原文作者：AVERY CARR，原文载于科学美国人网站。

译文作者：e^iπ+1=0，哆嗒数学网翻译组成员,就读于上海科技大学

校对：333

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——所有人都以为最伟大的数学家都是男人。不，你们都错了！

数学的历史，包括从对空间形状的深刻揭示，到可由想象与逻辑到达的最大程度的探索，似乎一直被男性数学家主导着。像高斯，欧拉，黎曼，庞家莱，埃尔德什，或者更近一些的数学家怀尔斯，陶哲轩，佩雷尔曼，张益唐，他们所有人都与最美丽的数学发现相关，并且全部为男性。
  
E.T. 贝尔于1937年所撰《数学精英》（Men of Mathematics）一书，就是一个例子说明这个“事实”是如何在公共意识中被加固强化的。即使在今天，男性数学家主导数学领域也不是什么秘密。但是这不能让我们忽视女性在数学上做出的革命性成就。有很多著名的女数学家值得我们感谢，感谢她们在诸如现代计算领域中，对揭示几何空间的问题上，对抽象代数的基石的构筑上，引导决策论的主要进步以及在数论和天体力学等领域中取得的成就，这使得人们在如密码学，计算机科学和物理等应用领域作出重要的突破。

像朱丽叶•罗宾逊在希尔伯特第十问题（数论问题）上的进展，埃米•诺特在抽象代数和物理领域获得的成果，以及阿达•洛夫莱斯在计算机科学领域里做出的天才成就，这三个著名的例子充分证明了女性数学家的贡献是非常重要的。

茱莉亚•罗宾逊(1919-1985)

在二十世纪之初，著名的德国数学家大卫•希尔伯特发表了二十三个吸引人，但却让绝大多数天才数学家也大伤脑筋的问题。其中第十问题描述为是否存在一般的算法可以判定所有的丢番图方程（整系数多项式方程）的可解性。设想，存在一个机器对于任意一个丢番图方程可以判别这个方程是否可解。数学家们常常通过简单而广泛的观察来处理大自然中无穷无尽又超乎解决能力范围的谜题。这个特殊的问题引起了伯克利数学家茱莉亚•罗宾逊的兴趣。经过了几十年的研究，罗宾逊与她的同事包括马丁•戴维斯与希拉里•普特南合作，最终给出了一种情况，否定回答了希尔伯特第十问题。

在1970年，一位年轻的俄罗斯数学家尤里•马季亚谢维奇利用罗宾逊，戴维斯和普特南提供的思路解决了该问题。由于其在数论方面杰出的贡献，罗宾逊成为了杰出的数学家，那是一个最重要的数学问题之一，罗宾逊为它的解决铺平了道路。在美国数学协会的一篇文章，“茱莉亚•罗宾逊自传”中，她的妹妹和传记作家康斯坦斯•里德写到“通常情况下，她永远不会刻意去收集自己的故事。但就她而言，她在数学上所做的一切工作都是重要的。”

艾米•诺特(1882-1935)

在抽象代数中浸润一段时间，会接触到一个经常出现的名字，那就是艾米•诺特。她的工作涉及的领域从物理到近世代数，使得诺特成为数学历史上最重要的人物之一。她1913年在变分法上的工作，诞生了诺特定理，被认为是最重要的数学定理之一，并且这个定理奠定了现代物理学的基础。 关于理想与交换环的诺特定理，形成了所有研究者对更高级的代数研究的基础。

她的工作的就像指引的灯塔，影响着那些想要更抽象地理解这个物质世界的人们。数学家与物理学家很欣赏她里程碑式的贡献，而这些贡献使得他们能够更深刻地理解各自的领域。在1935年，爱因斯坦写了一封信给《纽约时报》，“在所有现有数学家中，诺特是到目前为止，女性高等教育中培养的最伟大，最有创造力的数学天才。”

阿达•洛夫莱斯(1815-1852)

