原文作者，圣安德鲁斯大学数学与统计学院。

翻译作者，mathyrl，哆嗒数学网翻译组成员。

校对，math001。

  

 

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从今天起，我们将连载这部数学编年史。本文是翻译版本，因为工作量巨大，必有疏漏（包括原文也会有错误），欢迎指正。

 

这应该是网上最全的数学编年史，从公元前30000年到公元2000年，哆嗒数学网为你奉献。

 

这里是 数学上下三万年（四）：欧洲资产阶级革命开启

 

本期发布的编年史涵盖1640年到1800年的内容。1640年，应该开始资产阶级革命。而中国在此时进入清朝。本期四大数学家出场三个：牛顿、欧拉、高斯。

 

本期出场人物有：帕斯卡、费马、托里拆利、惠更斯、胡克、牛顿、莱布尼兹、伯努利家族、泰勒、棣莫弗、欧拉、阿涅西、拉格朗日、高斯等。

 

 

本系列下面是往期内容：

 

数学上下三万年（一）：爱在西元前

 

数学上下三万年（二）：从罗马时代到中世纪

 

数学上下三万年（三）：大航海时代

 

 

1640年

帕斯卡(Pascal)出版了《圆锥曲线专论》（Essay pour les coniques）。

 

1641年

威尔金斯（Wilkins）出版了关于编码和密码的著作。

 

1642年

帕斯卡(Pascal)制造了一台计算器帮助他父亲进行税务计算。它只能做加法。

 

 

1644年

托里拆利（Torricelli）出版了《几何操作》（Opera geometrica），包括了他在抛射体方面的成果。他研究了费马点（到三角形三个顶点距离之和最短的点）。

 

1647年

费马(Fermat)声称他证明了一个定理但页边没有足够的空位写下证明的细节。这就是后世所知的费马大定理：当正整数n>2时，关于x，y，z的不定方程x^n + y^n = z^n 没有非零整数解。这个定理最终在1994年由怀尔斯证明。

 

1647年

卡瓦列里（Cavalieri）出版了《六个几何练习》（Exercitationes geometricae sex），其中首次包含了xn从0到a的积分。

 

1648年

威尔金斯（Wilkins）出版了《数学的魔法》（Mathematical Magic），给出了一些机械装置的说明。

 

1648年

亚伯拉罕·博斯（Abraham Bosse）出版了一本著作，其中包含了著名的“笛沙格定理”：当两个三角形是透视时，则其对应边的交点共线。

 

1649年

凡司顿（Van Schooten）出版了《笛卡尔几何》的第一个拉丁文版本。

 

1649年

德博纳（De Beaune）撰写了《简明注释》（Notes brièves），它包含了很多“笛卡尔几何”的成果，特别是给出了现在熟知的双曲线，抛物线，椭圆的方程。

 

1650年

德·维特（De Witt）完成了《曲线论》(Elementa curvarum linearum)。它是首次对直线和圆锥曲线的解析几何的系统性发展。这本书直到1661年才发表，出现在凡司顿的主要著作的附录中。

 

1651年

墨卡托（Nicolaus Mercator）出版了三本关于三角学和天文学的专著：《对数球面三角学》(Trigonometria sphaericorum logarithmica)，《宇宙志》(Cosmographia)，和《球面天文学》(Astronomica sphaerica)。他给出了ln(1 + x)的级数展开，

 

1653年

帕斯卡出版了关于帕斯卡三角形的《论算术三角》（Treatise on the Arithmetical Triangle）。帕斯卡三角形已被很多早期数学家研究过。

 

1654年

费马和帕斯卡在夏季交换的五封信里得出赌博和概率的规律。

 

1654年

帕斯卡出版了关于流体静力学的《论液体平衡》（Treatise on the Equilibrium of Liquids）。他认识到力通过流体均等地向各个方向传递，并给出帕斯卡压力定律。

 

1655年，布隆克尔（Brouncker）给出了4/π 的一个连分数展开。他也给出了双曲线的求积法，这个成果在三年后发表。

 

1656年

沃利斯（Wallis）出版了《无穷小算术》（Arithmetica infinitorum），其中使用了插值法计算积分。

 

1656年

惠更斯（Huygens）取得了第一个摆钟的专利。

 

1657年，惠更斯出版了《论赌博中的计算》（De ratiociniis in ludi aleae）。这是第一本关于概率论的出版著作，基于费马和帕斯卡在1654年的信件中的想法首次概述了数学期望的概念。

 

1657年

奈勒（Neile）在修正三次抛物线的时候，首次找出一种代数曲线弧长。

 

1657年

德·班西（Frenicle de Bessy）出版了《问题解答》(Solutio duorm problematum)，给出了费马的一些数论挑战问题的解答。

 

1658年

雷恩（Wren）找出了旋轮线的弧长。

 

1659年

拉恩（Rahn）出版了《代数》(Teutsche algebra)，其中包含了÷（除号），这个符号可能是佩尔（Pell）所发明。

 

1660年

德·斯路斯（De Sluze）在他的作品中讨论了螺线，拐点，以及求几何平均。他研究了被帕斯卡命名为“斯路斯明珠”的曲线。

 

1660年

胡克（Hooke）发现了胡克定律。

 

1660年

维维亚尼（Viviani）测量了声速。他确定了旋轮线的切线。

 

1661年

凡司顿（Van Schooten）出版了第二卷，也是最后一卷的《笛卡尔几何》(Geometria a Renato Des Cartes)。这项工作将解析几何确立为一个重要的数学专题。这本书还包括他的三位弟子德·维特（de Witt），胡德（Hudde）和休雷特（Heuraet）所做的附录。

 

1662年

伦敦皇家学会成立。布隆克尔当选第一任会长。

 

1662年

约翰·葛兰特（Graunt）和威廉·配第（Petty）出版了《对死亡率表的自然与政治观察》（Natural and Political Observations made upon the Bills of Mortality）。它是最早的统计学书籍之一。

 

1663年

巴罗（Barrow）成为英国剑桥大学首任卢卡斯数学教授。

 

1665年

牛顿（Newton）发现二项式定理并开始了关于微积分的工作。

 

 

1666年

法国科学院在巴黎成立。

 

1667年

詹姆斯·格雷戈里（James Gregory）出版了《论圆和双曲线的求积》(Vera circuli et hyperbolae quadrature)，为无穷小几何形成了严格的基础。

 

1668年

詹姆斯·格雷戈里出版了《几何的通用部分》(Geometriae pars universalis)，这是撰写微积分教科书的首次尝试。

 

1668年

佩尔（Pell）给出了100000以内所有正整数的因子表。

 

1669年

雷恩(Wren)发表了他的成果：旋转双曲面是一个直纹面。

 

1669年

巴罗退去剑桥大学卢卡斯数学教授席位，他的学生牛顿被任命。

 

1669年

沃利斯（Wallis）出版了《力学》（Mechanica），这是一份对力学的详细数学研究。

 

1670年

巴罗出版了《几何学讲义》（Lectiones Geometricae），其中包含了他关于切线的重要工作，这形成了牛顿微积分工作的起点。

 

1671年，德·维特（De Witt）出版了《关于人寿年金》（A Treatise on Life Annuities）。它包含了数学期望的想法。

 

1671年

詹姆斯·格雷戈里（James Gregory）发现了泰勒定理并将自己的发现写信告诉柯林斯（Collins）。他用arctan(x)的级数展开得到了的π/4的级数。

 

1672年

门戈利（Mengoli）出版了《化圆为方问题》（The Problem of Squaring the Circle），其中研究了无穷级数并给出了π/2的无穷乘积展开式。

 

1672年

莫尔（Mohr）出版了《欧几里得》（Euclides danicus），其中他展示了所有单用圆规也能作出的用尺规能作出的欧氏几何结构。

 

1673年

莱布尼茨（Leibniz）向皇家学会演示了他的半成品计算器。它能够做乘法，除法，开方。

 

1673年

惠更斯出版了《钟摆论》（Horologium Oscillatorium sive de motu pendulorum）。除了钟摆的工作之外，他还研究了曲线的渐屈线和渐伸线，并发现旋轮线和抛物线的渐屈线。

 

1675年

拉海尔（La Hire）出版了《圆锥曲线》（Sectiones conicae），这是关于圆锥曲线的重要著作。

 

1675年

莱布尼茨（Leibniz ）首次使用了积分的当代记号。

 

1676年

莱布尼茨独立于牛顿发现了基本函数的微分。

 

1677年

莱布尼茨（Leibniz ）发现了积、商的微分法则以及函数的函数。

 

1678年

乔瓦尼·塞瓦（Giovanni Ceva）出版了《曲线》（De lineis rectis），其中包含了塞瓦定理。

 

1678年

科克尔（Cocker）的《算术》（Arithmetic）在他去世两年后出版。这本书在大约100年的时期里达到了100个版本以上。

 

1679年

莱布尼茨（Leibniz ）引入了二进制算术。但直到1701年才发表。

 

1680年

卡西尼（Cassini）研究了“卡西尼卵形线”，是平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹

 

1682年

钦豪斯（Tschirnhaus）研究了反射焦散曲线：一个光源发出的光线从一条给定曲线的反射光线的包络线。

 

1683年

関孝和在他发表的著作中首次引入了行列式。他研究了ax - by = 1的整数解，其中a，b是整数。

 

1684年

莱布尼茨在《一种求极大值与极小值和求切线的新方法》（Nova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque Tangentibus）中发表了他的微积分的详述。它包含了我们熟悉的d记号（微分），以及计算幂、积、商的导数的法则。

 

1685年

沃利斯（Wallis）出版了《代数》（De Algebra），包含了牛顿二项式定理的最早描述。它也使哈利奥特的卓越贡献为人所知。

 

1685年

科翰斯基（Kochanski）给出了求圆周长的一种近似方法。

 

1687年

牛顿出版了《自然哲学的数学原理》（The Principia or Philosophiae naturalis principia mathematica）。这本书被公认为有史以来最伟大的科学著作。牛顿提出了关于运动，重力和力学的理论。他的理论解释了彗星的偏心轨道，潮汐及其变化，地球轴线的进动和月球的运动。

 

1690年

雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）首次使用“积分”一词描述曲线下的面积。

 

1690年

罗尔（Rolle）出版了关于方程理论的《代数学》（Traité d'algèbre）。

 

1691年

雅各布·伯努利发明了极坐标，一种使用角度和距离描述空间中点的位置的方法。

 

1691年

罗尔出版了《等式解法》（Méthods pour résoudre les égalités），其中包含了罗尔定理。他的证明使用了胡德（Hudde）的方法。

 

