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本文原载于ICM2022官网

 

           

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前苏联数学家的柯尔莫哥洛夫是现代概率论的创立者之一。另外，柯尔莫哥洛夫还对拓扑学、几何学、数理逻辑、经典力学、湍流理论、算法复杂性理论、信息论、函数论、三角级数理论、测度论、函数逼近论、集合论、微分方程理论、动力系统理论、泛函分析诸多领域有所涉猎。他的成果对现代数学产生了深远影响。

 

 

初入数学

 

1903年4月25日柯尔莫哥洛夫出生于坦波夫。他的父亲是一名农艺师，而他的母亲玛丽亚·柯尔莫哥洛娃却因难产而死。这位未来的数学家实际上是被他母亲的姐妹们带大的，其中薇拉·柯尔莫哥洛娃是他的法定收养人。姐妹们为当地的孩子经营了一所学校，学校还办了一本叫做《春燕》的杂志。孩子们在《春燕》上发表自己创作，有诗歌、绘画还有各种小故事。柯尔莫哥洛夫的第一个数学”成果”也在这个杂志上发表：他发现前几个奇数之和一定是完全平方数，比如1+3+5=3²。

 

 

1910年，柯尔莫哥洛夫和他的姨妈搬到莫斯科，以便柯尔莫哥洛夫能进入一所预科学校学习。他们选择了私立的雷普曼预科学校。这是一所拥有一流教师的教育机构，这个机构采用了一系列当时看来比较独特的教学方法(一些方法现在看来也很独特)。比如，男女不分班，老师不给学生打分数，如果学生对某学科有兴趣，学生可以跨班到高中班学习。

 

 

1920年，柯尔莫哥洛夫进入莫斯科大学数学系学习。起初，柯尔莫哥洛夫感兴趣的是俄国史，而且研究非常深入。他利用15、16世纪抄书吏留下的材料对下诺夫哥罗德的土地问题进行研究。前苏联历史界的领军人物亚宁这样回忆柯尔莫哥洛夫退出历史研究的原因：“柯尔莫哥洛夫多次说过他不再搞历史的情况。当他在讨论班上对他的研究作报告的时候，讨论班的主持人巴赫鲁申教授非常认可报告的成果，但是他说柯尔莫哥洛夫的结果并不完全可靠。因为，在历史学里，每个结论都需要多个证据的证明来确定。说到这，他总是说：‘我之所以决定投身科学领域，因为那里只需要一条证明就能得到最终结论。’”就这样，历史学界永远失去了一位学术天才，而数学界却多了一位巨星。

 

 

柯尔莫哥洛夫这样描述他进入数学研究的情况。“在决定进入严肃的科学领域之前，我当然要力争向最好的数学家学习。我非常幸运，我能和乌里松、亚历山大洛夫、斯特潘诺夫一起学数学，另外鲁津是我学习过程中最主要的的老师。”

 

 

在莫斯科大学学习期间，柯尔莫哥洛夫经历了严重的经济困难，但是数学方面的成功大大弥补了他生活上的不方便。奖学金不足以能完全应付日常开销。“我通过一年级考试的头一个月， 作为一个二年级的学生，我可以得到每月16千克面包和1千克黄油的配给。对于那个年代，这是一个丰盈的物质保障。我为自己置办了衣物，还自己亲手做了自己穿的木鞋。”

 

 

随着时间的推移，柯尔莫哥洛夫对数学越来越感兴趣。终于，柯尔莫哥洛夫得到了实分析学大师鲁津的注意。随后这位数学新秀成为鲁津的研究生。在整个1920年代，这位数学家都在这个领域一丝不苟的耕耘。

 

 

初露锋芒

 

 

1922年，柯尔莫哥洛夫因为构造了一个傅里叶级数处处不收敛的可积函数而闻名世界。每个可积函数可以表示为无限个正余弦曲线之和——即傅里叶级数。取出这个无限和的前面部分，并计算部分和可以得到一个序列，这个序列可以收敛于一个确定的数。19岁的大学生柯尔莫哥洛夫给出一个不成立的反例，震惊当时的数学界。

 

 

1924年，这位数学家开始研究概率论和大数定律。大数定律是描述大量重复实验结果表现的一个理论。他证明了大数定律的一个版本(柯尔莫哥洛夫强大数定律)，独立同分布的随机变量变量适用于大数定律的充要条件是每个随机变量期望存在。柯尔莫哥洛夫是在和另外一位前苏联概率论顶级专家辛钦进行长期和卓有成效的合作后，得到这个成果的。

 

 

一般认为，柯尔莫哥洛夫对概率论方面有一项影响重大的工作，他给与了概率论以现代视角。他对概率论提出了一个公理化方案，这项方案至今被绝大多数领域内专家接受。

 

 

1925年，这位杰出的数学家发表论文《排中律》，这篇文章解决了两大数学哲学流派的争执：形式公理派和直觉主义派。柯尔莫哥洛夫证明了直觉主义中不能使用的(超限归纳中的)排中律并不一定破坏证明的构造性(排中律是说命题“A”和“非A”必有一件为真，没有第三个可能)。他能够证明，所有按照经典形式逻辑规则推导的公式，通过特别的转换，都可以化为直觉主义逻辑的可推导公式。

 

 

1931年，柯尔莫哥洛夫被推举为莫斯科大学教授，1935年到1939年期间，他担任该校数学力学研究所所长。1933年他提出了一种非参数检验的方法，这个方法今天称为柯尔莫哥洛夫-斯米洛夫检验(K-S检验)。此方法可用于样本和参考概率分布的验证比对。

 

 

军事研究

 

 

二战期间，所有的研究都为军事服务，柯尔莫哥洛夫研究了炮火的最佳散布策略(人工散布)。战后，他重返了和平的研究。1930年代后期，柯尔莫哥洛夫一直对湍流问题感兴趣，他在1941、1942年和1962年的著作中对此进行了研究。他发展了“局部各向同性湍流”理论，这些研究有助于进一步描述湍流的结构。1946年，这位数学家在苏联科学院地球物理研究所建立了大气湍流实验室。 

 

1953年，柯尔莫哥洛夫提出“算法”的一种新定义。这个定义的特别之处是，问题本身和问题的解都以某种一维拓扑复形的形式表示，算法过程的每个阶段都是将一个复形处理成另一个复形（通过特定的规则）。

 

 

改革家

 

 

1960年代，苏联领导人决定对数学教育和教学体系改革，因为当时的数学课程教给学生的知识过于陈旧，最新的数学成果完全没有涉及。柯尔莫哥洛夫在这些改革中发挥了非常重要的作用。在他的领导下，新的课程和教材被开发出来，并陆续再版。

 

 

 

1976年，柯尔莫哥洛夫在莫斯科大学力学数学系建立了数理逻辑部。1980年，柯尔莫哥洛夫担任该部主任直到1987年逝世。纵观柯尔莫哥洛夫一生，他获得了大量奖项和荣誉，得到了广泛认可，这些认可远远超出了数学界。

 

 

 

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