在1842年，剑桥数学教授查尔斯•巴贝奇在都灵大学做了一场关于他的解析机器（第一台计算机）的设想的讲座。此后，数学家路易吉•蒙博将讲座笔记转录为法语。年轻的女伯爵阿达•洛夫莱斯被查尔斯•惠斯通（巴贝奇的一位朋友）委托把蒙博的笔记翻译成英语。由于其在记录时富有远见的记法，她被公认为世界上第一位程序员。这份笔记在1843年被发表，洛夫莱斯在G部分增加了她个人的笔记，其中列出了一份计算伯努利数的算法。实际上，她利用了巴贝奇的理论机器，将它变成了可计算的现实。埃达•洛夫莱斯为那些想要探索计算奥秘的人提供了一条路，并持续地影响着科技的发展。

尽管她们的贡献意义深远，这三位女性数学家的发现却经常被男性数学家的贡献所遮蔽。据2015年联合国的估计，在世界上男人与女人的数量基本相同（101.8位男性对100位女性）。由此我们受到启发，工作在数学领域的女性应该和这一领域的男性有大致相同的数量。

我们之所以没能看到这一点，有个很重要的原因，是由于我们错误地认识了女性数学家的历史贡献。考虑到现代社会中科学技术的重要地位，我们认为促进和鼓励更多的女性进入数学领域，在一个文明社会里，是大势所趋的。

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有的时候，讲的人并不严谨，但听的人懂了。罗胖讲的东西很多都有这样的情况，从专业角度来讲，槽点很多，但是，你要说他完全错误，也不能这样说。

从学术角度来讲，这些演讲也许是失败的，学术是严谨的，容不得半点儿似是而非；但从知识普及角度来讲，我认为却是成功的。没有这些讲解，没有这些瑕疵，你也不会站出来指出他的错误是不？因为你的指出，正确的知识也得到了传递是不？

互联网内容有了评论的功能后，就有了神奇的化学反应。往往发表的主体内容，只是诱发读者、观众在评论区再创造的一个引子。主体内容和评论一起化学反应后的产物，才是最精彩的作品，不是吗？

所以，我会用网上流行的一句话来阐述我转发罗胖在罗辑思维182期上转述贝叶斯定理的目的——“我是来看评论的！”

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本文绝大部分内容载于IBM的量子网站上，http://www.research.ibm.com/quantum/expertise.html。

译文作者：冬眠的小老鼠，哆嗒数学网翻译组成员，互联网游戏行业从业者。

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1. 【1935】 EPR悖论

阿尔伯特•爱因斯坦，鲍里斯•波多尔斯基，和 纳森•罗森 提出对量子体系完备性的质疑。
 

2. 【1964】 贝尔不等式

约翰•贝尔认为，量子机器将有着与现实中的定理(比如经典物理学)有着完全不同的观测效应，后来，这些观点得到了很多来自不同团队的实验验证，这其中值得关注的实验包括：斯图尔特•弗里德曼和约翰•克劳泽在1972年的工作，阿兰•阿斯佩及其合作者在1981年至1982年的重要工作，还有最近的“loophole-free”实验(分别由3个不同的团队在2015年完成)。
 

3. 【1970】 量子信息学诞生

当查理•贝内特还是哈佛大学一名学生的时候，在一次和斯蒂芬•威斯纳的谈话中首次提到“量子信息学”，并建议使用量子纠缠态来实现通信，而在之后的1992年，斯蒂芬和查理使其发展成为了量子通信的编码基础，但是在早期的版本中，他们错误的认为接收方可以单一的接收到一个量子比特位，但不能同时接收到两个，而实际上，通过对纠缠态的测量，可以同时接收到两个量子比特位。
 

4. 【1970】 量子货币

斯蒂芬•威斯纳首次发现利用不确定性原理的量子位可以作为一种不可能被伪造的货币，而这种货币受到的是自然定律的约束和保护，而不确定性原理则成为其中的工具而不是障碍。

5. 【1981】 MIT联合IBM第一次举办量子物理计算大会

在这次会议期间，诺贝尔物理学奖获得者理查德•费曼对科学家们正在研发的量子计算机提出了物理学上的质疑，而同时，科学家们则在努力的克服相应的挑战。

6. 【1982】 首次发现量子拓扑序

崔琦，霍斯特•施特默，亚瑟•戈萨德发现了分数量子霍尔效应，而他们的发现获得了1998年诺贝尔物理学奖。这个重要的发现显示，在超低温环境下，量子物质会形成与宏观状态下性质完全不同的高度纠缠态，但对观察者而言似乎完全没有区别----一种量子拓扑序属性。