1692年

莱布尼茨引入了术语“坐标”。

 

1693年

哈雷（Halley）出版了波兰城市布雷斯劳（现弗罗茨瓦夫）的死亡率表。他试图将人口中的死亡率和年龄相关联，并证明在未来人寿保险精算表的生产中具有非常大的影响力。

 

1694年

约翰·伯努利（Johann Bernoulli）发现了洛必达法则。

 

1696年

约翰·伯努利（Johann Bernoulli）提出了最速降线问题（Brachristochrone），并挑战其他人来解决这个问题。约翰·伯努利，雅各布·伯努利和莱布尼兹都解决了这个问题。

 

1702年

大卫·格雷戈里（David Gregory）出版了《物理学和天文学的几何原理》（Astronomiae physicae et geometricae elementa），这是牛顿理论的一个普及读本。

 

1706年

琼斯（Jones）在他的《新数学引论》（Synopsis palmariorum matheseos）中引入了希腊字母π来表示圆周长和直径之比。

 

1707年

牛顿出版了《广义算术》（Arithmetica universalis），包含了他在代数学的成果的汇编。

 

1707年

棣莫弗（De Moivre）使用三角函数将复数表示为r(cos x + i sin x)的形式。

 

1708年

拉海尔算出了心脏线的长度。

 

1710年

阿布丝诺（Arbuthnot）在皇家学会发表了一份重要的统计报告，其中讨论了男婴出生率轻微超越了女婴出生率。这篇论文是概率在社会统计的首次应用。

 

1711年

乔瓦尼·塞瓦（Giovanni Ceva）出版了《关于金钱问题》（De Re Nummeraria），数理经济学的最早期作品之一。

 

1713年

雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）的书《猜想的艺术》（Ars conjectandi）是概率的重要工作。它包含了出现在指数级数讨论中的伯努利数。

 

1715年

布鲁克·泰勒（Brook Taylor）发表了《增量的直接与间接方法》（Methodus incrementorum directa et inversa），这是对微积分的重要贡献。该书讨论了微分方程的奇异解，变量替换公式，以及函数导数与反函数导数的关联。还有关于振动弦的讨论。

 

1717年

约翰·伯努利（Johann Bernoulli）表明虚移位的原理适用于所有的均衡情况。

 

1718年

雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）关于变分法的工作在他去世后发表。

 

1718年

棣莫弗（De Moivre）出版了《机会的学说》(The Doctrine of Chances)。统计独立性的定义与骰子和其他游戏的许多问题一起在该书出现。他还研究了死亡率统计数字和年金理论的基础。

 

1719年

布鲁克·泰勒（Brook Taylor）出版了《线性透视原理》（New principles of linear perspective），这本书的第一版在四年前以书名《线性透视论》（Linear perspective）出现。这项工作首次对消失点（vanishing points）进行一般的处理。

 

1722年

科茨（Cotes）未完成工作在他去世后发表为《调和计算》（Harmonia mensurarum）。它涉及有理函数的整合。它包含了微积分应用于对数和圆函数的彻底处理。

 

1724年

雅各布·黎卡提（Jacopo Riccati）在一篇论文中研究了黎卡提微分方程。他对雅各布·伯努利首先研究过的方程的某些特殊情形给出解法。

 

1724年

俄国皇家科学院在圣彼得堡建立。

 

1727年

欧拉（Euler）被指派到圣彼得堡。他在手稿《关于最近所做火炮发射试验的思考》（Meditation upon Experiments made recently on firing of Cannon）中引入符号e表示自然对数的底数。这份手稿直到1862年才发表。

 

 

1728年

格兰迪（Grandi）出版了《几何之花》（Flora geometrica）。他给出了形如花瓣和花叶的曲线的几何定义。例如，玫瑰曲线被这样命名是因为它们看起来像玫瑰，而克利曲线（Clelia curve）是以伯爵夫人克利·博罗梅奥（Clelia Borromeo）命名的，他将他的书献给了伯爵夫人。

 

1730年

棣莫弗（De Moivre）给出了他的关于复数三角表示的进一步的定理。他也给出了斯特林公式（Stirling's formula）。

 

1731年

克莱罗（Clairaut）出版了关于偏斜曲线的《关于双重曲率曲线的研究》（Recherches sur les courbes à double coubure）。

 

1733年

棣莫弗（De Moivre）在《二项式(a+b)^n的展开级数之和的近似算法》(Approximatio ad summam terminorum binomii (a+b)^n in seriem expansi)首次描述了正态分布曲线，又称为误差定律。随后在1820年，高斯也研究了正态分布。

 

1733年

萨凯里（Saccheri）在《欧几里得无懈可击》(Euclides ab Omni Naevo Vindicatus)进行了早期的关于非欧几何工作，尽管他认为这是试图证明欧几里德平行公设。

 

1734年

贝克莱（Berkeley）出版了《分析学家：或致一位不信神的数学家》（The analyst: or a discourse addressed to an infidel mathematician）。他认为，虽然微积分导出了正确的结果，但是它的基础并不比宗教信仰更安全。

 

1735年

欧拉引入了记号f(x)。

 

1736年

欧拉解决了柯尼斯堡七桥问题。他在数学上证明了不可能设计出一种走法使得七条桥都恰好通过一次。

 

1736年

欧拉出版了《力学》（Mechanica），这是第一本基于微分方程的力学教科书。

 

1737年

辛普森（Simpson）为他的私人学生出版了《论流数》（Treatise on Fluxions）。在书中他使用无穷级数来求函数的定积分。

 

1738年

丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）发表了《流体力学》（Hydrodynamica）。它首次给出了从容器的孔流出的水的正确分析，并讨论了泵和其他机械来使水升高。他在第10章中给出了气体动力学理论的基础。

 

1739年，达朗贝尔（D'Alembert） 出版了《微积分实录》（Mémoire sur le calcul intégral）。

 

1740年

辛普森出版了《机会的本质与规律》（Treatise on the Nature and Laws of Chance）。这本概率论著大部分是基于棣莫弗的工作。

 

1740年

麦克劳林（Maclaurin）因他在运用引力理论解释潮汐现象的工作获得了法国科学院的头等奖。

 

1742年

麦克劳林出版了《论流数》（Treatise on Fluxions），旨在通过采用希腊几何的方法为微积分提供严格的基础。这是牛顿方法的第一个系统性的阐述，这些方法是作为对贝克莱对微积分缺乏严格基础的攻击的答复。

 

1742年

哥德巴赫（Goldbach）在一封写给欧拉的信中猜想每个大于或等于4的偶数可以写成两个素数之和。哥德巴赫猜想仍然没有被证实。

 

1743年

达朗贝尔（D'Alembert）出版了《动力学》（Traité de dynamique）。在这部著名的作品中，他阐述了他的原理：运动中的刚体系统的内部行为和反应是处于平衡状态的。

 

1744年，达朗贝尔（D'Alembert）出版了《论流体的平衡与运动》（Traite de l'equilibre et du mouvement des fluides）。他将他的原理应用到流体的平衡与运动中。

 

1746年

达朗贝尔（D'Alembert）在首次尝试证明代数基本定理的过程中，进一步发展了复数理论。

 

1747年

达朗贝尔在《关于风的一般成因的沉思》（Réflexion sur la cause générale des vents）使用偏微分方程研究风，因此获得普鲁士科学院奖。

 

1748年

阿涅西（Agnesi）写了《分析讲义》（Instituzioni analitiche ad uso della giovent italiana），这是一本意大利语的微积分教材。这本书包含了许多精心挑选的例子来说明想法。其中研究了一条被称为“阿涅西的女巫”的曲线。

 

1748年

欧拉出版了《无穷的分析》（Analysis Infinitorum），这是数学分析的入门。他定义了函数并表明数学分析是函数的研究。这项工作是将微积分基于初等函数的理论而不是几何曲线。著名的公式e^(πi) = -1在这本书中首次出现。

 

约1750年

达朗贝尔研究了“三体问题”并将微积分应用到天体力学。欧拉、拉格朗日和拉普拉斯也进行三体问题的工作。

 

1750年

克莱姆（Cramer）出版了《代数曲线分析导论》（Introduction à l'analyse des lignes courbes algébraique）。这本书研究曲线。在第三章研究了曲线的一个分类并给出了著名的“克莱姆法则”。

 

1750年

法尼亚诺（Giulio Fagnano）在《数学成果》（Produzioni matematiche）发表了他以前的大部分工作。它包含了双纽线的显著性质以及积分的加倍公式。欧拉利用这个公式证明了椭圆积分的加法公式。

 

1751年

欧拉发表了他的复数对数理论。

 

1752年

达朗贝尔在研究流体动力学的时候发现了柯西-黎曼方程。

 

1752年

欧拉公布了多面体定理：V-E+F=2。

 

1753年

西姆松(Simson)注意到斐波那契数列中相邻两项之比趋近于黄金分割比例。

 

1754年

拉格朗日（Lagrange）对等时降线做出了重要的发现，这将大大推动变分法这个新学科。

 

1755年

欧拉出版了《微分学原理》（Institutiones calculi differentialis），书的开头包含了有限差分的研究。

 

1757年

以拉格朗日为首的一批科学家，在意大利成立了一个数学协会，这是都灵皇家科学院的前身。

 

1758年

1758年12月25日，哈雷彗星的出现印证了哈雷的预测。此时哈雷已去世15年。

 

1759年

爱皮努斯（Aepinus）出版了《电磁理论的尝试》（Tentamen theoriae electriciatis et magnetismi）。这是第一本发展电磁数学理论的著作。

 

1761年

兰伯特（Lambert）证明了π是无理数。他在1768年发表了一个更一般的结果。

 

1763年

蒙日（Monge）开始了画法几何的研究。

 

1764年

贝叶斯（Bayes）出版了《机会问题的解法》（An Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances），其中给出了贝叶斯概率理论。它包含了重要的“贝叶斯定理”。

 

1765年

欧拉出版了《刚体运动理论》（Theory of the Motions of Rigid Bodies），它为分析力学打下了基础。

 

1766年

兰伯特撰写了《平行线理论》（Theorie der Parallellinien），它是对平行公设的研究。他通过假定平行公设是错的，从而推导出了大量关于非欧几何的结果。

 

1767年

达朗贝尔把因未能证明平行公设而造成的初等几何的问题成称为“初等几何的丑闻”。

 

1768年

兰伯特发表了π是无理数的结果。

 

1769年

欧拉出版了他的三卷本《屈光学》（Dioptics）的第一卷。

 

