sqrt(3)-1)(sqrt表示开平方)，约为1.93个单位长，同时角C和B各自恰好为105°和135°。这个五边形可以被拆解成一个等腰三角形、等边三角形以及一个有着“良好”角度的四边形(分别是三角形DCE、三角形BAa、四边形BaEC)。

 

一个小孩拿着的稻草杆子瞎捣鼓着把杆子折弯，只要拉开合适的位置，都能轻松地拼出这个五边形。也许，历史的长河中，真有过几次这样的事。如果真有这回事，没有孩子曾意识到他们的发现，他们只会在妈妈叫他吃饭的时候别无他想地扔掉那根稻草杆。那么，又有谁能断定没有某个小孩把稻草杆折成另一种能平铺无限平面的新型五边形呢？他的确是一种孩子能玩的，而且能玩出深入结果的东西（想想前面的主妇）。

 

加德纳去世后最新出版的这本书无疑即会是老少皆宜的，《注释版爱丽丝》（150周年豪华版，诺顿出版社）。它是将这个畅销书系列的最后一次更新，包含了加德纳在5年去世为止留下的最新的注释内容。

 

 

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​

■武夷山

 

乔治·布尔， 19世纪最重要的数学家之一，数学中的布尔代数就是用他的名字命名的。布尔有5个有才华的女儿，“五朵金花”。不过，在灌注培养孩子方面，他妻子的功劳可能更大。布尔的妻子是自学成才的数学家。她善于用各种寓教于乐的方式引导孩子热爱科学。

 

 

 

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我们在查文献时，经常用到“布尔检索”式，这里的“布尔”，指的是布尔代数的提出者、英国皇家学会会员、数学家乔治·布尔（1815~1864）。他的著作《逻辑的数学分析》对符号逻辑作出了重要贡献。1854年，他出版了《思维规律的研究》，这是他最著名的著作，正是在此书中他介绍了后来以他名字命名的“布尔代数”。到目前为止，该书已经被引用了将近1800次。

 

有其父必有其女，他有5个有才华的女儿，“五朵金花”。不过，在灌注心血培养孩子方面，他妻子的功劳可能更大。

 

布尔的妻子Mary Everest Boole （1832 ~1916）是自学成才的数学家，有Philosophy and Fun of Algebra（《代数之哲学与乐趣》）、The Preparation of the Child for Science（《如何培养孩子走向科学》）等著作。在学术界并不欢迎女性的年代里，她以身作则，树立了女性投身学术的榜样。她善于用各种寓教于乐的方式引导孩子热爱科学，比如，过去的家庭妇女可能会教女孩子女红，绣一些图案，她则教孩子“曲线刺绣”（这里的曲线指数学曲线）。

 

大女儿Mary Lucy Margret （1856~1908）嫁给了数学家Charles Howard Hinton，生了四个儿子，小儿子Sebastian Hinton（1887~1923）是儿童游戏用品野外攀爬架的发明人。这位Sebastian Hinton有三个子女，其中一位叫William H. Hinton （1919~2004），他就是我们中国人民的好朋友韩丁，1948年他创作了反映中国土改的长篇纪实文学《翻身》，很有影响；韩丁的妹妹叫Joan Hinton （1921~2010），她的中文名是寒春，是参加过曼哈顿计划的极少数女性物理学家之一，后定居中国，被称为“国际主义战士”，她是另一位中国人民的好朋友、美国养牛专家阳早（1918~2003）的妻子。2010年，寒春在北京协和医院去世后，温家宝总理发了唁电。“百度百科”说寒春是作家伏尼契的孙女，不确。伏尼契是布尔的小女儿。

 

二女儿Margaret （1858~1935）自身未从事学术，嫁给了艺术家Edward Ingram Taylor，但将儿子G. I. Taylor培养成了数学家，G. I. Taylor在流体力学和固体材料研究方面有重要贡献。像外祖父一样，他也是皇家学会会员。

 

三女儿Alicia Boole Stott（1860~1940）是五朵金花中唯一继承了父亲的数学天赋的，她对四维几何学作出过重要贡献。Polytope（多面体）这个词就是她造出来的。有趣的是，最早激发起她数学兴趣的并非是其父亲，而是身为数学家的大姐夫Charles Howard Hinton。

 

四女儿Lucy（1862~1905）曾在伦敦皇家自由医院任化学教授，是英国有史以来第一位女性化学教授，也是英国化学学会的第一位女性会士。

 

小女儿Ethel Lilian （1864~1960）嫁给了波兰革命家Wilfrid Michael Voynich，写了好几本书，其中最著名的是小说《牛虻》。我们很多中国读者只记得《牛虻》的作者是伏尼契，而不知道她是数学家布尔的女儿（博主：我的发表版本这一句有误，现更正过来）。

 

必须指出，培养了五位了不起女儿的母亲虽知识渊博，但仍有知识缺陷。1864年11月的一天，布尔在去大学讲课途中遇雨，冒雨走了两英里的路，到学校后穿着湿衣服讲课，着凉感冒了，发起高烧。布尔夫人笃信“以同治同、以毒攻毒”的类比原理，她想，既然是“湿”导致布尔生病，那么还得给他加湿才能除病。她把布尔安放在床上，向他身上泼了一桶又一桶水，结果使病情加剧。1864年12月8日，布尔因胸腔积液去世，年仅49岁。

 

《中国科学报》 (2015-11-20 第11版 作品)

 

 

 

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作者，PCF，哆嗒数学网群友

 

