2016年3月

数学系研究生应做的五件事

 

 

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原文:Mohammed Kaabar

译文:我是崔小白、小王子,两位均是哆嗒数学网群友。

 

作者简介:Mohammed Kaabar 拥有华盛顿州立大学获得的理论数学的理学学士学位,现今是就读于华盛顿州立大学应用数学专业的研究生。早前曾在华盛顿州立大学的数学学习中心(MLC)当过数学助教。

 

 

      我想与大家分享一下我在华盛顿州立大学第一年做数学研究生的经历,同时对数学专业研究生应当做的事情给出一些建议。2015年春季,是我做应用数学博士研究生的第一个学期。在这学期里,我写了微分方程和线性代数2本数学教材,举办了3次应用数学的研讨会,同时被邀请成为技术程序委员会(TPC)的成员,并成为许多应用数学,物理学,电子工程和计算机工程专业的国际会议和期刊特邀审稿人。这些会议上大部分将接受的论文发表在主流的同行评审的出版公司,如斯普林格(Springer)和IEEE Xplore数据库。因此,我强烈建议作为一名数学系的研究生,应当完成下面列示的内容:

加入数学和相关领域的专业组织:

     当我刚成为研究生的时候,我加入了工业和应用数学协会(SIAM)。成为学生会员是一件很容易的事情,因为在一些大学里研究生可以成为免费会员。还有几个数学协会和社团,如美国数学学会(AMS)和美国数学协会(MAA),会给他们的学生会员打折。

建立一个专业的网站:

     如果您刚考上研究生,我建议您创建一个专业的网站,其中包括您的研究兴趣,履历,工作经历和正在教的课程。拥有自己的专业网站的优势是,很多人会通过网站上的电子邮件与您联系,邀请您作为数学和应用科学的期刊和会议的技术程序委员会(TPC)成员,审稿,编辑,数学小组成员。如果您要授课,在您的专业网站添加这样一个部分是很好的主意,其中包含您的课堂笔记,解决您的课堂作业和测验,以及考试的学习指导。

教一门您喜欢的课程:

     如果在您的部门获得了助教的职位,我相信大多数大学都会给您这样一个教授自己喜欢的课程的机会。所以,我建议您选择教授自己更感兴趣的课程。因为您在教授自己喜欢的课程时,您的学生将更有可能欣赏您的教学方式。

加入研究小组:

     如果您是数学系的新研究生,建议您联系一下您的系主任、班主任、辅导员、研究生主席,向他们咨询可以加入的研究小组,以便您可以参加小组的研究刊物和研讨会。

参加相关的课外学术活动:

     当即将开启研究生涯的时候,您将会面对工作和学习的压力。那么如何来缓解这些压力呢?答案很简单;许多大学和学院有学生社团和俱乐部,比如研究生会和同专业引导小组。拿我来说,当我在华盛顿州立大学(WSU)和沙迦美国大学(AUS)读书的时候,我积极地参加了同专业引导小组,同时我还参加了像国际电子科技大赛这样的竞赛。

     总之,上面提到的五点,我想用一个作为同专业引导的伟大成果的例子来总结一下。有一天,当我正沿着沙迦美国大学的走廊里散步时,我看到一个学生不知道在干什么,而且也不知道去哪里、该做些什么。那个学生就像是一个在沙漠中误入歧途的人,因为不能决定他的方向而感到困惑。我走过去问他想要做什么。他告诉我这是他在沙迦美国大学的第一天,他不知道该从何入手。我告诉他说一切都会好起来的。然后他轻松地叹了口气,感觉就像我们在沙漠里的朋友被飞机从泥潭带到了蓝天。大一新生就像一艘行驶在波涛汹涌的大海中的小船,不知会被大浪冲到何处。想象一下,当他突然发现有人将他带到安全的海岸时会有什么感觉呢。我帮他完成了整个注册过程。从那以后,那个学生成了我的好友。也许您还惦记着我们那个在沙漠里的可怜朋友吗?放心,他已经被直升飞机救起。所以我致力于加强相互间关系,建立一个高度合作的社区。在做同专业引导的过程中,我经常和周围的学生交谈,了解他们的问题并提供必要帮助。这只是告诉您一个成功的研究生如何积极影响其他同学的小例子。最后,我建议您至少遵循我上面提到的五件事情,这将使您成为一个成功的研究生。

 

 

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2016年度QS世界大学数学学科排名

 

 

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2016年3月21日,高等教育数据专业调查机构QS发布了年度QS世界大学学科排名(QS World University Rankings by Subject)。在本次调查评估了42个学科,哆嗒数学网的小编现在向你奉上数学学科排名。

 

和所有以往的数学排名一样,英国和美国的几乎垄断榜单的前10位。第一名为英国大名鼎鼎的剑桥大学,而美国的哈佛大学、麻省理工学院分列第二、第三名。接下来,美国的斯坦福大学与英国的牛津大学排在并列第四的位置。第六到十名分别是,加州大学伯克利分校(美国)、苏黎世联邦理工学院(瑞士)普林斯顿大学(美国)加州大学洛杉矶分校(美国)、纽约大学(美国)。

 

 

 

由于有并列第十的情况,亚洲的前十名中有11所学校。占据第一的是新加坡国立大学。而中国的大学占据了其中6个席位。第二到第十分别是日本东京大学、香港中文大学、北京大学、日本京都大学、香港城市大学、新加坡南洋理工大学、清华大学、香港大学、韩国国立首尔大学(并列第十)、香港科技大学(并列第十)

 

 

在中国的大学方面,香港中文大学排名第一,而在内地的大学中排在第一的是北京大学。共有27所中国内地大学、6所香港大学、6所台湾大学进入榜单。

 

 

 

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我们应该在数学课上愉快地聊起来!

 

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作者, David Wees ,数学教师。

翻译,斜风细雨,哆嗒数学网翻译组成员,大学教师。

 

 

为什么在数学课上学生需要相互讨论?最近有人问了我这一问题,我就此尝试给出一个非教条式的回答(例如,因为它重要所以重要)

 

 

在教室里学生间相互讨论数学,这些学生的思路价值可以表现出来,而不是被忽略或边缘化。这让学生在学习中可以得到转化。这也让学生学习如何从他们理解世界的现有方式中发展以得到新的思路。

 

支持学生相互讨论意味着数学可以是一种认识和存在的方式,而不仅仅是现有知识的一个实体(虽然作为一组工具的数学的价值经过长期的发展不能被边缘化),作为学生在理解什么是数学以及数学的价值时,他们更愿意把自己看作是数学家的一员,而不是一个与些无关的局外人。他们可以把自己看作是数学社团的一员。

 

为了能够彻底理解我们所学习的一门语言,我们必须使用它才行,要么写作或交谈,要么倾听其他使用相同语言的人。所以,从实践的观点来看,学生需要通过相互交谈来发展他们对语言的使用(数学语言或其他语言),而不是学生按序发言,由教师指定学生一个一个地来讲,最有效的方式是他们一同来讲,相互交谈。

 

我们知道我们的思想,当学生构想出思路并将其与其他同学交流,他们必须思考这些思路,这意味着他们在构造记忆。不论学生做什么这都会出现,焦点集中在学生所交谈的思想上,而不会是具体的活动(即完成一个任务)。

 

最后,学生相互交谈并书写同时也对他们的教师提供了更多有关学生思维方式的信息,这也使得教师更容易按照学生实际的思路来安排分组讨论并规划相关活动。如果不知道学生怎么学习如何思考,很难规划课程来构建他们的知识。当学生相互交谈时,他们的教师不仅可以收集并评估学生理解了什么,还可以知道学生是如何理解这些东西的。

 

这和“让学生自己独立安静地解决数学问题”的观点并不矛盾。当学生需要共同讨论一个问题的时候,最好让他们自己独自思考一段时间。还有,出于种种理由,一些学生会和其他同学有交流障碍,所以在某些情况下,让学生共同参与讨论比让学生挑战解决数学问题本身,得到的收益更多。

 

你对学生应该在数学课上相互讨论有什么新观点吗?

