原文来源，牛津大学网站。

翻译作者，Aria，哆嗒数学网翻译组成员。

校对，小米。

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牛津数学家田中佑二(Yuuji Tanaka)描述了他在我们对规范场论的理解的推进上所做的工作：

“规范场论产生自物理，作为一个统一理论，它的出现在杨-米尔斯规范场理论（Yang-Mills gauge theory）和希格斯机制（Higgs mechanism，给物质和作用力关联质量的理论）框架下统一了弱作用（出现在β衰变中）和电磁作用。规范场论在维特曼(Veltman)和特霍夫特(’t Hooft)关于可重整化性质的伟大发现后，成为了粒子物理的主流之一，并给出了实验结果的精确描述。如今所有的基本作用（电磁作用，弱作用，强作用和引力）都可以用规范场论来描述。

这些发展无疑刺激了规范场论的数学研究，尤其是在主丛和向量丛的领域。在这一理论中，联络的曲率对应着规范场的场强。80年代早期，唐纳森(Donaldson)考察了一种特殊的杨-米尔斯规范场（称为自对偶或反自对偶联络）方程的解构成的模空间，并惊人地获得了一种利用模空间或者通过模空间给光滑结构赋予不变量的方法，来区分同胚的四维弯曲空间的不同微分结构。

在唐纳森的工作之后，威腾(Witten)十分巧妙将它地翻译成为特定量子场论的语言。接着阿蒂亚(Atiyah)和杰弗里(Jeffrey)又用数学语言通过马塞-奎伦形式(Mathai-Quillen formalism)重写了威腾的工作。在1994年左右，利用电磁对应的推广（一种电磁理论中隐藏的对称性），这些观点的转变成为了发现赛贝格-威腾方程（Seiberg-Witten equation）与不变量的基石。赛贝格（Seiberg）和威腾(Witten)提出了这项成果在量子级别超杨-米尔斯理论中一个引人注目的应用，即强弱对偶；它使得人们在计算中可以用弱耦合的项来计算强耦合的项）。

瓦法(Vafa)和威腾在更加对称的模型中分析了赛贝格和威腾的工作，并猜测这种情形下不变量的配分函数具有模性质，这是之前提到过的强弱对偶的在数学上的加强。模性质原本是在19世纪椭圆曲线理论中发现的。他们在希格斯场(Higgs fields)退化的假设下用数学的结果在一些例子中检验了该性质。

然而，对于这些理论，尤其包括希格斯场在内，在过去的20年中哪怕一个严格的数学定义也没有被给出。理查德·托马斯(Richard Thomas)和我最近使用了现代代数几何的语言定义了射影曲面的形变不变量；它源自瓦法和威腾理论中规范场论方程解的模空间。我们接着也计算了非退化希格斯场条件下不变量的配分函数。令人惊奇的是，我们的计算结果与瓦法和威腾远在20年之前的猜想完全一致。除此之外，我们的结果也涵盖了曲面上的层。”

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不得不说，数学从来没有像这样，被所有国家政府如此重视过……

不久前，法国著名的“议员数学家”，2010年菲尔兹奖得主维拉尼，法国教育部督查局总监托罗萨安，以及法国教育部部长布兰克共同发布一份报告，研究如何改进法国的数学教学。并且提出21条建议，提振法国中小学数学教育，以改变当前法国“灾难般”的现状。

据报道，这份报告推荐的改进方案的主要学习对象是新加坡。这个亚洲的城市国家在过去20多年间，数学基础教育水平突飞猛进，成为世界最好的国家之一。而上世纪90年代左右，新加坡的学生数学水平几乎垫底。

“新加坡模式”要做的不仅仅是改变老师给中小学生教授数学的方式，同时还试图让老师他们自己在接受基础教育的时候，能更好的接受数学教育。这回的21条建议，也主要针对提高老师水平方面。

发布报告时作者们强调，这21条并不是一个“奇迹药”，而是一个在其他国家实行多年的一个有效成熟的方案。报告作者们说，在新加坡早期的小学教育中，强调动手操作和实验，然后语言表达，而在这些之后才会进入抽象阶段诸如公式、数、符号的学习。期间还会加入语言和绘画方面的教学内容。