 
7. 【1984】 量子密码(IBM)

查理•贝内特和吉尔斯•布拉萨德提出了一种基于自然定律的加密算法（量子力学），而不是依靠一种数学理论基础的密码实现。

8. 【1993】 量子隐形传输

查理•贝内特和合作者们提出量子信息可以从一个地方传输到另外一个地方，而仅仅使用到量子纠缠态的原理和一个经典通信信道。量子隐形传输编码已经成为了一种重要的基本操作而广泛的应用在量子算法和量子纠错协议中。
 

9. 【1994】 秀尔分解算法

皮特•秀尔提出一种能将合数分解成素数的高效的量子算法，大整数的素数分解是一个传统计算机中的困难问题，秀尔算法第一次展示出量子计算机在处理这类问题的具有更大优势，并且带动了很多在该领域上理论与实验的研究。

10. 【1995】 量子纠错

在1995年到1996年，一个漂亮的关于量子纠错的定理出现在了世界上的好几个地方，包括IBM，这个定理说，虽然我们无法复制量子信息，但是我们可以使用一个较小的冗余信息来对量子信息进行纠错，量子纠错理论让制备量子计算机的实现更具有了可能性。

11. 【1996】 DiVincenzo量子计算机标准 

大卫•迪文森佐提出了在物理学上要实现量子计算机的必须的5条判据，这如今已经成为了量子计算机的迪文森佐标准，并已经影响到了很多构建在量子计算机上的实验程序。该标准包括：（1）定义良好的可扩展量子位阵列；（2）初始化量子位到简单的基准态，比如|000…>；（3）通用的量子门；（4）长的退相干时间，必须比门操作的时间长很多；（5）单量子比特测量。

 
12. 【1997】 量子拓扑码

量子拓扑码是一种可以被嵌入到二维网格量子位的量子纠错码，可以让所有的奇偶校验操作都得以在本地进行。第一种拓扑码，是阿列克谢•基塔耶夫在1997年提出的表面码，这种表面码被认为是实现可扩展性的容错量子计算机中最有前途的拓扑码。

13. 【2001】 量子算法分解15

秀尔算法第一次在量子计算机上实现，尽管是一个非常小的整数，3x5=15。这个系统使用了核自旋量子位，和MRI类似，它被称为NMR量子计算机。

14. 【2004】 量子电路

罗伯特•薛尔考普夫和他的合作者在耶鲁大学发明了QED电路，其中的超导量子位是一种位于微波腔中的强相干光子。这是一个突破性的进展，他展示了如何在一个芯片上让原子发生干涉。耶鲁大学领导的这项工作开启了很多新的可能的方向，而其中的量子电路耦合方案也成为了耦合标准，宣读量子比特的系统也开始形成规模。

 
15. 【2007】 超导量子位

罗伯特•薛尔考普夫和他的合作者在耶鲁大学发明了超导量子位传输，这是一种被设计成具有高灵敏降噪（噪音是一种长时间相干的主要障碍）的超导量子位，现在它已经被很多超导量子系统所采用，包括IBM。
 

16. 【2012】 量子位相干时间提升

多个量子信息传输的重要参数得到了提升，而其中的量子退相干时间，也就是量子位保持量子态的时间，已经延长至100微秒。

17. 【2015】 展示[[2,0,2]]量子编程
IBM团队实验了一个几乎是最小的量子代码，使用到了一个量子稳态，它可以用来检测到两种类型的量子错误：比特位翻转和相位翻转。

