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前不久在美国，共和党总统候选人唐纳德·特朗普和民主党候选人希拉里·克林顿在电视上进行了唇枪舌战的电视辩论，“美国大选”这一话题有成了一些圈子谈论的热点话题。

我们哆嗒君之前发布过著名数学家陶哲轩发表在自己博客上说特朗普不适合当总统​的博文译稿。我们今天的话题还是关于他们俩的。

我们的朋友圈这两天挖出特朗普对于这件事对陶哲轩的反击，特朗普在发布推文道：“陶哲轩声称，我川普不适合做美国总统，但骗子希拉里没问题。而真像是，陶哲轩那小子只针对我是因为他是一个失败的分析学家，他连挂谷宗一猜想（Kakeya Conjecture）都证明不出来。悲哀！”

这一点倒是符合特朗普一项说话大大咧咧的作风。而提到挂谷宗一猜想，陶哲轩的确有不少博文提到它。陶哲轩多次强调这还是一个没有解决的问题，现在只有部分结果。

当然，我们不知道特朗普是否真的了解这个猜想的难度。不过，路过的我们，可以看看热闹，当一回吃瓜群众。

当然陶哲轩不是唯一一个揶揄特朗普的学术界大神，著名物理学家霍金也表示，自己无法用已知的物理理论解释特朗普为什么如此的受人欢迎，还说，特朗普是一个善于煽动庸众的政治家。

当然，一些美国人对霍金的说法不以为然，一位美国大叔在Facebook上评论道：霍金这样的大牛竟然不懂这个道理？一直以来人们都受够了玩弄政治的政治家，特朗普可能不是最好的反建制派候选人，但他作出了尝试，这已经是我们最好的选择了。他不是妄想家，不觉得自己是统治阶级，他就是想让美国变得更好。而且他是不会被收买的。建制派的民主党人和共和党人，有些东西没法说。

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原文作者：Rachel Feltman，华盛顿邮报记者。

译文作者：小泽，哆嗒数学网翻译组成员，就读于早稻田大学。

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我有很多让自己泄气的经历，对微积分II的学习就是其中之一。我努力学习这门课程，但它还是让我得到了有史以来的最低分。现在回想起来，我不是“不擅长数学”——我只是无法很熟练的记忆公式和定理，这与我用普通话表演戏剧或者写一篇通用电气(GE)工厂的终身环保费用的评论中的表现并不一样。而它和我在麻利地完成化学课程的实验部分时被化学考试呛住是同一件事情：对我来说记住那些东西是既困难又无聊的，可是这对数学学习来说似乎不太好。

当我一周两次地走向极度拥挤的微积分II教室并经过天体物理学系的公告板时，我能感觉到一种内脏搅在一起的恶心感。我知道我在基本的数学学习上做得不够好更别提研究宇宙中的恒星。除非是我能通过考试，并且比周围许多人花在课程辅导上的时间更少，作弊也更少，要是这样，我就能扎紧我的马尾辫并全心全意投入几年的物理和数学课程的学习中。我曾经如此渴望过。

【性别差异：研究发现，女性在需要努力工作的领域受欢迎，然而“天才”的领域还是在男性主导下。】

根据星期三的PLOS ONE上发表的研究，微积分可能实际上是女性在通向STEM道路上一个常见的流失原因。性别差异在缩小但是没有完全消失——根据美国劳动力统计局的数据，女性构成了国家总劳动人口的47%，但是女性在其中，只占到化学家和材料学家总数的39%，环境学家和地球学家总数的28%，化学工程师的16%以及土木工程师总数的12%。许多研究员在寻找女性教育中可能因为性别偏差而被过度消极对待的问题点。新的研究表明大学里的微积分I课程可能是一个主要转折点。

作为领头研究员的科罗拉多州立大学数学系助理教授的Jess Ellis说她没有打算去研究性别差异：她的工作被国家科学基金会资助并受美国数学协会的帮助指导。她的工作致力于在整体上了解微积分教学在全美的总体情况。

【即使他们看到了证据，男性（在网上）也不相信性别歧视会在科学研究领域里是一个问题。】

在微积分I考试的前后，全国范围内有14000名学生接受了调查（在分析中只包括了5000人提供的足够完整的数据，但是那依然使得这个研究是此类研究中涉及范围最广的）。他们被要求回答关于对STEM学位的兴趣和追求STEM学位的意向，同样还包括了他们的考试成绩，经历和背景的一些问题。

Ellis想知道那些本计划坚持学习微积分II的学生是否真的在学完微积分I后继续学习，并且想看看她是否可以在那些学生的经历中找到可以解释原因的某种模式。

“分析数据时我们意识到不同的性别似乎是一个主要的差异并决定深入调查。”Ellis告诉华盛顿邮报。

男性和女性学生回答了关于他们抛弃微积分的决定，其结果相当一致--除了一个明显的例外：

不超过五分之一的选择不继续课程的学生因为分数太低无法继续学习（无论性别）。但是在选择STEM专业的学生中，认同“我不认为我在微积分I的理解足以好到让我继续学习微积分II”这一观点的女性的数量是男性的两倍多。

