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根据2017年3月21日，挪威阿贝尔数学奖官网消息。77岁的法国数学家伊夫·梅尔（Yves Meyer）因为其在小波数理理论发展的关键贡献，被授予2017年阿贝尔数学奖。奖金为600万挪威克朗，约合75万欧元，485万人民币。颁奖仪式将在2017年5月23日，在挪威奥斯陆举行。
伊夫·梅尔被认为是小波理论的创始人之一。现在，小波理论的应用非常广泛，只有设计到“信号”或者“编码”概念的领域中大概都能有小波理论的用武之地，比如信号处理、图像处理、量子物理、生命科学、医学、地球物理、语言识别、语音识别、气象科学、金融工程等等领域都或多或少的能见到小波理论的“身影”。
梅尔的研究领域也不止是小波理论，由于在数论、算子理论、同调分析以及小波理论的贡献，梅尔还获得过2010年的高斯奖，应用研究和基础研究都是功勋卓著的。
以下是阿贝尔数学奖宣布获奖会议的视频，会议邀请了陶哲轩来介绍梅尔的工作，6分42秒陶登场。
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作者： e^iπ+1=0，就读于上海科技大学生命科学学院。
投稿可发至邮箱1178853280@qq.com，详情参见征稿说明。
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编者按： 当我们进入大学,开始大学数学学习的时候，我们发现，尽管我们还是从熟悉的集合、函数的概念学起，但总觉得有哪些不对。函数的样子变得更奇怪，更抽象。那些奇怪的函数，被称作病态函数。此文就是为刚刚学习大一数学的人们，简单的拆解一下两个著名的病态函数。
数学的抽象性体现在很多地方，简单的例子如对于高维空间的探讨，又比如对无穷的探讨，都给人高度抽象的感觉。其实所谓抽象，很多时候和反直观或者不直观联系在一起。说道反直观，有一类函数不得不提，那就是病态函数，字面上很容易理解，就是“不正常”的函数，他们具有反直观想象的性质，甚至可称得上是数学家的梦魇。庞家莱曾将魏尔斯特拉斯举出来的病态函数的例子称为“一种对常识的蹂躏”。但是，在数学中，研究病态函数是很必要的，他们的存在丰富了我们的视野，加深了对于数学的了解。
最有名的病态函数的例子莫过于以下两个：
（a）狄利克雷函数
（b）魏尔斯特拉斯病态函数
a≥3是一个奇数，b是严格介于0与1之间的一个常数且满足ab≥1+3π/2，则函数是处处连续和处处不可微的。
第一个函数相信大家都不陌生，在学习函数连续性的时候都会有所接触，包括在学习黎曼积分的时候应该对其也有一定的了解。狄利克雷函数处处不连续，它的图像是不可能被严格画出来的，但是大致上是两条平行线。（这样说也不符合事实，因为这两条“直线”处处不连续。）正是这样一个函数，打开了一扇新的大门，黎曼积分。
事实上在黎曼积分之前，数学家和科学家已经能熟练掌握应用一些基本的定积分规则和使用，但事实上这大多并不建立于严谨的体系。直到黎曼的出现，他给出了黎曼积分的定义，从而为定积分带来了福音。
现在依据黎曼积分的定义，我们可以判断这样一个病态的函数究竟可不可积，答案是不可积的。证明其实也很简单，对狄利克雷函数选择相同的分划，但是取不同的介点集，得到的是不同的结果，由此可知黎曼积分不存在。
看起来判定一个函数不可积似乎并没有什么意义，但事实上黎曼积分的出现，是对定积分的一次规范，使得数学家可以在定义和逻辑构造的世界中自由地研究函数，而不是只能对结果做猜测，这是极其重要的。
但是故事并没有结束。虽然黎曼积分判定狄利克雷函数不可积，但是数学家并没有放弃它，相反，一种新的积分定义隆重登场，使得这个病态函数也具有可积性，这就是勒贝格积分。简单来说，黎曼函数是通过划分定义域取介点集，而勒贝格积分则是通过划分值域来操作。一个经典的解释方式是，假设我们手上有一角硬币，五角硬币和一元硬币，现在我们有两种方式去计算总和，一种是将所有硬币一字排开来数，从头数到尾，这等同于黎曼积分，从定义域的下界走到上界一遍；但我们同样有另一种选择，那就是将相同币值的硬币摞起来然后计算每种币值拥有多少个硬币，相乘再相加得到结果，而这就是勒贝格积分的基本思想。
所以我们现在对狄利克雷函数考虑勒贝格积分，狄利克雷函数只有两类值，这里我们选取最初的取值，即1,0的取值情况。那我们可以发现，考虑闭区间0到1上的积分，再将值域分割，考虑值域所对应的定义域的“长度”（术语叫做测度，但是为方便理解这里姑且叫长度），再相乘相加，根据勒贝格测度的定义我们可以得到的是这个和是0。这样一来狄利克雷函数便勒贝格可积了，且积分值为零。