18. 【2016】 IBM在云计算平台上接入量子计算

IBM的科学家建立了一个用户可以通过云计算系统访问到其建立的量子计算机系统的平台，这个名为“IBM量子体验”的量子云计算平台，允许用户在IBM的量子处理器上运行算法，探索可能与量子计算有关的实验。

19. 【2016】 量子卫星

2016年8月16日1时40分，中国在酒泉卫星发射中心用长征二号丁运载火箭成功将世界首颗量子科学实验卫星“墨子号”发射升空。

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原文作者，Borwein，纽卡斯尔大学数学教授，以及，Bailey，加州大学戴维斯分校研究员。

译文作者：333，哆嗒数学网翻译组成员，就读于中南大学数学专业。

电脑在帮助数学家解决问题时是很有用的工具，同时，它们也能够自己发现并证明一些数学定理。

或许由电脑做出的第一个重要结果要算是40多年前关于四色定理的证明，这个定理声称任何一张地图（有着确定的、合理的条件）只要用四种不同颜色就够了。

这个定理在1976年首先被电脑证明，尽管不久后就被发现有漏洞。而一个完全正确的证明直到1995年才被最终完成。

在2003年，匹兹堡大学的托马斯?海尔斯发表了一篇关于开普勒猜想的基于计算机的证明，这个猜想是说，与超市堆放橘子的方法类似，这也是摆放相同维数球体的最节省空间的方法。

尽管海尔斯在2003年发表了这一证明，许多数学家对此却并不满意。因为这个证明是伴随着2G字节的计算机输出(需要耗费大量的时间)，并且某些计算无法保证完全正确。

作为回应，在2014年海尔斯发表了一个已被计算机验证过的正式证明。

新手上路

沿着这条线的最新进展是最近《自然》上的一篇关于所谓的“布尔毕达哥拉斯三元数问题”计算机证明的声明。

这个断言是说，从1到7824的任何整数能够被染成红色或蓝色，使得满足a2+b2=c2（由毕达哥拉斯定理，a，b，c正好是直角三角形的三条边）的三个整数a,b,c不全是同一种颜色；而对于从1到7825的整数，不存在满足条件的染色。

即使是对于比较小的整数也很难找到一个满足上述条件的染色方法。举个例子，如果5是红色的，那么12和13中至少得有一个是蓝色，因为；3和4中也必须至少有一个是蓝色，因为。每一种选择都将导致对于其他数产生不同的约束条件。

研究表明，给1到7825的整数进行染色，其所有可能的方法总数是一个天文数字——超过10的2300次方（1后面跟着2300个0）。这个数字比可观测到的宇宙中的基本粒子数10的85次方还要来得巨大的多！
 

不过通过利用各种各样的对称性和数论性质，研究人员能够把这个数字显著地减小到“仅仅”一万亿。德克萨斯州立大学有着800个处理器的超级计算机Stampede为了检查这一万亿种情形足足运行了两天。

尽管这一结果无法被直接应用，但是解决这样一个困难染色问题的能力势必会对密码学和安全领域产生一定影响。

在德州的这次计算，据估计执行了大约10的19次方次算术操作，却仍然不能称得上是最大型的计算。2013年对π²数字的计算，两名IBM的研究人员做了两倍于此的计算量。

梅森素数互联网大搜索（GIMPS），是一个寻找最大已知素数的全球性计算机互联网络，每秒可执行450万亿次计算，每六个小时就超过德州那次计算的数目。

在计算机输出中，德克萨斯的计算机在数学计算方面却是超人一筹——令人难以置信的200兆兆字节，换句话说2字节或者平均到地球上每个人30000字节。

谁能检查这种尺度的输出结果？幸运的是，这个布尔毕达哥拉斯三元数问题的解法能够被一个小得多的程序检查。

这跟用计算机分解一个很大的数c为两个较小因子a和b，使得c=a×b很相似。通常寻找这两个因子a和b是极其困难的，但是一旦找到，把它们乘起来以确认结果就是很容易的事了。

数学家过时了吗？

所以，这些发展和进步意味着什么？是否数学研究者们很快就要沦落为国际象棋大师、Jeopardy节目、售货员、出租车司机、货车司机、放射科医师等等这些被快速发展的科技所威胁而面临淘汰的职业之列？