“作为老师这很令人伤心，但也在意料之中。”Ellis说到，“我曾经教过很多在数学上有很强思维的女性学生，但是她们对自己的信心却和她们的能力不相匹配。”

【新的研究表明，大脑实际上并没有“男性”和“女性”之分。】

当然，有人可能会争论说女性是正确的，也许她们真的无法像男性那样把微积分理解得很好。但是男性和女性在数学上的表现的差别更可能是在文化上的而不是大脑上：研究发现男性和女性几乎都潜意识里假设男性在数学上表现更好，而且这个偏见甚至可以影响小学老师给年轻男生和女生的数学作业打分的方式。研究发现，和男生同样的作业，那些被老师打了低分的女生，她们长大之后在数学方面做得更糟，然而男孩变得更加自信。

最近的研究发现如果女生父母是来自性别比较平等的国家的话，她们在数学上的表现更有可能赶上男生。一些研究员甚至暗示我们国家的STEM隔阂可能是特权和性别定式化混合的结果：“我们的国家能够很大程度上能支持公民的个体奋斗，使得孩子们可以找到使他们幸福和成功的工作。但是课堂里有这么多的无意识的偏见，也难怪许多女生认为她们成功的最好机会只在科学领域之外。

Ellis和她的同事希望她们的新数据能够鼓励各个阶段的老师，尤其是那些教微积分I的老师，让女性通往STEM的路上不再因为上面的原因而流失。她们也在深入挖掘那些来自少数族裔，低社会经济地位和拥有第一代移民背景的学生的动向的数据。

但是让女性学习微积分II并不能解决所有科学领域里的性别问题。流失的原因很多，不一而足。

【科学研究的性别歧视：同龄的编辑告诉女性研究者她们的研究需要一个男性作者。】

“有许多工作研究在STEM生涯的不同阶段的男性和女性的经历，并表明随着时间推移的不同经历。在学院人员设置方面，这些经历可能和手稿的审查，终身职位和升职决定还有休假奖励有关。我没有意识到这其中任何一个直接地影响我的工作，但是我意识到这本身就是一种可能性。”Ellis说。

还有一个老生常谈，在STEM领域工作的女性，不论是学生还是教授更有可能面临性骚扰。这个问题在今天越来越突出，要让学术界像欢迎男性一样欢迎女性的加入，依然有很多工作要去做。

即使“性别歧视不好并应该被抛弃”这句陈述对你没什么用，但还是有很多原因去强调这个事情。下一个十年，估计STEM领域能够高速发展，几百万本应该进入STEM领域的工作人员却没有成为这些领域的毕业生。白宫发起倡议安排这些更多的STEM工作人员走上学术道路，而且针对性别平等的工作将会使人才储备扩大很多。
 

 “作为一个团体，我们需要正视研究已经展现的东西，以及研究在字面以外蕴含的东西，STEM领域里工作力人口总数和可能对这个领域做出贡献的人口总数不相称，并且我们可能会因为在STEM领域中有了更多样化的视角而获益。”Ellis说。

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原文作者：陶哲轩，加州大学洛杉矶分校数学教授，2006年菲尔兹奖得主。

译文作者：念琦，哆嗒数学网翻译组成员，就读于东北师大附中。

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注：以下是对我做了一些评分工作之后产生的新想法和有关计算的记录。这个类型的问题可能已经在某些文献中被研究过了；我很乐意了解任何相关的资料。

假设一次考试中有N道判断对错题，每道题的答案是随机的，即答案是“对”和“错”的概率相等，并且不同的问题之间没有关联。假设参加考试的学生必须用“对”或“错”回答每一道题（不允许跳过任何一道题）。

那么我们很容易知道如何评分：只要数一数每个同学正确回答了多少道题（也就是每道题回答正确得一分，回答错误不得分），并将这个数字k作为考试成绩即可。

更普遍的情况是，我们将每道回答正确的题的得分记为A，每道回答错误的题的得分记为B（通常是一个负数），那么总分将是 Ak+B(N-k)。只要A＞B，这种评分方案就相当于对前一种直接把k作为总分的模式进行了改变比例的变换，并且同样可以达到评价学生和鼓励学生尽可能多地正确回答问题的目的。

然而事实上，学生很可能不能绝对确定每个问题的答案。

我们可以采取一个概率模型，即对于一个给定的学生S和一个给定的问题n，学生S认为问题n的答案为“对”的概率是p(S,n)，而答案为“错”的概率是1-p(S,n)，其中0≤p(S,n)≤1，p(S,n)可以被看作一个衡量学生S对这个问题的答案的自信程度的量（若p(S,n)趋近于1，则S对于答案是“对”有信心，反之若p(S,n)趋近于0，则S对于答案是“错”有信心）；为了简化问题我们假定在这个概率模型中，每个问题的答案都是相互独立的随机量。