这是数学理念上的一种突破，从定义域的探讨转向对值域的探讨。而且事实证明能够勒贝格可积的函数大大扩增，可见理念上小小的突破换来的可能是一片广阔的天空。
狄利克雷函数的故事其实还有很多，这里暂且不表，让我们转向一个更有挑战性的病态函数。魏尔斯特拉斯病态函数，可能这个函数不如狄利克雷函数有名，但是对于所有学习数学分析的同学这个函数还是应该有所了解的。而这个函数的性质是如此的病态以至于尝尝被认做理性推导对直觉世界的重大打击。
相信大家在学习函数连续性和函数可微性的时候遇到过这样的口诀“可微必连续，连续不一定可微”。是的，函数连续不一定可微，这样的例子数不胜数，最简单的就是绝对值函数y=|x|，在零处连续但是不可微。不知道大家有没有这样的疑问，一个连续函数究竟能不可微到什么程度呢？比如说绝对值函数，虽然在0处不可微，但是在其他点上既连续又可微。那我们猜想，连续函数是不是一定存在可微的点呢？
不幸的是，这个直观上正确的答案是错误的。魏尔斯特拉斯病态函数就是这样的一个例子。首先这不是一个初等函数，而它的图像与狄利克雷函数一样是不可能被严格画出来的。关于这个函数连续但是处处不可微的证明相信上百度能搜索得到，证明的核心思路分两步，先证明其连续（这个学了函数项级数的一致收敛后很容易），再证明其处处不可微（这个就很麻烦了）。证明处处不可微的思路是，每一点对应的导数定义的极限，都可以找到一个子列，使得这个子列的极限是无穷大。但是证明过程相对复杂，这里不赘述，有兴趣可参见《微积分的历程——从牛顿到勒贝格》，这里面的证明不像教科书里那样死板。
但是看过这个证明的人，无不为魏尔斯特拉斯的卓越推理能力折服。他的证明好比是一场气势恢宏的交响乐，证明中的每个部分都承担一部分职责，而魏尔斯特拉斯犹如指挥家将他们整合为极其协调的整体。这种超越直觉的洞见，用定义，逻辑和不等式狠狠地摧毁了直观主义。
这里只介绍了两种比较著名的病态函数，但是这个家族的成员数量远多于此。他们的出现，可以说是对直觉的挑战，是对数学深层次的思考。引用《微积分的历程》的一段评价魏尔斯特拉斯工作的文字来结束全文：
“在持续不断的起伏中，数学家们建立起雄伟的理论体系，然后寻找足以揭示他们思想界限的恰当反例。这种理论与反例的对照成为正确推理的引擎，凭借这种工具，数学得以进步。因为我们唯有知道某些特性是如何丧失的，方能了解他们是怎么样发挥作用的。同样，我们唯有认清直觉是如何把人引入歧途，方能如实地评价推理的威力。”
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如果你曾经制作过时间计划表或者之类的东西，你就会知道这不是一项轻松的工作——这也就是为什么组合数学，一门根据特定的规则设计东西的艺术，能够在数学世界中占有一席之地的原因。最近，正是在这个领域，数学家们有了一些突破。他们发现了一些很多人觉得根本不存在的特殊设计。这些设计所包含的结构非常抽象，但是它们在通讯技术领域很可能大有用处。
理解这一新发现最好的方式是从一个有趣的益智题开始。假设你有一组人，人数为9。每天他们以三个人为一组出去散步。你能做出合适的安排，以保证在四天的散步中任意两个人同组的次数不超过一次吗？
它构成了所谓的斯坦纳三元系：把n个对象（在这个例子中，n=9，对象是人）安排进一些三元组，以使得任意两个对象同组的次数不超过一次。上图显示了一个S(2,3,7)的斯坦纳系，有7个点和7条线（我们把中间的圆也当作一条线），每条线包含3个点，每两个点只同时出现在一条线上。换句话说，这些线就给出了这7个点满足上述条件的三元组。更一般地，一个斯坦纳系S(t,k,n)是指将n个对象安排进一些k元组，并满足任意t个对象在同一个k元组中出现的次数不超过一次（译注：原文为“不超过一次”，但根据“斯坦纳系”的定义，应为“恰好一次”）。
你会问一个很自然的问题：t,k,n取哪些值的时候，存在斯坦纳系？很明显，并非所有的数的组合都能够使系存在。事实上的确如此，我们有一个可除性条件：一个由t,k,n的值所确定的斯坦纳系S(t,k,n)能够存在，t,k,n必须要满足可除性条件（如图所示）。一个重要的结果来自于2014年数学家Peter Keevash的工作，这一结果表明当n充分大时，可除性条件是足够好的：如果n足够大，且t,k,n满足可除性条件，那么一个S(t,k,n)斯坦纳系必定存在。
