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2022年7月19日，2022年度软科世界一流学科排名公布。数学学科排名方面，前十的院校较去年毫无变化，甚至前五的座次都没有改变。来自法国的巴黎萨克雷大学排名第一，美国的普林斯顿大学排名第二，法国的索邦大学排名第三。第四到十名分别为：剑桥大学(英国)、牛津大学(英国)、麻省理工学院(美国)、斯坦福大学(美国)、苏黎世联邦理工学院(瑞士)、纽约大学(美国)、德克萨斯大学奥斯汀分校(美国)。前五名大学中，法国两所、英国两所、美国仅有一所。前十中美国占据其中五所，法国、英国分别占据两所，瑞士一所。

亚洲方面，有五所亚洲高校排名前50，并有5所高校并列在51-75名的位次。以色列的耶路撒冷希伯来大学排名第一，总名次是第17，日本的京都大学排名第二，总排名25名。中国内地的北京大学排名亚洲第三，总排名第42。第四、第五分别是以色列的特拉维夫大学和日本的东京大学，总排名分别是第43、第49。剩余亚洲前10的院校为，中国医药大学(中国台湾)、复旦大学(中国内地)、阿卜杜勒阿齐兹国王大学(沙特)、新加坡国立大学(新加坡)、清华大学(中国内地)。值得注意的是，来自中国台湾的中国医药大学，中国台湾的高校少见得在数学学科如此高的排名.另外，中国香港的高校继续在前10中消失。

中国高校有97所大学进入榜单，数量上较于去年下降4所。在中国的高校的排名中，排名第一的是北京大学，世界排名第42名。三所学校并列第二，分别是中国医药大学(中国台湾)、复旦大学、清华大学，他们位列51-75名次区间，中山大学、中国科学技术大学位列76-100名次区间。这些学校组成了中国的数学六强。而中国香港排名最高的是香港城市大学、香港中文大学、香港科技大学，排名是151-200。最后，哆嗒数学网下面再次为你奉上所有中国高校的排名。

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348篇原创内容

公众号

 

 

根据国际数学奥林匹克竞赛(IMO)官网消息。2022国际数学奥林匹克竞赛成绩刚刚公布，中国队以全队满分的成绩获得总分第一，参加比赛的6个人全部获得满分42分，全队获得可能的最高分数252分。韩国和美国分列第二三名，成绩分别是208分和207分，传统强队俄罗斯队没有参加。第四到十名为：越南、罗马尼亚、德国、伊朗(并列第8)、日本(并列第8)、以色列(并列第10)、泰国(并列第10)。

 

从1994年美国队参加国际数学奥林匹克竞赛之后，总分第一的队伍中，全队均获得个人满分的情况在之前国际数学奥林匹克竞赛历史上28年再未出现过，中国队创造了历史。(这里排除参加人数不满额的全队满分)

 

 

本次竞赛，共有10人获得个人满分。

 

 

另外，中国台湾获得总分第14名，中国香港获得总分第19名，中国澳门获得总分第49名。

 

从奖牌来看，中国队参赛的6个队员全部获得金牌。韩国3金3银，美国四金一银一铜。

 

 

有104多个国家参加此次竞赛。从国家数量规模来讲，国际数学奥林匹克竞赛已经成为世界上规模最大的年度国际交流活动之一。这样的活动，其实为促进各国教育文化交流，选拔顶尖人才起到了非常正面的作用。

 

最后，祝贺中国队以创造历史的成绩夺冠！

 

附本届竞赛题目（官方版)

 

 

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本文编译自+Plus网站

原文作者：Marianne Freiberger 、 Rachel Thomas

编译作者：Math001

 

 

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346篇原创内容

公众号

 

 

维娅佐夫斯卡(Maryna Viazovska)是2022年菲尔兹奖得主之一。菲尔兹奖每四年颁发一次，只颁发给40岁以下的数学家，被誉为数学界的最高荣誉之一。

 

 

维娅佐夫斯卡是史上第二位女性菲尔兹奖得主，她获奖的成果和我们日常生活中经常见到的一些事物有关。

 

 

 

从桔子开始

 

 

运水果的确不是一件轻松的事情。不仅水果会经常被挤变形，即使不考虑变形，把桔子考虑成最简单的球形，也会有问题。无论你怎么装箱，都会留下缝隙。这就自然的会提出一个几何问题：我们如何排布这些球状水果，能让水果尽量多的装到箱子里？比如怎么样装桔子，可以让桔子占箱子里的空间比率最大？

 

 

"假设有个巨大的箱子以及数量巨多的球体，"维娅佐夫斯卡说，"同时简化一下问题，球体是刚性的不能被挤压，另外每个球都是相同大小。我们要尽可能多的在箱子里放置这些球。"

 

 

 

如果盒子很小，那么答案可能和盒子的形状有关。但如果盒子很大，形状的影响可以忽略不计，答案只取决于盒子的体积。“这在直观上很显然，存在一个最大的可以用等大小球体填充的体积比，虽然在数学上需要做一些工作才能证明这一点。” 球体堆积问题就是找到这个最高比率，也称为球体堆积常数。

 

 