一般的认为，现代数学的基础可以建立在集合论的公理体系上。这个公理体系是加入了选择公理的策梅洛-弗兰克(ZF)公理系统，简称ZFC公理系统。本文简要地介绍ZFC集合论中各公理的意义及作用。

 

首先，ZFC集合论中的公理大致分为3组：

 

第一组： 外延公理

 

第二组： 子集公理模式、无序对公理、并集公理、幂集公理、无穷公理、替换公理模式。

 

第三组： 正则公理（或基础公理）、选择公理（Axiom of Choice记作 AC）。

 

下面是详细的说明：

 

 

第一组只有一个公理。

 

外延公理：对所有的集合A、B，A=B当且仅当对所有的x有，x∈A ⇔ x∈B。

 

分析：首先，左边（即“A=B”）蕴含右边（即“对所有的x有，x∈A ⇔ x∈B）”）是等词的性质；重要的是右边蕴含左边。

 

它说的是：一个集合完全由它的元素（即“外延”）确定，不依赖于其他任何东西（如形状等）。这体现了数学的“量”的特点，也表明了数学的“简单性”——研究集合的时候考虑且只考虑集合的元素。

 

它的作用是：把证明两个集合相等转化成了证明有相同的元素（这一点在做数学题时非常常用），确保了第2组公理里断言存在的集合的唯一性。

 

 

第二组公理都是断言某种集合的存在性。

 

子集公理模式：我们回顾一下历史：康托认为，“内涵公理模式”——即 对所有的性质p(x)，{ x：p(x) }是集合成立。但这是错误的，是有其内在矛盾的，1901年被“罗素悖论”否定，罗素的反例是：取p(x)为“x∉x”，这样{ x：x∉x }会产生矛盾。

 

 

后来，人们把“内涵公理模式”修正为“子集公理模式”：对所有的性质p(x)，对所有的集合A，{ x∈A：p(x) }是集合。从而排除了具有内在矛盾的悖论。

 

子集公理模式说的是：如果我们有一个现成的集合A，那么我们就可以拿A中的元素作为“材料”用性质p(x)造出一个新的集合{ x∈A : p(x) }，因为{x∈A : p(x) }是A的子集，所以这个公理模式称作“子集公理模式”。

 

子集公理模式有重要的意义：它把“性质”实体化了。性质p(x)本是一个看不见摸不着的东西，但有了子集公理模式以后，我们用p(x)做成了一个集合{ x∈A : p(x) }（集合是我们的实体），它可以从局部完全地刻画p(x)的特征。这一点是集合论能够成为数学的基础的最根本的原因，其它的大多数形式系统，不能够把性质实体化，不具备研究性质的能力，因而不能成为数学的基础。

 

子集公理模式的作用：从已知的集合构造出新的集合。

 

但是，子集公理模式只能从已知的集合得到它的子集，当我们一无所有的时候，我们能得到什么呢？

 

首先，我们用逻辑公理能证明：存在x，使得x=x。也就是说集合是存在的。

 

我们用某个存在的集合A，利用子集公理模式，可知“{x∈A:x≠x}是集合”，这个集合就是空集∅。

 

但是，对∅使用子集公理模式，我们再也得不出新的集合，因为∅里没有我们想要的“建筑材料”。

 

所以，要想实现从无到有的突破，我们还需要新的公理。

 

无序对公理：对所有的集合A、B，{ A , B }是集合。

 

有了这个公理以后，我们可以知道{∅}、{{∅}}、{{{∅}}}、{∅，{∅}}等都是集合。但是，我们只能得到一元集或二元集，{∅，{∅}，{{∅}}}是不是集合，我们无从得知。

 

并集公理：对所有的集合A，{ x : 存在B∈A，使得x∈B }是集合（记作∪A）。

 

有了并集公理以后，我们可以知道{∅，{∅}，{{∅}}}=∪{{∅，{∅}}，{{{∅}}}是集合。我们还可以证明交集定理：对所有的非空集合A，∩A={ x : 对所有的B∈A，x∈B }是集合。有了并集公理之后，我们可以构造各式各样的集合。

 

幂集公理：对所有的集合A，{ x ：x是A的子集 }是集合（记作P(A)）。

 

这个公理可以以更快的速度（指数速度）形成新的集合。在外延公理的基础上，有了子集公理模式、无序对公理、并集公理和幂集公理以后，我们就可以适当地展开数学了：

 

首先是有序对的概念：

 

有序对定理：对所有的集合a、b，<a，b>={ {a} , {a，b} }是集合。

 

这个定理只依赖无序对公理。

可以证明：对所有的集合a、b、c、d，<a，b>=<c，d> iff a=c且b=d。 (*)

事实上，怎么定义<a，b>并不重要，重要的是让(*)式成立。

 

接下来，是乘积的概念：

 

乘积定理：对所有的集合A、B，A×B={ < x，y> :  x∈A且y∈B }是集合。

 

有了这个定理以后，我们就可以定义“关系”、“函数”的概念：

A×B的一个子集R称为A到B的一个关系。

 

A到B的一个函数是指一个定义域为A的满足单值性条件（即“对所有的x∈A，y、z∈B，<x，y>∈R且<x，z>∈R 蕴含 y=z”）的关系R。

 

关系、函数是数学中最为重要的概念，集合论能把函数、关系实体化是集合论能成为数学的基础的一个重要的原因。

 

数学的内容一般是：定义一些数学对象，研究这些数学对象之间的关系。

 