这一结果包含了斯坦纳系的一个推广。让我们不再去想n个抽象的对象，而是考虑一个由0和1组成的长度为n的字符串（计算机使用这样的字符串，这表明它和信息技术有关联）。对于n=3,这样的字符串有(1,1,1)和(1,0,1)等。对于一个给定的n，所有这样的字符串的集合构成了一个向量空间（此处我们不详述向量空间定义的细节，读者可以参阅任何一本关于线性代数的书）。让我们把这个向量空间记作F(2,n)：2表明在我们的字符串中所出现的不同的符号只有两个（0和1）；n表明字符串的长度。每个向量空间都有一个维数，在这里，维数就是n，即字符串的长度。
正如一个n元集合有子集，一个n维的向量空间也有维数小一些的子空间。这导致我们思考一个类似于斯坦纳系的问题：给定一个向量空间F(2,n)，数字t和k，你能找出F(2,n)的某些k维子空间，使得F(2,n)的每一个t维子空间都只包含于其中的一个k维子空间中吗？如果这样的系存在，我们称其为S(2;t,k,n)。（用数字2也是有可能构成一个向量空间的，数字2在我们的这个例子中告诉我们字符串只由两个符号构成，用别的数q代替2，我们记这样的向量空间为F(q,n)，与之相关的斯坦纳系统记作S(q;t,k,n)）
直到最近，数学家们都认为大家关心的形如S(q;t,k,n)形式的系的具体例子并不存在。不过，Michael Braun, Tuvi Etzion, Patric R.J. Östergård, Alexander Vardy 和Alfred Wassermann实力打脸，他们把这个预言证否了。特别的，他们找到了S(2;2,3,13)形式的几个不同的系。
“寻找过程充满挑战，因为所涉及的结构数目巨大，” Ostergard说，“即使是在高性能计算机的帮助下，寻找它们也是一项艰苦的行动。因此，除了使用代数技巧和计算机，我们也得运用自己的经验去猜测从何处开始搜寻，以缩小搜索的范围。”
数学家们会很高兴，因为这一结果解决了一个长期屹立不倒的问题。然而，这个结果还有一个令人惊讶的实际用处。通讯行业严重依赖于纠错码：这个想法是给信息用某种方式编码，使其即使在传输过程中产生了错误，这些错误也能被自动消除。结果证明，S(2;2,3,13)系统给某种特别的纠错技术提供了最优的编码。“我们的发现并不能直接变成产品，但是它或许将逐渐成为因特网的一部分。” Ostergard说道。最新结果已在Forum of Mathematics, Pi发帖（剑桥大学出版社网站的数学论坛）。
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原文作者：德夫林，斯坦福大学数学教授，英国数学科普作家。
翻译作者：心一，就读于南开大学数学专业。
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一直以来，中学致力于讲授数学的技巧，很少讲数学是什么，学生因此认为数学就是学习并应用相关技巧以解决特定问题的一门学科。这有点像把足球运动看作是运用策略让球进门一样；二者确实点出了一些关键，但同时也丢掉了对整个图景的认识。
当然，考虑到中学课程安排的需要，上述情形容易理解，然而这种安排所导致的后果也不容小觑。尤其在当今世界，对数学的深度，广度，效力以及局限有一个基本的认识对于每一个人都大有裨益。这些年来，我(指Keith Devlin教授)见过许多数学相关专业的人，比如工程，物理，计算机甚至数学专业本身，他们告诉我，从小学到大学一路学下来，他们还是不知道数学到底是什么。只是在后来偶然的情形，当接触到数学某一部分真正的本质时，他们才开始感受到数学的魅力。
Ⅰ 不仅仅是算术
当下科技使用的数学，绝大部分是近三百年的成果，有些甚至只有一百年。然而中学的传统课程，却是至少三百年前甚至两千年前的知识。讲授历史如此悠久的内容无可厚非，正如谚语所云：物尽其用。事实上，八九世纪阿拉伯世界商人为提高交易效率而发展的算术依旧有用，区别只在于他们手算我们用电子表格。随着时间推移，社会进步，对新的数学的需求也日渐凸显，相应的教育也应与时俱进。
据研究，数学始于一万年前数和运算的发明，接下来的几个世纪，古埃及人和古巴比伦人在此前基础上发展了几何学和三角学。对上述文明而言，数学就像菜谱，实用为上(“对一个数或一个图先作这个，再作那个，就会得到想要的结果”)。公元前500年到公元300年，数学进入希腊新纪元。古希腊人对几何有特殊的偏爱，他们用线段长度来表示数字，当发现没有数字可对应的长度时(无理数的发现)，他们的研究止步了。
事实上，数学正是从希腊时期开始被当作一门严肃的研究，不再像以前作为度量或计数技巧而存在。大约公元前500年，米利都的泰勒斯最早引进了现在被公认为数学基石的概念：定理，即数学论断可以通过形式推理得到证明。泰勒斯所指出的道路，在欧几里得的《几何原本》中体现地淋漓尽致，《几何原本》也因此成为继《圣经》之后流传最广的经典。