考虑这个模型，并且假设学生S希望最大化自己的得分，我们很容易发现S回答问题的最优策略是当p(S,n)＞1/2时回答“对”，当p(S,n)＜1/2时回答“错”。（如果p(S,n)=1/2，S可以任意选择答案。）

 [注意：这里的“自信程度”不是统计学中的术语“置信度”，而是一个描述主观概率的非正式用语。]

就现状来说这样还不错，但是对于评估学生究竟掌握知识到何种程度的目的，它只提供了一些有限的信息，尤其是我们不能直接看到学生对每道题的自信程度p(S,n)。

举例来说，假设S在10道题中回答正确了7道，那是因为他或她确实知道这七道题的答案，还是因为他或她对这十道题作出了合理推测，使得最终的正确率略高于随机猜测的正确率而达到70％呢？看起来如果学生只被允许回答“对”和“错”，我们没有办法辨别这两种情况。

但如果学生可以给出概率性的答案呢？也就是说，对于给定的问题n，学生不是只能回答“对”或“错”，而是可以给出一个如“答案是‘对’的可能性为60％”（因此答案是“错”的可能性为40％）的回答。这样的回答使我们更加了解学生掌握知识的程度；更重要的是，理论上我们将可以确切地知道学生对每道题的自信程度p(S,n)。

但是现在，如何评分变得难以确定了。假设100％确信正确答案的回答得一分，60％确信正确答案的回答应该得多少分？60％确信错误答案（等同于40％确信正确答案）又应该得多少分？

数学上，我们可以选择评分函数f:[0,1]→R，当学生对正确答案给出的可能性为p时，得分为f(p)。例如，如果学生认为“对”的可能性为60％（因此“错”的可能性为40％），在这个评分方案下，如果正确答案是“对”，学生的得分为f(0.6)，如果正确答案是“错”，得分为f(0.4)。我们的问题是：在这种情况下最合适的函数f是什么？

直观地，我们认为f应该单调递增——对于正确答案有较高自信的学生应该得到比对正确答案自信较低学生更高的分数。另一方面，后一种学生也应该得到一部分分数。一种想法是采用线性的函数f(p)=p，即对正确答案给出60％自信的学生将得到0.6分。但这是最好的选择吗？

为了使这个问题在数学上更明确，我们需要一个客观的标准来评价评分方案。这里可以采用的一种标准是是否避免了不正当奖励。

如果一个评分方案设计得不好，学生最终可能会夸大或故意少说自己对答案的自信程度，以此提高自己的（期望）成绩：对于一个学生，一道题的最优回答q(S,n)可能与其主观的自信程度p(S,n)不同。因此我们可以设计一个总能使得q(S,n)=p(S,n)的评分方案，从而激励学生真实地写下他或她对此题的自信程度。

这是对评分函数f的一个明确约束。如果学生S认为问题n的答案为“对”的可能性为p(S,n)，答案为“错”的可能性为1-p(S,n)，而作答时回答答案是“对”的可能性为q(S,n)（因此“错”的可能性为1-q(S,n)），学生对这道题得分的期望为

为了使这个期望最大化（假设函数f可导：在一个部分给分的评分方案中这是一个合理的假设），学生会执行对独立变量q(S,n)求导并使结果为零的策略，得到

为了避免不正当奖励，期望的最大值应在q(S,n)=p(S,n)时取到，因此我们有

对于所有0≤p(S,n)≤1成立。这要求函数p→pf'(p)为一常量。（严格地说，应是要求函数p→f'(p)关于p=1/2对称；但是如果将问题推广到不止两个选项的多选题的情况，对于只与正确选项的自信程度有关的评分方案，同样的分析将得出pf'(p)必为一与p无关的常量的结论；这个计算留给感兴趣的读者完成。）

也就是说，f(p)应为Alogp+B的形式，其中A,B为常数；根据单调性，A为正数。如果我们规定f(1/2)=0（即“对”和“错”的自信程度各占50％时不得分）以及f(1)=1，我们就得到了评分方案

因此，如果一个学生认为答案是“对”的可能性为p，答案是“错”的可能性为1-p，如果正确答案是“对”，他或她将得到

的分数，如果正确答案是“错”，他或她将得到

的分数。下表中的值可用于说明这种评分方案：

我们注意到对于错误答案自信程度很高时惩罚会很严重；尤其是，学生会避免回答对某个答案有100％的自信，除非他或她真的绝对确信自己的答案。

在这个评分方案下，若学生S对每个问题n的回答是答案为“对”的可能性为p(S,n)，答案为“错”的可能性为1-p(S,n)，则总分为

这个分数也可以被写作

其中，

是给定正确答案的情况下学生S的主观概率模型（即学生S的答案）的似然函数。因此这里的评分系统还有一种对数似然函数的解释。它激励学生使自己的主观概率的正确可能性最大化，这与统计学中的标准做法（最大似然法）一致。