在集合论里，数学对象都被定义成一种特殊的集合，它们之间的关系也被定义成特殊的集合。“关系”本是一种看不见摸不着的对应，现在，巧妙地采用了“用结果表达过程”的手段把“关系”实体化了：用关系R造成的结果{<x，y>：xRy}来定义这个关系。

 

接下来是定义重要的关系：等价关系、良基关系、序关系。

 

等价关系是满足自反性、对称性和传递性的关系。

 

良基关系是满足良基性（所有非空子集都有极小元）的关系。归纳法的最一般的形式就是良基关系上的归纳法。递归定义的最一般的形式就是良基关系上的递归定义。这是因为，“良基性”和“归纳法”是互为逆否命题的！（这只是一种粗略的说法，当然是可以严格化的。）良基关系有各种好的性质。

 

序关系通常是指偏序关系、全序关系和良序关系。

 

偏序关系是满足反自反性、反对称性和传递性的关系。

 

全序关系是满足连通性的偏序关系。其中的任意两个元素都可以比较大小。

 

良序关系是满足良基性的全序关系。其中的任意的子集都有最小元素。

 

良序关系是一种特殊的良基关系，当然有归纳法成立。良序关系是极为重要的概念，有了它，我们就可以定义序数的概念：

 

序数就是被∈良序的传递集（传递集的就是所有元素又是它子集的集合，比如{ ∅ , { ∅} }）。有了序数的概念之后，我们就可以“定量”地研究良序关系了。

 

然后是自然数的概念，自然数是满足下面两个条件的序数n：

 

（1） n是0或后继序数；

 

（2） n的每个元素都是0或后继序数。

 

这个定义是不依赖于无穷公理的。很多教材，在定义自然数的时候，都用到了无穷公理，只有少数没有用（如 汪芳庭的《公理集论》和Levy的《Basic set theory》）。笔者个人喜欢遵循“奥卡姆剃刀”原理，能不用的东西就坚决不用，这样才能看清问题的本质所在。对应到集合论的研究中，能不用的公理就不要用，用到的公理都要证明必须用！（实际上最后ZFC也没有做到这一点，比如无序对公理可以被ZFC中的其他公理推出——哆嗒数学网小编注）

 

无穷公理：ω={ n : n是自然数 }是集合。

 

在没有无穷公理的时候，我们只能看到序数宇宙呈现出下面的样子（n’表示n的后继）：

 

0，0'，0''，...

 

有了无穷公理之后，我们能看到序数宇宙呈现出下面的样子：

 

0，0'，0''，... ，ω，ω'，ω''，...

 

后面还有没有东西，我们就不知道了。

 

我们需要新的公理：

 

替换公理模式：对所有的类函数F，对所有的集合a，{F(x)：x∈a∩Dom(F)}是集合。

 

这个公理模式在直观上是对的，因为函数的值域的规模直观上只可能比定义域的小。有了这个公理模式之后，我们可以得到{0，0'，0''，... ω，ω'，ω''，...}={0，0'，0''，... }∪{ω，ω'，ω''，...}是集合。这个集合就是ω·2，它的存在性离不开替换公理模式。有了替换公里模式之后，序数宇宙呈现出非常丰富多姿的样子。

 

第三组公理都是在否定某种集合的存在性。

 

正则公理：对所有的非空集合a，存在x∈a，x∩a=∅。换一种说法，这个公理是说：∈是任一集合上的良基关系。

 

其实，有了序数的概念以后，我们就可以定义“基础集”的概念了。

 

在序数宇宙On上递归定义一个类函数V(x)：

 

V(0)=∅；

 

V(x')=P( V(x) )；

 

V(x) = ∪{ V(y) : y∈x}，若x是极限序数。

 

令WF=∪{ V(x) ：x∈On }，则WF中的元素成为基础集，WF称为基础集宇宙或者叫做冯·诺依曼宇宙。

 

基础公理：对所有的集合a，a∈WF。

 

若把所有集合构成的真类记作V（称作“集宇宙”），那么，基础公理是说：V=WF。

 

可以证明：正则公理等价于基础公理。

 

因此，正则公理其实是排除了所有的“非基础集”。

 

如果把一个集合想象成一些事物加花括号形成的对象，那么基础集的直观含义是：

沿着任何一个方向往括号里进，总能进到底（进到找不到括号为止，实际上必定找到空集）的集合。

 

非基础集的典型的例子是满足x∈x的集合，直观形象是“{{{...}}}”，括号无穷无尽，沿着括号往里进，永远找不到底。

 

有一本书专门研究非基础集：Aczel的《Non-well-founded sets》。

 

选择公理（AC）：任何非空集合的集族上都有选择函数。直观的讲，就是能在这个集族里的每个集合中选取一个元素，“拼合”成一个新的元素。

 

选择公理有各种等价形式，最为重要的是：良序原理：对所有的集合a，a上存在良序。即是说a∈WO。其中，WO={ x :  x上存在良序关系 }，称作良序集宇宙。

 

良序原理其实是说：V=WO。选择公理排除了所有的“非良序集”。我们已经知道，良序集是可以被序数“度量”的集合。非良序集的直观涵义就是不可能被序数“度量”的集合。有一些书籍专门研究选择公理，如Jech的《The axiom of choice》等。我们看到，“良基理论”和“良序理论”有类似的地方，但也有本质的区别，下面比较它们的相同点和不同点。

 

类似的地方如下：

 

良基理论是对集合的“深度”的研究，即对“括号层数”的定量研究，运用了“秩”（一种特殊的序数）这一概念；

 