除了提升教师数学水平和课程修改方面的建议。报告人也说，关于这套方案的配套措施也在方案中，比如为学习添加硬件设备和虚拟设备，加入数学相关游戏、竞赛以及课外活动提升学生的数学兴趣，已经采取措施落实在数学学习中男女平等。

法国是从近代起就是数学强国，但是数学精英与普通民众差距甚大。顶端的精英阶层出类拔萃，他们在高水平高中预科班学习，之后进入著名高校。但绝大多数的学生却在师资质量一般，教学水平低下的学校就读。由于高智商的数学天才努力向上流动，进入科研、金融等领域，不愿做中小学教师，结果导致中小学大部分数学教师不得不降低标准录用，由此影响了基础阶段的数学教学。

此次报告发布会的情况，见此链接http://www.education.gouv.fr/cid126423/21-mesures-pour-l-enseignement-des-mathematiques.html （法语）

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原文作者，Evelyn Lamb，数学普及作家。

翻译作者，Bibliomania，哆嗒数学网翻译组成员。

校对，donkeycn。

当我走进圣艾夫斯,
我见到一个平面有七条线,
每条线有三个点,
(但是一共也只有七个点,)

这首诗并不能很好地描述法诺平面（Fano plane）。

以吾之愚见，法诺平面是最小的有趣的空间。这也许能被扯皮归纳地证伪，但是一个点，或者一些孤立点，并不是有趣的例子。

Fano平面有七个分布在七条线上的点。它是射影平面最小可行的例子。

你有没有想过凭什么平面上有些线相交，有些却没有？多么随意啊！不过射影平面就可以把你从这个烦人的问题中拯救出来了，它满足任意两条线都相交。

一个射影平面需要满足下面一些条件。

*每两“点”都有一条“线“连接。
*每条“线”都和其他任何一条“线”相交。
*存在四个点，使得没有一条线过其中两个以上的点。(这个条件并不总是列出来，但是它排除了一些平凡情况，比如说一条线上的两个点或者过一点的几条线。)

有时候数学是靠内心的直觉的，比方说你思考射影几何的时候。(公平来讲，有时候射影几何看起来非常直观，毕竟它的一大应用就是在透视画法上。)你可以把欧几里得平面变成射影平面，通过给每个方向的平行线们添加一个它们所相交的“无穷远”点。所以说有水平方向的无穷远点，有垂直方向的无穷远点，有与水平方向成逆时针47.322度角方向的无穷远点等等。接下来你再让这些无穷远点组成无穷远线。如果你好好想一会，就能明白这样是满足射影平面的要求的。

如果考虑无穷远线上的无数的点让你感到头晕目眩，那法诺平面就是一个更轻松的替代品。它可以简单地看清楚线和点是怎么相交和交互的。

法诺平面是个挑战直觉的东西。当你看到它的图式时，你便会理所当然地认为它有无穷多的点。毕竟它有七条线，我们也都知道，再短的线段，上面也有无穷多的点。

噢不，数学是独裁体系，我们都是独裁者。我们说那七个点就是它仅有的七个点。而这里的”线”并不是由”点”构成的，它们只是公理里规定的“线”而已。另外一个反直觉的地方在于有一条“线”看起来像是个圆，至少在大部分示意图里面都是这样。但如果你都已经接受“线”并不是由无穷多点组成的想法了，那也不难让自己承认这圆真的就是“线”。

法诺平面是最小的有限射影平面。你也许想知道别的射影平面可能的大小。如果我们想让每条线上有4个点而不是3个，我们能找到这样的平面吗？令人惊讶的是，指出射影平面可能的大小并不是一个平凡的问题。(关于术语的说明:我们说法诺平面的阶为2，因为每条线有2+1=3个点，每个点在2+1=3条线上。一般地，一个射影平面阶为N，如果每条线有N+1个点，每个点在N+1条线上。阶为N的射影平面有N²+N+1个点。)我们知道存在阶为任意素数以及任意素数的幂的射影平面，但至于其他数字，我们还有很多工作要做。举个例子，直到上世纪90年代，研究者才确切地证明了不存在阶为10的射影平面，而对于12，仍然是一个开放问题。