1769年

欧拉提出了欧拉猜想，即三个四次幂的和不是一个四次幂，四个五次幂的和不是一个五次幂，高次幂依此类推。

 

1770年

拉格朗日证明了任意正整数可表为四个平方数之和。

 

1770年

拉格朗日出版了《关于方程代数解的思考》（Réflexions sur la résolution algébrique des équations），这是一个对于最高次数为四次的方程存在根式解的原因的基础研究。该论文首先将方程的根视为抽象量而不是数字。他研究了根的置换，这项工作导致了群论。

 

1770年

欧拉出版了教科书《代数》（Algebra）。

 

1771年

拉格朗日证明了威尔逊定理（首先由华林（Waring）提出但未给出证明），即n是素数当且仅当(n - 1)! + 1被n整除。

 

1774年

布丰（Buffon）使用一种数学与科学的方法来计算地球的年龄大约为75000年。

 

1777年，欧拉在一份手稿中引入符号i表示-1的平方根，这跟手稿直到1794年才出版。

 

1777年，布丰（Buffon）实施了他的概率实验：通过将小棍子投掷到瓷砖地板上，并计算小棍子与瓷砖线条的相交次数，从而计算π。

 

1779年，裴蜀（Bézout）出版了关于方程理论的《代数方程通论》（Théorie générale des équation algébraiques）。这本书包含了一个现在被称为“裴蜀定理”的结果。

 

1780年

拉格朗日因为研究行星对彗星轨道的扰动的工作获得了法国科学院的最高奖。

 

1781年，库仑（Coulomb）因为研究摩擦力的工作《论简单机械》（Théorie des machines simples）获得了法国科学院最高奖。

 

1781年

威廉·赫歇尔（William Herschel）发现了天王星。

 

1783年

爱丁堡皇家学会成立。

 

1784年

勒让德（Legendre）在他的天体力学著作《关于行星形状的研究》（Recherches sur la figure des planètes）引入了“勒让德多项式”。

 

1785年

孔多塞侯爵（Condorcet）出版了《论多数派决策的概率分析的应用》（Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix）。这是社会科学概率研究的重大进步。

 

1785年

勒让德提出了二次互反律，但他的证明不正确。

 

1785年

孔多塞侯爵（Condorcet）出版了《论多数派决策的概率分析的应用》（Essay on the Application of Analysis to the Probability of Majority Decisions），这是在概率论发展过程中的极其重要的工作。

 

1785年

拉格朗日开始了关于椭圆函数和椭圆积分的工作。

 

1788年

拉格朗日出版了《分析力学》（Mécanique analytique）。它总结了自牛顿时期以来在力学领域完成的所有工作，值得注意的是它使用微分方程理论。通过这项工作，拉格朗日将力学转化为数学分析的一个分支。

 

1792年

德·普隆尼（De Prony）开始主要制作《地籍图》（Cadastre）。它由精确到14至29位小数的对数与三角函数表组成。

 

1794年

勒让德出版了关于几何的《几何学原理》（Eléments de géométrie），它将是接下来100年的重要著作。它将在欧洲大部分地区以及随后的译本和在美国取代欧几里得的《几何原本》作为教科书。它成为后来的几何课本的原型。

 

1796年

拉普拉斯（Laplace）在《宇宙系统论》（Exposition du systeme du monde）提出了着名的星云假说，它将太阳系视为起源于大型、扁平和缓慢旋转的炽热气体的收缩和冷却。

 

1796年

高斯（Gauss）给出了二次互反律的首个正确证明。

 

 

1797年

拉格朗日出版了《解析函数论》（Théorie des fonctions analytiques）。它是第一本研究单变量实变函数理论的论文。它使用现代记号，例如dy/dx表示导数。

 

 

1797年

韦塞尔（Wessel）提出了一篇关于复数的向量表示的论文，该论文在1799年用丹麦语发表。这个想法出现在1787年他所写的一份报告中。

 

1797年，马歇罗尼（Mascheroni）在《圆规几何》(Geometria del compasso)中证明了所有点尺规作图都能单由圆规来完成，这时直尺是多余的。

 

1797年

拉扎尔·卡诺（Lazare Carnot）出版了《关于无穷小分析的形而上学的思考》（Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal），书中把零和无穷作为极限来处理。他认为无穷小量是真实的对象，可以表示为极限的差。

 

1799年

高斯证明了代数基本定理，并注意到早期的证明，例如达朗贝尔在1746年的证明，可以很容易修正。

 

1799年

拉普拉斯出版了五卷本《天体力学》（Traité de mécanique céleste）的第一卷。它应用微积分研究天体的轨道，并检验太阳系的稳定性。

 

1799年

蒙日（Monge）出版了《画法几何学》（Géométrie descriptive），描述了正投影，这是现代机械制图中使用的图形化方法。

 

1799年

鲁菲尼（Ruffini）发表了高于四次的代数方程没有根式解的第一个证明。这个证明以及他后来在1803年，1808年和1813年发表的进一步的证明很大程度上都被忽视了。

 

 

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俄罗斯人民友谊大学的客座教授Durvudkhan Suragan和他的团队已经得到并证明了一类新的泛函不等式。哈代不等式是一类数学物理中重要的问题。研究的结果发表在《数学进展》(Advances in Mathematics)杂志上。

 

 

所谓哈代不等式(Hardy's inequalities)的性质已经被全世界的数学家研究了将近一个世纪。它们是级数和积分之间某种特定的关系。在泛函分析中哈代不等式被当做工具用来研究数学和力学中的很多问题。同时在退化微分方程理论（椭圆型偏导数）、谱理论、非线性分析以及插值理论中具有应用。

哈代不等式的以及其他的类似问题的研究主要是在欧几里得向量空间中进行的。

从更高等的数学角度来看，欧几里得空间是一个给定点乘运算的集合，集合可以由任意元素构成。二维和三维空间是欧几里得空间中特殊的情况。鲁德大学的团队拓展了哈代不等式的理论，通过一种更复杂的数学对象——齐性拓扑群来进行研究。

一个集合被称作拓扑群，如果它既是一个拓扑空间也是一个群，同时乘积算子和取逆元素的运算是连续的。一类拥有特殊性质的子集（拓扑）构成了拓扑空间。除了这些子集，拓扑包括了任意数量的这些子集的并集，，以及交集（仅限于有限个子集）和空集。一个群结构的存在意味着这个集合有着相关的代数运算，它包括所谓的“恒等元”（在乘法中有1的性质），以及所有的元素都有逆元。

现有的在一个齐性拓扑群中建立泛函不等式方法是基于研究范数的性质。数学中的范数是一个满足特定要求的非负复合函数。复数的模和向量长度是简单的范数例子。研究作者提出的新方法允许使用随机范数，而不是过去使用的严格确定和固定复合函数。

团队的研究结果是在齐性群上建立了一类新的哈代不等式类型。它的一个特殊应用就是阿贝尔群上的分析学。阿贝尔性（或者交换性）表现为一个群运算的结果独立于元素的顺序。一个关于交换性的特殊例子就是众所周知的法则“改变求和数的求和顺序不会改变和”。科学家指出最新的取得公认的不等式可能被应用在非线性微分方程理论中。

研究的结果主要是理论性和基础性的。现有的哈代型不等式分析结果已被重新考虑并扩展到新的数学对象群体中。因此，对于这些不等式更多未知的应用可能会被发现。

 

参见：Michael Ruzhansky et al. Hardy and Rellich inequalities, identities, and sharp remainders on homogeneous groups, Advances in Mathematics (2017). DOI: 10.1016/j.aim.2017.07.020

 

 

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原文作者，Kevin Hartnett，量子杂志资深作家。

翻译作者，我是崔小白，哆嗒数学网翻译组成员。

校对，Math001。

 

 

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两位数学家已经证明了两个不同的无穷其大小是相等的，解决了数学界一个长期存在的问题。他们的证明建立在无穷的大小和数学理论的复杂性之间意外的联系上。

 

 

在一项颠覆了几十年传统智慧的突破中，两位数学家证明了两种不同的无穷大实际上大小相等。这一进展涉及到数学中最著名、最棘手的问题之一：自然数的无穷与实数的无穷之间是否存在别的无穷。

 

 

这个问题早在一个世纪前就被发现了。当时数学家们知道“实数比自然数多，但不知道多多少。实数的无穷是刚刚好比自然数大的那个无穷，还是它和自然数之间还有别的无穷？”芝加哥大学的马利亚里斯（Maryanthe Malliaris）说，他与耶路撒冷希伯来大学和罗格斯大学的萨哈龙·希拉一起合作完成了这项新工作。

 

 

在他们的新工作中，马利亚里斯和希拉（Shelah）解决了一个70年没解决的相关问题，即一个无穷大(称为p)是否小于另一个无穷大(称为t)的大小判定问题。他们证明了两者实际上是相等的，这让数学家感到意外。

 

 

“当然，无论是我个人观点，还是之前大家的看法，都认为p应该小于t，”希拉说。

 

 

马利亚里斯和希拉去年在“美国数学学会杂志”上发表了他们的证明，并在去年七月荣获了集合论领域的最高奖项之一。然而他们的工作远远超出了这两个无穷数的相关问题。它为无限集合的大小和另一个不同邻域数学理论复杂性之间开辟了一条意想不到的联系通道。

 

多种无穷

 

 

无穷的概念令人费解。那么会不会存在很多大小不同的无穷呢？这可能是有史以来最违反直觉的数学发现。然而当我们用一个配对的游戏来解释的时候，连小孩子都能理解。

 

 

假设你有两组物体，或者两组“集合”，就像数学家所说的那样：一组汽车和一组司机。如果每辆车只有一个司机，没有空车，没有司机留下，那么你就知道汽车的数量等于司机的数量(即使你不知道这个数字是多少)。

 

 

在19世纪后期，德国数学家乔治·康托在数学的形式语言中领会到了这种匹配策略的精髓。他证明了两个集合当它们可以一一对应时，它们大小是相同的，或者说它们具有相同的“基数”——即当每辆车只有一个司机时。也许更令人惊讶的是，他证明了这种方法也适用于无限大的集合。

 

 

考虑自然数:1、2、3等等。自然数的集合是无限的。但是对于偶数和质数的集合呢?每一个集合起初看起来都是自然数的一个较小的子集。实际上，在数轴上的任何有限长度上，都有大约一半的偶数是自然数，而质数的数目则更少。

 

 

 

然而无限集的表现却不同。康托表示这些无限集的元素之间存在一一对应关系。

1    2    3    4    5    … （自然数）

2    4    6    8    10 … （偶数）

2    3    5    7    11 … （质数）

 