 

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安德鲁·怀尔斯爵士获得阿贝尔数学奖

 

 

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  根据2016年3月15日,挪威阿贝尔数学奖官网消息。2016年阿贝尔数学奖授予英国数学家安德鲁·怀尔斯爵士。奖金为600万挪威克朗,约合75万欧元。颁奖典礼将于2016年5月24日,在挪威首都奥斯陆举行。

  

  挪威科学与文学院在颁奖词中说,怀尔斯独辟蹊径,通过证明半稳定椭圆曲线是模曲线,给出了费马最后定理的精妙证明,并开辟了一个的数论新纪元。

  ”For his stunning proof of Fermat’s Last Theorem by way of the modularity conjecture for semistable elliptic curves, opening a new era in number theory. “

  费马大定理,又被称为“费马最后的定理”,由法国数学家费马提出。 它断言当整数n >2时,关于x, y, z的方程 a^n + b^n = c^n (a^n表示a的n次方)没有正整数解。 被提出后,经历多人猜想辩证,历经三百多年的历史,最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。

  

  但是在1998年,数学家大会召开的时候,怀尔斯已经超过了能获得菲尔兹奖的年龄条件40岁,于是与这个被称为数学诺贝尔奖的菲尔兹奖无缘。而1998年国际数学家大会的给予了怀尔斯一个特别荣誉,一个特殊制作的菲尔兹奖银质奖章。

  最后,我们还是祝贺怀尔斯爵士!

  

 

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“人狗”围棋大战背后的数学花絮

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  作者,Math001 ,哆嗒数学网网主。

  这几天,李世石和Google AlphaGo的人机大战成为了最热门的话题。最终,AlphaGo在5番大战中以4:1战胜了人类代表李世石九段,电脑第一次在围棋这个古老游戏上战胜人脑,这绝对是谷歌在人工智能业界,乃至全球科技界树立的新的里程碑。

  

  为什么?让我们来回顾历史吧!1997年,在IBM“深蓝”战胜国际象棋世界冠军卡斯帕罗夫之后,《时代》杂志提出了一项新的挑战:“让计算机与人类下围棋吧,它获胜的机会很小。计算机要在围棋上战胜人类,还要再过一百年,甚至更长的时间”。然而,2016年,人类的科学家们就让电脑就做到了,还不到20年。

  因为AlphaGo的读音,人们亲切的把它唤作“阿法狗”,昵称“狗狗”。“狗狗”的胜利一开始就有人不服气,在这些人中,最有代表性的一定是暂时为世界围棋第一人的柯洁(用暂时是因为柯洁说要谦虚)。

  

  不过,我们哆嗒数学网最关心当然是和数学相关的花絮啦,这里我们从一些关键词出发,和大家盘点一二。

  第一组关键词:复杂度、状态机、策略

  如果你是撸啊撸(LOL)的玩家,那么你一定会困惑,开一把人机至于搞得那么高大上吗?是的,要知道围棋能开这把人机是多么的不易,因为要让电脑下的围棋水平和人类高手相当困难。困难的原因就在于围棋太复杂,以至于要处理围棋对弈的算法的复杂度极大,尤其是时间复杂度。

  我们从围棋棋盘的状态来简单估计一下围棋的复杂程度。围棋的棋盘是横竖都是19条直线的网格构成,这个网格一共有19×19=361可以落子的交叉点。每个交叉点有黑子、白子以及空格三总可能,那么围棋的有的状态数就是3的361次方,即约1.7×10^173种状态(x^y表示x的y次方)。

  然而,了解围棋规则的人知道,在一个合法状态的围棋棋盘上是不会有“无气”的子的。上述穷举状态中很多都是不合法的,而合法状态的数量是多少却一直是个难题,知道今年年初才被普林斯顿的研究人员计算出来,结果约为2.1×10^151,仅是前面一万亿亿分之一。虽然数量减少不少,但依旧很多——比科学家测算的全宇宙的粒子个数2.2×10^79还多得多。

  

  我们下一盘棋,无非就是从开局到终局,这些状态相互切换的排列组合。切换是依据围棋规则,以及试图取胜的策略进行的。这些状态切换的过程形成一套庞大体系与机制,这个就是状态机。这个复杂状态机决定了围棋的复杂程度。

  第二组关键词:算法、蒙特卡洛树搜索、神经网络算法、深度学习

  计算机永远是通过算法来执行一件具体的事情的。“狗狗”的要和李世石对弈,也是如此。构建“狗狗”对弈算法的主要结构是两个,一个是蒙特卡洛树搜索,一个是神经网络算法。

  每个围棋盘面都有一个“最优走法”,对应于对弈双方都采用完美不失误走法的情况下该盘面的最终结果。但是前面一件说过,因为状态机的复杂性的原因,这几乎是不可能完成的任务。于是退而求其次,既然无法得到最优走法,有没有可能加入随机因素对整个可能性空间进行某种采样,然后通过统计估值算概率的方法逼近这个最优走法呢?人们对这个问题的思考在2006年终于取得了突破性进展,提出了一种称为蒙特卡洛树搜索的动态评估方法。

  而真正让“狗狗”变得强大的,是后面的神经网络算法,这个算法让“狗狗”有了自学习能力。“狗狗”下棋会利用两个网络,“价值网络”和“策略网络”。利用“价值网络”去计算局面,用“策略网络”去选择如何下子。“狗狗”不同于一般的超级计算机,它可以像人一样学习,通过自己和自己的对弈,分析棋谱,并不断进步。和之前对弈程序不同的是,“狗狗”不仅仅是单纯的计算,所以计算力是无法估量的。

  

  蒙特卡洛树搜索、神经网络以及每天数以百万计的自我对弈,让“狗狗”有了自我“深度学习的能力”。

  第三组关键词:人工智能、大数据、计算机科学家、数学家

  我们前面提到过,“狗狗”因为神经网络算法而产生了能力上的质变。但实际上,神经网络在几十年前就有了,而直到最近几年他的强大才逐渐体现出来。这是因为他们需要大量的“训练”去发现策略中的被数学量化后的价值。对早期研究者来说,想要获得不错效果的最小量训练都远远超过计算能力和能提供的数据的大小。最近几年,“大数据”技术的兴起,使得大量“训练”成为可能。神经网络算法的价值就是通过“大数据”技术来高效训练,而重新凸显出来的。

  这其实是一个新兴且高大上的领域——人工智能领域。但我们其实在很多地方已经在享受他们带来的便利了——打开外卖软件,它会把你最爱吃的菜摆在你面前,当你搜索打错字的时候,搜索引擎也会问你是不是想搜索的是另外一个东西。而这个领域里,两种职业的人最为活跃——计算机科学家和数学家。