不完全是。数学家，就像许多其他领域的专业人士，已经很大程度上接受计算机作为一种新的数学研究工具，由此发展来的所谓的实验数学，已经产生了深远影响。

那么实验数学究竟是什么呢？它被很好地定义为使用计算机作为“实验室”的一种研究方式。跟物理学家、化学家、生物学家或者工程师做实验一样，举个例子，它可以用来获得洞察力和直觉，检验和否证猜想，以及确认一些已经被传统方法证明了的结果。

在某种意义上，数学研究的实验方法并没有什么根本上的新意。在公元前三世纪，伟大的希腊数学家阿基米德写道：

“当我们做过先期的质询与调查，就会更容易地给出一个证明。这种[实验]方法使我们对问题有一些初步的认识，这比一无所知地直接寻找答案要好得多。”

据说伽利略曾写道：

“一旦真理被发现后就会很容易理解；关键之处是发现它们。”

卡尔?弗雷德里希?高斯，19世纪的数学家和物理学家，频繁地使用计算来激发他那些卓越的发现。他曾写道：

“我已经得到了结果，但我还不知道如何证明它。”

基于计算机的实验数学当然有它的科技优势。每一年，计算机的硬件就按照摩尔定律在不断更新，越发先进。数学计算软件包例如Maple, Mathematica, Sage以及其他的此类软件也变得越来越强大。

实际上，这些系统已经强大到几乎足以解决本科阶段任何方程、微分、积分或者其他的本科数学阶段的任务。

所以，尽管基于人脑的传统证明仍是基本的，计算机在帮助数学家发现新定理、指明正式证明的道路方面也是功不可没的。

更重要的是，我们认为在很多情况下，计算的结果要比人工的证明更令人信服。毕竟人工证明会被小错误、疏忽和对前人也许并不正确的结果的依赖所干扰。

安德鲁·怀尔斯关于费马大定理的初始证明被发现是有瑕疵的，这个错误之后被修正了。

顺着这条线，最近亚历山大·伊和近藤贸计算出了π的12.1万亿位数。为了算出这个结果，他们首先计算出了稍微超过10万亿的十六进制下的数字，然后他们用另外一个不同的算法计算了在接近尾部的一段十六进制下的数字，以检查之前的结果是否正确。比较后发现，它们吻合得非常完美。

所以到底哪个更可信呢？一个几百页篇幅的人工证明的定理，而且只有少数其他的数学家读过并证实那些细节之处，还是伊-近藤的结果？让我们接受这一点，计算机的计算结果在很多情形下比证明更可靠。

数学家将来的命运如何？

各种迹象都表明在可预见的未来，数学研究者们将会和计算机互利共存，继续他们的工作。确实，随着这种共存关系和计算机技术的成熟，数学家们将会更愿意把证明的某些部分扔给计算机去做。

这个问题在2014年六月的科学突破奖（数学）的授奖典礼演说上被五位获奖者所讨论。澳大利亚裔美国数学家陶哲轩在这些方面表示赞同。

毫无疑问，计算机会越来越强大，但是我期望数学家们能够继续与计算机一起工作。所以别急着扔掉你的代数课本，你任然是需要它的！

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作者，读，某杂志社编辑。

上述是出自英国游戏专家亨利•杜德尼的研究成果，1903年，杜德尼发现可以把等边三角形分成四部分，经重新拼合后变成正方形。

这个设计我很早就知道，但从未对其有过关注，直至近年，有新闻报道，提到这一游戏被英国建筑师“相中”，他们获得设计灵感，建造了一种奇妙的房子，可随着季节的不同而呈现不同的稳定结构，以适应不同的气候环境（http://tech.ifeng.com/discovery/detail_2012_12/10/20012762_0.shtml）。

巧合的是，设计师们似乎十分喜欢杜德尼的这一发现，他们对此做了很多精心地尝试与应用。

如设计师David Ben-Grünberg和Daniel Woolfson精心设计的“百变茶几”，就是充分利用了杜德尼三角形多变的造型（http://www.333cn.com/industrial/sjxs/138462.html）。