 

 

正因为如此康托得出的结论是，三个集合都是一样大。数学家把这个大小的集合称为“可数的”，因为您可以为每个集合中的每个元素标记一个编号。

 

 

在确立无限集的大小之间可以进行一一对应的比较后，康托做出了一个更大的飞跃：他证明了一些无限集其实比自然数集更大。

 

 

考虑实数，也就是数轴上的所有点。 实数有时被称为“连续统”，反映了它们的连续性：在一个实数与下一个实数之间没有空隙。康托能够证明实数不能与自然数进行一一对应：即使在创建了一个将自然数与实数相匹配的无限列表之后，总是可以拿出另一个不在你的列表上的编号的实数。 因此他得出结论：实数集合大于自然数集合。于是第二种无穷诞生了：即不可数无穷。

 

 

然而有个问题康托始终无法解决，即是否存在一个中间大小的无穷——介于可数的自然数集的大小和不可数的实数集之间。他认为没有，这是一个现在被称为连续统假设的猜想。

 

 

在1900年，德国数学家希尔伯特列出了数学中最重要的23个问题。他把连续统假设放在首位。“这似乎在说，我们迫切的想知道这个问题的答案，”马利亚里斯说。

 

 

在这之后的一个世纪，尽管数学家们拼尽全力，这个问题本身已经证明它是史无前例的难以攻克。介于中间的那个无穷存在吗？ 我们可能永远都不知道。

 

 

力迫法证明

 

 

在整个20世纪上半叶，数学家试图通过研究出现在许多数学领域的各种无限集来解决连续统假设。他们希望通过比较这些无穷大之间的大小，可以开启对自然数的大小和实数的大小之间可能存在的中间数的间隔的理解。

 

 

这些无穷大的大小判定研究，很多被证明对连续统假设没有用。在20世纪60年代，数学家保罗·科恩解释了其中的原因。 科恩提出了一种叫做“力迫”的方法，证明了连续统假设独立于数学公理，也就是说，在集合论的框架内是无法证明的。 （科恩的工作补充了库尔特·哥德尔1940年的工作，哥德尔的成果表明连续统假设不能用通常的数学公理来否定它。）

 

 

科恩的工作成果于1966年为他赢得了菲尔兹奖（数学最高荣誉之一）。数学家随后用力迫法来解决在前半个世纪中所提出的无穷之间的许多大小判定，表明这些大小判定也不能在集合论框架得到肯定或否定的回答。（具体来说，ZF（策梅洛-弗兰克尔）集合论加上选择公理。）

 

 

然而有些问题仍然存在，其中包括20世纪40年代提出的关于p是否等于t的问题。p和t都是两个无穷有序集的大小，它用精确的(而且似乎是唯一的)方法量化了自然数极小子集族的大小。

 

 

两个集合大小的细节并不重要。更重要的是数学家们很快就发现了p和t大小的两种情况，首先，两组都比自然数大。第二，p总是小于等于t，因此如果p小于t，那么p就是一个中间的无穷——介于自然数和实数的大小之间。那连续统假设便是错误的了。

 

 

简单的说说这个问题是什么：p是一个具有“强有限交性”和没有“伪交性”的自然数无穷子集合组成集族的最小的无穷，这意味着其中的子集以一个特定的方式相互重叠；t称为“塔数”并且是按“反向几乎包含”且没有“伪交性”的自然数无穷子集合组成的集族的最小大小的有序集合的无穷。

 

 

数学家之前倾向于认为p和t之间的关系不能在集合论框架内被证明，但是他们也不能确定问题的独立性。p和t之间的关系几十年来一直处于这种未确定的状态。 直到马利亚里斯和希拉涉及别的研究领域后，才最终找到了解决办法。

 

 

复杂性的序

 

 

当保罗·科恩用力迫法证明了连续统假设在通常的数学框架之外的时候，模型论领域正在开展一项截然不同的工作。

 

 

对于模型论家来说，“理论”是定义数学领域的一套公理或规则。你可以将模型论视为一种对数学理论进行分类的方式——对数学源代码的探索。威斯康星大学麦迪逊分校数学退休教授H·杰罗姆·基斯勒说：“我认为人们有兴趣对理论进行分类的原因是他们想要了解一些特定事情在不同数学领域里发生的真正原因。”

 

 

 

1967年，基斯勒介绍了现在所谓的基斯勒序，这个序关系试图根据数学理论的复杂性将其进行分类。 他提出了一种衡量复杂性的技术手段，并试图证明数学理论至少可以分为两类：最小复杂性和最大复杂性。基斯勒说：“这是一个小起点，但是我的感觉就是这里有无穷的类。

      

 

 

在基斯勒建立基斯勒序十多年后，希拉发表了一本有影响力的书，其中包括一个重要的章节，证明了复杂性中有自然发生的跳跃——具有较大复杂性的理论与较小复杂性理论之间可能存在一条明确的分割线。而此后30的年，基斯勒序的研究几乎没有任何进展。

 

 

一个理论具有复杂性，其意义并不总是那么显而易。这个领域的很多工作在某种意义下是如何让大家直观的理解这些问题。基斯勒将复杂性描述为一种理论中可能发生的事情的范围，如果一个理论较之于另一个理论中可能发生的事情越多，我们就说前者理论更复杂。

 

 

 

然后，在她2009年的博士论文和其他早期论文中，马里亚里斯重新开始了关于基斯勒序的工作，并为其作为分类程序的权提供了新的证据。 2011年，他和希拉开始合作，旨在更好地理解序的结构。 他们的目标之一是依托基斯勒的标准，找到更多的性质，构造出具有最大复杂性的理论。

 

 

         

马里亚里斯和希拉尤其关注两个特别的性质。他们已经知道其中一个会导致极大的复杂性。他们想知道另一个是否也如此。随着他们工作的进展，他们意识到这个问题与p和t是否相等的问题是平行相关的。2016年，马里亚里斯和沙拉发表了一篇60页的论文，解决了这两个问题：他们证明了这两个特性是具有相同复杂性的(它们都导致了最大的复杂性)，并且证明了p等于t。

 

 

“不知不觉中，一切都准备就绪，”马里亚里斯说。“然后问题就顺理成章的解决了。”

 

 

今年七月，马利亚里斯和希拉被授予豪斯多夫奖(Hausdorff Medal)，集合论的最高奖项之一。这项荣誉印证了他们证明是一个令人惊奇的结果，也印证了他们证明的强大力量。因为在集合论的框架内证明p和t不相等是不可能的，大多数数学家曾经期望p可以小于t。马利亚里斯和希拉证明了两个无穷大是相等的。 他们的工作也表明，p和t之间的关系比数学家之前知道的要深奥得多。

 

 

 

“我觉得如果有一天人们意外地发现两个基数相等，那么该证明可能是令人惊讶的，但那可能是一个简短而睿智的论证，不涉及建立任何实体的机制。”康奈尔大学的数学家贾斯汀·摩尔（Justin Moore）说到，他发表了一篇有关马利亚里斯和希拉的证明的概述。

 

 

相反，马利亚里斯和希拉证明了p和t是相等的，通过在模型论和集合论之间开辟一条通路，并已经在这两个领域开辟了新的研究前沿。他们的研究也最终解决了数学家们希望能够帮助解决连续统假设的问题。然而专家们的压倒性的感觉是，无法解决的连续统假设是错误的：虽然无穷在很多方面的性质异于常态，如果在已发现的无穷之间没有更多大小不同的无穷，那么这太不同寻常了。

 

 

澄清：在9月12日，本文进行了修改，以澄清20世纪上半叶的数学家想知道连续统假设是否属实。 正如文章所述，这个问题在很大程度上取决于保罗·科恩的工作。

 

 

 

我们哆嗒补录的番外篇：

 

这篇文章提到的问题叫做极小塔问题(The Minimal Tower Problem),收录在科学出版社出版的《10000个科学难题(数学卷)》中，我们把这一页截图呈上。

 

 

遗憾的是我们偶然发现这里居然有笔误。这里两个箭头，左边一个箭头的α不应该写在下标位置，应该写在正常位置。而右边箭头的α其实写错了，应该是a 。我们已经把这个问题向出版社反馈了。

 

另外，文章中提到的连续统基数的确定的问题，是一个更加诡谲的问题。这书里也有介绍，标题叫做《连续统势确定问题》。

 

总体来说，这本书是本非常好的收录当代数学难题的工具书。

 

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原文作者，Alex Doak，伦敦大学学院流体力学博士。

翻译作者，溦之洸茫，哆嗒数学网翻译组成员。

校对，我是崔小白。

 

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希腊：留克特拉 （公元前371年）

出于对至高权力的渴望，古希腊的各城邦总是在不断经历战火的洗礼。在一阵短暂的和平后，当时的霸权斯巴达公然挑战底比斯的政治地位。由于底比斯拒绝解散由其主导重建的彼奥提亚邦联同盟（Boeotian Confederacy），斯巴达对其宣战。底比斯城以及她的盟友聚集了7200名重装步兵（hoplites），由将军埃帕米侬达（Epaminondas）率领，来到了留克特拉的地界，在那里等待他们的是9600名斯巴达重装步兵。

 

此时斯巴达国王克莱奥姆波洛图斯（Cleombrotus）情绪十分阴郁，尽管近期在军事上有过胜利，然而在前往留克特拉的行军路上已经显现了凶兆，尤其是因为献祭给神灵的动物被狼吃了。然而在对手下各个将军进行询问之后，发现他们都确信斯巴达能够取得胜利。现在他召唤你这个奇怪的旅行者，希望通过你的惊人洞察力帮助他分析未来。

 

 

一对一战斗及兰彻斯特线性律

在所有的数学建模中，如果希望得到有意义的结果，我们必须理解所模拟战斗过程的基本机制。在这个例子中，我们需要对古希腊战争有更好的了解。希腊城邦的部队主要是有重装步兵组成。在战斗中，这些人采用的是‘臭名昭著’的方阵队列：士兵们组成数排密集的横向队列，手持长矛和盾牌迎击他们的敌人。每一支部队同时前行，最勇敢和最有战斗经验的军人是在前排，这样才能保证行进的队伍不会减速和逃窜。两军接触后，盾牌互砸，长矛互戳，血肉横飞，尸横遍野……最终，在经受一定的兵力损失后，一方的队形完全崩溃，士兵开始大量逃窜，最终不可避免地被击败。
 