再来一个更简单的例子，让我们降低一个维度：我们不是将球体排布到3维空间中，而是将圆盘排布到2维空间中。“在2维空间中，最佳排布是蜂窝状排布，”维娅佐夫斯卡解释说。通常的蜂窝每个单元都是六边形，六边形整齐地组合在一起，彼此之间没有空间。如果您以相同的模式排布圆盘，您确实会出现间隙，我们能证明这的确是最密集的排布“这样，我们就用这些同样大小的圆盘覆盖了 90%多一点的面积 。”实际上二维球体堆积常数的精确值为

 

 

 

 

"三维空间的情形被称为开普勒猜想，已经400多年没有解决了，"维娅佐夫斯卡说，"三维空间里我们不止一个最佳堆积，我们有很多比率相等的最佳堆积。"其中一种你在菜市场也见过，就算把桔子摆成金字塔的形状(见上图，我们用球代替桔子)。这种方式的堆积密度大约是74%。实际上三维球体堆积常数的精确值为

 

   

 

 

1998年有一位数学家给出了这种堆积是最佳堆积的证明。海尔斯(Thomas Hales)用250页的传统形式的数学论文，加上3GB的计算机代码和数据做计算试图证明它。这是富有争议的证明方式，因为没人能在有生之年去验证计算机产生的数据，所以海尔斯工作是否是完成了证明还没有最终确定。也有专家团队说有99%把握确认这套证明是对的，他们使用了计算机形式逻辑参与验证。  

 

 

高纬度的球体堆积

 

不用计算机，只用几页纸，维娅佐夫斯卡给出了最牢靠的证明。这是在高维空间的球体堆积证明，即 8 维和 24 维空间。这样的工作似乎除了烧坏你的脑袋并没有什么别的用处，但事实并非如此。高维空间中的球体堆积在通讯技术中非常重要。它能确保我们通过互联网、卫星、电话传输信息的时候，传输过程有干扰的情况下，也能理解传过来的信息。

 

为了把控更高的维度，我们要从二维转向三维，我们把思绪再次回到中学阶段。如果你也是那种三维立体图形画图困难户，那你就要感谢代数的作用了。三维空间中的点由3个坐标值表示，线和平面等形状用相应的方程表示。如果你无法想象图形之间的关系，这些方程可以帮到你。

 

 

在高维空间中，也适用同样的原理。n维空间的点由n个坐标值表示。和2维以及3维空间一样，你可以给出高维空间中距离和体积的概念，然后定义包括高维球之类的各种形状，这些都是用方程来定义。虽然这些图形无法作图了，但是用代数方法可以处理它们。所以，你同样可以定义高维空间中球体堆积以及堆积密度的具体含义。

 

回到2维和3维的情形，我们来看看如何从2维的情况推广到3维：先用刚才2维上的蜂窝排布的方式把3维的球体在平面上铺一层，从2维角度看，这是最佳堆积。然后在这一层上铺第二层，第二层的球都铺在第一层的凹陷处。然后继续第三层、第四层……这样的确会产生一个最佳堆积，所以人们会想当然的认为，这种推广方式会自然的推广到高维情形。

 

 

哎呀，但事与愿违。知道其中一个维度的最佳堆积和对推算下一个维度的最佳堆积并没什么用。下图展示了4维到26维目前人们知道的最佳的堆积的下界。从图上看，呈指数级下降趋势。

 

 

寻找上界

 

我们寻找的数是某种意义的最大值，比如说堆积密度的最大值。但是，往往没那么好的运气说找到就找到，这时候我们就要退而求其次，去找一个上界：一个数，那个还没求出的堆积常数一定不超过这个数。

 

不同维度的堆积常数上界陆续被人们提出。2003年科恩(Henry Cohn)和艾尔基斯(Noam Elkies)研究出了一个非常有趣的求上界的办法，可以用于任何维度的计算。但这个办法有实际操作上的难度，所以两个人也只把这些上界算到32维的情况。结果就是下图，包含4到28维的情况，绿色是下界，蓝色是上界。

 

 

这里值得注意的是8维和24维，它们上界和下界几乎重合。如果真是重合的，那我们实际上就知道了对应维度的球体堆积常数。科恩和艾尔基斯没能证明它：因为存在某种非常不爽的可能性，球体堆积常数介于上下界之间肉眼无法分辨的微小的缝隙中。科恩在《美国数学会通告》(Notices of the American Mathematical Society)发文说："对于信仰数学之美的人来说，这应该不可能，但信仰不是证明。"

 

 

缝合缝隙

 

维娅佐夫斯卡在科恩和艾尔基斯的工作基础上，缝合了8维空间上的缝隙。随后，又在科恩、库马尔(Abhinav Kumar)、米勒(Stephen D. Miller)、拉德申科(Danylo Radchenko)的帮助下，完成24维的工作。如果忽略球体本身这个形状，只考虑球心，那你就得到了点在空间中的配置。除了每个点的坐标，我们用点与点的距离统计来描述这个配置：产生的最小距离有哪些，它们占比多少？

 

 

这是物理学中经常用的办法。"天文学家经常干这种事情，"维娅佐夫斯卡说。"他们观测星空，计算恒星之间的距离。他们忽略空间的几何形状，只记录每两个恒星之间的距离。实际上，这些距离的统计数据一定会满足某种限制。如果你想让一定数量的恒星保持这种距离，又有一定数量的恒星保持那种距离，还有一定数量的恒星保持再一种距离，那么空间中可能不会出现这种恒星排布。"

 