到第一个千禧年的前半页，印度人发明进位制，伊斯兰世界的学者在后半页将其进一步深化，到中世纪欧洲南部掌握了这一方法，此后数学的发展未曾停步，持续至今。与此对照，中学的课程在包含上述内容之外，只增加了两门新课程：初等微积分和初等概率论。也就是说，过去三百年发展起来的学科无一入选中学课程，而我们用的大多数数学正好就是这二三百年发展起来的！
因此，对数学的认识只局限于中学的人，就不大能理解数学研究其实是一项普世而经久不息的活动，也不会理解数学会像空气一样弥漫在日常生活中。比如很少有人知道，美国哪个机构雇佣了数量最多的数学博士(答案是国家安全局，为其效力的大多数数学家的主要工作是破解密码，以此帮助安全局获取被加密了的信息)。
近一百年来数学的发展可谓爆炸式。20世纪初，数学包含十二个子学科：代数，几何，分析以及其他。现在，这个数字增长到60～70，有些子学科比如代数或拓扑，可进一步分为子子学科，其他比如复分析或动力系统，则完全是新领域。数学自二十世纪八十年代以来爆炸式的增长，也革新了我们对数学的认识：数学是研究模式的科学。依据这个认识，数学的任务是界定并分析抽象的模式——数值的模式，形状的模式，运动的模式，表现的模式，选举的模式，可重复的随机性的模式等等。这些模式可以是真实的，也可以是想象的，可以是可见的，也可以不可见，可以是静态的，也可以是动态的，可以是定性的，也可以是定量的，可以是实用的，也可以是好玩的：从实际背景到思维创造，它们可以是世界的任何模式。不同的模式对应不同的数学分支，比如：
●代数与数论研究数和计数的模式
●几何研究形状的模式
●逻辑研究推理的模式
●概率研究随机性的模式
●拓扑研究紧密度和位置关系的模式
●分形理论研究自然界自相似性的模式
Ⅱ 数学符号
各种天书般的符号——代数表达式，复杂的公式以及几何图表——是人们对现代数学的基本印象。数学家如此依赖抽象符号，某种程度反映了他们所研究的模式本身的抽象性。
现实世界不同的领域需要不同的表示方法，比如研究地形分布或者给初来乍到的人指路，最好是画个地图，而非文字说明。类似地，我们通过城市规划图来定位某个建筑，用曲谱记录乐曲。
在分析处理各种抽象的模式和结构时，数学的符号，概念以及程式被证明是最佳的选择。比如我们熟知的加法和乘法的运算律，运用代数符号极其方便有效。我们以加法交换律为例：
(文字形式)两数相加，顺序无关
(代数形式)m+n=n+m
上述例子只是对数学抽象性的惊鸿一瞥。对大部分的数学分支，假如不用抽象的符号，数学将不可避免的繁复。也因此，符号系统伴随数学的发展稳步增长。
符号进入数学，一般归功于法国数学家弗朗西斯·韦达。其实，公元250年亚历山大里亚的丢番图就已经开始使用代数符号。他的十三卷经典《算术》(现存6卷)公认是最早的代数教科书。在书中，丢番图用特殊符号代表未知数，未知数的幂以及减法和等号。
现在的数学书充斥各种符号，但符号之于数学正如乐谱之于乐曲。一段谱子代表一段曲子，谱子只有被唱出来或者演奏出来才成为灵动的曲子，也就是说，乐曲存在于我们的思维中而非纸上。对数学而言，道理也是如此：符号只是数学的表示，当经过专业人员(这里指受过数学训练的人)的解读，抽象的符号有了意义，数学如交响乐一样回响在读者的脑海中。
回到本节开头，再次强调：数学符号的抽象在于数学对象本身的抽象。抽象的数学可以帮助我们理解世界的运行模式。1623年，伽利略写道：
自然这本大书只有掌握它的语言的人方能读懂，这语言就是数学。
事实上，物理学可以用数学语言精确地描述。我们用飞机的例子来说明，数学何以帮助我们理解物理定律。喷气式飞机飞行时，我们是看不到任何向上托它的力量的，只有借助数学，我们才能理解那股隐形的力量。而这股力量，最早由十七世纪的伊萨克·牛顿所研究，经过几个世纪数学和工程的持续发展，我们终于能够制造出实际的飞机。这个例子很好地凸显了数学的力量：让不可见变成可见。
Ⅲ 大学水准的数学
经过前述对数学历史的回顾，现在我们来说明大学数学与中学数学的本质区别。
大约150年前，虽然当时的数学已远远拓展到数之外的范畴，但数学家依旧认为数学的本质是计算，对数学的精通就意味着能够做复杂计算或者熟练推演符号。大体上，中学数学正是在这样的传统观念中建立起来。
直到19世纪，随着数学家攻克更复杂的问题，他们发现直觉并不总是能引导下一步的研究，相反，之前为解决实际问题而发展出来的方法可能会引出违反直觉的结果，比如Banach-Tarski悖论就是一个例子。这个悖论讲的是，理论上，我们可以把一个圆球用某种方式切成小块然后重新组合，就能得到两个(是两个，你没看错)和原来一样大小的圆球。