良序理论是对集合的“广度”的研究，即对“元素个数”的定量研究，运用了“基数”（一种特殊的序数）这一概念。

 

但也有本质区别：

 

WF的性质很封闭，稳定，不依赖正则公理，正则公理的作用仅仅在于把V（集宇宙）限制于WF；

 

而WO的性质很开放，很不稳定，AC的作用不仅仅在于把V（集宇宙）限制于WO，就连WO自身的一些性质也要依赖于AC！（例如，没有AC，WO关于并、幂运算都可能是不封闭的）。基数的乘幂运算的定义也要依赖AC。

 

笔者个人认为，AC的本质在于承认形式系统中某种无限次操作的合理性。无穷公理的本质在于承认形式系统中“实无限”的合理性，两者是不同的：无穷公理把实无限作为合法对象引入了形式系统，但并不知道形式系统中进行某种无限次的操作是否合法，比如不知道可不可以进行无限次任意的选取。而AC则承认了必须经过形式系统中无限次选取才能构造出来的集合的存在性，实际上是承认了形式系统中某种无限次操作的合法性。

 

从AC的等价形式，如Zorn引理、Tukey引理、Hausdoff极大原理等命题中可以看出，AC相当于断言某种“不可构造的存在”的合法性，比如Zorn引理中的极大元是不可构造的，仅仅断言存在而已，等等。

 

其实，正是AC的承认形式系统中某种无限次操作的合理性这一本质导致了AC相当于断言某种“不可构造的存在”的合法性：因为无限次操作是人类无法真正做到的，无限次操作得到的东西是“不可构造”的！

 

 

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作者：李晓奇，东北大学秦皇岛分校数学与统计学院教授，主要研究方向为数学史。

本文摘编自吕变庭主编《科学史研究论丛 第1辑》一书，有删减，转自科学网，原文地址http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=528739&do=blog&id=935890。

 

对任何一个学科来说，研究其历史都是非常重要的。而对于数学这一学科尤为重要，这是数学学科自身的特征决定的。

为什么要学习数学史

 

这个问题可谓前人之述备矣。但在这里我们还是要把一些要点说出来，以给学生们启发。

 

英国哲学家里德(T．Reid，1710—1796)说：

 

“数学系统一旦在少数公理和原始定义的基础上完美地建立起来，就构成了一个坚如磐石的基础。然后年复一年地发展和成长，最终形成一种能为人类理性所引以为自豪的坚固结构。”

 

这就提醒我们这样一个事实：数学思想的起源与传播有其自身规律，相对其他学科来讲有更强的连续性。数学理论体系从未发生推倒重来的情况，数学发展史上的每一次突破都奠基于前人成果的基础之上。因而，温故知新成为数学传播研究的必由之路。注意一下就会发现：数学是建立在公理的基础上的，而其他科学是建立在假说的基础上的。这才导致数学拥有与其他科学不同的特征，数学史的研究也显得十分重要了。数学的实质在于有一套提出问题和解决问题的普遍理论和方法。相对数学而言，科学的证明依赖于观察、实验数据和理解力；数学的证明是依靠严密的逻辑推理。而在思维严密的数学家眼里，物理学、化学、生物学、天文学等自然科学都是经验科学，难以达到数学定理证明所具有的绝对程度，只能提出近似于真理的概念。

 

数学不仅是自然科学的“王后”，同时也是自然科学的“仆人”，一直忠实地服务于其他科学。这完全是缘于她的能力。因为过去的经验告诉我们，所有的科学问题在本质上都是简单而有序的。物理学所有的定理都可以用数学公式表示出来。人类的智慧坚持用简单的概念阐明科学的基本问题，数学就是一个基本的方法。

 

数学是历史积淀的产物，只有了解数学史才有利于对数学作整体的把握。数学史研究的是历史上的数学，探讨其产生和发展的原因、规律，以及受其他社会因素影响的数学问题；还要研究数学在萌芽、形成和发展过程中起主导作用的基本思想及其传播和继承的规律。不仅涉及过去的和现在的数学，还探讨未来数学的发展趋势与特点，以指引当前数学科学的走向，为现代数学研究和数学教育服务。

 

数学在其发展过程中，在解决诸如不变与变，有限与无限，部分与整体，具体与抽象，离散与连续，确定与随机，精确与近似等矛盾的过程中，形成了特色鲜明的科学思想和方法。

 

除了少数专业数学工作者研究纯数学，大多数数学家或科技工作者从事的是应用数学的研究。应用数学是利用数学的方法来发展经验科学的学科。应用数学始于经验性事实，止于对经验性事实进行规律性预测，这些规律还必须被其他的实验数据所证实。从研究过程可以看出应用数学的真谛：从自然现象出发，回到自然现象。因此，用数学理论来发展经验科学往往又会向数学提出深刻的挑战，并启示纯数学研究的新方向。

 

关于数学历史与创新的关系，吴文俊院士有深刻的论述，他说：

 

“假如你对数学的历史发展，对一个领域的发生和发展，对一个理论的兴旺和衰落，对一个概念的来龙去脉，对一种重要思想的产生和影响等这许多历史因素都弄清了，我想，对数学就会了解得更多，对数学的现状就会知道得更清楚、更深刻，还可以对数学的未来起一种指导作用，也就是说，可以知道数学究竟应该按怎样的方向发展可以收到最大的效益。”

 