  

  2014年在韩国举办的数学家大会就有一个专题关于围棋讨论会。那个时候,最好的围棋软件也不是一般业余棋手的对手。数学家、计算机科学家、棋手们在大会期间各抒己见,纷纷发表对如何提高电脑下围棋水平的看法。

  不久之后,百度公司宣布,他们旗下的科学家研发的Bingo系统利用一些能让系统自我学习的手段轻松战胜业余有段位的棋手(这里也为说百度公司不做这个研究的不实消息辟谣)。这其实是一个突破,虽然离战胜顶尖高手还很远。

  包括中国、美国、英国、日本、韩国等国家的数学家、计算机科学家都在电脑下围棋的研究中付出过努力,科技是不断迭代中前行的,“狗狗”也不完全是突然蹦出来的。

  第四组关键词:奖金、STEM、数学教育

  本次比赛,谷歌公司提供了100万美元的奖金。如果李世石获胜,奖金将给予李世石本人。如果“狗狗”获胜,奖金将赠予联合国儿童基金以及与STEM教育和围棋有关的团体。

  STEM,是科学,Science、技术,Technology、工程Engineer、数学,Mathematics,四个单词首字母拼在一起的缩写。现在“狗狗”赢了,也就是说这笔奖金有一部分将提供给数学教育,一些学数学或者教数学的人群将因此受益。这对数学学科的发展和数学人才的培养总是有好处的。可以理解谷歌这样做的用意。一方面,“狗狗”是因为这些人才的智慧才取得成功的;另一方面,这些学科的发展和人才的培养,会催生出更多新技术,那时候“狗狗”在今天所做的一切,就只是历史故事了。

  

  所以,我们感谢谷歌公司,当然也要感谢李世石,感谢围棋这门古老的游戏。

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前方高能!又一个证明地球是圆的办法

 

 

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  作者, Evelyn Lamb ,犹他大学数学助理教授。

  翻译,donkeycn,哆嗒数学网翻译组成员,华东师范大学数学博士。

  你如何才能知道你所处的星球看上去像什么?一种方法是发展太空计划,发送飞船,并从远处拍摄星球的照片。只有极少数的人带着相机离开过这个星球的表面在太空中看过它,然后他们告诉我们:我们的星球看起来像一个球体。但是如果他们是在说谎呢?而最近的一篇文章表明,如果一个全球性的阴谋需要由所有的空间机构,宇航员和行星科学家来共同维系,这将是非常困难的,因此我们不必认为他们在欺骗我们。

  

  除了发展太空计划之外,有一个从数学上讲非常聪明,但不太可能进行实际操作的方法来算出我们所生活的星球的表面究竟是什么曲面:那就是使用欧拉示性数(这是众多以莱昂哈德·欧拉的名字命名的词条之一)。人类知道地球是球体远远早于太空计划,甚至哥伦布都知道地球是一个球体。因此,地球是球体这个结论不是因为太空计划而得出来的。

  就像年龄一样,欧拉示性数只是一个数字。对于一个二维曲面如一个盒子,沙滩排球,或星球而言,它是该对象的顶点数减边数加面数,或者用公式表示:V-E+F。我们将从一个简单的例子开始,一个正方体。正方体有8个顶点,12条边,和6个面,所以最终可得8-12+6=2。

  

  那如果是一个球体呢?在这里,没有现成的顶点和边。我们必须把它们画出来。一个方法是在地球仪上画出赤道和一些经线。或者,如果你身边没有地球仪,那就用个柚子,然后绑上橡皮筋。

  因为我没有球形摄像机,所以如果你自己没有柚子,那么你就听我说吧,这些橡皮筋在相交处共产生了6个顶点,12条线段,以及8个三角形,因此它对应的欧拉示性数为6-12+8=2(这些数字看起来和正方体的那些很像。你知道这是为什么吗?)。

  

  在你们准备实施这样的计算前,总会有因为需要做出选择而带来的不确定性。我们所面临的选择是在柚子上如何绑这些橡皮筋。不同的绑法会不会导致不同的计算结果?这一次我将使用四根橡皮筋。

  

  现在它有10个顶点,21条边,以及13个面,我们再来算一下,10-21+13=2。

  事实上,不论我们如何通过画线或者绑橡皮筋来分割球面,我们最终都会得到欧拉示性数为2这个结果。当然你可以不相信我的话。虽然一个严密的证明对你来说可能过于复杂,但是你可以很容易地通过自己的涂鸦来确信这点。随意画一个形状,在里面随意画一些顶点和边,然后再随意添加一个顶点和一些边,欧拉示性数有没有发生变化?擦去一条边,又会发生什么变化?

  欧拉示性数是一个拓扑不变量,这意味着拉伸或挤压不会改变它,只撕裂或粘合可以。现在欧拉示性数,可以用来确定一个曲面的拓扑形状,但却不能用来确定它更精细的特征。例如,正方体,球体,四面体,以及其它像它们这样的封闭形状都有相同的欧拉示性数因为他们都是拓扑等价(注:“拓扑等价”用拓扑学术语来说,就是“同胚”)的。

  如果你是一个对科学好奇的人,却没有机会进入太空去看地球,同时你又不想迷信于古代科学家或美国航空航天局的话,你可以利用欧拉示性数来确定地球的拓扑形状。你所需要的仅仅是几个朋友和一堆绳子。让他们每个人都站在地球的某处,每个人都拉住几根绳子的一端。现在你需要做的就是数数有多少个人(注:对应于顶点数),有多少根绳子(注:对应于边数),以及有多少个被那些绳子分割成的区域(注:对应于面数)。然后算一下欧拉示性数,V-E+F。

  如果你得到的是2,那恭喜你。因为在拓扑意义下,欧拉示性数为2的曲面只有球面。

  

  如果你得到的不是2,那么可能是你算错了。现在让我们假设你是在一个陌生的星球上,其拓扑形状还不知道。该星球的一些其它特征将有助于你确定它的表面究竟是何种曲面。

  首先,它是有限的吗?或者,即使是沿着同一个方向走,也永远走不到底?如果它是无限的,你就无法把它分为有限个有限的部分,并因此无法计算欧拉示性数,如果是这种情况,那你是不幸的。因此我们将假设所有的情况都是有限的。

  接着,我们来考虑可定向性。莫比乌斯带是最著名的不可定向曲面:如果你从它的边界附近的某个点出发,沿着边界一直走(注:始终不跨越边界),你最终会回到你出发的那一点,唯一的不同是:此时你在莫比乌斯带的另一边。如果你是在可定向曲面上,你知道它具有内外(注:也可能是“上下”或“左右”或类似地其它的)之分;这将导致当你回到出发点时,你永远不会出现上下颠倒的情况。不论你所在的星球是否是可定向的,都可以使用欧拉示性数来确定它的拓扑形状。

  最后,我们来考虑边界。你觉得你可以从它的边缘(注:如果存在的话)走出去吗?如果可以的话,有多少彼此分开的这样的边缘?可能只有一个也可能有多个。也许你有理由相信它的形状像一个平环(注:对应于恰有2个分开的边缘)或字体变胖了的“8”(注:对应于恰有3个分开的边缘)。