由此开始，数学迈入了只能在其内部理解自身的新阶段。(因为Banach-Tarski悖论在数学上无懈可击，其结论虽然诡异，我们依旧要承认它)类似上述只能在数学上加以说明而不可能借助其他方式验证的结果，促使数学家用数学方法来检验数学本身。
19世纪中期开始的这种“内省”，让数学家对数学有了全新认识：数学的重心不再是计算求解，而是理解抽象概念和关系，数学由强调“实操”转变为注重“理解”。数学对象不再局限于特定的函数，而是某一抽象性质的载体，证明不仅仅是按照规则变换对象，而是从概念出发进行逻辑推演。
这次观念革命，彻底改变了数学家对数学的看法。然而对数学家之外的人，世界依旧如常。人们真正感觉到变化，是从大学课程开始。比如说你是一个数学专业的大学生，初次接触“新数学”，结果被折磨地死去活来，你很可能会问候狄利克雷，戴德金，黎曼以及所有其他发明这些该死的知识的人。
下面再用一个例子来说明这种转变。十九世纪之前，数学家对函数的普遍看法是，诸如y=x²+3x-5这样给定x生成y的式子是一个函数。然后逆天的狄利克雷出场，他说：忘掉那些式子吧，多想想函数的输入-输出机制。函数，就是能把一个数变成另一个数的法则。这法则，不必非得是代数表达式，甚至，都不必局限在数的范围内：只要能把一类事物变成另一类事物，这样的法则就是函数。
依据这一看法，下面的定义就是一个函数：
x是有理数时，f(x)=0
x是无理数时，f(x)=1
试试画一下这个函数的图像！
由此开始，数学家转向研究抽象函数的特征而非代数表达式，比如不同的起始值是否总能对应不同的函数值？(这样的性质叫做单射)
这条抽象的道路为数学其中一个分支的发展立下了汗马功劳，这个分支即实分析。在实分析中，抽象函数的连续性与可导性是主要研究对象，所使用的“δ-ε(读作“德尔塔-埃普西隆”)定义”，直到今天，仍然是微积分课程的拦路虎。
到十九世纪五十年代，黎曼根据可微性定义复函数，在此之前，伟大的高斯首次把带运算的集合作为数学对象加以研究，由此定义了模剩余类。高斯思想的后继者，戴德金，则进一步研究环，域和理想，而这些概念，也是带某类运算的集合。
类似的变化，不一而足。
像大多数的变革一样，十九世纪的这次转变也有久远的渊源。古希腊时期，数学就从单纯的计算被提升到思维体操的高度，到十七世纪，微积分的另一发明人，莱布尼茨，则对数学的两方面都进行了研究。即便如此，直到十九世纪数学还是被当作解决问题的手段。生活在今天的数学家可能很难感受当时的冲击，而这场变革就这样悄悄地发生，渐渐地被遗忘，默默地影响数学的走向。本书就是在这样的背景下，怀着为读者提供理解现代数学的思维工具的使命而诞生。
十九世纪后半页的新数学成为大学数学的主旋律，但是高中的数学内容没有受到任何影响，正因如此，你需要一本这样的书(《Introduction to Mathematical Thinking》)来完成思维的转变。事实上，六十年代有过所谓的“新数学”运动，但大学数学系的精神被高中严重曲解，以致运动很快就被叫停。
对十八世纪的数学家而言，计算和理解同样重要，十九世纪的革命只是二者孰重孰轻的区别。但六十年代高中老师的解读却是，“忘掉计算，专注理解”，这种荒谬的论调遭到数学家Tom Lehrer的嘲笑，他在自编的歌曲「新数学」中写道：答案不知道，方法最重要。最终，“新数学运动”几年后惨淡收场，退出高中。
自由社会的教育政策就是这样，不知道未来会不会再来一次“新数学运动”？我们也不知道社会是否期待这样的改变，教育界就学生是否应该先掌握计算技巧然后再作抽象研究还有广泛的争议。
Ⅳ 为什么你应该学数学
至此，你应该明白，数学在十九世纪的变革(从强调计算到注重理解)，只局限于以研究数学本质为己任的数学家群体。对于大多数的科学家，工程师以及其他在日常工作中用到数学的人来说，数学只是计算工具，直到今天依旧如此。甚至，计算在今天的重要性和广泛性远超历史的任何时期。
因此，在数学家之外的人看来，十九世纪的变革更像是内容的扩张而非焦点的转换。对于今天的大学生，学校期望他们不仅要掌握解决具体问题的技巧，同时也应清楚背后的思想并能从数学上证明他们所使用的方法。
这样的要求是否过分？这难得不应该是数学家的事情么？对于那些只是为了找份好工作而不得不学数学的学生来说(比如工程类专业)，为什么也如此高要求？
有两个原因(剧透下：只有两个，并且这两个本质上是同样的意思)。
首先，教育不仅仅是职业培训。作为人类伟大文明的成果之一，数学应该和科学，文学，艺术以及历史一道，被当作文明珍宝而一代代传承下来。我们学习不仅仅是为工作和职业，职业技能只是教育给予我们的很小一小部分。
