如何让子空间“变成”完备度量空间

    一个度量空间$(X,d)$，如果对于度量$d$，每一个柯西列都收敛，我们就说$X$是完备度函空间。于是我们知道$\mathbb{R}$在通常度量$d(x,y)=|x-y|$下是完备度量空间。对一般的$\mathbb{R}^n$，在通常度量(欧基里德度量)下是完备度量空间。

 

    现在，我们来看看完备度量空间的子空间是不是完备度量空间。Wiki上说完备空间的任一子空间是完备的当且仅当它是一个闭子集。这话的确没错，但我们这里换个思路来想这个完备性。当$(X,d)$是一个完备度量空间，取一个子集$A\subset X$，并继承$X$的度量$d$，得到一个度量空间$(A,d)$，这个时候通过$d$能一个拓扑空间。这个时候，我们只考虑拓扑结构，如果$A$不是闭子集，那么我们能不能换一个度量$\rho$，$(A,\rho)$与$(A,d)$是相同的拓扑结构，但$\rho$是一个完备度量。如果有，我们就说$A$能有相容的完备度量。

 

    先在$\mathbb{R}$来看一个简单情况,开区间$(0,1)$实数集的非闭子集，我们取$\rho(x,y)=|\cot(\pi x) - \cot(\pi y)|$，那么$\rho$就是完备度量，而且他诱导的是相同的拓扑，因为$y=-\cot(\pi x)$是$(0,1)$到$\mathbb{R}$的同胚。

 

这其实给了我们一个思路，就是找相容完备度量的时候，可以把它用同胚映射到一个熟知的完备度量空间上，从而得到相要的结果。于是，利用这个思路，我们很容易得到，$[0,1)$有相容完备度量，因为它同胚于实数上的闭子集$[0,+\infty)$；两个不交开区间的并(比如$(0,1)\cup(2,3)$)有 相容完备度量，因为它和$\mathbb{R}^2$的两条平行直线同胚。

 

现在来一个难一点的。无理数集和有理数集，他们分别有相容的完备度量吗？

 

    如果有人知道贝尔纲定理，很容易知道，有理数集是不可能的有相容完备度量的。贝尔纲定理说，完备度量空间是第二纲的，而有理数是第一纲的，所以他没有相容的完备度量。

 

无理数呢？其实，一般拓扑里有一个终极定理可以解决这个问题。回贴的人会有人贴出来吗。