用类似的思想，科恩和艾尔基斯证明了球体堆积的距离分布也需要满足特定的限制，这让他们得到了球体堆积常数的上界。要完全满足这种限制，你需要找一个性质非常特别的函数，这就是难点。科恩和艾尔基斯只能逼近这个函数，这就是他们只能从逼近层面得到上界的原因。

 

为了求出8维(以及之后的24维)的球体堆积常数，维娅佐夫斯卡就需要更进一步。它必须找到一个“神奇函数”。这个函数不仅仅是只能估计上界，这个上界必须是不多不少的那种，就是说，它正好等于8维空间中的球体堆积常数。科恩和艾尔基斯认为，这个函数肯定存在，但没办法求出来。"那个神奇函数似乎来自虚空，"科恩在文章中提到。

 

这就是维娅佐夫斯卡真正实现的东西：用了一个前人从没考虑过的“大胆构造”,它做出了一个满足条件的函数。

 

维娅佐夫斯卡证明了8维空间中球体堆积常数是：

 

 

就是说等体球体最多能填充25%左右的8维空间.

 

使用的填充方法叫做E8格球体填充。所用的球体半径都是1/√2，球心是全部格点(坐标都是整数的点)以及两个格点连线的中点(还要求格点端点的所有坐标值之和为偶数)。E8格和E8例外李群有关系。在8维空间里，就没办法图形展示了。24维空间用的是利奇格(Leech lattice)堆积，比E8格要复杂，得到24维空间的球体堆积常数是

 

 

 

迷之维度

 

到底是什么让8维和24维如此特别？"每个人都问我这个问题——我也不知道，这是个迷，"维娅佐夫斯卡说。"在这两种维度中，那些点能被精妙的配置，使得我们能精确的计算出来，但这样性质良好的配置其他维度都没有。你问我原因，我真不知道。"

 

但是已经够了，就8维和24维的证明已经足以让维娅佐夫斯卡获得数学界的至高荣誉了。未来，无论谁用何种方法解决其他维度的情况，都能为这个人带来极高的荣誉。

 

 

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原文作者：Marianne Freiberger 、 Rachel Thomas

编译作者：Math001

 

 

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公众号

 

 

维娅佐夫斯卡(Maryna Viazovska)是2022年菲尔兹奖得主之一。菲尔兹奖每四年颁发一次，只颁发给40岁以下的数学家，被誉为数学界的最高荣誉之一。

 

 

维娅佐夫斯卡是史上第二位女性菲尔兹奖得主，她获奖的成果和我们日常生活中经常见到的一些事物有关。

 

 

 

从桔子开始

 

 

运水果的确不是一件轻松的事情。不仅水果会经常被挤变形，即使不考虑变形，把桔子考虑成最简单的球形，也会有问题。无论你怎么装箱，都会留下缝隙。这就自然的会提出一个几何问题：我们如何排布这些球状水果，能让水果尽量多的装到箱子里？比如怎么样装桔子，可以让桔子占箱子里的空间比率最大？

 

 

"假设有个巨大的箱子以及数量巨多的球体，"维娅佐夫斯卡说，"同时简化一下问题，球体是刚性的不能被挤压，另外每个球都是相同大小。我们要尽可能多的在箱子里放置这些球。"

 

 

 

如果盒子很小，那么答案可能和盒子的形状有关。但如果盒子很大，形状的影响可以忽略不计，答案只取决于盒子的体积。“这在直观上很显然，存在一个最大的可以用等大小球体填充的体积比，虽然在数学上需要做一些工作才能证明这一点。” 球体堆积问题就是找到这个最高比率，也称为球体堆积常数。

 

 

再来一个更简单的例子，让我们降低一个维度：我们不是将球体排布到3维空间中，而是将圆盘排布到2维空间中。“在2维空间中，最佳排布是蜂窝状排布，”维娅佐夫斯卡解释说。通常的蜂窝每个单元都是六边形，六边形整齐地组合在一起，彼此之间没有空间。如果您以相同的模式排布圆盘，您确实会出现间隙，我们能证明这的确是最密集的排布“这样，我们就用这些同样大小的圆盘覆盖了 90%多一点的面积 。”实际上二维球体堆积常数的精确值为

 

 

 

 

"三维空间的情形被称为开普勒猜想，已经400多年没有解决了，"维娅佐夫斯卡说，"三维空间里我们不止一个最佳堆积，我们有很多比率相等的最佳堆积。"其中一种你在菜市场也见过，就算把桔子摆成金字塔的形状(见上图，我们用球代替桔子)。这种方式的堆积密度大约是74%。实际上三维球体堆积常数的精确值为

 

   

 

 

1998年有一位数学家给出了这种堆积是最佳堆积的证明。海尔斯(Thomas Hales)用250页的传统形式的数学论文，加上3GB的计算机代码和数据做计算试图证明它。这是富有争议的证明方式，因为没人能在有生之年去验证计算机产生的数据，所以海尔斯工作是否是完成了证明还没有最终确定。也有专家团队说有99%把握确认这套证明是对的，他们使用了计算机形式逻辑参与验证。  

 

 

高纬度的球体堆积

 

不用计算机，只用几页纸，维娅佐夫斯卡给出了最牢靠的证明。这是在高维空间的球体堆积证明，即 8 维和 24 维空间。这样的工作似乎除了烧坏你的脑袋并没有什么别的用处，但事实并非如此。高维空间中的球体堆积在通讯技术中非常重要。它能确保我们通过互联网、卫星、电话传输信息的时候，传输过程有干扰的情况下，也能理解传过来的信息。