根据贝叶斯概率的观点，学生的分数可以被看作对学生的主观概率模型为正确（接近正确答案）的后验概率比先验概率高出多少的（对数尺度下的）量度。

我们可以用上述的评分方案评估对二元事件的预测，例如对于即将到来的只有两名候选人的选举，就可以在事后看看各预测者的预言起了多大作用。

这样做会遇到的一个困难是很多预测都不会给出一个明确的概率，而如果对任何并非完全确定的预测给出了默认100%的主观概率，只要其中任意一个预测错误，就必然产生-∞的得分。

但是如果预测者拒绝给出明确的概率，或许我们可以设计一个默认的主观概率p，并且（选择一些合适的该预测者做出的预测作为“训练样本”）找到使该预测者得分最高的p值。这个值作为默认概率可以被用于该预测者此后做出的任何预测。

以上的评分方案很容易推广到多选题的情况。但是我遇到的一个困难是如何处理不确定性，也就是学生甚至无法给出一道题的答案为“对”或“错”的可能性的情况。

这时，允许学生空题（也就是回答“我不知道”）是很自然的；更加高级的选项是允许学生以一个自信程度的区间作答（例如“我认为答案为‘对’的可能性在50%到70%之间”）。

但是对此我还没有一个很好的评分方案；一旦学生的主观概率模型中出现不确定性，由于“不确定的不确定概率”，最大化学生分数的期望的问题就会是不适定的，因此之前使用的判断是否避免了不正当奖励的标准也不再适用了。

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原文作者：Kevin Knudson，佛罗里达大学数学系教授。

译文作者：Y. W.，哆嗒数学网翻译组成员,就读于北京四中。

校对：donkeycn

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我们都玩过连线游戏。一张图上有一组标好号的点，我们从数字1开始一个个连线段，一直连到最后就能看到一个图案。
 

上面这个连线游戏的图案是太阳。

 
这简单的连一个小孩儿都能做，更别说一个数学家了。

因为我们的点是有顺序的，而且我们知道要按顺序连点，所以我们可以玩这个游戏。但是，在实际生活中，我们经常遇到没有标号的点。那怎么连点才能连出一个有意义的图片呢？

我们可能不想把离的太远的点连到一起，比如我们不太可能想到把上图中在整张纸的两侧的1和13连到一起。那么到这里就需要一个标准了，到底怎样算远？怎样算近？这里可以参考沃罗诺伊图。

给定平面上的一些点，平面被划分为相应的区域（每个平面上给定的点对应于一个区域），使得每个区域中任意一点距对应的给定点比距其它任何给定的点都近，每一个区域被称为一个沃罗诺伊胞腔，这样就得到了沃罗诺伊图。下面是一个例子（一张平面上有八个点的沃罗诺伊图）：
 

画一张沃罗诺伊图并不难：首先作出任意两点的垂直平分线， 这些垂直平分线形成了沃罗诺伊胞腔的边界。举个例子，在上面的分割中，中间的红色胞腔包含了距离中央的给定点距离比距离其他给定点近的点。虽然这个红色胞腔是一个有界的区域，但是其他的胞腔可以是无界的（比如右上角紫色的胞腔 ）

当我们完成了这一步，就可以开始德劳内三角剖分了。德劳内三角剖分就是按照一个特定的规则连点。形式上，德劳内三角剖分是沃罗诺伊图的对偶图。但是如果你不知道上面这句话的意思，也没关系，因为这个过程很容易描述，只要对应点的沃罗诺伊单元胞腔有一公共边，我们就把它们用一条边连接起来。这保证了我们只连接“近”的点，而非 分别位于给定点集两侧的2个点。

那么，我们刚刚连出太阳的图会变成什么样子呢？来看看下面的沃罗诺伊图（给定点集的沃罗诺伊胞腔）。

好像和数字没有什么关系……不过没关系，现在来看看在沃罗诺伊图上建立的德劳内三角剖分（黑线为德劳内边）

现在我们可以看到一个暗藏的太阳了。但是，我们不仅连上了相邻的点，还意外连上了几个在圈 上的点。总的来说还是不错的，而且这个方法也很简单。 虽然这样，还是有一些问题的。这个方法可以在更高维的空间中运用，但计算会变得繁琐。 给定d维空间中的n个点，对应的沃罗诺伊图具有n^(d/2)(n的d/2次方) 个点。也就是说，如果d比2大很多的时候，要得到相应的沃罗诺伊图，将会不胜其烦。

沃罗诺伊图有一段广为流传的历史，包括在解决1854年伦敦霍乱爆发事件中著名的应用。医师约翰•斯诺通过不同的井分割城市，从而排查致病的水源。德劳内三角剖分还应用在在国土建模和其他曲面的可视化中。随着新计算技术的到来， 寻找能更好应用德劳内三角剖分（“应用德劳内三角剖分”改为“得到沃罗诺伊图”）的算法已经变得非常重要。