对于这一类的战斗，兰彻斯特首次给出了一个简单的模型，他假设军队的交战是由一对一的形式进行的。也就是说，每名士兵只和与他对应的那一名敌军士兵交战，没有参与打斗的士兵在后排静静等待着他们战斗回合的到来。假设军队数量在时间t内是连续的。斯巴达军队士兵数S(t)及底比斯军队士兵数T(t)的变化率可以表示为：
 

其中，N指的是在某一时间双方各自的交战人数。我们已知克莱奥姆波洛图斯国王的方阵是由希腊重步兵组成的标准12排方阵，那么第一排就有9600/12=800人。同时，克莱奥姆波洛图斯国王认为底比斯军队为了避免侧翼被包抄，会采用同是每排800人的9排的方阵来迎击自己的军队。古希腊时期战斗的一个典型特点是伤亡相对较低，我们可以假设如果任意一方士兵数不足以维持6排阵列（即T＜4800或S＜4800），士兵就会产生恐慌情绪进而逃窜。

K_T和K_S分别表示两只军队的战斗力。如果K_T=1 (K_T表示K的下标是T，下文相应情况类似)，意味着单位时间内，每一位在战斗的底比斯士兵都杀死了一名斯巴达士兵；如果K_T=0，表明没有底比斯士兵杀死斯巴达人。兰切斯特杀伤率（Lanchester attrition rates ，即K_T和K_S）不一定要为常数：它们可以是与时间有关的（战斗进行过程中士兵会变疲劳），或是依赖于S和T的数值（以寡敌众会扼杀士兵的希望，或是使它们更加拼命战斗）。不过，为了简单起见，我们认为这两个参数是常数。

 

那么问题来了：战斗中底比斯人的表现要比对手斯巴达人好出多少才能保证自己取得胜利？

我们建立的耦合系统非常容易求解，用（1）式除以（2）式，得到
 

对上式积分，并将S与T的初值带入，得到
 

 

请注意，上述方程体现了军队中士兵数和他们总的战斗力是呈线性关系的（即著名的兰彻斯特线性律）。这是因为我们采用了一对一的战斗模型假设。底比斯要取得胜利，换言之在某一时间t^*(t^*表示t的下标是*，下文相应情况类似),S(t^*)=4800且T(t^*)＞4800，将S(t)=4800带入方程（4），并重新写出T的表达式，代入T(t)>4800，可以得到底比斯取得胜利的条件为
 

 

 
 

将这些信息呈给克莱奥姆波洛图斯国王，你除了看到他的自信之外并不能提供什么帮助：斯巴达人是当时最勇猛的战士，尽管他的盟军并不是这种最高质量的军队，那也没有理由认为他们会比底比斯的彼奥提亚联合军“弱”两倍。（译者注：这里的弱两倍指K_S/K_T＜0.5，也就是K_T/K_S＞2）

 

远程的战斗：瞄准火力和兰彻斯特平方律

 

尽管希腊战场主要是重步兵的舞台，双方军队还是会拥有一些轻装部队（通常来说是非希腊籍的雇佣兵），他们被称为轻装步兵，（peltasts，此文文中可理解为远程步兵）。他们携带标枪和投石索，在战斗中向敌人投掷射击。轻步兵主要用于袭扰敌人两翼，除了几个非常特殊的战例之外，他们对战局不起决定作用。同样，我们让斯巴达的500名轻步兵与底比斯1000名轻步兵交锋，看看会发生什么。

 

在这种场合下，我们用到的模型是兰切斯特瞄准火力模型。斯巴达轻步兵P(t)及底比斯轻步兵Q(t)的变化率可以表示为：
 

 

这是因为标枪手间的战斗不再是一对一了。相反地，所有士兵可以在同一时间向敌人射击。（译者注：这里的“一对一”不是强调是否是两个人的单打独斗，而是指同一时间能够向敌人攻击的人数，在前面（1）、（2）方程的耦合系统中，某一时刻在进攻敌人的人数为定值N，（5）、（6）方程中这个值是此时刻尚存的人数。这也就是线性律和平方律的本质区别所在。）因此，P的死亡率等于向他们射击的Q的数值乘以一个系数α。同样，这里的变量α_Q不一定为常数，通常来讲在非瞄准射击的情况下，它是与P（即Q可以攻击的目标数）成正比的。简单起见，我们依然认为这两个参数为常数。

 

将（5）式除以（6）式，得到
 

通过分离变量法解微分方程，并带入初始条件，得到
 

人数与总战斗力由线性关系变成了平方关系，这就是著名的兰彻斯特平方律。从这个等式中我们可以看出，数量要比质量更重要。比敌方人数少一半的斯巴达轻步兵的战斗效率要达到敌方的四倍(α_P/α_Q＞4)才能与其打成平手。这些等式是在1916年第一次世界大战时推导出的，或许可以解释当时的人们对军事的一些想法。

 

战斗当天
 

部队：这是战斗中的一个传统，因为士兵的左手绑着盾牌，前进中他们会有向右偏移的趋势，将精锐部队放在右翼可以遏制这种趋势。埃帕米侬达将自己的精锐部队放在左翼，这样以来他可以尽快消灭斯巴达军队的精锐，以免拖到后期己方在人数上的劣势会成为大问题。

 

 

吃完早餐并享用了一点葡萄酒之后，克莱奥姆波洛图斯国王和他的军队来到了留克特拉的开阔平地。国王和他最勇猛的战士位于右翼。可以看到远处的底比斯人正在缓缓接近，扬起一阵尘土。遭遇战首先在两军的轻步兵之间展开，此时两军的重步兵间还有一段距离。随着底比斯军队的靠近，克莱奥姆波洛图斯国王发现不对劲：底比斯人不按套路出牌，在斯巴达军队的右翼方向聚集了一个50排的队列。这50排队列冲到了克莱奥姆波洛图斯国王所在的位置。开始并没什么作用：残酷的战斗是在前排进行的，正如兰彻斯特线性律，双方都死伤惨重。然而随着战斗的进行，很显然50人纵深的底比斯军队不可能被仅仅12排的斯巴达人打败。目睹了斯巴达精锐部队一点点消亡并最终溃散，斯巴达的友军也开始效仿，竞相逃离战场，尽管在此时他们面对的敌人数还是比己方少的。和很多斯巴达士兵一样，克莱奥姆波洛图斯国王也被杀死了，斯巴达在希腊的统治地位画上了一个血腥的句号。

 

 

对模型的一点说明

 

兰彻斯特方程是人口种群建模中非常简单的一个例子，在对很多其他‘捕食者-猎物相互作用系统（其中最经典的要算是狐狸和兔子）’的建模中也有类似的方程。当然完全不必局限于两个“物种”，“物种”也不一定非要为有生命的有机体。

这些方程看上去太简单了，以至于他们并不能真正反映战争的形态。其中最突出的弱点就是兰彻斯特杀伤率。把一支军队的能力简化为一个不依赖于时间和空间的常数，这个假设真的很难被人认可。况且，该模型还要求两方军队都是同类的（也就是说所有部队在计算中都要被认为是一致的）。同时，这也反映了埃帕米侬达的精明之处：他并不把敌人简单地看作清一色的9600名重步兵，而是看作一小队斯巴达人加上一大堆没什么大用的盟友。依靠“擒贼先擒王”的策略，埃帕米侬达在军队人数上的劣势就不是什么问题了。正如J-K Anderson所说：“战场上双方军队中相当大的一部分和观众没什么区别”。

尽管这个模型有着缺陷，但是平方律揭示了瞄准火力模型比一对一模型更加有趣的特性。在瞄准火力的攻击情况下，将人数较多的军队分为两部分，让人数较少的军队逐次和这两部分军队交战，那么人数较少的军队也会取得胜利。这种战术会在线性律的模型下失效：如果斯巴达的盟友并未逃离战场，那么历史可能会被重新书写！
 

 

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原文作者，圣安德鲁斯大学数学与统计学院。

翻译作者，mathyrl，哆嗒数学网翻译组成员。

校对，math001。

  

 

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从今天起，我们将连载这部数学编年史。本文是翻译版本，因为工作量巨大，必有疏漏（包括原文也会有错误），欢迎指正。

 

这应该是网上最全的数学编年史，从公元前30000年到公元2000年，哆嗒数学网为你奉献。

 

这里是 数学上下三万年（三）：大航海时代

 

本期发布的编年史主要涵盖15世纪到17世纪，这在欧洲是大航海时代。航海和交易的需求，促进了数学的发展。而中国在同时期处于明朝，民间开始禁止研究天文学，另外到了明朝中后期，开始流行经世之学。

 

本期出场人物有：哥白尼、卡尔达诺、韦达、开普勒、伽利略、纳皮尔、费马、笛卡尔等。

 

 

 

本系列下面是往期内容：

 

数学上下三万年（一）：爱在西元前

 

数学上下三万年（二）：从罗马时代到中世纪

 

 

1470年

许凯（Chuquet）撰写了《算术三编》(Triparty en la science des nombres)，这是最早的法文代数书。

 

1472年

普尔巴赫（Peurbach）发表《行星的新理论》（Theoricae Novae Planetarum）。他使用托勒密的行星本轮理论，但他相信它们是由太阳控制。

 

1474年

约翰·缪勒（Regiomontanus）发表了他的《星历表》（Ephemeris），为1475年至1506年的天文表，并提出了利用月球计算经度的方法。

 

1475年

约翰·缪勒发表了《论平面与球面三角形》（De triangulis planis et sphaericis），该书研究球面三角学并将它应用到天文学。

 

1482年

坎帕努斯（Campanus of Novara）版本的《几何原本》成为第一本印刷的数学书。

 

1489年

魏德曼（Widman）撰写了德语的算术书，其中首次出现了“+”、“-”号。

 

1494年

卢卡·帕西奥利（Pacioli）出版了《算术、几何、比例总论》（Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita），是对整个数学的总结，覆盖了算术，三角，代数，货币和度量衡表，赌博，复式记账法和欧氏几何概述。

 

1514年

范德·赫克( Vander Hoecke )使用“+”，“-”号。

 

1515年

希皮奥内·德尔·费罗（Del Ferro）发现求解一元三次方程的公式。

 

1522年

滕斯托尔（Tunstall）出版了《论计算的艺术》（De arte supputandi libri quattuor），这本算术书基于帕西奥利的《算术、几何、比例总论》。

 

1525年

鲁道夫（Rudolff）在他的书《物术》(Die Coss)中引入了一个类似√的符号表示平方根，这是第一本德语代数书。他理解x的零次方等于1。

 

1525年

丢勒（Dürer）出版了《度量四书》（Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheit），这是第一本用德语出版的数学书。它是关于几何结构的著作。