 

为了把控更高的维度，我们要从二维转向三维，我们把思绪再次回到中学阶段。如果你也是那种三维立体图形画图困难户，那你就要感谢代数的作用了。三维空间中的点由3个坐标值表示，线和平面等形状用相应的方程表示。如果你无法想象图形之间的关系，这些方程可以帮到你。

 

 

在高维空间中，也适用同样的原理。n维空间的点由n个坐标值表示。和2维以及3维空间一样，你可以给出高维空间中距离和体积的概念，然后定义包括高维球之类的各种形状，这些都是用方程来定义。虽然这些图形无法作图了，但是用代数方法可以处理它们。所以，你同样可以定义高维空间中球体堆积以及堆积密度的具体含义。

 

回到2维和3维的情形，我们来看看如何从2维的情况推广到3维：先用刚才2维上的蜂窝排布的方式把3维的球体在平面上铺一层，从2维角度看，这是最佳堆积。然后在这一层上铺第二层，第二层的球都铺在第一层的凹陷处。然后继续第三层、第四层……这样的确会产生一个最佳堆积，所以人们会想当然的认为，这种推广方式会自然的推广到高维情形。

 

 

哎呀，但事与愿违。知道其中一个维度的最佳堆积和对推算下一个维度的最佳堆积并没什么用。下图展示了4维到26维目前人们知道的最佳的堆积的下界。从图上看，呈指数级下降趋势。

 

 

寻找上界

 

我们寻找的数是某种意义的最大值，比如说堆积密度的最大值。但是，往往没那么好的运气说找到就找到，这时候我们就要退而求其次，去找一个上界：一个数，那个还没求出的堆积常数一定不超过这个数。

 

不同维度的堆积常数上界陆续被人们提出。2003年科恩(Henry Cohn)和艾尔基斯(Noam Elkies)研究出了一个非常有趣的求上界的办法，可以用于任何维度的计算。但这个办法有实际操作上的难度，所以两个人也只把这些上界算到32维的情况。结果就是下图，包含4到28维的情况，绿色是下界，蓝色是上界。

 

 

这里值得注意的是8维和24维，它们上界和下界几乎重合。如果真是重合的，那我们实际上就知道了对应维度的球体堆积常数。科恩和艾尔基斯没能证明它：因为存在某种非常不爽的可能性，球体堆积常数介于上下界之间肉眼无法分辨的微小的缝隙中。科恩在《美国数学会通告》(Notices of the American Mathematical Society)发文说："对于信仰数学之美的人来说，这应该不可能，但信仰不是证明。"

 

 

缝合缝隙

 

维娅佐夫斯卡在科恩和艾尔基斯的工作基础上，缝合了8维空间上的缝隙。随后，又在科恩、库马尔(Abhinav Kumar)、米勒(Stephen D. Miller)、拉德申科(Danylo Radchenko)的帮助下，完成24维的工作。如果忽略球体本身这个形状，只考虑球心，那你就得到了点在空间中的配置。除了每个点的坐标，我们用点与点的距离统计来描述这个配置：产生的最小距离有哪些，它们占比多少？

 

 

这是物理学中经常用的办法。"天文学家经常干这种事情，"维娅佐夫斯卡说。"他们观测星空，计算恒星之间的距离。他们忽略空间的几何形状，只记录每两个恒星之间的距离。实际上，这些距离的统计数据一定会满足某种限制。如果你想让一定数量的恒星保持这种距离，又有一定数量的恒星保持那种距离，还有一定数量的恒星保持再一种距离，那么空间中可能不会出现这种恒星排布。"

 

用类似的思想，科恩和艾尔基斯证明了球体堆积的距离分布也需要满足特定的限制，这让他们得到了球体堆积常数的上界。要完全满足这种限制，你需要找一个性质非常特别的函数，这就是难点。科恩和艾尔基斯只能逼近这个函数，这就是他们只能从逼近层面得到上界的原因。

 

为了求出8维(以及之后的24维)的球体堆积常数，维娅佐夫斯卡就需要更进一步。它必须找到一个“神奇函数”。这个函数不仅仅是只能估计上界，这个上界必须是不多不少的那种，就是说，它正好等于8维空间中的球体堆积常数。科恩和艾尔基斯认为，这个函数肯定存在，但没办法求出来。"那个神奇函数似乎来自虚空，"科恩在文章中提到。

 

这就是维娅佐夫斯卡真正实现的东西：用了一个前人从没考虑过的“大胆构造”,它做出了一个满足条件的函数。

 

维娅佐夫斯卡证明了8维空间中球体堆积常数是：

 

 

就是说等体球体最多能填充25%左右的8维空间.