  可定向的情况下,欧拉示性数以及边界的分支数(注:“边界的分支数”为拓扑学术语,可认为即上节中“彼此分开的边缘数”)可以唯一确定你所在的星球表面是何种曲面。如果欧拉示性数是2,你可以确定你是在球面上。增加一个边缘将导致欧拉示性数减少1,所以如果欧拉示性数是1,你就是在有1个洞的球面上,同时它是与平面多边形拓扑等价的。如果欧拉示性数是0,你可能生活在一个环面,或一个平环上。

  

  当你知道了你所处的星球看起来像何种拓扑形状之后,接下来你可以试图找出它的几何形状。如果欧拉示性数是2,你可以试着确定你是否生活在球体,正方体,足球,或其它一些奇怪的形状的表面上。在这里欧拉示性数就帮不了你了。我建议你从埃拉托斯特尼(Eratosthenes)以及其他古代天文学家那里吸取经验,用影子来研究地球在每一特殊的点处是如何弯曲的。爱萨恩·西格尔(Ethan Siegel)会告诉你关于这些的一切。

  致谢:我第一次接触到“使用欧拉示性数来确定星球的拓扑形状”这个想法,是在我的朋友、犹他大学的数学家凯文·沃特曼(Kevin Wortman)的一次演讲中。B.o.B.以及Neil deGrasse Tyson激励我完成了本文的写作。

  *为回应评论,我需要说明一下,你围起来的区域,中间不能有洞。也就是说,它们应该像盘子,而不是平环。用专业术语来说就是“单连通”。确保每个区域都是“单连通的”的一个方法是把曲面分割成一个个三角形(注:用专业术语来说就是“三角剖分”曲面)。

 

 

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“妲己”吸毒?数学告诉你光有一次“阳性”还不够!

 

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作者,傅笛涛​,哆嗒数学网群友,金融行业从业人员。

 

 

“最美妲己”傅艺伟吸毒检测成阳性!几天前,这一消息火爆网络。

 

以吸引眼球为己任的部分媒体,立即进行了大篇幅报道。当然,最终以“妲己”认罪为结束。一个曾让万千粉丝喜爱的明星成为吸毒者,总是让人扼腕叹息的。

 

 

但是,我在这篇文章要说的是关于吸毒者检测的事情,顺便向大家介绍一下数学概率与统计中的贝叶斯法则。

 

这得从最初的新闻中说起。当时,现场并未发现毒品,媒体以“检测成阳性”为由,直接判定了“妲己”有罪!一定程度上,也向公众传达了一个有问题的概念:检测成阳性就等于吸毒。若有后来的知名人士也检测成阳性,估计此人吸毒的新闻,也立马同样会铺天盖地。

 

且慢!检测呈阳性等同于吸毒,这一等式真的成立吗?贝叶斯法则告诉你:等式不成立!

 

在所有的数学发现中,贝叶斯法则绝对能算是运用最多最广的一种之一。你如果喜欢看侦探小说,请务必了解这一“手术刀”法则。有些事情,我们知道了结果,但不知道过程和真相,就如同看见尸体,不知道谁是凶手,于是,就应该请“贝叶斯法则”先生上场帮忙。另外,还需要知道一个概率论中互斥事件概率法则:即某件事不发生的概率是100%减去这件事发生的概率。

 

好了,对于“妲己”吸毒的分析,足够了!

 

首先,我们用P(D),代表“妲己”吸毒的概率,来看取值依据。根据司法部戒毒局梁然的数据:“截止2015年6月份,我国登记在册的吸毒人口已超300万”。因为很多吸毒者并不一定被登记了,我们不妨将此数据扩大到1000万。

 

其次,根据2015年1月20日,国家统计局网站公布的数据:“2014年末,中国大陆总人口达136782万人”,很明显,到了2016年2月,这一数据已经被超过了;而且,我们还没有预计“黑户口”。所以,“妲己”的P(D)值为0.007。这个值也叫吸毒的先验概率

 

于是,根据互斥事件概率法则,P(N)即“妲己”不吸毒的概率值为0.993,也就是1-P(D)。

 

最后,我们用P(+|D),表示在吸毒为真的前提下,药物的阳性检出率,很明显,这是一个标准的条件概率

 

我们来看条件概率取值。查阅“毒品检测网”,我们发现,至少有三种情况,呈现吸毒而药物检测成阳性:一、和吸毒的人呆在一起也会使尿检成为阳性;二、大部分感冒药也会使尿检成为阳性;三、小部分食物也会导致毒品测试的结果为阳性。

 

因此,我们假设阳性检测准确性高达98%,取该值为0.98。那么,P(+|N)代表不吸毒者的阳性检出率,也就是出错检测的概率,再次有请互斥事件概率法则,该值即为0.02。

 

所以,现场未发现毒品的背景下,仅仅依据药物检测成阳性为前提,“妲己”吸毒这正确判定的概率是:

 

P(D|+)=P(+|D)P(D)/[P(+|D)P(D)+ P(+|N)P(N)]=0.98×0.007÷(0.98×0.007+0.02×0.993=0.00686÷0.02672=25.67%

 

换句话说,“妲己”被冤枉的概率是74.33%。

 

这里,我们把“妲己”作为一个普通人考虑,不以“某一人群吸毒者多”为由,反对“理念先行”。更重要的是,如果一个普通人被检测成阳性,在这样的舆论环境下,也会立马被周围人视为当然的吸毒者!本文就是要破除这个误区。

 

那么,吸毒检测成阳性,现场又没有其它证据,如何判断是好?

 

很简单,在确保过程客观正义的前提下,再做一次吸毒检测!并保证第二次检测,与第一次检测相互独立。

 

由于第二次检测的正确率还是98%,所以,如果被检测者没有吸毒,那么阳性的概率是2%。关键之处在于,经过了第一次检测的过滤。第二次检测,“妲己”的P(D)值变成了0.2567。

 

P(D|+)=P(+|D)P(D)/[P(+|D)P(D)+ P (+|N)P(N)]=0.98×0.2567÷(0.98×0.2567+0.02×0.7433=0.251566÷0.266432=94.42%

 

保证过程独立的第二次检测结果,如果再成阳性,“妲己”吸毒的概率,就高达94.42%了。

 

所以,在最初的新闻中,“妲己”吸毒的基本确认,还缺少了一步。贝叶斯法则的充分应用,才能尽可能不冤枉一个好人。部分媒体,也应在喧嚣之余,了解一下贝叶斯法则,多点理性思维,少点眼球思维。

 

最后,我们还是老生常谈的声明一句话:毒品这东西是万万碰不得的——珍爱生命,远离毒品!