 

1533年

弗里修斯（Frisius）发表了使用三角学进行精确勘测的方法。他是第一个提出三角测量法的人。

 

1535年，塔尔塔利亚（Tartaglia）独立于费罗解出了一元三次方程。

 

1536年

雷吉乌斯(Hudalrichus Regius)找到第五个完全数。这个数2^12·(2^13 - 1) = 33550336是自古代（已发现四个完全数）以来被发现的第一个完全数。

 

1540年

费拉里（Ferrari）发现了一元四次方程求根公式。

 

1541年，雷蒂库斯（Rheticus）出版了他的三角函数表和哥白尼工作的三角学部分。

 

1543年，哥白尼（Copernicus）出版了《天体运行论》（De revolutionibus orbium coelestium）。它给出了哥白尼学说的一个完全阐述，即太阳（不是地球）位于宇宙的中心。

 

 

1544年

施蒂费尔（Stifel）出版《整数算术》（Arithmetica integra），其中包含了二项式系数和记号+, -, √。

 

1545年

卡尔达诺（Cardan）出版了《Ars Magna》（大术），给出三次方程一般解法的公式（基于塔尔塔利亚的工作）和费拉里发现的四次方程一般解法的公式。

 

1550年

里斯（Ries）出版了他的著名算术书《运算的变革和突破》（Rechenung nach der lenge, auff den Linihen vnd Feder）。它同时使用老的算盘方法和新的印度方法教授算术。

 

1551年

雷科德（Recorde）翻译和简化古希腊数学家欧几里得的《几何原本》，名为《知识之途》(Pathewaie to Knowledge)。

 

1555年

沙博(J Scheybl)给出了第六个完全数2^16·(2^17 - 1) = 8589869056，但他的工作直到1977年才为人所知。

 

1557年

雷科德出版了《砺智石》（The Whetstone of Witte），它将=（等号）引入了数学。他使用这个符号“因为没有其它东西比之更相等的了”（bicause noe 2 thynges can be moare equalle）。

 

1563年

卡尔达诺撰写了关于赌博的书《论掷骰子》（Liber de Ludo Aleae），但直到1663年才出版。

 

1571年

韦达（Viete）开始出版《数学法则》（Canon Mathematicus），他打算把它作为他的天文学论著的数学导引。它涵盖了三角学，包含三角函数表及其构造背后的理论。

 

1572年

邦贝利（Bombelli）出版了他的《代数学》的前三部分。它是第一个给出复数计算法则的人。

 

1575年

莫罗利科(Maurolico)出版了《算数》(Arithmeticorum libri duo)，其中包含了归纳证明的例子。

 

1585年

斯蒂文（Stevin）出版了《论十进》（De Thiende），书中他对十进制小数给出了初等的和彻底的阐述。

 

1586年

斯蒂文出版了《静力学原理》(De Beghinselen der Weeghconst)，书中包含了力的三角形定理。

 

1590年，卡达迪（Cataldi）使用连分数来寻找平方根。

 

1591年，韦达撰写了《分析艺术导论》（In artem analyticam isagoge），使用字母作为已知量和未知数的符号。他用元音字母表示未知数，辅音字母表示已知量。笛卡尔后来引入了字母表末尾的字母x，y ...表示未知数。

 

1593年

阿德里安·范·罗门（Van Roomen）计算π到16位小数。

 

1595年

皮蒂斯克斯（Pitiscus）成为第一个在印刷出版物中使用术语“三角学”的人。

 

1595年

克拉乌（Clavius）撰写《罗马新历之辩》(Novi calendarii romani apologia)为历法改革辩护。

 

1603年

卡达迪（Cataldi）找到第六个和第七个完全数：2^16·(2^17 - 1) =8589869056 和 2^18·(2^19 - 1) = 137438691328。

 

1603年

意大利猞猁之眼国家科学院（Accademia dei Lincei）在罗马建立。

 

1606年

斯涅尔（Snell）首先尝试测量地球表面上的1度子午线弧度，从而确定地球的大小。他出版《数学备忘录》（Hypomnemata mathematica），这是斯蒂文在力学方面的工作的拉丁文翻译。

 

1609年

开普勒（Kepler）出版《新天文学》（Astronomia nova）。这项工作包含开普勒关于椭圆轨道的第一和第二定律，但只对火星进行了验证。

 

1610年

伽利略（Galileo）出版了《星际信使》（Sidereus Nuncius），描述了用他制作的望远镜做出的天文发现。哈里奥特（Harriot）也观察到木星的卫星，但没有发表他的工作。

 

 

1612年

巴协（Bachet）出版了关于数学谜题和技巧的著作，这将成为几乎所有后来有关数学娱乐的书籍的基础。他设计了一种构建幻方的方法。

 

1613年

卡达迪(Cataldi)出版了《关于求数的平方根的简易算法》（Trattato del modo brevissimo di trovar la radice quadra delli numeri），其中他用连分数求平方根。

 

1614年

约翰·纳皮尔（Napier）出版了他的关于对数的著作《奇妙的对数规律的描述》（Mirifici logarithmorum canonis descriptio）。

 

1615年

开普勒出版了《求酒桶体积之新法》（Nova stereometria doliorum vinarorum），考察酒桶的容积，表面积和圆锥曲线。他在1613年他的婚典上首次产生这个想法。他的方法是微积分的早期应用。

 

1615年

梅森（Mersenne）鼓励数学家们研究旋轮线。

 

1617年

斯涅尔发表了他的三角测量技术，提高了制图测量的准确性。

 

1617年

布里格斯（Briggs）出版了《自然数从1到1000的对数》（Logarithmorum chilias prima），其中引入了以10为底的对数。

 

1617年

纳皮尔发明了“纳皮尔骨算筹”，这是一个由一些小棒组成的机械计算器。他在《算筹的研究》（Rabdologiae）解释了它们的功能，该书在他去世那年出版。

 

1620年

比尔吉（Bürgi）出版了《算术与几何进展一览表》（Arithmetische und geometrische progress-tabulen），其中包含了他独立于纳皮尔发现的对数。

 

1620年

甘特（Gunter）制作了一种机械装置：“甘特式计算尺”，它使用一把尺和一个圆规，基于对数来做乘法。

 

1620年

古尔丁（Guldin）给出古尔丁质心定理，该定理是帕普斯(Pappus)已经知道的。

 

1621年

巴协（Bachet）翻译出版了丢番图的希腊文著作《算术》的拉丁文译本。

 

1623年

施卡德（Schickard）制作了一个“机械钟”，这是一个木制计算器，能做加减法和辅助计算乘除法。他写信给开普勒建议使用机械方式来计算星历表。

 

1624年

布里格斯出版了《对数的算术》（Arithmetica logarithmica），其中引入了术语“尾数”和“特征”。他给出了自然数1到20000以及90000到100000的对数，计算到14位小数，同时也给出了15位小数的正弦函数表和10位小数的正切及正割函数表。

 

1626年

吉拉德（Albert Girard）出版了一本三角学论著，其中首次使用了缩写sin，cos，tan。他也给出了球面三角形的面积公式。

 

1629年

费马（Fermat）从事极大值和极小值的工作，这是对微积分的早期贡献。

 

 

1630年

奥特雷德（Oughtred）发明了一种早期形式的圆形计算尺，它使用两个甘特计算尺。

 

1630年

麦多赫（Mydorge）从事光学和几何学工作。他给出了巴黎的纬度的非常精确的测量。

 

1631年

哈里奥特（Harriot）的贡献直到他去世十年之后才发表在《分析艺术的实践》（Artis analyticae praxis）。这本书引入了符号>和<表示“大于”和“小于”，但这些符号是由于编辑的工作而不是哈里奥特自己。他在代数方面的工作也非常令人印象深刻，但这本书的编辑没有很好地表现出来。

 

1631年

奥特雷德（Oughtred）出版了《数学精义》（Clavis Mathematicae），其中包括印度-阿拉伯语记号和十进制小数的描述。它有相当大的一部分是关于代数的。

 

1634年

罗贝瓦尔（Roberval）找出了旋轮线下的面积。

 

1635年

笛卡尔（Descartes）发现了多面体欧拉定理：V-E+F=2。

 

1635年

卡瓦列里（Cavalieri）在他的《连续不可分割的新几何学》（Geometria indivisibilis continuorum nova）发表了他对阿基米德穷举法的发展。该方法结合开普勒无限小几何量的理论。

 

1636年

费马发现了亲和数对 17296, 18416。这个数对已为800年前的塔比·伊本·夸儿拉所知。

 

1637年

笛卡尔出版了《几何》（La Géométrie），其中描述了代数在几何中的应用。

 

 

1639年

笛沙格（Desargues）开始了射影几何的研究。射影几何考虑了当形状被投影到一个不平行的平面上时会发生什么变化。他在《关于圆锥的平面截面结果的论文草稿》（Brouillon project d'une atteinte aux evenemens des rencontres du Cone avec un Plan）描述了他的想法。

 

 

作者，Math001

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原文作者，圣安德鲁斯大学数学与统计学院。

翻译作者，mathyrl，哆嗒数学网翻译组成员。

校对，math001。

 

 

 

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从今天起，我们将连载这部数学编年史。本文是翻译版本，因为工作量巨大，必有疏漏（包括原文也会有错误），欢迎指正。

 

这应该是网上最全的数学编年史，从公元前30000年到公元2000年，哆嗒数学网为你奉献。

 

这里是 数学上下三万年（二）：从罗马时代到中世纪

 

本期出场人物有：托勒密、丢番图、希帕提娅、花拉子米、斐波那契等。

 

本期中国人出场也不少，他们是：刘歆、刘徽、祖冲之、李淳风、沈括、秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰

 

本系列下面是往期内容：

 

数学上下三万年（一）：爱在西元前

 

 

 

约公元1年

中国数学家刘歆使用十进制分数。

 

约公元20年

吉米纽斯（Geminus）撰写了很多天文学著作和《数学理论》（The Theory of Mathematics）。他试图证明平行公设。

 

约公元60年

海伦（Heron）撰写了《量度论》（Metrica）。书中包含了计算面积和体积的公式。

 

约公元90年

尼科马库斯（Nicomachus）撰写了《算术入门》（Arithmetike eisagoge），这部著作首次将算术作为一个单独的主题从几何中分离出来。

 

约110年

梅涅劳斯（Menelaus）撰写了《球面学》（Sphaerica），书中研究了球面三角形和它们在天文学的应用。

 