2015北京国际设计周的混凝土灯具作品展上，有件展品为“杜德尼”灯，也是类似的创意（http://www.verydesigner.cn/article/25424）。

最近，看到微信群里大家也在传“杜德尼三角形”的神妙，不禁想加深一下大家对这一现象的认知。

这种变换的游戏，神奇但不玄妙，数学可以引导我们正确看待这一问题，从而让每个人都成为“神奇的设计师”！

其实，我们看到这一特例，就不禁想问：这是巧合吗？这是唯一的特例吗？

那么，我想说，这不是巧合，也不是特例，而是经过精心计算得到的结果。

换句话说，并不一定需要正三角形，面对一个“长相普通”，甚至“歪瓜裂枣”的三角形，我们仍有可能将之变形成为一个“端正、大方、得体”的正方形，当然，方法还是类似于“杜德尼三角形”的变形，我们不妨称此方法为“简单四分”。

数学的演算比较复杂，为了保证大部分人不头晕，我们就直接上结论了：

（一）拿到任意一个△ABC，我们先判断其是否可“简单四分”，请按以下顺序操作：

1）度量高h与底边l，确保高与底边之比介于2/5≤t（=h/l）≤2之间（不妨设底边左右端点分别为B，C，其对应高为AK）；若不存在，则△ABC不可“简单四分”；

 
2）计算X（=2t-t2）（[0,1]），k ([-1,2])的值，其中k使得向量KC正好是向量BC的k倍；

3）判断是否满足如下的结论：

i 当0≤X＜1/4时，若 满足sqrt(x)-1≤k≤sqrt(x)或1-sqrt(x)≤k≤2-sqrt(x)，则三角形可“简单四分”；(sqrt表示开根号，下同)

ii 当1/4≤X≤1时，若 满足sqrt(x)-1≤k≤2-sqrt(x)，则三角形可“简单四分”，

i、 ii皆不满足，则△ABC不可“简单四分”。（注：“简单四分”只是代表一种方法，并不一定分成四块，有些临界情况只需要分成三块）

三思而后行，这一判断可能花费你较多的时间，因为三角形有三条边，如果你选择的三角形比较“糟糕”的话，那你所花的时间可能就是别人的数倍。当然，如果你自认为自己是行动派，而不是预言派，直接操作也是可以的。

好了的话，那我们就可以开始行动了！

当然，还请仔细筛查，我们下面要做的事，类似于让“丑小鸭变成白天鹅”，万一选到“冒牌货”，那就不妙了——可能你白忙活半天，也没法让戏法变成功。

（二） 对于判断通过的△ABC，我们可按照如下顺序画出四块，使其拼成一个正方形：

还是先要回到杜德尼的方法上去。我们发现，杜德尼充分发挥了中点作为旋转对称中心的特点。

如图，其中，DE作为中位线，与底边BC平行，即DE∥NK，又有DE=NK，显然，四边形DNKE为平行四边形（一开始我直观还以为是个矩形，其实不是）。
 

这个平行四边形是杜德尼“正三角形四分”的一个关键，它很特殊，而且有固定的作法，以任意△ABC为例：

（1）对于符合判断条件的底边BC以及底边上的高h，求出△ABC的面积S=a2（a＞0）；

（2） 取AB，AC的中点D，E，连结DE；

（3） 以E为圆心(也可以D为圆心，后续操作方式类似)，a为半径画弧，与直线BC交于点N（当有两个交点时，只能取左交点；若无交点，则操作无法完成），连结DN；

（4）过点E作DN的平行线交底边BC于点K（如果不存在，则操作无法完成），则四边形DNKE就是我们所要作的平行四边形。

显然，从这个特殊的平行四边形的作法，善于思考的人已经知道我们之前为什么要对三角形进行判断了。

第（3）（4）步的作法是有限制的， 这个平行四边形若无法作出来，那我们就无法按照杜德尼的“简单四分”的方法，对一个三角形进行裁剪拼合。

虽然任意△ABC不一定行，但是经过了前面的筛选后，被我们“选中”的△ABC绝对能行！

 
恭喜你，当你画出这个“平行四边形”的四个顶点D，N，K，E时，再连结EN，作DQ⊥EN于点Q，KP⊥EN于点P，（这里的操作同样体现在了判断的标准中）即可得到你想要的“四分”三角形，将它裁剪后，就能变成一个正方形。