 

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三八女神节:细数12位数学女神

 

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此文原载于http://centerofmathematics.blogspot.com/2015/12/famous-women-in-mathematics-and-science.html

译者,小米,哆嗒数学网翻译组成员,就读于纽约大学柯朗研究所。

 

 

时至今日,从事数学等理工学科职业的女性在数量上与男性仍相差甚远,但不可否认的是女性也能和男性在这些领域与男性一样成功:性别并能不决定一个人的智力、学习能力与潜力。我们希望下面这些优秀女性的故事能给读者以启发。

 

1. 希帕提娅(370,埃及,亚历山大城 —— 415,埃及,亚历山大城)

 


希帕提娅是希腊数学家、天文学家以及哲学家。她也通常被认为是史上第一位女数学家。希帕提娅的父亲席昂是一位数学教授;作为她的导师,他教给了希帕提娅许多科学与哲学方面的知识。约在400年时,希帕提娅成为了亚历山大城中柏拉图学派的领导者,讲授数学、科学以及新柏拉图学派的哲学。

 

遗憾的是,希帕提娅的许多著作在今天已经遗失,所以人们并不知道她对数学的确切贡献。人们只知道她的少数工作,例如对丢番图《算术》的评注。希帕提娅最后遭暴徒迫害杀死。我们应当记住:希帕提娅是一位受过极好教育、知识渊博的女性,并从不畏惧表达自己的观点。2009年,由其生平改编的西班牙电影《苍穹下的女神》,讲述了她波澜的一生。

 

 


2.沙特莱侯爵夫人(1706.12.17,法国,巴黎 —— 1749.9.10,法国,巴黎)

 


沙特萊侯爵夫人也许因她与伏尔泰的情事而出名,但许多人并不知道她在学术研究中的天分。沙特萊侯爵夫人成长在法国启蒙运动时期中的一个贵族家庭。当时的社会对像她一样的女子的期望是年经时早早结婚而不是学习知识。但沙特萊侯爵夫人说服她的父亲她需要在学术上深造,并因此获得了在当时非常良好的教育。加之她对学习的热情,沙特萊侯爵夫人在科学与数学上颇有造诣,并把它们作为终身的事业。

 

沙特萊侯爵夫人最著名的工作是艾萨克•牛顿的《自然哲学的数学原理》的法文翻译以及她在动能方而的研究。
她还著有《物理学教程》,讲述科学与哲学方面的最新思想;这本书原本是为她13岁儿子所写的教材。她还对哲学、神学、伦理学有所涉猎,例如她对《圣经》的分析,她对人类幸福的探讨以及她争取女性受教育权的文章。总的来说,沙特萊侯爵夫人是一位既能取得社会与家庭生活的平衡,又能持续不断地投入到科学研究与写作中的优秀女性。

 

 

3.玛丽亚•加埃塔纳•阿涅西(1718.3.16,意大利,米兰 —— 1799.1.9,意大利,米兰)

 


阿涅西出生于一个富有的知识分子家庭并在意大利长大。当时的社会有学识的女子都被男子们仰慕,并被允许参加科学与艺术活动。阿涅西小时候掌握多门语言,被称为神童;青少年时已经掌握了数学。在父亲定期组织的学术交流聚会上,年轻的阿涅西也时常会跟博学的权贵客人们辩论。

 

尽管阿涅西对数学做出了许多贡献并展现出巨大潜力,在父亲死后她开始投身于慈善事业。阿涅西的《分析讲义》一书包含了从代数到微积分的讨论;这本为她弟弟所写的书也被认为是第一本由女性所写的数学教科书。在此书中,还出现了由一种水手结而来、被误译为“阿涅西的女巫”的曲线(方程式为 x²y = a²(a-y) ),她的名字也因此被熟知。由于她的杰出工作,阿涅西被任命为博洛尼亚大学的数学与自然哲学系主任,但因为慈善事业的缘故她从未赴任。

 

 

4. 索菲•热尔曼(1776.4.1,法国,巴黎 —— 1831.6.27,法国,巴黎)

 


热尔曼出生在美国革命期间,她的童年也是在一个动荡的年代中度过:由于常常只能待在家中,她大量的时候都泡在父亲的图书馆中。正是在那里她读到了阿基米德在一个罗马士兵踩坏了他在地上画的图形后被其杀死的故事。热尔曼从此认为几何学是一个值得研究的学科,并决心学习数学;她随后在父亲的图书馆中读了大量的书籍。她的父母并不赞同她对数学的兴趣,并想方设法阻挠她,例如停掉她的暖气与照明;但热尔曼想尽一切办法反抗并坚持学习,这种情况持续到了她18岁那年,也是巴黎综合理工学院成立的时候。当时,女性并不被允许进入巴黎综合理工学院听课,但热尔曼想办法弄到了上课的讲义用以自学。最终,热尔曼向拉格朗日提交了一篇论文,用一个假名掩盖了她真实的身份。拉格朗日对她提交的论文印象深刻,并提出与写作的学生见面。他惊讶地发现作者竟然是一名女性。拉格朗日十分赞赏热尔曼的能力并成为了她的导师。拥有了一位男性导师为热尔曼打开了一扇继续学习和研究数学的大门。

 

热尔曼凭借她在振动弹性曲面上的工作赢得了法国科学院的奖项。这也让她跻身当时杰出数学家的圈子。热尔曼也在数论方向有所成就;她把费马大定理归结成两种情形,这在如今被称作索菲•热尔曼定理。在数论中以她的名字命名的结果还有索菲•热尔曼素数以及索菲•热尔曼等式。
  


5. 阿达•洛夫莱斯(1815.12.10,英国,伦敦 —— 1852.11.27,英国,马里波恩)

 


洛夫莱斯的父亲-英国诗人拜伦,在她还是孩子的时候就离开她们的母女二人。因此,从小洛夫莱斯的母亲就对她在科学、数学以及逻辑学方面进行培养,希望她不会变成像父亲一样。洛夫莱斯在这些学科上表现突出,并在数字和语言上颇有天分。年仅13岁的她就设计了一架飞行器。17岁时,洛夫莱斯认识了发明家与数学家查尔斯•巴贝奇,后者成为了她的导师以及终身的朋友。正是因为这段经历,洛夫莱斯才能在科学和数学领域中做出现为人所知的众多贡献。

 

洛夫莱斯是第一位女计算机程序员(实际上是第一位程序员)。她做出的贡献既体现在数学也体现在计算机理论上。她最著名的工作是翻译了查尔斯•巴贝奇关于计算机分析机的论文:这个一个由查尔斯•巴贝奇发明的、可以进行数学计算的机器。洛夫莱斯提出了创新性理论并进行了复杂的理论分析。今天,埃达•洛夫莱斯日正是为了纪念她对数学与计算机的贡献以及她作为一名在科技领域的女性先驱而设立。

 

 

6.弗罗伦斯•南丁格尔(1820.5.12,意大利,佛罗伦萨 —— 1910.8.13,英国,伦敦)

 


南丁格尔出生在一个上流社会的家庭,她的父母以城市的名字为他们的女儿命名。南丁格尔本可选择早早结婚并过上舒适的生活,但她却不顾家庭的反对,决心成为一名为人服务的护士。在克里米亚战争期间,她作为一名护士在俄国工作,并致力于改善医疗卫生环境,被士兵们称为“上帝派来的天使”。可惜的是,南丁格尔不久染上了克里米亚热,而在38岁时她已经难以下床。即便如此,在病床上南丁格尔仍然致力于医疗改革。直至去世,她都是公共卫生健康方面的权威。

 

南丁格尔因她的护士经历而为人知晓,很多人却不知道她同时也是统计学分析的先驱。在医院的时候,南丁格尔系统地收集并记录数据。她通过数据分析来改善医院的条件,并倡导卫生改革。南丁格尔还采用了许多可视化统计数据的方法,如饼图在当时就是一种相当新颖的呈现数据的方式。南丁格尔还发展出极座标图饼图,用于说明在她管理的野战医院内,病人死亡率在不同季节的变化。由于她在统计学方面做出的贡献,南丁格尔被选为英国皇家统计学会的第一个女成员,她后来也成为美国统计协会的名誉会员。