 

使用的填充方法叫做E8格球体填充。所用的球体半径都是1/√2，球心是全部格点(坐标都是整数的点)以及两个格点连线的中点(还要求格点端点的所有坐标值之和为偶数)。E8格和E8例外李群有关系。在8维空间里，就没办法图形展示了。24维空间用的是利奇格(Leech lattice)堆积，比E8格要复杂，得到24维空间的球体堆积常数是

 

 

 

迷之维度

 

到底是什么让8维和24维如此特别？"每个人都问我这个问题——我也不知道，这是个迷，"维娅佐夫斯卡说。"在这两种维度中，那些点能被精妙的配置，使得我们能精确的计算出来，但这样性质良好的配置其他维度都没有。你问我原因，我真不知道。"

 

但是已经够了，就8维和24维的证明已经足以让维娅佐夫斯卡获得数学界的至高荣誉了。未来，无论谁用何种方法解决其他维度的情况，都能为这个人带来极高的荣誉。

 

 

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原文作者：Marianne Freiberger 、 Rachel Thomas

编译作者：Math001

 

 

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梅纳德(James Maynard)是2022年菲尔兹奖得主之一。菲尔兹奖每四年颁发一次，只颁发给40岁以下的数学家，被誉为数学界的最高荣誉之一。

 

 

梅纳德是数论的顶级专家，这次得奖几乎是众望所归的。

 

 

数论、质数

 

 

"数论在我心目中的地位是独特的，甚至在我正式学习它之前就已经如此，"梅纳德说。数论，研究整数性质以及研究整数之间相互结合产生新数的学科。数论就是梅纳德的一个学术性的游乐场，这是让梅纳德从孩提时代就流连忘返的地方。

 

 

处于数论中心位置的东西就是质数，只能被1和其本身整除的正整数。因为不能再因数分解，质数经常被人们描述成数论的原子。每个其他正整数都能被这样的原子"做"出来，任何正整数都能写成一些质数的乘积。比如24 = 2 × 2 × 2 × 3，再比如110 = 2 × 5 × 11。

 

其他的质数，也能用类似的办法写成这样质数乘积的形式。

 

 

 

孪生质数猜想

 

梅纳德一个最重要的贡献就是关于孪生质数猜想的。几千年前 ，我们就已经知道质数有无穷多个，但是这些质数排布在数轴上的时候，却没有非常明显的规律。"通常情况下，你顺着数轴的方向看，质数之间的间隔会越来越大，"梅纳德说，"但是孪生质数猜想说，就算从大面上质数的间隔越来越大，也有极少数的质数会互相挨着非常接近。理解质数间隔是理解质数分布最基本的问题。"

 

 

除了2，左右质数都是奇数，所以质数之间最近的间隔就是2了(只看大于2的质数)。刚开始，很容易找到一些间隔最小的质数，它们被称为孪生质数：3和5、5和7、11和13都间隔2。但随着数的增大，这种质数在数轴上越来越难找到。数学家们都相信，能找到无穷多的孪生质数，这就是孪生质数猜想。

 

孪生质数猜想是数论中最著名的猜想之一，它表述简单，但一直没被证明，几百年来一直让数学家着迷。经过数百年的探索，在2013年取得了一个重大突破。张益唐证明了有无穷多对质数，它们的间隔小于7000万。"对数学家来说，这是一个巨大的突破。这是人类第一证明了质数具有一个有限的间隔"，梅纳德说，"尽管7000万比2大很多很多，但7000万比无穷大小多了。"

 

 

张益唐的突破和筛法有关系。筛法是在证明过程中，筛掉不需要整数的办法。最初等的例子是埃拉托色尼筛法，他能筛掉所有不是质数的数。从2开始，在数轴上去掉所有2右边所有2的倍数。这样2的右边，最小没被去掉的整数就是3，再把3右边所有3的倍数去掉。这样3右边没去掉的整数是5，这样重复操作下去。桑达拉姆筛法也能筛掉不是质数的那些数，但它基于一种算术级数(就是等差数列)来做筛选。

 

 

"筛法是数论研究中，将已理解的信息转换为你试图知道的信息的有利工具，"梅纳德说，"如果你知道关于算术级数的一些具体技术手段，那么你就可以用它转换一些关于质数最近间隔的信息。"筛法初看下很简单，但很多时候，要用一些很强的数学结论才能让它发挥作用。张益唐的成果的强大在于，可以通过控制输入的方式来让筛法得到想要的信息。

 

 

梅纳德的方法却不同："不是对筛法去改进输入而是改进筛法本身，这个方法在将一种类型的信息转换为另一种类型的信息方面变得更加有效，这意味着我们只需更弱的输入来获得关于素数间隔的结果。"通过这种新方法，将间隔从 7000 万大幅减少到只有 600。在与更多的数学家进行了一系列合作之后，我们现在已经知道存在无穷对质数，它们之间的间隔只有不超过246。

 

即使取得如此巨大的进展，孪生质数猜想的证明仍然难如登天。工作仍在继续，通常这需要全新的方法去证明。在新方法的研究中，梅纳德证明了一个有趣的结果，给定任何一个10进制正整数，存在无穷多个质数，它的十进制表示不包含给定的正整数(包含是字符串意义的包含，比如1231，312都包含12，但不包含39)。在这个阶段很难知道孪生质数猜想何时会被完全证明，但梅纳德依然乐观的表示：“我们离证明孪生素数猜想还有差一个关键思想，但也许我们只差关键思想。”

 

 

要么全都是要么全都不是

 

 

数论中有大量长期存在的猜想以及悬而未决的问题。证明孪生质数猜想可能还有一段很长的路要走，但最近梅纳德与他的同事库库洛普洛斯(Dimitris Koukoulopoulos) 证明了另一个重要猜想。

 