这一条毋庸置疑，接下来我们说工作技能的原因。
众所周知，很多工作需要数学技能。事实上，大多数行业对数学能力的要求远非我们想象的那么简单，这一点，找工作的同学会有深刻体会。
这些年的经验告诉我们，每一次产业升级都会产生巨大的人才缺口，这些人才必须具备相应的数学技能。实际上，如果更细致的考察这些技能，我们可以把它划分为两类。第一类，给定一个数学问题(即实际问题已经被归结为数学模型)，解决之。第二类，抛给一个实际问题，比如说制造问题，能否识别出关键因素并用数学语言表述出来(即建模)，然后解决之。
以往的情况是，社会对第一种技能需求巨大，对第二种需求很小。而数学教育能够培养兼具两种技能的人，虽然主要精力在培养第一种技能，但总会有人脱颖而出，掌握第二种技能。如此皆大欢喜。但在当今社会，随着企业创新加快，第二种技能，即跳出数学框架来思考问题的能力，开始取代第一种技能的地位。顿时，一切都不好了。
掌握这种(第二种)技能的人，最关键的，是要对数学的力量，应用范围，何时不可用何时可用以及如何应用有一个整体的认识。在此基础上，他们还需掌握一定程度的，不一定非得精通的数学知识。更重要的是，他们能在跨领域的团队中懂得合作，能够从新的角度看问题，有快速学习能力，然后应用已知方法解决新问题。
那我们应如何培养这样的学生？答案是：注重培养技巧背后的数学思想。古语有云，授人以鱼，不如授之以渔。对新时代的数学教育而言，道理也是如此。因为我们有太多的数学知识，并且新的还在不停增加，小学到大学的16年时间里，不可能全部掌握。即便掌握了，等到大学毕业开始工作时，有些知识已经过时，新的知识又成了风尚。因此，数学教育应该教会学生如何学习。
十九世纪数学内部激增的复杂性引发了数学从计算到概念理解的变革，150年之后的今天，在社会变革是由更复杂的数学所推到的背景下，数学那一次变革的重要性就不仅仅是对数学家，而是对所有想应用数学的人！
到现在你应该明白，为什么十九世纪的数学家要转换焦点，同时也应明白，为什么五十年代以来的大学生不仅要会计算也得掌握背后原理。换句话说，你应该明白了大学之所以逼着你学数学的良苦用心，比如能够顺利读完这本书。最后，希望你能够意识到数学对你人生的价值，而不仅仅是通过数学考试这么简单。
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此文原载于+Plus Magazine网站。
翻译作者：mathyrl，哆嗒数学网翻译组成员，软件工程师。
稿件校对：333
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安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）是一个数学传奇。他由于证明了费马大定理（Fermat’s last theorem）这个数百年来一直嘲弄着数学家智慧的问题而格外地有名。在这次采访中，怀尔斯告诉我们，证明这样一个重要的结果是什么样的感觉，通常做数学又是什么样子。
本文基于安德鲁·怀尔斯在2016年9月的海德堡奖学金论坛（Heidelberg Laureate Forum）上举行的新闻发布会。《Plus》要感谢海德堡奖学金论坛（HLF）提供这个机会，所有参与者的精彩问题，以及安德鲁·怀尔斯的深思熟虑的回答！
在花了这么长时间来寻找证明之后，最终证明费马大定理是什么样的感觉？
简直棒极了。这是我们一直盼望的，这些造就启示和激动的时刻。实际上很难平静下来做任何事情 —— 那一两天（你）欣喜若狂。起初有点难以回到正常的工作生活，也很难沉下心来做一些平凡的问题。。
你是否认为你对费马大定理的证明是某种开始，而不是某种结束？
好吧，两者都是吧。对于那个非同寻常、经典而又浪漫的问题，我的工作给它画上了句号，这个数学问题在我还是小孩子的时候就驱使我和带领我走向数学，所以它也是我从那时起稚气而浪漫的数学观点的终结。
以它作为起点，打开了一扇通往朗兰兹纲领（Langland’s programme）的小门，以及试图在朗兰兹纲领得到结果的一种新的方式。那扇门的打开，（允许）很多人穿过和发展它，这也是我一直在努力做的。
你为什么秘密地进行证明工作？
实际上我没有秘密地开始。我告诉了一两个人，然后意识到不能告诉其他任何人：这不轻松。他们总是想知道我所做的一切，我是否取得进展等等。我完全确信那些在黎曼猜想（Riemann hypothesis另一个著名的未证明的问题）上工作的人，我相信其中有一些人，没有告诉全世界他们在做什么。因为如果你有一个想法，你只是想把它做出来。当然在大多数时候，你并没有想法...