如上所示，我们只谈操作的话，还是不繁的，所以只是行动派的话，也是可以完成的。不过他们属于后知后觉的那种人，不到最后一刻，完全不知道这一三角形是否可以“简单四分”为正方形。

这样一来，相信你作为一个“神奇”的三角形裁剪设计师，还是愿意先花点时间做个“预言”，然后再选择操作，不是吗？ 

神奇源于数学，而数学的思考可以帮助我们揭示这种神奇。
 

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作者，南梦玲，绳索技术协会理事。

数学在生活中不可或缺，这也许是老生常谈了。数学嘛，买菜总是要用到的，加价减减而已。也许很多文章介绍过数学的伟大用处，但实际上也过于脱离生活了，数学用于制造电子设备？管他呢，我自己能用就好了。数学能用于金融？对于玩不起钱的我来说，还是算下工资多少年能买房更切实际。能发射火箭去上天？上去的又不是我。你们别整这些高大上的东西，数学对于常人还真是加加减减仅此而已了。

果真如此吗？

我们先来看一个例子，请看下面这两位想要降低其成本的车主。

 
小明（小明终于长大了）原来的车每升汽油能跑12公里，现在他换了一辆更省油的车，每升能跑14公里。

小丽爱护环境，她把原来每升汽油跑30公里（好节约的耗油！）的车换成了每升汽油跑40公里的车。

假设这两个车主一年的行程是相同的。换了车之后，谁省油的数量更多？这问题太简单了吧，加加减减而已，小明每升提高了2公里，等于是提高了六分之一，而小丽每升多跑了10公里，提高了三分之一！肯定是小丽更加省油！这是一个小学知识就能解决的问题，大部分人直觉口算都是这么认为的。好，现在我们再来算下，假设两人都跑了10000公里，小明就从833升减少到了714升，共省了119升，而小丽从333升降到了250升，只省了83升油，实际上小明更省油！

    好吧，小编我并不是想要来证明大家小学没毕业，而是想要告诉大家，做广告的最高境界就是，明明说的都是实话，却依然让观众的直觉产生偏见，从而去购买产品。我们每天都会看到各种信息，并且会对这些信息有一个主观的理解，其实我们的主观理解未必有多正确，生活中充满了偏见。这个问题之所以产生直觉错误，是因为描述的人采用了每升汽油行驶的公里数的框架。为了防止此类问题的出现，我们应该采用每公里耗油多少升的框架来描述。错误直觉很容易误导政策制定者和买车的人。以上描述的现象，心理学家查德•拉里克（Richard Larrick）和杰克•索尔（Jack Soll）研究过，他们2008年在《科学》杂志中发表了的《每加仑汽油所跑英里数的错觉》中有详细讲解。
    
    我们再来看一个例子，2014年一项研究对中国2856个县的肾癌发病率进行了调查，调查显示2014年该病发病率最低的县差不多位于西部和西部人口稀少的乡村，对此你有何看法？

    人们很容易就做出推断，认为肾癌发病率低主要是由于乡村的生活方式很健康——“没有空气污染和水污染，食品没有添加剂，保证新鲜。”这一点完全说得通。我们依赖直觉得出这一结论，并且看似很有道理，但实际上果真如此吗？如果把描述改为发病率最高的县位于西部和西部人口稀少的乡村，相信人们可以毫不费力的做出推断：“乡村生活贫困，人们无知、医疗条件差、不注重卫生、嗜烟等。”虽然这两个理由都看似很有道理，但一个地方不可能在同一时间发病率又高又低。
 