1941年提出的达芬-谢弗(Duffin-Schaeffer)猜想，它是一个关于有理数逼近无理数能力的一个猜想。实数是由有理数和无理数组成的。有理数能写成两个整数p和q的商p/q，而无理数是写不成这样形式的那些实数。最著名的就是圆周率π，它等于3.1415926...是一个不能写成整数之商的无理数。我们只能用有理数去逼近它。比如，我们只用保留两位小数的3.14来作为π的近似值，那么对应的分数就算314/100。但用的两个数都有点大，实际上22/7是一个更精确的逼近。

 

"就是说22/7可以算是更有效捕捉π的算术信息的近似值，"梅纳德说。理解实数的有效逼近(也称为丢番图逼近)以及这些逼近的分布可以为数论学者提供非常重要的信息。达芬-谢弗猜想使得有效逼近在什么情况下存在或者不存在的判断变得简单。

 

 

如果你试图让你的近似值具有一定的精确性。而且这个近似值会随着分母q的变化而得到一个p/q。达芬-谢弗猜想说，通过简单的计算可以告诉您，在"几乎"意义下，要么对所有数都有指定类型的有效逼近，要么没有。

 

 

 

"达芬-谢弗猜想说，要么是那种除了极少数的例外都能做有效逼近，要么根本做不到有效逼近。"梅纳德说，"而且猜想告诉你了一个简单步骤来让你知道能做还是不能做。"

 

 

这初看下似乎没那什么用，但它为数学家提供了一个强大的工具。“有很多数学命题，数学家希望它任何情况下都是对的，但事实证明有一些令人讨厌的反例，”梅纳德说。“但如果这些反例情况相当罕见，那么结果就是这些反例并不那么重要。”

 

 

玄幻

 

梅纳德的工作被描述为“非常巧妙，经常在当前技术看似无法解决的重要问题上取得令人惊讶的突破。” 尽管他硕果累累，获得菲尔兹奖仍然令他惊异。“当坐在办公桌前拨弄数学玩具的时候，我不觉得自己在数学上获得了巨大的荣誉！”

 

虽然获得菲尔兹奖这个数学界最高的奖项之一是一项巨大的荣誉，但梅纳德依然觉得这个奖项令人敬畏，而且有点玄幻。“可以这样说，我脑海中浮现的数学史上的传奇数学家们都是令人敬畏的。当我还是个孩子的时候，这些数学家都是我仰望的人。”他说。"我也得奖了，这太玄幻了！"

 

 

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原文作者：Marianne Freiberger 、 Rachel Thomas

编译作者：Math001

 

 

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许埈珥是2022年菲尔兹奖的得主之一。菲尔兹奖每四年颁发一次，只颁发给40岁以下的数学家，被誉为数学界的最高荣誉之一。

 

许埈珥的故事在数学界一定会是一段经典的传奇

 

 

这位数学家太非同寻常

 

 

能成为顶级数学家的人，在他们小时候一般都被视为“神童”。很早就表露出天赋，在学校里夺得所有的数学竞赛的奖牌，并按照命中注定的伏线走向通往伟大的道路。

 

 

许埈珥是完全的另类。小学时成绩就不好，高中时觉得上学无聊，书不念了去写诗。他最终选择了做数学，不是因为这个学科，而是因为一个人。就当他即将从首尔大学的物理及天文专业毕业的时候，他了解到著名数学家广中平佑在他学校开着一门课。“我对数学一无所知，但我看过广中平佑自传。这人非常有趣，所以我就选这门课了”

 

 

课程是对广中平佑所作工作的即时反馈，讲述了他最近产生的对数学的思考洞见。"这是我第一次见把数学当职业的真人"，许埈珥说，"我第一次把数学当作人类活动而接触这个学科"。这种人类活动带来的愉悦让许埈珥深陷其中，如痴如醉。

 

 

肉眼可见的数数

 

 

许埈珥说他做的数学非常直观。因为数学训练不多，职业生涯的初期他只关注如他所说的“肉眼可见”的对象。“现代数学的很多领域都研究得非常深入了，你光理解领域内的核心问题都要好几年时间，”许埈珥说，“这就像天文学，你要做出成绩，需要先入手一个百万美元的望远镜。”

 

组合数学就不太一样：组合数学是数数的艺术，数的东西总能数得出来。因为那些东西都是有限多个，而且还是离散的。组合数学中最典型的问题是，一种扑克牌的牌型有多少种。“所有的东西都是实实在在的，你甚至可以触摸到它们”，许埈珥说，“组合数学就算我肉眼能看到的那部分数学。”

 

 

如果数数被认为是数学的基柱之一——人们小时候做的第一类数学活动，从生物角度看，我们人类在诞生之初就做在做这样的事情——那么还有一个基柱必须是几何。“几何对所有人来说都是相同的，”许埈珥说。“我们是视觉动物，视觉是我们的主要感官。我们通过视觉产生的几何而不是通过声音、味道或气味来了解我们周围的世界。”

 

虽然您可以在不遇到概念困难的情况下进行大量计数，但几何图形更具欺骗性。一个多节土豆的形状是我们一看到它就会立即得到的东西，但是当我们没有图片来描述它时，我们很快就被难住了。“几何很难形式化，”Huh 说。“它包含大量信息，尤其是当您将其与我们的语言和逻辑的复杂性进行比较时。”

 

虽然你可以在不基于任何高深数学概念的情况下进行数数，但几何上的计数会有很多误导。比如我们很容易看清一个长有很多疙瘩的土豆，但当我们没有一个合适的图形描述它的时候，我们就会犯难。"几何很难被形式化"，许埈珥说，"尤其和我们的语言和逻辑对比的时候，你会发现几何包含的信息实在太多了。"