第一次分享这个证明的经历（在剑桥的一系列讲座中），能够媲美这个证明的发现吗？
不，发现是最令人激动的事情。有一种泄露天机的小感觉。这是一场私底下的较量。它是让我五味杂陈的朋友，因为它有时对待我很糟糕。（笑声）但是把它传递到世界上也有种小遗憾的感觉。
你代表数学研究员向普通大众的听众演讲。当你与更广泛的公众交谈时，你会强调什么主题？
我想很多人在年轻的时候已经被数学吓退了。但实际上你会发现的是，孩子们在有某些负面的经历之前，他们真的乐在其中。糟糕的经历可能是因为你被教导或者你处在一个人们害怕数学的环境中。但我在大多数孩子中发现的自然状态是，他们发现数学是非常令人兴奋的。孩子们生来就很好奇，渴望探索外面的世界。我试图向他们解释，对于那些坚持下去的人，（做数学）真的是一个愉快的经验 —— 它非常刺激。
现在，当你作为一个稍大的孩子或成年人开始做数学时，你必须接受这种被困住的状态。人们不习惯这种状态。有些人觉得这样压力山大。即使是非常擅长数学的人有时也会觉得很难习惯，他们觉得这是他们的失败之处。但它不是的：它是这个过程的一部分，你必须接受（和）学会享受这个过程。是的，你不明白（当前的东西），但你要有信心，随着时间的推移你会弄明白 —— 你必须经历这个过程。
这就像体育训练。如果你想跑得快，你得训练。在你试图做任何新东西的过程中，你都必须经历这个困难的时期。这没什么好害怕的。每个人都这么过来的。
在某种意义上，我最为反对的，就是那种观点，例如电影《心灵捕手》（Good Will Hunting）所表达的，存在一些你天生的东西，要么你拥有它，要么你没有。这真的不是数学家的体会。我们都觉得数学很困难，这不是说我们和那些在三年级时与数学问题作斗争的人有什么不同。这真的是相同的过程。我们只是准备好打一场更大规模的战争，我们已经建立了对这些挫折的抵抗力。
是的，有些人比别人更聪明，但我真的相信，如果他们准备好应对这些更多是心理层面的问题，即如何处理被困住的情况，大多数人可以真正达到相当好的数学水平。
当你陷入困境时，你怎么做？
研究数学的过程在我看来是你理解了关于问题已有的一切，你想到了很多解决这个问题的想法，使用了所有可用于这些东西的技术手段。但通常问题依然存在，需要别的东西——所以是的，你陷入了困境。
然后你必须停下来，让你的头脑放松一下，然后再回来。你的潜意识正在以某种方式建立联系，你再次开始，也许在下午，第二天，甚至下星期，有时它就浮现出来。有时我把某个东西放下了几个月，我再回来然后发现它是显然的。我不能解释为什么。但你必须有信心，那会浮现出来。
有些人处理这种情况的方式是他们同时处理几件事情，然后当陷入困境时他们从一个切换到另一个。我不能这样做。对此我会变得狂躁。一旦我被一个问题困住，我就不能再思考别的东西。这更困难。所以我只是稍微休息一下，然后再回来。
我真的认为，如果你想成为一个数学家，有太好的记忆力并非好事。你需要有稍微不好的记忆力，因为你需要忘记你前一次处理（一个问题）的方式，因为它有点像DNA进化。你需要按照你以前的做法来犯一点小错误，使得你去做一些稍微不同的东西，然后这实际上能让你绕过去（问题）。
所以，如果你记住之前所有的失败尝试，你不会再去试一次。但是因为我的记忆力稍微有点不好，我可能会尝试基本上相同的事情，然后我意识到我只是错过了一点我需要做的小东西。
当你休息时 —— 你的一天是什么样的？
我喜欢去参观牛津附近美丽的地方。我的意思是反正牛津是一个美丽的地方，有很多地方可以去，以及邻近的兰斯洛特·布朗（别名Capability Brown）设计的布伦海姆楼（Blenheim House）那儿的美丽的地方。
有很多美丽的地方，例如就到这些在几个世纪前由那些真正投入了他们生命的人所创建的景观去走走，我发现那样非常放松。
创造力在数学中有多重要？
对，创造力就是它的全部。我认为外界对数学有不同的反应，其中之一是普通公众认为“不都是已知的吗？”，或认为它是机器式的。
但不是那样的，而是非常有创造性的。我们想出一些完全意想不到的模式，无论是在我们的推理过程中或结果里。是的，要与其他人交流，我们必须使其非常正式和非常合乎逻辑。但我们不是按那种方式创造的，我们不按那种方式思考。我们不是自动机。对于它应该如何组合在一起，我们已经发展出了一种感觉，我们试图感觉，“嗯，这个很重要，我没有使用这个，我想尝试并想出一些新的方式来解释这个，使得我可以把它放入方程，”等等。
我们认为自己非常有创造性。我想这有时对数学家们来说有点沮丧，因为我们从美和创造力等角度来思考，然而外界当然认为我们更像一台计算机。这完全不是我们看待自己的方式。
它可能有点像音乐。在某种意义上，音乐，你可以只是用数字把它写出来。我的意思是，他们只是些记号。它是上，下，上，下，加入一个节奏。它完全可以用数字方式写出，确实如此。但你听巴赫或贝多芬，这不是一系列的数字，还有别的东西。这与我们一样。有一些非常，非常有创造性的东西，是我们非常热衷的。