麦克•波斯多克使用机场的位置作为给定点划分的美国地图，我个人最喜欢的沃罗诺伊图。

詹森•戴维斯制作了一张世界机场沃罗诺伊图。这张沃罗诺伊图可以让你旋转地球表面。（传送门：https://www.jasondavies.com/maps/voronoi/airports/）建议你看看这个，挺好玩的。

现在你知道数学家是怎么连线的了，这可不仅仅是一个小孩玩的游戏哦。

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原文作者：JAG BHALLA，科普作家。

译文作者：mathyrl，哆嗒数学网翻译组成员,软件工程师。

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科学的“菜谱”中有一道新的热门食材。可以让科学变得更加美味，而数学方程却无法实现。在关键的转变过程中，需要更好的语言来实现。

1，    科学通常用数学关系来组织数据。然而Joscha Bach等物理学家们，正在刷新关于自然界“由数学写就”的观点，重新描绘宇宙为“非数学的，而是计算性的”。

2，“计算不同于数学”，数学大多是不可计算的（＝不可解）。然而物质总是在计算（它总是知道该做什么）

3，对于Bach来说，物理学是关于“找到一个能够重现的算法”的数据。他称之为计算主义（computationalism），然而“算法形态主义（algomorphism）”更好地强调了算法的结构。

4，就像菜谱那样，算法有详细操作指令和操作步骤。除了Bach的可计算性的愿望之外，算法可以更好地表达顺序和条件的关键特性。

5，受过训练的物理学家们所热爱的代数方程语言（Algebraic Equation Language ，AEL）有着致命的局限性（经典案例“三体问题”）。

6，AEL的语法暗藏着更深层次的逻辑影响。X+Y＝Y+X，但是“车在马之前”≠ “马在车之前”。顺序通常有重大影响（在实际生活中，即使不在代数方程语言语法里）。

7，一些人寻求只有代数方程语言的世界。Sabine Hossenfelder曾发出挑战：是否有任何人能够“写下任何……允许……自由意志的方程”。也许AEL不能描绘所需的场景？

8，Freeman Dyson说过“将物理学以外的其他科学归约到物理学并不可行”。将活细胞看作只是“一堆原子的组合”并不是最合适的。

9，构成你身体的那一堆原子执行着令人吃惊的复杂过程，组织策划着数万亿计的组成原子（＝大量有序的，完全算法的，非代数的）。

10，生物学也需要算法逻辑，因为现实生活不可避免地涉及到选择（例如选择避开什么以免被吃掉）。算法提供了一种自然适用于描述选择的语言。而AEL 难以表达诸如“如果有捕食者就马上逃跑，否则就吃青草”这样的规则。

11，自然选择本身就是一个元算法。同样，经济学（～生产力选择）也是算法的（不幸的是建模者主要用AEL来描写它）。

12，宇宙中的行为富含算法。物理学已经描绘了大部分适用于AEL的场景。但是现实生活的经验模式里展现了更丰富的逻辑。

13，选择是关键（正如选择正确的语言），即使是无生命的系统——例如计算机——也体现出选择逻辑。

14，婴儿，需要强大的因果关系探测器来区分两种模式类型－－物质的东西（＝非选择）和有生命的东西（＝展现“偶然性模式”）

15，如果一个系统能够用像电荷工作方式的“选择商（choosing quotient）”CQ来描述，将会怎样呢？带电的东西（净电荷>0）与不带电的东西所做的事情不一样。也许CQ>0的系统用能量做出的反应不同于CQ＝0的系统。

16，因果性本身可以看作是允许算法可计算的状态之间的转移。

17，AEL 不能有效地描绘所有的经验模式。而算法提供了一个更丰富的调色板。

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图片来源于Julia Suits，纽约漫画家，《The Extraordinary Catalog of Peculiar Inventions》一书的作者

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原文作者：Marc A. Murison，美国海军天文台，华盛顿特区。

译文作者：

radium，哆嗒数学网翻译组成员,就读数学专业

donkeycn，哆嗒数学网翻译组成员,​华东师范大学数学博士

校对：小米

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摘要

我们呈现了一个开普勒方程的数值解法。这个方法实用又快捷，同时对CPU的运行时间进行了优化。 

关键词： 天体力学    二体问题       开普勒方程

1、    引言

开普勒方程联系了线性流逝的时间与非线性的两个天体m1和m2相对于它们的质心做开普勒运动时的相对角位置。即：
               

       (1)

其中E是偏近点角，e是轨道离心率（或轨道偏心率），M (t) = n (t − τ )是平近点角，n是该二体运动的平均角速度，τ是行星经过近日点(注：此时可认为是行星绕恒星运动，近日点即行星与恒星距离最短处)的时刻，a是椭圆轨道的半长轴，a与n满足n²=G(m1+m2)/a³。参见下图。
 

我们将在这里概述如何推导一个开普勒方程的数值解法。理想情况下，一个方法是否实用，应该看它是否同时具备以下两种特质：（1）计算E的CPU时间是否最小化（2）程序的复杂度是否最小化。这两个需求往往是互相制约的，但幸运的是我们可以找到一个折中的方法来解决这个矛盾。一个更详细和完整的方法会在另一篇文章中讨论，这里我们主要强调实用性。