 

然而，当你使用方程的时候，奇迹发生了。比如方程y=x精确定义了一条平面上的直线。对直线上每个点匹配一个坐标(x,y)，然后这些把满足方程的所有坐标标记出来即可。

 

 

同样的方法，你可以回忆你中学学过的方程y=x²，这是一条抛物线。

 

 

类似的，不同的方程能描绘出不同的形状。这就和那种不规则的土豆不同，我们就可以用代数工具来研究几何了。数学中这是一个专门领域，叫做代数几何。

 

“在代数几何中，为了精确表述一个几何空间，你要做的就是写下一个方程，甚至这个方程都不是很复杂，比如多项式方程。” 许埈珥说，“你可以把它写在你的小本本上，然后看看——这是你可以看得见摸得着的东西。这是我职业生涯初期中唯一能动手做的东西。这就是为什么代数几何也吸引了我。

 

 

 

唯一的最小值

 

 

 

 

许埈珥获得菲尔兹奖的数学成果是非常艰深的理论，涉及代数簇和霍奇理论。但当让许埈珥说出一个他自己引以为傲的成果时，他说的是一种用一些简单信息暗含深刻结果的一些数学方法。这个方法建立了连续和离散的桥梁，就算不从数学考虑也很有意思。

 

为了描述这个方法，我们还是从之前的抛物线y=x²开始。

 

 

这个抛物线有个重要性质，就是在蓝色的点处取得唯一的最小值。

   

抛物线只有一个最小值的原因是，它不会向上凸出。这与下面显示的曲线y=x^4 + 2x² - x/2形成对比，该曲线在底部有一个向上的凸起，会产生两个局部的最小值(极小值)。

 

 

换种说法，我们说抛物线的上方区域是(下)凸的，但第二条曲线不是。标准说法是，一个区域是凸的是指，其内部任何两个点连接的线段仍然在其内部。那么抛物线就是凸函数。而第二个函数是非凸函数。

 

 

当一个函数涉及多个变量的时候，也有凸的概念。如果是两个变量，就对应只有一个山谷的概念，而不是复杂的山脉。如果是更高的维度，图像无法画了，但依然可以定义凸的概念。

 

 

求最优解

 

 

凸函数是非常重要的，因为我们在日常生活中都多多少少会遇到求最小值的问题。比如，你造车，你会想办法降低车的油耗。这个油耗就和一些变量相关，比如车的重量和空气阻力。如果有人给你了用这些变量描述的油耗函数，你就要去找这个函数的最小值。而这个函数可能是包含很多变量的复杂函数，那么找到这个最小值就非常困难。

 

 

但是，如果这个函数是凸函数，那么问题就容易得多，因为凸函数的极小值是唯一的(所以这个极小值就是最小值)。你甚至可以用一种“凭感觉”的手段来寻找这个最小值：就算你不看图像，你也能感受到走那边是往下走的，向那个方向走一小段，然后继续“凭感觉”探路。对于更多变量的函数无法画图像的时候，这个手段依然奏效。

 

 

但对于非凸函数，这种“凭感觉”的方法就会误导你：你得到的可能是众多极小值中的一个，你无法确定它是某个局部的低点，还是全局的最小值。

 

 

建立联系

 

对于优化问题，数学中的凸分析是个无价之宝。但问题是，凸分析针对的函数是连续函数。如果不是身处连续的曲线上，而是在一个和别的岛屿分离的小岛上，那你周围就没有信息让你“凭感觉”探路了。

 

 

"但是，我们身处世界是越来越数字化的，也就是离散化的"，许埈珥说，“我们会经常对某些离散情形做最优化，为此你需要一种不同的技术手段。”尽管搞优化的学者们已经开发了一个框架来处理离散问题，但这两个领域直到最近还没有明确地联系起来。"尽管连续情形和离散情形两者问题类似，但还没找到直接的连续，"许埈珥说。

 

 

许埈珥在他和同事们所做的就是通过巧妙的观点转变找到这样的联系。上面的方程y=x²描述了一条连续的曲线，但它本身是由有限数量的离散信息定义的——这就是我们很容易将它写在小本本上的原因。我们只需要知道变量 x 和 y 的幂的次数，这些它们系数是多少，以及等号的位置。因此，这个方程可以视为离散对象。

 

 

基于这个观点许埈珥和布兰登(Petter Brändén)研究出了一种适用于洛伦兹多项式的深层理论。对于洛伦兹多项式，两种凸性的角度——一种从连续角度一种从离散角度——通过多项式的两种不同视图自然地联系在一起：一方面作为连续对象，另一方面作为离散对象。

 

 

“找到这种形式联系非常令人满意。”许埈珥说，“对我们来说，更让人欣喜的是，一旦有了这样的联系，你可以用一种非常自然和简单的方法去解决那些被认为技术性很强且非常难的问题。”

 

 

数学是人性的镜子

 

 

如果有人能把数学中看似不相关的领域联系起来的时候，数学学科往往能产生巨大的进展。不过，从某种意义上说，许埈珥认为我们不应该对这些联系感到惊讶。“这并不奇怪，因为数学领域的细分，或者说人的感觉的细分——组合的、几何的和分析的——只是我们作为一种生物及其感觉器官数百万年变迁的结果。如果我们是一种不同的生物，拥有不同的感觉器官和不同的环境，我们也许会发展出完全不同的数学领域。”