    之所以会出现这种情况的原因，是因为我们的直觉存在偏见。问题的关键在于乡村地区人口稀少，仅此而已。稍微学过概率的人，都可以很快的反应过来：“样本数量越少，极端事件连续发生的概率就越大。”举个例子，我们仍1个 骰子，连续扔3次全是6的概率远远大于连续扔30次全是6的概率。在没有大数定律支持的情况下，一切仅仅是运气罢了。不信的话你可以尝试去计算这个题目：在一个装有两种颜色的箱子中有超多的红球和黑球，其中红球黑球一样多（这相当于在说，癌症比例为50%），小明每次拿4个球而小丽每次拿7个球，那么分别去计算两个人拿出来的全是同一种颜色的球的概率（发病率100%或发病率0%），可以发现小明的概率大概是小丽的8倍（12.5%与1.56%）。这就是真相，某县人数少，因此更容易出现极端事件，而恰好赶上了数据调查，人们就容易得出错误的结论。统计学家霍华德•维纳（Howard Wainer）曾经做过一个实验，来解释类似的现象。

            
    “现在勒布朗连投几个都进了，手热的发烫！队友应该尽量把球都传给他多打！”这是我们看篮球的时候，经常听到解说说的话，也是我们要说的第三个例子。篮球运动员有时候会有投篮手风很顺的现象，如果一个运动员连续进了三四个球，那么人们就会不由自主做出判断：这个球员现在正处于手热状态，得分率暂时增加。两队队员都持这种判断——队员也更爱将球传给打得手热的人，对方球队则会加强对这个球员的防守。然而真实情况是，通过统计学研究表明，根本没有投篮手热这一回事，之所以会有这样的错觉，是因为人们太快做出了评判。再更多次观察之后你就会发现，球员的得分率将会回归他的正常水平，也就是回归平均值。统计学告诉了人们事实，却没多少人相信这个事实。做这项研究的是阿莫斯•特沃斯基（Amos Tversky）、汤姆•季洛维奇（Tom Gilovich）和罗伯特•瓦隆（Robert Vallone）。

 
    我们的思维经常会对事物产生偏见，直觉也会欺骗我们，而人们往往却不肯承认自己思想的错误。这些事例里边蕴含着最基本的数学原理，并没有什么高大上的理论，不需要微积分，也不用研究群环域，只要简单应用高中以下的数学知识，就可以避免我们做出错误的判断。

    接下来我们再看第四个例子，如果你在北京地铁上看到一个人正在读知识专业性比较强的报纸，那么他学历更有可能是博士还是根本没读过大学？我们的直觉会告诉我们，应该选第一项，但实际上这样选择并不明智。因为在地铁上面是博士的人的基础比例远小于没有本科文凭的人的基础比例（1.3%和35%）。

 
这里我们来看一个贝叶斯定理应用的经典例题：

一辆出租车肇事逃逸，这座城市有两家出租车公司，其中一家公司的车全是绿色的，另一家全是蓝色的。

你知道这座城市85%的出租车是绿色的，15%是蓝色的。

一位目击证人辨认出那辆肇事出租车是蓝色的。当晚，警察在出事地点对证人的证词进行了测试，得出结论是：目击者在当时能够正确辨别出这两种颜色的概率是80%，错误的概率是20%。

这场事故的出租车是蓝色而不是绿色的概率是多少？根据贝叶斯定理，目击证人得出正确答案的概率为41%。

当人们面对这样的问题的时候，往往会忽略基础比率，只考虑目击者因素，因此大部分人会认为是80%。

在这里，我们需要用贝叶斯定理来约束我们的直觉，才更有可能得到正确的答案。生活中我们的直觉往往忽略事件的基础比率，所以我们会产生偏见与错误。

现在，你还敢说数学仅仅是加加减减，和生活无关吗？这四个事例，都是我们生活中常见的事情，但我们很容易就被我们的直觉所欺骗，对其产生偏见。数学可以给我们的生活我们的判断带来指导性建议，直觉往往欺骗自我，善用数学思维，而不是仅仅依赖直觉，能够让我们减少偏见。

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