 


7.索菲娅•瓦西里耶夫娜•柯瓦列夫斯卡娅(1850.1.15,俄国,莫斯科 —— 1891.2.10,瑞典,斯德哥尔摩)

 


柯瓦列夫斯卡娅初次对数学感兴趣是源于小时候她叔叔有一次与她的谈话。当她14岁时,柯瓦列夫斯卡娅已经自学了三角函数并开始接触更加复杂的数学概念。当柯瓦列夫斯卡娅念完中学后她希望能继续进入大学深造,但莫斯科附近的多数大学不接受女子入学。为了继续学业,柯瓦列夫斯卡娅通过婚姻离开了俄国,来到了柏林的哥廷根大学学习。当时女性不被允许进入课堂,所以柯瓦列夫斯卡娅只能接受数学家卡尔•魏尔斯特拉斯的私人辅导。在学业结束的时候,柯瓦列夫斯卡娅向大学提交了3篇论文,一篇关于偏微分方程,一篇关于木星环状结构,还有一篇是关于椭圆积分。她的论文为她赢得了一个博士学位,而柯瓦列夫斯卡娅本人却没有在大学里上过一门课。柯瓦列夫斯卡娅随后成了斯德哥尔摩大学的一名数学讲师,在此期间发表了不少数学结果以及获得了许多荣誉。虽然在41岁她因肺炎去世,但柯瓦列夫斯卡娅在她其短暂的一生中对数学做出了许多重要贡献。

 

柯瓦列夫斯卡娅在关于偏微分方程的论文中提出了柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理,给出一类偏微分方程解的存在条件。她的另一著名工作是关于刚体转动的论文,这为她赢得了法国科学院鲍廷奖。柯瓦列夫斯卡娅也是女权主义及其它一些政治主张的倡导者,同时也是一名小说家、剧作家。

 

 

 

8.埃米•诺特(1882.3.23,德国,巴伐利亚,埃朗根 —— 1935.4.14,美国,宾夕法尼亚,布林莫尔)

 


作为一名中产阶级女孩,诺特早年学习艺术,尤其是语言方面的课程。她曾经的理想是成为一名语言教师,并在毕业后拿到了教师资格证。但是,诺特放弃了教师生涯,转而学习数学并攻读博士学位。最终诺特从埃朗根大学获得了博士学位;她父亲正是这所大学的数学教授。1908年至1915年间,诺特在埃朗根数学研究所工作,在此期间她没有任何头衔和收入。在诺特的一生中这屡见不鲜:她的工作常常因为性别、政治或宗教原因而没有任何收入和认可。这一切直至诺特认识了大卫•希尔伯特和菲利克斯•克莱因才有所改变;即使大学里有许多人反对,他们仍坚持认为诺特可以成为哥廷根大学的一名讲师。最后,诺特成为了哥廷根大学的一名讲师,这是她第一份有工资的教职。不幸的是,希特勒和纳粹上台后,所有的犹太人被赶出大学,诺特也失去了她的工作。诺特随后移居美国,在布林莫尔大学教书直至去世。

 

在她的一生中,诺特对数学及科学做出了几项重要贡献。她最广为人知的工作是她几乎单枪匹马地发展了交换代数的理论,并强化了“理想”这个概念的应用;诺特也是第一个证明了三条环同态定理的数学家;她还证明了关于有有限理想升链的环的一系列定理,而正是为了纪念她,这样的环被命名为“诺特环”。诺特一生中发表了40余篇论文。诺特总能用自己对数学的热情去克服生活中的种种逆境。

 

 


9.玛丽•卡特莱特爵士(1900.12.17,英国,北安普敦郡 —— 1998.4.3,英国,剑桥)

 


年轻的卡特莱特原本对历史学感兴趣,后来因为她觉得数学不需要记忆大量的史实因此更容易,转而学习数学。


1919年,卡特菜特进入牛津大学圣休学院学习数学,是其专业当时的五名女学生之一。两年后,卡特莱特在她的数学中级水平测试中只得到二等,这极大地打击了她;她甚至考虑过重新修习历史。但卡特莱特最终决定坚持下来,并于1923年以一等生的成绩从剑桥毕业。随后她教了四年数学,直到1928年重新回到剑桥大学格顿学院,在那里她被授予耶罗研究基金奖并发表了一系列工作。卡特莱特一生都奉献给了数学研究和数学教育,她也担任过一些管理职务。1969年卡特莱特被英国女王授予女爵士头衔。

 

卡特莱特一生发表了超过100篇论文,涵盖了经典分析、微分方程、拓扑等许多方向。她同时也是英国皇家学会的第一名女性成员,伦敦数学学会的第一任女主席,以及第一位同时获得皇家学会西尔维斯特奖章与伦敦数学学会德摩根奖章的女性。她的获奖为女性获得这些荣誉开创了先河。

 

 

10.茱莉亚•罗宾逊(1919.12.8,美国,圣路易斯 —— 1985.6.30,美国,奥克兰)

 


罗宾逊从小在圣地亚哥长大,并就读于圣地亚哥州立大学。她的姐姐瑞德也因为写过几本关于数学和数学家的书而出名。罗宾逊最后转学至加州大学伯克利分校,并于1948年在那里获得了博士学位。毕业后罗宾逊的投入了研究工作,其中最著名的是她关于希尔伯特第十问题和博弈论的研究。1975年,罗宾逊成为伯克利的兼职教授。同年,罗宾逊成为了美国国家科学院的首名女数学家,但这只是她众多荣誉中的冰山一角。1982年她被选为美国科学学院第一位女主席,并于同一时期凭借对数学界的贡献获得了麦克阿瑟奖。

 

不幸的是,罗宾逊从孩童时期就被疾病缠身,最后这发展为慢性风湿热。她也因此而患上了白血病,并在65岁被夺走了生命。尽管如此,罗宾逊一生克服了种种困难并始终保持着对数学的热爱。

 

11.凯瑟琳•莫拉维兹(1923.5.5,加拿大,多伦多 —— 至今

 


莫拉维兹的父亲是一位数学家,他从小就鼓励凯瑟琳培养自己在数学和科学方面的兴趣。莫拉维兹家的家庭密友,数学家西西利亚•克里格,也鼓励凯瑟琳学习数学。1945年莫拉维兹获得了多伦多大学的学士学位,1946年她获得了麻省理工学院的硕士学位。她随后在纽约大学找到了工作,并于1951年在那里获得了博士学位。不久后莫拉维兹成为了柯朗数学研究所的一名教授。她后来成为了柯朗研究所的所长,也是美国首位担任数学研究所所长的女性。

 

莫拉维兹早期的工作是研究超音速波与激波。随后她开始研究音波以及电波碰撞物体后的散射问题。莫拉维兹在的研究中得到了一系列关于非线性波方程弱解的重要结果。由于她对数学做出的杰出贡献,莫拉维兹在1998年成为首位获得美国国家科学数学奖章的女性,这是美国在科学领域的最高奖。莫拉维兹还获得过杰弗里-威廉姆斯奖,伯克霍夫奖及洛瑞•斯梯尔数学终身成就奖。

 


12. 玛丽安•米尔扎哈尼(1977.5,伊朗,德黑兰 —— 至今

 