近代应用数学发端于英国，牛顿是其鼻祖。为了解释观察到的大量天体运行的资料，解释天体运行的基本规律，牛顿建立起天体运行的数学模型，提出了划时代的三大力学定律和万有引力定律。但是，力学定律的内涵超越了那个时代传统数学的范围，牛顿不得不开拓新的领域，发明了微积分，然后再用微积分、力学定律和万有引力，求得了行星运行的规律。在19世纪末的英国，所有的理论物理被称为应用数学。人们运用“概括法”从一个复杂的物理过程中概括出关键的物理因素，然后再用数学进行分析。

 

学习数学史要达到的几个目的

 

李文林先生说过，研究数学史通常有三种态度：为历史而历史，为数学而历史，为教育而历史。

 

对于我们从事高等教育的人来说，当然免不了要把数学史的研究和学习与教育联系起来。我们想达到的目的当然很多，但其中的几个需要特别提出。

 

1.对数学抽象性的认识

 

抽象是数学的特点，也经常成为学习的难点。在此，让学生们认识到抽象的基本过程和抽象的作用是必要的。抽象不仅是高度的概括和提炼，而且越抽象的东西应用范围也越广。

 

数学史上最早也是最重要之一的抽象是正整数的出现。数学问题本来就源于“实在的”而不是抽象的问题。早期的数值十分具体，而不像今天的数据那么“抽象”。

 

因此，从5匹马到5个“东西”再到“5”便成就了数学史上巨大的精神飞跃。

 

接下来就是另一个“飞跃”。正整数的出现自然驱使人们去研究它的运算规律。如果单纯探讨2+3=3+2, 5+8=8+5等等的具体结果就会陷入无休止的罗列中。人们巧妙地引入了符号：

 

a+b=b+a

 

这里a、b可以代表任意正整数。

 

随着符号的引入，数学进入了从“数”到“类”的飞跃，从而从算术阶段进入了代数阶段。

 

相信学生们在此会“顿悟”的，也许学习过程中从来没有人给他们点透过。就好像学生在应试过程中做了无数的对数题目，却没有意识到对数运算法则的实质——降低运算级别:

 

“  …by shortening the labours, doubled the life of the astronomer。”
(以缩短计算时间使天文学家寿命加倍）
——Pierre-Simon Laplace

 

2.对世界各个文明所做贡献的客观认识

 

在公元前2000年，古巴比伦数学的发展就已经开始。而他们对勾股定理（毕达哥拉斯定理）的研究在至少公元前1700年就已经取得了惊人的成就。出土的泥板中有大量的数学文献，包括15组勾股数。其中最大的一组勾股数按照现代的计数方法，斜边是18541，一条直角边是12709。

 

事实上数学史上有四个伟大时代：古巴比伦时代、古希腊时代、牛顿时代以及始于19世纪初直至现在的黄金时代。

 

3.了解中西方数学思维的差异

 

中国人擅长计算，而古希腊人擅长逻辑推理。泰勒斯(Thales, 约公元前624—前547)开逻辑证明之先河：他不满足于人们看到的一个圆被其任一直径分割为相同的两部分，还要想办法“证明”它们是相等的。他认为靠直观观察毕竟是有限的，系统的证明才更加可靠和长久。

 

4.了解前人的奋斗历史和治学精神

 

这也是“为教育而历史”的目的之一——就是要通过选择生动、丰富、典型的历史事件或史实，并用恰当方式展现在课堂或课程中，让学生切实“了解数学产生与发展的过程，体会数学对人类文明发展的作用，提高学习数学的兴趣，加深对数学的理解，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神”。

 

惠威尔（W．Whewell）在《归纳科学史》中写道：

 

“除了顽强的毅力和失眠的习惯，牛顿不承认自己与常人有什么区别。当有人问他是怎样做出自己的科学发现时，他的回答是：‘老是想着它们’。另一次他宣称：如果他在科学上做了一点事情，那完全归功于他的勤奋与耐心思考，心里总是装着研究的问题，等待那最初的一线希望渐渐变成普照一切的光明。”

 

希尔伯特在1930年退休时被柯尼斯堡授予荣誉市民称号。他发表了演说，并以著名的六个字作为结束，以表达他对数学的热爱以及奉献于数学的一生：

 

We must know, we shall know！

 

5.了解数学的发展过程和教材、专著的差别

 

数学论文和专著一般都是经过“包装”的，也就是说，是按逻辑顺序从定义到性质、定理等等组织内容、精心撰写的。那些数学真理、数学定理又是怎样被发现的？往往很少涉及，或语焉不详。而对于学习、研究和应用数学的人来说，这一点又恰恰至关重要。而且常常书籍之中展现的结果刚好跟实际演变过程相反，自然导致学生在学习中感到困难，这就需要我们教师给予点拨。

 

对于数学史及数学思想的灌输，我们首先应该认识到它的重要性，应该传授给学生以思想和方法。可以说数学思想和方法比数学计算更重要。当然这就对教师提出了更高的要求。

 

 

 

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作者，ScienceDaily, 英格兰数学教师。

翻译，sanshi，哆嗒数学网翻译组成员。

 

原文地址：http://www.sciencedaily.com/releases/2015/08/150810091907.htm

 

蛋白质、病毒等纳米尺度物质的复杂结构的全面认识有助于帮助我们突破生物医学领域的某些最具挑战性的难题。但是这些东西要比人的头发丝的宽度的千分之一还要小，科学家无法直接观察到他们，并研究他们的形状和功能。

 