 

如果数学领域的界限的产生如此偶然，那么数学中一些最深奥的问题跨越这些界限也就不足为奇了。从这个意义上说，我们开发的数学是我们人性的一面镜子。“它展示着，我们是谁，我们如何思考。”

 

 

 

 

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原文作者：Marianne Freiberger 、 Rachel Thomas

编译作者：Math001

 

 

 

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度米尼尔-柯平(Hugo Duminil-Copin)是2022年菲尔兹奖得主之一。菲尔兹奖每四年颁发一次，只颁发给40岁以下的数学家，被誉为数学界的最高荣誉之一。

 

 

相变和普适性

 

度米尼尔-柯平因为在统计物理中对相变的数学理论的工作而受到数学界的认可。在日常生活中，我们经常看见相变发生：比如低于零度的时候水会结冰。相变是一个复杂的系统，就拿水分子来说，在一些特定的临界温度附近，分子行为会发生非常剧烈变化。

 

“作为数学家，我们做的事情是通过对这些物理现象建立数学模型，去理解相变是怎么发生的”，度米尼尔-柯平说到。比如规则晶格模型通过对分子排布的描述来理解这些现象。实际上液态水分子的位置并没有那么规整，在现实中，他们不会像晶格描述的那样排布在空间中。但为了对这种系统进行研究，通常会简化的认为分子按这种非常规整的方式排布。

 

虽然这个假设不完全符合事实，但度米尼尔-柯平说用这种方式研究的系统却可以解释现实中发生的现象。"这就和一个深刻的理论有关系了，叫做普适性(universality)。我试图用数学的方式去理解它"

 

普适性就像一种梦幻的场景：一些情况下，数学模型中的琐碎细节并不影响全局行为。原因是如果一个系统涉及多个不同的随机过程，那么底层机制的一些细节就和全局无关了，比如水分子的运动。在水结冰的过程中，无论你把水分子的排布看成怎么样晶格排列，你研究的相变的性质都是相同的。

 

 

"这让数学家和物理学家都安心，因为很多系统都具有相同的行为表现。那么你只需要选择最简单的情况来研究，就是那种规整的规则晶格。"从数学上来说，您可以从这种更为简单的问题描述中得到更多信息。数学模型不一定就是物理现实，但由于普遍性，你的结果都是相同的，和初始假设用精确的物理描述结果是一样的。

 

 

漂亮的问题

 

统计物理中有很多问题受到度米尼尔-柯平青睐：很多是看似简单但需要新数学方法来攻克的问题。一个例子是他在做博士后时做的第一个猜想。

 

 

“想象一下，你现在在一个蜂窝面前，”度米尼尔-柯平说，蜂箱的形成了平面上的六边形平铺，蜂箱壁的挡板和挡板转角标记成为六边形(蜂窝格子)的点和边。你选择一个点作为起点，然后在六边形的边界上行走，但有一点，你不能回到任何之前走过的地方，边和点都不行。这个规则叫做自规避行走。

 

 

 

现在的问题是，有多少种自规避行走的走法？就如他所说，规则非常简单，小孩子都能玩。如果让你走一步，那么有三种走法，如果让你走两步，就有6种走法，如果让你走三步，就有12种走法。如果走的步数越多，情况就会越来越复杂。而且为了不走重复路线，你去数这些走法的数量就越来越困难。“你很快就会发现到你无法准确计算出走法的数量，这是一个很难把控的数。”下图是走5、6、7步时候的走法示意。

 

 

1980年统计物理学家尼恩胡斯(Bernard Nienhuis)给出了一个惊人的猜想，他说这个数不仅能把控，而且有一个对数量级的精确限制。他猜想，如果走n步，那么自规避行走数量的增长速度是(√(2+√2))^n(先根号2，再加上2，然后整体再开根号，再n次方)。

 

 

“我发觉有一个答案真是太棒了，这是一个非常酷的数字！”度米尼尔-柯平说。“我在硕士课上第一次了解到这个猜想。这很有趣，因为当时看起来这个猜想似乎没有希望被证明。” 但是通过使用看似不相关的数学领域的工作，的确完成了它。“这是在我们的领域的问题的一个典型例子，你会受到许多其他数学和物理领域的启发。它让你处于许多领域的交汇点，这是我非常喜欢的事情。

 

 

这个问题不止数学家关心。上世纪40年代，保罗·弗洛里(Paul Flory, 1974诺贝尔化学奖得主)和奥尔(W.J.C. Orr)引入了自规避行走来研究长链分子(聚合物)，以及去理解聚合物的行为。“这与物理关系密切，例如如果试图理解 DNA 分子的行为。这些聚合物会自规避行走，原因是显然：它们是分子组成的一个长序列，不会在同一个地方重合。”

 

 

度米尼尔-柯平认为菲尔兹奖是对他所在领域的所有工作人员以及他们共同研究的工作的认可。当 ICM 宣布奖项时，他迫不及待地想与他的同事分享这一认可。“数学研究是一项社交性极强的活动，互动交流比普通人想象的要多得多，”他说。“有一些数学家是孤勇者的形象，但就我而言，这不是我的数学环境以及做数学的方式。如果没有与其他人的这种互动，我的就不可能有这成绩。” 

 

 

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