当事情开始变得协调并朝着正确的方向发展，你能感觉到吗？
是的，一点没错。当你有感觉，就像睡梦中和清醒之间的区别。当你做错了，在你内心深处往往有点儿感觉到它还没有足够简化。但当你做对了，那么你感觉到，“啊，这就是它了。”
你认为数学是被发现还是被发明？
老实说，我不能理解哪数学家会不同意它是被发现的。所以我认为我们都站在同一阵线。在某种意义上，也许证明是被创造的，因为它们更容易犯错并且有很多选项，但是根据我们的需要找到的实际的东西，我们只是认为它是被发现的。
这是一个必要的幻觉吗？作为一个数学家，做这项工作，你需要相信是你发现了它，而不是发明了它吗？
我不想说这是谦虚，但你以某种方式找到这个东西，突然你看到这个景致的美丽，你就是觉得它一直在那里。你不会觉得在你看到它之前它不在那里，这就像你的眼睛被打开，然后你看到了它。
谁创造了这个景致？
好吧，数学家不是那么的哲学。 （笑声）我们是艺术家，我们只是享受它，我们并不是它的一部分。有哲学家和其他人工作在数学中更哲学的一面，有一些人为这种事情劳心，但我们不是伯特兰·罗素。我们真的不是。 （笑声）我们其实想做数学本身。我们是工作的艺术家。
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原文作者： Tom Feilden，BBC科学记者
翻译作者：e^iπ+1=0，就读于上海科技大学生命科学学院。
投稿可发至邮箱1178853280@qq.com，详情参见征稿说明。
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“当今，如果你想投身到医疗事业中去，那么你最好是研究数学或者计算机科学的，而不是生命科学的。”
在一场关于他汀类药物（降低胆固醇的药物）的好处与坏处的讨论中，Rory Collins爵士说出这句精辟的话，而他本人是牛津大学临床试验的领头人。
这是一个很棒的小笑话，不过我都未曾细想。直到几天前，当我坐在一个关于启动癌症治疗新创想的新闻发布会上想起它来。
我在专家小组会议遇见癌症研究学会（ICR）的主任Paul Workman教授，这位教授我并不认识。但是过了一会儿我就明白他所说的这些正是Rory爵士考虑到的。
Andrea Sottoriva博士是一位天体物理学家。
他投入了相当多的时间去搜寻中微子——这是一种极难捕捉的亚原子粒子，产生于恒星如太阳中基本粒子的聚变——在海洋底部，并且分析利用坐落于日内瓦欧洲核子研究中心（CERN）的大型强子碰撞机做的原子碰撞试验的结果。
在位于萨顿的癌症研究学会（ICR）的实验室中遇到后，他对我说：“我的学科背景是计算机科学，特别是将计算机科学应用到粒子物理学。”
新纪元
所以为什么是癌症？
答案总结起来就是三个字：大数据。
Sottoriva博士带来的对抗癌症的武器，就是他在数学模型方面的专业经验，用于挖掘在信息革命给医疗带来的巨大数据宝藏
“激动人心的是，我们可以把所有在物理领域研究出的全新分析手段都应用于生命科学中，”他说道，
“所以现在我们拥有的所有全新的定量技术，使得我们可以处理巨大的数据量。并且我们现在可以把物理中的范式在生命科学中实现出来。”
当然，将数学应用于解决生命科学问题并不是一件新鲜事。
但是按照Rory Collins 爵士所说，只有现在，大数据革命在使医学转型，并且引领了生物信息学的新纪元。
“大数据为我们提供了绝好的机会去理解不同健康状态的决定性因素。”Rory爵士说道，
“数据的实用性是非常卓越的，处理这些数据的方法同样很卓越，所以创造了机会让我们弄明白究竟发生了什么，以及如何去避免疾病。”
“数据灾难”的警告
但是大数据同样存在问题。虽然大量的数据赋予生物信息学力量，但是也存在其阿喀琉斯之踵。
亚利桑那州立大学的科学与社会学教授Daniel Sarewitz，警告人们“数据灾难”的存在——过于热情的研究者正面临不小的风险，他们正漂浮在由无关信息构成的海洋之中。
“如果小鼠模型好比是在路灯下寻找钥匙，那么大数据就好比在全世界的范围内寻找它”，Sarewitz教授如是说。
流行病学家Liam Smeeth教授也赞同这个观点。
他指出，如果研究者不能很好地限制他们搜寻的范围，那么科学家们将很快身处囹圄，走进死胡同。
“就好比是一个人对着墙射出箭，”他解释道，“他们对着一块很大的空白墙面射箭，然后上前去在箭的周围画一个靶子并声称命中了靶心。”
“科学家需要做的事情应该是做精确的科学，并且对着预先设定的目标射箭。”
在Sottoriva博士看来，着手处理大数据就好比是棋类大师应对棋局一样，
要利用数学模型去理解和解码癌症致病的游戏规则。
“大师所做的事情是预测对手下一步会怎么办，”他解释道，“如果我们解码了癌症的复杂度，并且对癌症接下来的行动做出预测，那么我们才能真的在坚实的数学基础上做出切实有效的治疗。”
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