为了能够将自然环境中的蛋白质结构展现出来。科学家想到了利用大剂量的X射线对溶液中的微量蛋白质进行照射。并利用得到衍射图像作为关键性的信息来为蛋白质大分子重建分子结构。然而，传统的溶液散射技术常常由于技术局限，所能提取到的结构细节信息有限。随着高能光源技术的发展，研究者找到了新方法去克服这些局限。尤其是一种名为波动x射线散射（FXS）的新技术，FXS能够提供的细节信息较传统方法有数量级程度的增加。时至今日，缺乏有效数学模型来对（散射）数据进行解读，已经成为妨碍FXS技术走向实用的最大障碍。

 

劳伦斯·伯克利国家实验室(Berkeley Lab)的应用数学家杰Donatelli 和Sethian以及物理生物学家Zwart使用一种名为多层迭代相位法(M-TIP)的新颖的数学理论和算法来解决FXS数据重建结构的问题。使用他们的程序，使用普通的桌面电脑就能在几分钟之内快速确定大致结构。这是极为重要的一步，帮助我们打开生物物理学前进大门，并且引入了新的工具来协助生命科学中一些最具挑战的难题的解决。

 

就职于伯克利实验室物理生物科学部门的科学家兹瓦特Zwart表示：“这个消息令人振奋！尽管波动散射技术首次提出距今已有38年，但直到现代x射线光源技术的发展才使其真正具备实用性。而新的重建模型发挥出波动散射技术的优点，为其成为生物物理学常用技术提供了核心支持。”

 

克服传统成像技术的局限性

随着（X射线）光源技术的发展，衍射（图像）很多种方式得以实现。如果微粒能够结晶成大晶体结构，可以利用x射线照射晶体，通过结晶学来分析。但是，很多重要的结构过于松散难以结晶，或者其在溶液中的结构与结晶后结并不相同。

 

作为替代技术，结构生物学家从溶液中微粒获得衍射图像。然而，这种被称为小角X射线散射法/广角度X射线散射（SAXS/WAXS）的实验方法在成像过程中微粒会发生旋转，从而丢失信息导致对未知结构重建效果不佳。这就类似于我们拍摄旋转木马上的儿童时，因为照片曝光时间过长，导致图像模糊和细节丢失一样。

克服SAXS/WAXS局限性的一种方案是使用更快、亮度更高的（X射线）光源，这样照相时间能够比旋转扩散时间更短。而这有赖于美国能源部的新设备--自由电子激光器（FEL），如斯坦福大学的LCLS（电子加速器相干光源）。通过波动x射线散射技术获取的额外角关联信息，能够为待成像对象获取重构所需的更多的细节结构信息。然而，如何利用散射数据来重建分子结构？这类反推问题非常具有挑战性，时至今日依然是横亘在分子结构研究道路上的绊脚石。

 

M-TIP破译FXS数据的秘密

从波动散射数据中建立数据模型的部分难点在于,不像标准的（传统的）衍射图像测量的是衍射强度,并仅需要恢复丢失的复相信息。逆FXS数据还额外需要恢复三维强度信息。

这个团队的新算法M-TIP提供了将FXS数据与对于溶液的先验知识结合起来建立模型的方法,例如密度的上下界,尺寸,对称与否等,最终能同时得到强度,复相,和分子结构信息.

伯克利实验室的计算科学部门的数学家Donatelli解释道：“为了开发鲁棒（稳健）且高效的FXS重构算法，我们不得不解决一系列的复杂（非平凡）的数学问题。寻找FXS数据和结构之间的联系涉及到非常多调和分析和线性代数的内容，并且我们需要开发多种新的计算工具，例如极坐标傅里叶变换等。”

鉴于FXS依然是非常新颖的技术，没有公开的实验数据库可用。为弥补数据缺失，Donatelli, Sethian 和 Zwart利用各种测试形状来模拟产生FXS数据，以此检验他们的模型,测试数据中也包括五聚体门控离子通道受体（pLGIC）模型。实验证明他们的M-TIP算法利用样品的FXS数据，能够快速，准确，精细的重建样品形状。

 

 

CAMERA：利用跨学科交叉进行科学创新

这项工作是CAMERA开展的项目的一部分。CAMERA全称为能源研究中的高等数学应用研究中心。CAMERA是能源部先进科学计算研究办公室和能源科学基础研究办公室的合作项目，部门负责人是Sethian。CAMERA将数学家，实验科学家，计算科学家和软件工程师联合起来,开发设计新的数学工具和软件，解决国家能源局各机构的数据和图像问题，包括为同步辐射光源和纳米科学研究中心工作。

Sethian表示： “能源部的（X辐射）光源为这些绝妙的数学问题的研究提供便利，这些问题的解决能够对飞速发展的科学产生重大影响。Zwart对问题的深刻理解结合Donatelli在调和分析和分步迭代算法的研究背景，为重构FXS数据的新方法的产生打好了基础”

FXS的未来

LCLS（斯坦福大学的直线加速器相干光源）设备使用权限最近被授权给作者们参与一项大型的多机构合作，从多个不同的生物标本中来获取FXS数据。这将会允许研究者有机会去测试算法，进而使用重建算法对实验数据重建。

Zwart表示：“最终目标是提供给科学界一个强有力的新工具，使确定纳米尺度微粒的结构和动力学特性工作得以普及，满足大量的日常研究所需。目前看来，将FXS这项新技术成熟的并提供给结构生物学家的实验室中还需要一段时间，但是这个是一个非常重要的突破性进展。”