约150年

托勒密（Ptolemy）在天文学应用中产生了许多重要的几何成果。他的天文学理论在往后一千多年里被人认可。

 

约250年

中美洲的玛雅文明使用一种20进制的近似位值数字系统。

 

250年

丢番图（Diophantus）撰写了《算术》（Arithmetica），是方程关于有理数解的数论研究。

 

263年

刘徽使用192边的正多边形算出π值为3.14159，精确到小数点后五位。

 

301年

杨布里科斯（Iamblichus）记述占星术和神秘主义。他的《毕达哥拉斯的生平》（Life of Pythagoras）是一篇引人入胜的传记。

 

340年

帕普斯（Pappus）撰写了《数学汇编》（Synagoge），该书是希腊几何学的指南。

 

390年

亚历山大城的塞翁（Theon）写著了一个版本的欧几里德《几何原本》（文字有所修改和补充），之后此书几乎所有的后续版本都是基于此版本。

 

约400年

希帕提娅（Hypatia）对丢番图、阿波罗尼奥斯的作品做评注。她是第一位有记载的女数学家，她以非凡的学术成就而著名。她成为亚历山大里亚新柏拉图学派的领袖。

 

 

450年

普罗克洛斯（Proclus），一位数学家和新柏拉图主义者，是雅典柏拉图学院最后的哲学家之一。

 

约460年

祖冲之给出π的近似值355/113，精确到小数点后六位。

 

 

499年，阿耶波多一世（Aryabhata I）计算π近似值3.1416。他写著了作品《阿里亚哈塔历书》（Aryabhatiya），是关于二次方程，π值和其他科学问题的专著。

 

约500年

米特罗多勒斯（Metrodorus）汇编了由46个数学问题组成的《希腊选集》（Greek Anthology）。

 

510年

欧托基奥斯(Eutocius)完成阿基米德的工作的校订与注释。

 

510年

波爱修斯（Boethius）撰写了几何与算术的著作，著作在很长一段时间内被广泛使用。

 

约530年

欧多修斯对阿基米德和阿波罗尼乌斯的作品做校订与注释。

 

532年

数学家安提莫斯（Anthemius）重建位于君士坦丁堡的旧圣索非亚大教堂的。

 

534年

中国数学被引入到日本。

 

575年

伐罗诃密希罗（Varahamihira）撰写了《五大历数全书汇编》（Pancasiddhantika）。他对三角学做出了重要贡献。

 

594年

印度开始使用十进制数字记号。现代数字记号系统就是基于它。

 

628年

婆罗摩笈多（Brahmagupta）撰写了《婆罗摩历算书》（Brahmasphutasiddanta），一本天文学和数学著作。他使用零以及负数，给出二次方程解法，级数求和，以及求平方根。

 

644年

李淳风开始选编《算经十书》(亦称《十部算经》)。

 

约670年

玛雅文明的数学家们在他们的数字系统中引入一个符号表示零。

 

约775年

阿尔昆（Alcuin）撰写了关于算术，几何和天文学的初级教科书。

 

约810年

智慧宫在巴格达建立。在那里希腊及印度的数学和天文学著作被翻译成阿拉伯语。

 

约810年

花拉子米（Al-Khwarizmi）撰写了关于算术，代数，地理和天文学方面的重要著作。特别是《积分和方程计算法》（Hisab al-jabr w'al-muqabala，此书的翻译名称一直在学术界有争议），“代数”（algebra）一词出自“al-jabr”。“算法”（algorithm）出自花拉子米的拉丁文译名“Algoritmi”。

 

 

约850年

泰比特·伊本·奎拉（Thabit ibn Qurra）做出了重要数学发现，例如将数的概念扩展到（正）实数，微积分，球面三角学的定理，解析几何，非欧几何。

 

约850年

泰比特·伊本·奎拉撰写了《论亲和数的确定》（Book on the determination of amicable numbers），其中包含构造亲和数的一般方法。他那时已经知道17296，18416是一对亲和数。。

 

850年，摩诃毗罗（Mahavira）撰写了《计算精华》（Ganita Sara Samgraha）。它一共九章，包括9世纪中期印度的所有数学知识。

 

900年

施里德哈勒（Sridhara）撰写了《Trisatika》（亦称《Patiganitasara》）和《Patiganita》（译者注：这两本没有查到标准翻译）。在这些著作中他求解二次方程，求级数和，研究组合数学，给出求多边形面积的方法。

 

约900年

阿布·卡米勒（Abu Kamil）撰写了《代数》（Book on algebra），研究将代数应用到几何问题。之后斐波那契的工作就是基于这本书。

 

920年，巴塔尼（Al-Battani）撰写了天文学主要著作《天文星表》（Kitab al-Zij），共57章。它包含了三角学的进步。

 

950年

热贝尔（Gerbert，也就是后来的教皇西尔维斯特二世）将算盘重新引入欧洲。他使用没有零的印度/阿拉伯数字。

 

约960年

阿尔·乌格利迪西（Al-Uqlidisi）撰写了《论印度算术》（Kitab al-fusul fi al-hisab al-Hindi），是幸存的最早的显示印度算术系统的书。

 

约970年

阿布·瓦法（Abu'l-Wafa）发明了象限仪台，用于精确测量天空中星星的偏角。他写了关于算术和几何结构的重要书籍。他引入了正切函数，并产生了改进的计算三角表的方法。

 

976年

维希拉努斯抄本(Codex Vigilanus)在西班牙出现。它包含了欧洲出现十进制数字的第一个证据。

 

约990年

卡拉吉（Al-Karaji）在巴格达撰写了《哈法勒》(Al-Fakhri, 意为“荣誉”)，该书发展了代数学。他给出了帕斯卡三角形。

 

约1000年

海什木（Ibn al-Haytham，西方人通常称为Alhazen）撰写了关于光学（包括光学理论和视觉理论）、天文学和数学（包括几何和数论）的作品。他给出了Alhazen问题：给定一个光源和一个球面镜，找到镜子上的点，使得光被反射到观察者的眼睛。

 

约1010年

比鲁尼（Al-Biruni）撰写了许多科学专题。他的数学工作涵盖算术，级数求和，组合分析，三法则，无理数，比例理论，代数定义，代数方程解法，几何，阿基米德定理，三等分角及其他不能用尺规作图解决的问题，圆锥曲线，立体几何，球极平面投影，三角学，平面中的正弦定理，以及求解球面三角形。

 

约1020年

伊本·西那（Ibn Sina，欧洲人常称其为Avicenna）撰写了哲学，医学，心理学，地质学，数学，天文学和逻辑学。他的重要数学著作《治疗论》(Kitab al-Shifa) 将数学分为四个主题：几何、天文学、算术和音乐。

 

1040年

艾哈迈德·纳萨维（Alhmad al-Nasawi）撰写了《印度计算》（al-Muqni'fi al-Hisab al-Hindi），研究了四种不同的数字系统。他解释了算术运算，特别是在每个系统中求平方根和立方根。

 

约1050年

赫尔曼（Hermann of Reichenau，有时称为Hermann the Lame或Hermann Contractus）撰写了关于算盘和星盘的著作。他向欧洲引入了星盘：一个便携式的日晷和一个带游标的象限仪。

 

1072年

莪默·伽亚谟（Al-Khayyami，通常称为Omar Khayyam，金庸小说《倚天屠龙记》中小昭唱过他的诗句）撰写了《代数问题的论证》（Treatise on Demonstration of Problems of Algebra），其中包含了具有通过圆锥曲线相交找到几何解的三次方程的完整分类。他测量一年的长度为365.24219858156天，结果非常准确。

 

1093年

沈括撰写了《梦溪笔谈》，一本数学、天文学、制图学、光学和医学著作。它最早提到指南针。

 

1130年

贾比尔·阿拉夫（Jabir ibn Aflah）撰写了数学著作，尽管不像其他阿拉伯著作那么好，但由于它们将被翻译成拉丁文，而且可供欧洲数学家使用，因此是重要的。

 

约1140年

婆什迦罗（Bhaskara II，有时称为Bhaskaracharya）撰写了有关算术和几何的《美丽》（Lilavati）和关于代数的《算术萌芽》（Bijaganita）。

 

1142年

阿德拉德（Adelard of Bath）从阿拉伯文献翻译了《几何原本》的两到三个译本。

 

1144年

杰拉德 (Gherard of Cremona )开始将阿拉伯文献（和阿拉伯文的希腊文献）翻译成拉丁文。

 

1149年

萨马瓦尔（Al-Samawal）撰写了《代数的辉煌》（al-Bahir fi'l-jabr），他用负幂和零的多项式来发展代数。他求解二次方程，求前n个自然数的平方和，并且考察组合问题。

 

1150年

通过杰拉德翻译的托勒密《天文学大成》（Almagest），阿拉伯数字传入欧洲。正弦函数“sine”出自这个译本。

 

1200年

中国开始使用代表零的符号。

 

1202年

斐波那契（Fibonacci）撰写了《算盘书》（Liber abaci），其中列出了他在阿拉伯国家学到的算术和代数。它还引入了现在称为“斐波那契数列”的著名数列。

 

1225年

斐波那契撰写了《平方数之书》（Liber quadratorum），这是他最令人印象深刻的作品。它是自从一千年前的丢番图的工作以来欧洲数论的第一大主要进步。

 

 

约1225年

佐丹劳斯(Jordanus Nemorarius)撰写了天文学作品。在数学中他使用字母，这是早期形式的代数记号。

 

约1230年

乔安尼斯（John of Holywood，有时称为Johannes de Sacrobosco）撰写了有关算术、天文学和历法改革的作品。

 

1247年

秦九韶撰写了《数书九章》。它包含同余方程组和中国剩余定理，它也考虑不定方程，霍纳方法，几何图形面积和线性方程组。

 

1248年

李冶撰写了《测圆海镜》，其中包含负数，通过在数字上加斜画来表示。

 

约1260年

坎帕努斯（Campanus of Novara），教皇乌尔班四世的牧师，撰写了天文学作品，并发表了欧几里德《几何原本》的拉丁文版，成为之后200年的标准版本。

 

1275年

杨辉撰写了《乘除通变本末》。它使用十进制分数（以现代形式），并给出了帕斯卡三角形的第一个叙述。

 

1303年

朱世杰撰写了《四元玉鉴》，其中包含了最高14次的高次方程的多种解法。他还定义了现在所谓的帕斯卡三角形，并展示了如何对某些序列求和。

 

1321年

列维·本·吉尔森（Levi ben Gerson，有时称为Gersonides）撰写了《数之书》（Book of Numbers），研究算术运算、排列和组合。

 