开普勒方程是超越方程，故它的解只能通过迭代法得到。因此，任何一个数值设计的过程都有两个任务。第一个任务是设计迭代循环中的逼近算法；这个逼近算法需要重复直到结果达到令人满意的精度。一般说来迭代公式所用的阶数越高，迭代所需的次数就越少。然而，更高阶的迭代公式将使得公式的表达式变得十分复杂，这将极大地耗费CPU的运行时间。因此，无论我们选择何种算法，一个适当（通常是比较低）的阶数会使得CPU的时间耗费最短。第二个任务是选择一个迭代循环的初始值，初始值选的越精确，循环将收敛的越快。选择初始值的方法不需要和迭代方法一样，哪怕极其相近。类似于迭代算法，对于一个给定的确定初值的算法，将有一个理想的阶数能够最大限度地减少CPU的时间耗费。

接下来我们将给出一个特别简单的确定初值的方法，在那之后会给出一个快速迭代法。而第五部分，我们列举的其他研究成果表明，这里总结出的对于每种方法的阶数的选法都是理想的。紧接着是一个使用这些方法的快速和傻瓜式的程序。幸运的是，你将吃惊地发现它十分简单，而且很容易移植到各种数值计算语言。

2、    初值法

由于我们必须用迭代法求解开普勒方程，我们给循环迭代的初始值越精确，效果就越理想，至少在迭代表达式的复杂性变得令人反感之前应该是如此。我们有开普勒方程

              （2）

在离心率为0的这个极限情况下，我们有E = M；这是最简单的初始值近似。因此方程（2）暗示了如下改进此近似的简单迭代公式：

                 （3）

其中初始条件E0 = M。我们可以对迭代递归表达式（3）进行反复迭代，直到得到我们希望达到的E的任意高的阶数。例如三阶近似公式：

   （4）

公式（4）对应的计算时间最优化的三阶伪代码如下： 

KeplerStart3 := proc(e,M) 
local t33, t35, t34; 
t34 := eˆ2;
t35 := e*t34; 
t33 := cos(M); 
return M+(-1/2*t35+e+(t34+3/2*t33*t35)*t33)*sin(M); 
end proc;

3、    迭代法

因为（1）是超越方程，无论是数值求解还是解析求解，我们都必须使用迭代法。所以当给定一个具有一定误差E的时候，我们必须找到一个迭代公式，使其返回一个误差更小的近似值。同时它也必须是收敛的。基于这种情况，我们按如下方式改写方程（1）：

               （5）

式(5)中，f(x)= 0的解是x = E 。设ε=x-E是用x近似E时所引起的误差。将f(x)在x = E处进行泰勒展开，我们得到

 （假设 ε 充分小）

只考虑式(6)到ε的1阶项，求解可得

        （7）

我们可以把这个作为一阶迭代公式的核心部分。假设我们一开始的猜测是x = x_0，那么x_1 = x_0 + ε比x0更接近于E。我们得到如下一阶迭代程序：

   （8）

其中初始值x0的取值将在后面讨论。由(8) 我们可以得到一个单步一阶迭代方法来估计E_{n_1}=E_n – ε_n 。式(8)对应的伪代码程序是

eps1 := proc(e,M,x) 
return (x-e*sin(x)-M)/(1-e*cos(x));
end proc;

现在把ε的二阶项考虑进去，方程（6）的霍纳形式是

 （9）

在方程（9）中令f (x − ε) = 0，整理得到如下形式：

     （10）

我们可以通过分析方程（8）来创建一个二阶迭代形式：

    （11）

我们还可以创建一个两步迭代过程，具体过程如下：首先计算方程（8）给出的ε_n ，然后计算方程（11）给出的ε_{n-1}。我们也可以直接跳过中间步骤，直接把方程(7)给出的ε_n代入方程（11），得到单步迭代为

 （12）

关于方程（12）的一个优化后的伪代码为

eps2 := proc(e,M,x) 
local t1, t2, t3;
 t1 := -1+e*cos(x); 
t2 := e*sin(x); 
t3 := -x+t2+M; 
return t3/(1/2*t3*t2/t1+t1); 
end proc;

关于函数f(E) = f(x − ε)的三阶近似的霍纳形式为

   （13）

令方程(13)为0，解出“最外层”ε，放在右边，我们有方程：

  （14）     

（在方程（14）中我们或许可以用方程（12）代替ε_n使其变为二步迭代方法，或在方程（11）中用方程（8）代替ε_n变为三步迭代方法。又或者，我们可以在（14）中直接用（12）代替ε_n，从而得到一个单步三阶方法，后者优化后的伪代码为

eps3 := proc(e,M,x) 
local t1, t2, t3, t4, t5, t6; 
t1 := cos(x);
t2 := -1+e*t1; 
t3 := sin(x);
t4 := e*t3; 
t5 := -x+t4+M; 
t6 := t5/(1/2*t5*t4/t2+t2); 
return t5/((1/2*t3 - 1/6*t1*t6)*e*t6+t2);
end proc;