虽然有限射影平面看上去像是遗世独立的纯理论的典范，但意外的是法诺平面以及相关的东西居然在博彩方面有所应用。我第一次是在Jordan Ellenberg的《魔鬼数学》（How Not to Be Wrong，又译《数学教你不犯错》）中读到有关的东西的。他举了一个从7个数中选3个的彩票的例子。玩家3个数都猜对的话就获头奖，或者猜对两个数得小奖。

从7个数中选3个，一共有35种可能的组合，所以说你只有1/35的机会中头奖。不过你可以利用法诺平面来增加你猜中两个数的机会。技巧在于买一些彩票但避免同样的数对出现在两张彩票上。你不会想同时买123和234，因为如果2和3猜中了，而你买了它两次了。虽然这意味着两倍的奖金，但也意味着你在其他数对中奖时什么都得不到。

为了在彩票中利用法诺平面中到奖，给7个点依次标上1到7，接着看每条线上的数字。我得到了123, 147, 156, 246, 257, 345, 367.

如果你去验证这些数组，你会发现每个数对都恰好出现了一次。不管中奖的数字是哪些，我们都至少猜中了3个中的两个。如果你标数字的顺序和我不一样，你会得到不同的数组，不过还是有同样的性质。

现在并没有多少彩票只选3个数字了，但花点心思再加上电脑的能力，这个想法可以接着延伸。当然，即使是利用射影平面的聪明策略，在实际彩票购买中使用也不大可能合算。不过如果你感兴趣的话，Ellenberg讲过一个Cash WinFall的故事，其奖品好到足以赢得一些MIT学生的钱。

想了解法诺平面与拉丁方，环面拓扑，纠错码以及其他许多领域的联系，可以查看弗吉尼亚理工大学的Ezra Brown的两篇文章……《(7,3,1)不同的形式集锦》和 《(7,3,1)不同形式的更多集锦》。（链接http://www.math.vt.edu/people/brown/doc/731.pdf ，http://www.math.vt.edu/people/brown/doc/731_more.pdf ）

如果八元数乘法的让你感到困顿的话，法诺平面也能帮你记住八元数的乘法规则。最后我忍不住提一句，法诺平面看起来和哈利波特中的死亡圣器的标志惊人地相似。

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你是不是很多“小学”的数学题目惊到过。网上时不时会冒出一些所谓的“小学奥数”题，加上“难道所有大学生”的标题在网上热传。

这些题目当中其实大多数都不是数学题目，却被一些“不良出题者”冠以“奥数”的名称出现在各种习题集中。这样的事情有时是让人愤怒的，因为这些完全在误导学习者，会让人觉得数学就是一些偷奸耍滑的东西。

还有一些题目，的确是数学问题，但不是小学阶段的知识能解决的。有的问题要到中学甚至大学才可能解决。看到一些人被逼着“用小学方法”做高等数学题目，真是让人哭笑不得。

但今天，我们推荐了一道“小学数学题”倒是挺有趣，我们没有求证过这个是不是真的是小学某练习册上的题目，不过大家还是看题吧：

我们哆嗒数学网的小编认为，这个问题算是恰到好处，只是让定性的问问旋转体的结果是凹的还是凸的，直的还是弯的。没有超前的问具体形状以及面积体积的计算问题，用来考验小学生的感觉也是说的过去的。

为了求证问题的结果，我们坐起了实验。有点难度，还有点费眼，但是能看出大概应该是凹的。

但是，是直的还是弯的很难看出来。一些人直觉的猜了应该是直的，但一个人说的三个字，打破了这些人起初的直觉。

这三个字是：

直纹面！

​

看见上面三个字了吗？什么，没看见？那是因为我施用了魔法，你必须用特殊的操作解除魔法才能看见。

这个数学对象，在大学的时候也许还会重学，那时候会不会想起还提时代做这道题目的有趣经历呢？一个小学题目能提起兴趣，并在未来还可能回想起它，最酷的学习过程莫过于此。

那么问题的答案是什么呢？公众号中回复“旋转正方体”得到答案，不带引号哦！

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