1328年

托马斯·布拉德沃丁（Bradwardine）撰写了《论运动中速度的比例》(De proportionibus velocitatum in motibus)，这是使用代数学研究运动学的早期工作。

 

1335年

理查德（Richard of Wallingford）撰写了《论正弦四书》（Quadripartitum de sinibus demonstratis），这是第一部关于三角学的原创拉丁文著作。

 

1336年

数学在巴黎大学成为学士学位的必修科目。

 

1342年

列维·本·吉尔森（Gersonides）撰写了《论正弦、弦和弧》（De sinibus, chordis et arcubus），这是一本三角学著作，其中给出平面三角形正弦定理的证明和五个正弦表。

 

1343年

莫瑞斯（Jean de Meurs）撰写了《数之四书》（Quadripartitum numerorum），一本关于数学、力学和音乐的著作。

 

1343年

列维·本·吉尔森（Gersonides）撰写了《论数之和谐》（De harmonicis numeris），这是对欧几里德的前五本书的评注。

 

1364年

尼克尔·奥里斯姆（Nicole d'Oresme）撰写了《Latitudes of Forms》（形式的纬度），这是关于坐标系的早期作品，笛卡尔可能受其影响。奥里斯姆的另一作品中包含了分数指数的首次使用。

 

1382年

尼克尔·奥里斯姆发表了《天地通论》（Le Livre du ciel et du monde）。这是关于数学、力学和相关领域的论文汇编。奥里斯姆反对地球静止的理论。

 

1400年

马德哈瓦（Madhava of Sangamagramma）证明了若干无穷级数的结果，给出三角函数的泰勒展开。他利用这些结果得到π的近似值，精确到小数点后11位。

 

1411年

卡西（Al-Kashi）撰写了《天文科学概要》（Compendium of the Science of Astronomy）。

 

1424年

卡西撰写了《论圆周》（Treatise on the Circumference），以六十进制和十进制形式给出π的非常好的近似值。

 

1427年

卡西完成了《算术之钥》（The Key to Arithmetic），它是关于十进制分数的非常深度的工作，它将算术和代数方法应用于解决各种问题，包括几个几何问题，并且是整个中世纪文学时期最好的教科书之一。

 

1434年

阿尔伯蒂（Alberti）研究三维物体的表现，并撰写关于透视定律的第一部一般性论著《论绘画》（Della Pictura）。

 

1437年

乌鲁伯格（Ulugh Beg）出版他的《星表》（Zij-i Sultani）。它包含了一个精确到8位小数的三角函数表，基于乌鲁伯格计算1度的正弦值精确到16位小数。

 

1450年

尼古拉斯 (Nicholas of Cusa)研究几何和逻辑。他对无穷的研究做出了贡献，研究无穷大、无穷小。他将圆看作正多边形的极限。

 

 

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原文作者，圣安德鲁斯大学数学与统计学院。

翻译作者，mathyrl，哆嗒数学网翻译组成员。

校对，math001。

 

 

 

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这里是 数学上下三万年（一）：爱在西元前

 

 

约公元前30000年

在今天的中欧和法国地区，旧石器时代的人们在骨头上记录数字。

 

约公元前25000年

早期的几何设计开始运用。

 

约公元前5000年

十进制数字系统在埃及使用。

 

约公元前4000年

古巴比伦和古埃及的历法开始使用。

 

约公元前3400年

首个表示数字的符号以及简单的直线在埃及使用。

 

约公元前3000年

算珠式计算工具(算盘)在中东和地中海地区出现。

 

约公元前3000年

象形文字的数字在埃及使用。

 

约公元前3000年

古巴比伦人开始使用六十进制来记录财务交易。这是一个没有零位值的位值系统。

 

 

约公元前2770年

古埃及太阳历开始使用。

 

约公元前2000年

哈拉帕人采用统一的十进制度量衡。

 

约公元前1950年

巴比伦人解出了一些特殊的二次方程。

 

约公元前1900年

莫斯科纸草书成书，也称戈列尼雪夫（Golenishev）纸草书。它提供了古埃及几何的历史细节。

 

约公元前1850年

古巴比伦人得出毕达哥拉斯定理（在中国称为勾股定理）。

 

约公元前1800年

古巴比伦人开始使用乘法表。

 

约公元前1750年

古巴比伦人解决了一些的特殊的线性方程和二次代数方程，编制了平方根表和立方根表。他们掌握毕达哥拉斯定理用法，并用利用数学来扩展天文学知识。

 

约公元前1700年

兰德（Rhind）纸草书成书，有时也称阿梅斯（Ahmes）纸草书。它表明古埃及数学已经发展了许多技巧来解决问题。乘法基于反复加倍，除法使用连续减半。

 

约公元前1400年

在这个时期中国开始使用无零的十进制数字系统。

 

约公元前800年

包德哈亚那（Baudhayana）是古印度最早的绳法经（Sulbasutras）之一的作者。

 

约公元前750年

马纳瓦（Manava）撰写了一部《绳法经》。

 

约公元前600年

阿帕斯檀跋（Apastamba）从数学的角度撰写了一部最受人关注的古印度《绳法经》。

 

公元前575年

泰勒斯（Thales）将巴比伦数学知识带到希腊。他用几何知识来解决问题，例如计算金字塔高度和船只离岸边的距离。

 

公元前530年

毕达哥拉斯（Pythagoras）移居意大利的克罗顿，并教授数学，几何学，音乐和转世说。

 

约公元前500年

古巴比伦六十进制数字系统被用于记录和预测太阳、月亮和行星的位置。

 

约公元前500年

波你尼（Panini）的关于梵语文法的工作是现代形式语言理论的先驱。

 

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约公元前465年

希帕索斯（Hippasus）描述了一个“由12个五边形组成的球面”，这涉及到正十二面体。

 

约公元前450年

希腊人开始使用书面数字。

 

约公元前450年

芝诺（Zeno）提出著名的芝诺悖论。

 

 

约公元前440年

希波克拉底(Hippocrates) 撰写了《原本》（Elements），这是第一本关于几何原理的汇编。

 

约公元前430年

希庇亚斯（Hippias）发现了割圆曲线，被他用于三等分角和化圆为方问题。

 

约公元前425年

来自昔兰尼的西奥多罗斯（Theodorus）证明了某些平方根是无理数。这个结果已被前人证明。

 

约公元前400年

古巴比伦人使用一个符号来表示在楔形文字中记录的数字中的空白位。没有任何迹象表明这被认为是一个数字。

 

约公元前387年

柏拉图在雅典建立了柏拉图学园。

 

 

约公元前375年

来自他林敦的阿契塔（Archytas）发展了力学。他研究“古典问题”倍立方，并将数学应理论用于音乐。他也构建了第一台自动机。

 

约公元前360年

来自尼多斯的欧多克索斯（Eudoxus）发展了比例理论和穷举法。

 

约公元前340年

阿里斯泰俄斯（Aristaeus）撰写了《论圆锥曲线五书》（Five Books concerning Solid Loci ）。

 

约公元前330年

奥托里库斯 （Autolycus）撰写了《运行的天体》（On the Moving Sphere），这本书研究球面几何学。它是天文学著作。

 

 

约公元前320年

欧德谟斯（Eudemus）撰写了《几何史》（History of Geometry）。

 

约公元前300年

欧几里德在他的《几何原本》（Stoicheion即The Elements）中给出了几何的系统性发展。他在《反射光学》（Catoptrics）中给出了反射定律。

 

 

约公元前290年

阿里斯塔克斯（Aristarchus）使用几何方法来计算太阳和月亮到地球的距离。他也提出了地球绕太阳运动。

 

约公元前250年

在《论球和圆柱》（On the Sphere and the Cylinder）中，阿基米德（Archimedes）给出了计算球和圆柱体积的公式。在《圆的测量》（Measurement of the Circle）中，他使用允许提高近似精度的方法给出了π的近似值。在《论浮体》（Floating Bodies）中，他提出了现在所谓的“阿基米德原理”，并开始研究流体静力学。他写了有关二维与三维几何的著作，研究圆，球和螺线。他的想法远远领先于他的同时代人，包括一种早期形式的积分的应用。

 

 

 

约公元前235年

埃拉托色尼（Eratosthenes）以非常高的精度估算地球周长，估算值比实际值大了15%。

 

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约公元前230年

尼科梅德斯（Nicomedes）撰写了专著《论蚌线》（On conchoids lines），书中包含了他发现的被称为“尼科梅德斯蚌线”的曲线。

 

约公元前230年

埃拉托色尼发明了埃拉托色尼筛法用于寻找所有素数。

 

约公元前225年

阿波罗尼奥斯（Apollonius）撰写了《圆锥曲线论》（Conics），书中引入了术语“抛物线”，“椭圆”和“双曲线”。

 

约公元前200年

戴可利斯（Diocles）撰写了《论燃烧镜》（On burning mirrors），收集了16个几何命题，大部分是关于圆锥曲线的证明。

 

约公元前200年

中国古典数学著作《九章算术》最早可能出现在这一时期。

 

约公元前180年

可能是中国最早的数学著作的《算术书》出现在这一时期。

 

约公元前150年

许普西克勒斯（Hypsicles）撰写了《论星的升起》（On the Ascension of Stars）。书中他首次将黄道划分为360度。

 

约公元前127年

喜帕恰斯（Hipparchus）发现分点岁差，并计算年份的长度精确到正确值的6.5分钟内。他的天文学工作使用了早期形式的三角学。

 

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Hello，各位哆嗒粉丝们，今天是元宵节，大家除了吃汤圆应该还会在不同地方参与一些猜谜活动吧。我们哆嗒数学网的小编也为大家奉上20个谜语，祝大家节日愉快！——所有的谜底都和数学有关！

旧时风光雨中新 （猜一数学家）

梦醒时分就踏春 （猜一数学家）

奔跑吧，爸爸的爸爸！ （猜一数学家）

一座钟 （猜一数学家）

斗牛牛 （猜一数学名词）

上是一，下是一，中间也是一，就是不是一（猜一数字）

旭日东升 （猜一数字）

扶贫成功 （猜一数字）

谈谈小事 （猜一数学名词）

订立协议 （猜一数学名词）

聚散总无常 （猜一数学名词）

比干的惆怅 （猜一数学名词）

再见了亲爱的妈妈（猜一数学名词）

上帝的抱负 （猜一数学名词）

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婚姻法 （猜一数学名词）

止战 （猜一数学名词）

真的十八斤 （猜一数学名词）

我真心希望答案在评论区由各位参与公布。

 

 

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