我们可以继续利用这种方式到更高阶的形式。

4、    真近点角与偏近点角之间的互相推导

如果有人需要使用真近点角θ 而不是偏近点角E，我们可以参考前面的图对它们进行转换。由图可知，位置向量的大小可以写为：

  （15）

观察图1，我们有

  （16）

从方程（16）我们可以推导出

 和  （17）

从方程（17）用θ反解出E，我们得到

 和    （18）

因此，在必要的情况下，我们可以使用迭代程序去求解我们开普勒方程中的E，然后使用方程（17）解出θ。

5、    总结：一个有用的数值方法
 

（作为初始值精度 (Nstart)和迭代阶数(Niter)的二元函数，等高线表示在每一个(Niter, Nstart) 点上求解160000个开普勒方程花费的CPU总时间。这160000个方程的e和M从{ R×R:e∈(0,1),M∈(0,π)}的一个等间隔400×400网格域中选取。从上图看，每个方法的三阶算法都接近最优）

广泛的数值测试（参见图2）表明，三阶迭代，不论是对于初值法，还是迭代法，对比以前用的方法，在节省时间上更优。

这是一个在数值上利用优化后的三阶迭代和初始值方法求解开普勒方程的程序。

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作者：陈刘，哆嗒数学网群友，就读于西华大学。

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在这个安静的夜晚，刚看了一篇关于哥廷根应用力学学派思想发展的综述论文，思索再三，终于敲打起键盘，写我喜欢的应用力学。应用力学的思想精髓是什么？应用力学研究什么？应用力学的发展历史是怎样的？有哪些著名的力学大师？我国的力学发展情况？我会就我个人的看法，一一回答。总之，仅代表我个人的看法，望能激起你对应用力学的兴趣。
 

应用力学，我个人认为是沟通自然科学与工程科学的桥梁，从生活实践中提取，归纳理论，进而形成规律，然后运用于生活，这便是其思想精髓。自然科学侧重探索自然的奥秘，工程科学侧重运用理论解决生活实践中的实际问题。理论在与实践结合的过程中，力学扮演了重要的角色，处于核心地位。

那么，应用力学的研究内容主要有哪些了？我举具体的例子说明这个问题：

力学就其历史上经典的门类，可以粗略的分为固体力学，流体力学（现在还有物理力学，生物力学等等）。在二十世纪以前，弹性理论，流体力学是理论物理的一部分。在后来的发展过程中，弹性理论主要运用于分析材料的力学性能，形成一门经典的学科，也就是固体力学。现在，我们大学开设的工科力学基础课程就包括，材料力学，弹性力学，结构力学，还有建筑系的建筑力学，可以说都是固体力学的一部分。固体力学就完成了力学在工程实践中的应用，但同时和物理保持着深刻的联系。流体力学在当时也是理论物理的一部分，至今在某种程度上也可以说是理论物理的一部分。流体力学的分支学科包括：空气动力学，多相流体力学，燃烧学，湍流与流动稳定性等等。可以这样说，流体力学既是基础科学又是应用科学。

空气动力学主要应用于航空航天领域，解决飞行器飞行过程中的具体问题，包括：激波，边界层减阻，音障突破等。多相流体力学主要研究汽液固三相物质之间的相互作用。简单的例子就是，气泡在液体中的生成和溃灭现象；以及海洋中，海水与固体建筑物，船只等的相互耦合作用。燃烧学的应用非常广，比如在发动机领域，燃烧室的燃烧现象是一个涉及面广且困难的问题。燃烧现象涉及到复杂的热化学反应，复杂的湍流运动，还有各种未知的环境影响，综合来说，燃烧学是一个与流体力学结合紧密的学科，了解燃烧现象，对很多基础学科都有本质上的进步。湍流与流动稳定性领域，主要研究流体如何从层流状态过渡到湍流状态，以及流体在湍流状态后的一切动力学特征。这是一个非常困难的领域，世界各国都有很多科学家致力于湍流的研究。从哥廷根大学的应用力学研究所开始，普朗特曾致力于湍流的研究，提出了著名的“混合长度理论”；普朗特的学生，冯•卡门也曾孜孜不倦的研究湍流，写下了著名论文《湍流的力学相似原理》。这些领域的应用，都说明了流体力学既是一门重要的应用学科，同时又是一门重要的物理科学，从而也论证了，为什么力学是联系自然科学和工程科学的桥梁。

应用力学的发展历史是怎样的了？我才疏学浅，仅就我所了解的范围斗胆谈论这个问题，恳请有识之士批评指正我，并改正，补充和完善相应的内容。
在哥廷根应用力学研究所建立以前，我所知道的力学大师有泊松，欧拉，达朗贝尔，阿佩尔，拉格朗日，拉普拉斯。我们能发现，其实我所列举的力学大师更准确的说，应该称为数学家。没错，我曾在费米的传记中看到一段话，在当时的意大利，力学都是由数学系的老师授课的，也就是说，力学是作为数学系的一部分，这个现象在当时很多国家都是类似的。
      