米尔扎哈尼在少年时期就表现出相当的天分,曾就读于伊朗国家天才儿童发展组织的建立的一所中学中。初中时期米尔扎哈尼的理想是成为一名作家,但高中时她决定投身于数学。米尔扎哈尼在数学上取得了优异的成绩。在1994年和1995年国际数学奥林匹克竞赛上。米尔哈扎尼获得金牌,并在1995年的比赛中获得满分。她随后就读于谢里夫理工大学,毕业后决定前往美国深造。米尔扎哈尼在哈佛大学获得了博士学位,同时也是克雷数学研究所的一名研究员。2008年至今,米尔扎哈尼在斯坦福大学担任教职。

 

米尔扎哈尼于2014年获得菲尔兹奖,是有史以来首位获奖女性。这是为了表彰她在”黎曼流形及其上模空间的动力学与几何学上做出的贡献”(国际数学联盟)。米尔扎哈尼还获得过许多其它荣誉,包括鲁思该萨特数学奖、布卢门撒尔奖等等。米尔扎哈尼在数学方面的工作以及她获得的荣誉,表示人们正逐渐接受女性在这个领域中取得成功。
    

 

 

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密码学先驱获得2015年国际计算机学会图灵奖

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此文原载于国际计算机学会图灵奖官方网站

译者,冬眠的小老鼠,哆嗒数学网翻译组成员,互联网从业者。

 

升阳微系统前任首席安全官Whitfield Diffie和斯坦福大学电气工程名誉教授Martin E. Hellman凭借对现代密码学中的杰出贡献荣膺2015国际计算机学会(ACM)图灵奖。如今,通过安全渠道实现双方秘密沟通的能力已经根本性地影响到了全球数十亿人的生活和工作。比如,日常生活中的银行,电子商务网站,电邮和云计算平台等等,都是建立在加密基础之上的。而这一切都源于Diffie 和 Hellman在1976年发表的 《密码学新动向》,他们在这篇文章中开创性地介绍了一种公钥加密和数字签名技术。目前,这项技术已经发展成为互联网上经常使用的基础加密算法,Diffie-Hellman设计的协议保护着互联网的日常通信和数以万亿计的金融交易。

 


“如今,媒体关于密码学的报道层出不穷。加密技术已经成为国家安全的一部分,影响着政府和私营部门的关系,并吸引到了数亿元的研发资金,”ACM主席Alexander L. Wolf说,“早在1976年,Diffie 和 Hellman就预言人们在将来会经常使用电子通信,但也会很容易遭受信息被盗或篡改的困扰。就现在的情况来看,他的话的确具有先见之明。”


“公钥加密体系是现代工业的基础,” Google杰出科学家Andrei Broder说,“保护私有数据的能力取决于如何运用通信协议确认消息所有者的身份和确保通信数据的完整性与可靠。Diffie和Hellman首创的这些方法使得这些广泛使用的协议成为了可能。”

 

密码学是通过保持私密和认证的方式避免第三方窃取和篡改信息,从而促进通信双方的交流。古时,人们将可读的信息转化为乱码实现加密,而这种加密方式只有少数人才能破译。在最早期,人们可能是通过将信息中的一个字母替换成另外一个字母的方式来实现加密。1903年无线电的发展以及十年后爆发的第一次世界大战让密码学得到了前所未有的关注和发展。同时,电子技术以及机械技术的进步使机器加密成为可能,加密安全性也远远超出了以往人工加密效果。一战结束后的二十年间,加密机器技术日臻成熟,并逐渐成为第二次世界大战的核心加密技术。二战后,随着电子计算机的发展,加密技术已经变得更加快速和安全。

 

在密码学领域,“密钥”是一个能将不可读的加密文本转换为可读文本的一种信息数据。加密就像使用一个特制的钥匙将信息锁起来,而解密则是使用钥匙来打开这把锁。过去,当两个人使用加密来进行通信的时候,他们需要使用相同的密钥,而如何管理这些密钥则是对加密通信的灵活性的主要限制。

 

对称密码体制有着两个显著的缺点,其一是需要一个安全的密钥传输机制,由于双方使用相同的密钥,如果其中一人忘记了自己的密钥,就需要从另外一人那里得到密钥。此外,大量使用相同的密码加密可能导致第三方破解该密码系统(例如破译出密钥),为了限制通信双方共享同一个密钥的数量,密钥管理系统需要分配独立的密钥给通信双方,这给密钥管理系统带来了挑战。

 

在《密码学新动向》这篇文章中,Diffie和Hellman认为使用非对称或公钥加密算法是可能的。他们发明了一种公开密钥和私钥机制,其中,公钥不需要保密,可以直接对外公布,用来进行加密,而用来解密的私钥则绝不应该由持有者公开,应该永久保密。这种非对称加密系统被设计成通过公钥来计算私钥是不可行的,哪怕公钥与私钥是一一对应的关系。

 

非对称加密的逆过程提供了一种数字签名机制,信息提供者使用自己的私钥来对信息签名,接收这可以使用公钥来验证信息的有效性。这种签名技术要比手写签名安全得多,因为哪怕是一个字节的改变也会导致信息的签名验证失败,相反,一个手写签名的支票上10美元与1,000,000美元的签名是完全的一样。

 

互联网的用户可能会熟悉使用这种公钥加密系统来建立安全的连接,一种典型的统一资源定位器(URL)是以“https”开头,这里的“s”意味着将在协议的安全传输层使用加密来通信,这种安全连接被设计成使用非对称公钥加密系统来进行通信。

 

巩固今日的网络安全产业和建立健全密码体系,这是当今计算机科学界的首要准则,另外,Diffie和Hellman的工作也让个人和企业都有机会运用加密技术。 

 


注:
图灵奖是国际计算机学会(ACM)最富盛名的奖项,主要将给在计算机科学上做出突出贡献的个人。2015年图灵奖将于2016年6月11日在加利福尼亚州旧金山颁发。2014年11月13日,国际计算机学会宣布图灵奖的奖金为100万美元,这是以前25万奖金的4倍,奖金将有Google公司提供。

 

 

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小蜜蜂堆砌的六边形让你爱上数学!

 

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此文原载于http://ideas.ted.com/hexagons-and-other-reasons-to-love-math/

翻译,donkeycn,哆嗒数学网翻译组成员,华东师范大学数学博士。

 


一个数学家以生动的方式回答了那些觉得数学是无趣的,对学习数学感到沮丧并因此不愿意学习数学的学生。


Eduardo Sáenz de Cabezón 认为当人们问他数学有什么用时,并不是想知道数学到底有什么用,而是想问更加尖锐的问题。他说:“他们真正想问的是:‘我为什么不得不学那些我一辈子再也不会用到的垃圾?’”。Eduardo Sáenz de Cabezón (TED 演讲:数学是永恒)对此表示同情,但作为在位于西班牙东北部的拉里奥哈大学(注:原文为University of La Rioja)任教的数学教授,他早已打算勇敢地捍卫他所选择的职业。他相信,选择数学无异于是对永恒真理的探索。以下是他给出的理由:


数学可以揭示不可思议的事实:将一张平常用的纸(注:设厚度为0.1毫米=0.0001米)不断对折,假设这张纸大到足够对折50次,Eduardo Sáenz de Cabezón 说:“那么此时它的厚度(注:0.0001米×2^50≈1.1亿千米≈0.70亿英里)可以达到几乎相当于从地球到太阳的距离(注:地球到太阳的距离在天文学上可以用个专门的术语“天文单位”来表示,1天文单位≈1.5亿千米≈0.93亿英里)。”现在,如果你正试图想象一张纸是如何经过50次对折后,能从地面堆起近0.93亿英里(注:此处原文“93 million miles”似乎有误,因为根据之前的注中的计算及单位换算,应为0.70亿英里)而进入空中,你将会感受到神奇的数学证明所给你带来的震撼。“你的直觉告诉你,这是不可能的”他说,“但用数学算一下,你会发现它是对的。这就是数学的用处。”


六边形!为什么它们如此完美。每一个人都可以建立一个“宇宙是如何运作”的理论,而要判定这些理论是否正确就离不开数学。在大概公元300年的时候,亚历山大的帕普斯认为六边形是覆盖(注:本文中的覆盖,还要求无缝隙)一个无穷大的平面的最高效(相同边长的前提下面积最大)的形状,你能想象数学家们被这个论断困扰了多久吗?“帕普斯并没有证明他的这个论断”Eduardo Sáenz de Cabezón 说,“它依然只是一个猜想:‘是六边形!’”。直到1700年后的1999年,美国数学家 Thomas Hales 证明帕普斯的论断同时这恰好也是蜜蜂靠本能就已经知道的——最高效的形状确实是六边形。Eduardo Sáenz de Cabezón 说:“我们数学家致力于发现定理——本质上,即‘永恒的真理’”。而这些“永恒真理”的发现,可能是在我们的有生之年中所能遇到的最持久有效的东西。“你可能说过,或者听过这样的观点,钻石恒久远”Eduardo Sáenz de Cabezón 说,“这取决于你对永远的定义(注:众所周知,钻石的主要化学成分是碳,万一一不小心点燃的话,碳和氧气生成二氧化碳?啊哈!)。然而如果是定理的话,那才是真正的永恒。”

 

 

然而截角八面体(注:半正多面体之一。可按如下方式定义:正八面体在每个顶点A_i(i=1,...,8,A_i表示A右下角加下标i,代表第i个顶点)处截去一个正四棱锥,满足:任何2个正四棱锥没有公共点,每个正四棱锥的顶点即相应的八面体的顶点A_i,每个正四棱锥的4条侧棱在对应的A_i所关联的4条边上,并且使得截剩的多面体所有棱长都相等。此时截剩下的多面体即截角八面体)就没那么伟大了。在1887年,开尔文勋爵,就是开氏温标(注:即热力学温标。可按如下方式定义:水的凝固点为273K,沸点为373K)的那个开氏,认为,想最高效的覆盖三维空间的话,你应该使用有14个面的截角八面体。但他没能证明它......到了1993 年,都柏林三一学院的物理学家Dennis Weaire 和Robert Phelan 发现了以他们名字命名的异于截角八面体的结构组合。“它看起来很奇怪,”Eduardo Sáenz de Cabezón 说,“但是在有人发现更好的之前,它就是数学家们所发现的最好的。”


截角八面体有14个面(其中8个是正六边形,6个是正方形),36条边,24个点。Gif: 维基用户 Hellisp (CC BY-SA)


为什么数学家认为数学是奇妙的。“科学需要直觉和创造力,而数学则是用来判定这些直觉和创造力是否正确,”Eduardo Sáenz de Cabezón 说道。他表示:当数学家们被问到“数学有什么用时”,会分成两类:偏攻击性的和偏防御性的。“偏攻击性的数学家会告诉你这个问题是没意义的,因为数学自身就是全部意义所在。”Eduardo Sáenz de Cabezón 说,“不断寻找所有可能的应用是一点意义也没有的。”他们抱有这种观点,他说——同时偏防御性的数学家也是这样,“那些偏防御性的数学家会告诉你,‘即便你没意识到,朋友,数学无处不在。’对于那些建造桥梁和发明电脑的人,‘如果你不懂数学,你造的桥就会塌。’”这种观点也是对的。Eduardo Sáenz de Cabezón 认为这两种观点都传达了一个让人兴奋的信息,数学家们所经历的在他们领域内的每一次突破以及每一次的努力都有助于我们更好地了解这个世界。


视频字幕中的错误:
[1] 某些百分数的和(如:54.51%+44.77%+0.8%=100.08%;76.34%+23.41%+0.8%=100.55%)应为100%(即使算上舍入误差,最多也只能达到100.06%,所以依然不对);
[2] “勾股定律”应为“勾股定理”。(中文视频字幕中出现3次“勾股定律”)

 

 

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用正则表达式解代数方程

 

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作者,Steven Levithan

翻译,radium,哆嗒数学网翻译组成员,数学专业学生

 

用正则表达式并不擅长解决数学问题。对一个正则表达式系统,字符从0到9,和其他的一样,并没有什么特殊的地方。

 

在这里我需要提到两个例外Perl和PCRE,这两个例外允许动态代码在匹配过程中的任何一点上运行,这为我们提供了大量额外的契机。Perl是通过代码嵌入正则表达式,PCRE用标注系统去表达外部函数。但正则表达式偏好这些例外,甚至利用他们去拓展自己的能力,让方程式告诉你更多,呈现的更完整。一般的,有关数学的问题像匹配数值范围(matching numeric ranges)(在匹配一些需画大量时间的长文本的任务上很有用)在运行中是一个痛,如果他们有可能的话。

 

但是在最基本的正则表达式的系统中,这种力量和表现可以引导出一些漂亮的技巧。就像匹配非素长度字符串一样!这时基础的正则表达式就有些出名了。就连一个黑客也会惊讶你是用的是正则表达式来解决的一个简单的线性方程组。我在摆弄 RegexBuddy's 的调试器时无意中蹦出了这个想法。严格的POSIX ERE的实现和其他深邃的味道,不允许反向引用,因此执行本生是简单的,工作也相当普遍。这里有一个样板:


^(.*)\1{A−1}(.*)\2{B−1}$


现在让我们来解关于x和y的方程,像17X+12y=51 ,A和B是常量占位符对应这个例子中的17和12.所以正则表达式成为 ^(.*)\1{16}(.*)\2{11}$我们从A,B值中减去1因为我们重复反向引用,而子模式之前已经匹配过一次。如果你运行正则表达式去对付51字符串,当长度为$1时(反向引用1)将会是3(这就告诉我们x=3),当长度为$2时(反向引用2)将会是0(意味着y=0)事实上17*3+12*0=51.如果方程没有解,那么正则表达式将无法匹配字符串。如果方程有多种可能的解,那么返回的是x的最大值,因为这个值最早被处理。


快来尝试吧!你可以用正则表达式来解各种各样的你喜欢的形式类似的方程。例如11x+2y+5z=115可以用 ^(.*)\1{10}(.*)\2{1}(.*)\3{4}$和115字符的源串来解决(结果是11*10+2*0+5*1=115)。运行 ^(.*)\1{12}$去对付247字符的字符串,那么你将会因为反向引用一次得到一个19字符的值,像13*19=247.请记住,随着整数和字符串的长度的增加,变量的数目增加,通过正则表达式软件的回溯的数量也会增加。对于一些图像的门栏这种方法是很慢的甚至无用的。但我不在乎,他依然很酷!

 

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