研究者强调可以利用超亮辐射光源取得被低温冷冻的粒子的现场FXS数据。国立卫生研究院最近授予Zwart和合作者新的探测器使用权，希望同步加速器能够助推研究工作。

 

伯克利实验室先进同步辐射光源实验室副主管Steven Kevan说：“探测器、X射线源和光学上的新进展带来了低温冷冻大分子波动散射仪器以及现代同步加速器的实用研究, 我们期待这项技术在应用先进同步辐射光源之后取得新的进展。

研究者指出这个新方法业已应用到生命科学的研究中,而且还能够扩展应用领域，用于材料和能源科技研究。这项工作资助单位包括:能源部科学办公室（先进科学计算研究办公室和基础能源科学办公室）、国立卫生研究院。先进同步辐射光源设施来自能源部科学办公室。

 

 

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2016数学界第一巨奖，科学突破数学奖揭晓。来自加州大学伯克利分校的数学家Ian Agol获得该奖项。

科学突破奖是科学界奖金最高的奖项,每位获奖者会获得300万美元的奖金。此奖设立数学奖，在数学奖方面，它的奖金堪称土豪，有多土豪可以参考我们哆嗒数学网小编去年的文章。

此次数学突破奖授予美国加州大学伯克利分校的Ian Agol，表彰他在低维拓扑和几何群论方面做出的贡献，其中包括在解决稳和（tameness）问题、虚哈肯猜想（virtual Haken conjecture）和虚纤维猜想（virtual fibering conjecture）方面的工作。让人惊奇的是，Ian Agol在获奖职位介绍的时候，依然还只是副教授，而非正教授。

 

 

以下是颁奖盛典的剪辑，2016科学突破奖颁奖盛典剪辑，数学奖得主Ian Agol的镜头在2分46秒。

 

 

 

另外，值得一提的是，这回科学突破奖的得主中出现了中国人的身影。

 

今年的基础物理突破奖颁给了增进人类对宇宙最深层问题理解的成果。基础物理突破奖授予以下5个团队的1377名团队成员。他们在中微子振荡领域的基础性发现和探索，使我们得以一窥超越粒子物理标准模型的物理学新疆界。其中包括由中国科学院高能物理研究所王贻芳所长，以及就职于加州大学伯克利分校、劳伦斯国家实验室的物理学家陆锦标教授领导的大亚湾核反应堆中微子实验；

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作者，Ben Orlin, 英格兰数学教师。

翻译，诗人。，哆嗒数学网翻译组成员。

 

本文原文地址：http://mathwithbaddrawings.com/2015/02/24/why-do-we-pay-mathematicians/

 

——无用之用，方为大用

娶一个纯数学家当老婆，有很多乐趣，家里会时常发现她的笔记本上染指咖啡渍，上面却写满了积分，除此之外，另外一个有意思的事就是听她向别人解释她的职业。

“是不是要大量使用电脑呀？”

“你写方程吗？你懂我的意思，我指的是，那些很长很长的方程。”

“你是不是要和一些极其大的数字打交道？”

对上述三个问题的回答分别是：不，有时会，不。

她几乎不用计算机，不等式用得比等式多得多，另外，和她搞的小方向下的很多研究者一样，她觉得5以上的数字就已经大的离谱了。

尽管如此，她还是乐于回答那些问题。纯数学的研究是一项奇葩的职业，并且很难向人解释清楚。

那好，作为全体不在场纯数学家的一个代表，这位教师弱弱地做了次尝试，向人们解释一下这种工作。

 

问：那么什么是纯数学呢？

答： 你可以把整个数学想象为一张大的阴阳图，但是并不是光明与黑暗之间的绞杀，火与水之间的对决，而是纯理论和应用之间的博弈。

 
应用数学专注于数学在现实世界中的应用。工程，经济，物理，金融，生物，航天——所有的这些领域都需要利用定量的技术手段来解决问题和克服困难。

但是纯数学，却恰恰相反，它是为数学本身的完美而发展。

 

问： 那么如果应用数学意味着有用，那么是不是纯数学就意味着....

答： 没用？

 

问： 这是你自己说的，我可没说。

答： 好吧，我更偏向于“为了数学本身而发展”这个说法，不过说没用也不是一点道理没有。纯数学并不关注应用，它不以现实世界为中心。它不会去考虑制作出更快捷的浏览器，建造更加牢固的大桥，也不会去建立投资银行，用来巩固世界的经济。

纯数学是关乎数学模式，解题，和抽象的一门艺术。

思想是它的血肉。

产生于最初的朴素数学观念之上的想法，隐藏其背后的意义，可以引领我们继续前进的灵感，或者高于原始理念的构思，对这些剩下的（可能存在的）所有思想，纯数学家们孜孜不倦地探索着。

它永远都在向天发问，“如果那个被证明是正确的，那么对于其他的，什么是正确的呢？”
它永远走向问题的更深更远处。

 

问： 你是说就在此刻，那些不在这里的纯数学家们，正是在做那些纯数学嘛，虽然这些玩意可能对一些人来说永远没用。

答： [我瞥了一眼正在工作的妻子，确认她并没有在看她的美剧《实习医生格蕾》。]
是啊，就是这样的。

问： 那，为什么呢？

答： 因为纯数学非常美妙呀！他们勇猛地开垦着人类知识的新地。他们和哲学家，艺术家，以及其他领域的纯理论研究者无异。

 