      

在哥廷根应用力学研究所建立以后，力学作为一门独立的学科逐渐开始从数学，物理中分化出来。在二十世纪初叶，哥廷根是世界的数学中心，有着深厚的数学底蕴。高斯，黎曼，希尔伯特，克莱因都是鼎鼎有名的数学大师。同时，在哥廷根大学还有一个传统，就是既要在纯粹数学领域深入研究下去，另外还要把数学应用于生活，以及其他科学领域。从高斯起，哥廷根大学就坚持着这个传统。所以，我们会发现，高斯既是一位数学家，又是一位在物理学领域颇有建树的物理学家。
      

在希尔伯特和克莱因作为哥廷根数学领袖的时候（二十世纪初），希尔伯特更侧重纯粹数学的研究，但也支持相关的物理学研究（曾支持波恩建立物质结构研究所，海森堡曾在这里学习）。与此同时，克莱因较侧重应用数学的研究，建立了哥廷根应用力学研究所，邀请著名科学家普朗特带领应用力学研究所。两位数学大师在各自的信仰下，使数学在各个方面蓬勃的发展。

应用力学研究所成立以后，力学进一步蓬勃的发展。当时的哥廷根，力学主要在固体力学和流体力学方面得到了充足的进步。后来应用力学研究所又继续分为流体力学研究所，由普朗特主持；以及空气动力学研究所，由贝茨任主任。此后，应用力学研究所有着许多成果：托儿明研究了非定常边界层的稳定性；尼姑拉兹在管道的阻力方面做了一系列的开创性实验；贝茨研究了翼型阻力；阿克莱特研究了超声速流相似律和吸气边界层等等。

应用力学研究所培养了一个时代的力学大师，冯•卡门，铁摩辛柯都在应用力学研究所学习过。学成的冯•卡门更是培养了一个时代的力学家。我们国家的钱学森先生，钱伟长先生，郭永怀先生都师从于冯•卡门。

总之，从哥廷根应用力学研究所建立开始，力学作为真正的科学开始在自然科学和工程科学间建立起沟通的桥梁。
有哪些著名的力学大师了？

当然，我所列举的力学的大师，可能存在我个人的偏爱。

普朗特，当之无愧的力学大师，开创了哥廷根应用力学研究的先锋，并使工程科学的思想开始生根，发芽。

泰勒尔，英国著名的流体力学家，湍流统计学派的代表。

冯•卡门，继续把哥廷根应用力学的工程科学思想发扬光大，把空气动力学应用于航空航天，取得了相当大的成就，著名的卡门涡街应该是人人皆知。并培养了钱学森，钱伟长，郭永怀等我们国家一个时代的科学家。

巴彻勒，英国著名的流体力学家，师从泰勒尔，在局地均匀各向同性湍流中取得了很大的成就，同时开创了悬浮流体力学的研究，也是剑桥大学应用数学与理论物理系的创始系主任。我曾看过我国著名物理学家温景嵩老师对巴彻勒老师的回忆，深深感动于巴彻勒老师的品质。我对我自己的要求是，一定会去剑桥大学，去看看巴彻勒老师工作过的地方，巴彻勒老师也是我前进的目标。

科尔莫果洛夫，前苏联著名的数学家，力学家。提出的湍流“负5/3律”，至今都是，湍流领域的重要成果。

铁摩辛柯，著名工程力学家，被誉为“现代工程力学之父”。

周培源，我们国家著名物理学家，力学家，在湍流统计领域取得了巨大成就，对我国的力学事业做出了巨大贡献。
      

还有很多力学大师。我个人认为，前辈们的品质，纯真好奇心的求知，值得我们用心学习。

我国的力学发展情况是怎样的？我国力学学科的发展，我认为有两个平行的方面。

第一个方面是周培源教授带领下的湍流研究，使我国的湍流研究在国际上有一定地位。第二个方面是钱学森先生，钱伟长先生，郭永怀先生在二十世纪五十年代回国后所做的贡献。钱学森先生，郭永怀先生创建了中科院力学研究所。中科院力学研究所为我国的火箭发动机，风洞研究做出了巨大贡献。今年，我国发射了首颗微重力研究卫星，力学所是主要负责研究所。随后，钱学森先生还在中科大成立了近代力学系。钱伟长先生在上海建立了应用数学和力学研究所，进一步发扬工程科学思想，把数学理论应用于生活实践。

简单的叙述，也就到此为止了，这些都是我平时看的点滴，肯定有叙述不当或错误的地方，望亲爱的读者能批评指正，更希望能激起你对力学的兴趣。我了，也得踏踏实实努力，继续在力学考研的道路上前进啦，共勉。

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