问： 我懂了，那就是他们正在做纯数学的原因。但是(既然他们做的东西没啥卵用)为什么我们养着他们干嘛啊？

答： 哎哟，这是一个更加难回答的问题。让我先岔开这个问题，给你讲个故事吧。

在19世纪，数学家们开始对证明非常痴迷。整个世纪，他们致力于对已知正确的数学成果的反思和创新(就像对微积分理论基础的重构)，但是他们却不能完全地解释究竟为何如此。

所以在20世纪新黎明的破晓之际，一些研究介于数学和哲学的交叉领域的学者，开始了一项宏伟的工程:证明一切。他们渴望将所有的数学知识建构在一个坚实的基础之上，以此来创造一个体系，运用十足的精确和彻底的演绎，将真理与错误永远分离。

 
这个想法从过去开始酝酿已久（2000多年前，欧几里得将所有的平面几何建立在了相似的基石之上），但是这项工程放眼的视野却是全新的，具有里程碑式的意义。在数十年中，一些站在世界之巅，智力超人的数学巨子们，对比如“1+1=2”这样的命题，进行着孜孜不倦的探索，找寻着隐藏在其背后的，严谨而又神秘的意义。

你能想象出还有什么事情能比这更加抽象，更加纯粹吗？好奇心指引着他们前进。数学的应用在他们心中去留无意。

问： 那，之后发生什么了？

答： 这项计划失败了。

最终，哲学家库尔特•哥德尔证明了无论你最初选择什么样的公理，任何一个数学系统都会最后陷入某一些命题总是无法被证明的困境。你无法证明那些命题是正确的，你也无法证明它们是错误的。它们让人很无语。

 
我们称这些命题为“无法确定真伪的命题”。事实就是，很多事情都可以被证明，但是某些事情就是无法被证明。

 

问： 哎！这简直就是对时间的极大浪费！纯数学最差劲了！

答： 好吧，我姑且先说你是对的。

当然了，研究者们试着从数学废墟中重新利用一些东西。在这些工作的基础上，一位英国的数学家构思了一种机器，它能够帮助我们去判断某个数学命题是真的，还是假的，还是无法判断真伪的。那将成为一个自动的真理判决者。

 

问： 那我们是否曾经制作了它呢？

答： 制作过的，那位数学家叫做阿兰•图灵，今天我们都称这种机器为“计算机”。

 

问： [目瞪口呆]

答： 然而正是如此。

作为曾经令纯数学家呕心沥血的最为纯粹的数学事业之一，这项企图证明一切的浩大的工程，像凋零的烟火一般消逝远去了，没有得到实现。

当然了，预定目标的确没有得到完成。但是通过澄清（并且有时是革新）一些观念的过程，比如关于证明方法、真理和信息的探讨，数学成就了一些更加伟大的事业。

它带给了我们计算机，计算机相应地给我们带来现在这个，你懂得的，这个世界。

问： 所以也就是说现在的纯数学可能有一天会给我们带来一种全新且极具变革性的实际应用咯，就像当时的纯数学为我们带来了计算机一样？

答：有可能会。

但是你却不能一定认为任何一个数学工作都能达到那样的标准，那是做不到的。这个世纪之内会有成堆的论文，大量的纯数学工作，都是看不到（催生伟大实际应用的）曙光的。它们不会在任何有实际意义的领域得到应用。顶多它们会被相关领域的极少数专家阅读，然后沦为灰溜溜的背景知识。

这就是残酷的数学生活。

但是当你随意地去读那些20世纪初的逻辑学家写的文章时，你会觉得他们的工作同样地无意义。如果你把那些论文沿着时间轴一一排除之后，那么我们智力工作者奋斗史的“砖砖瓦瓦”将会变得非常中规中矩而毫无新意。但那并不会使得那些论文变得黯淡无光，因为伟大的研究成就并不是零散孤立的个人独白的简单拼凑。

数学成就是交流对话的果实！

 
每一项研究都建立在先人的研究之上，并且它又会指点后人去猜测下面可能要研究什么。这些暗示可能是价值重大的，或者有一些价值，或者毫无价值。无法提前判定。

在长达数十年的对话中，没有什么特别的言辞必然会具有重要的指导意义的。说太多会被遗忘，或者陷入晦涩。那都没什么大不了。关键的是对话一直在进行。人们需要不断地分享那些令他们兴奋不已的思想，甚至尤其是那些特殊的，连他们也不知道为什么的灵感。

问： 那也就是说，纯数学，为自己的终身美丽而生，永远献身于革新性的洞察咯？

答： 是的，这就是纯数学。

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今天，谷歌徽标(Google Doodle)纪念了的英国著名数学家乔治·布尔。布尔生于1815年11月2日，今天正好是他200周年诞辰。

 

纪念布尔的徽标中并没有出现布尔的肖像，而是用GIF动画图的方式展示了他的伟大贡献——布尔代数和布尔运算。

 

 

动画中，x或y的颜色会忽明忽暗，当颜色亮起时，表示这两个变量的值为“真”。那么会对应着相应的布尔运算：

 

“与”， x AND y ；

 

“异或”， x XOR y ；

 

“或”， x OR y ；

 

“非”， NOT x 以及 NOT y ；

 

当上述运算得到的布尔值也为“真”的时候，对应的字母颜色会变为彩色。

 

实际上，在纯数学中，布尔代数在代数学、逻辑演算、集合论、拓扑空间理论、测度论、概率论、泛函分析等数学分支中均有应用。而在应用领域，布尔代数在自动化技术、电子计算机的逻辑设计等工程技术领域中有重要的应用——想想程序员们，应该没有不知道布尔值的。

 

 

 

 

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