下雨没伞：跑还是不跑？
原文作者：Atheeta Ching，伦敦大学学院数理生态学博士。
译文作者：radium，哆嗒数学网翻译组成员。
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编者按： 有一个故事，说下雨天，大家都拼命的在雨中跑。有一个人却慢慢的走，别人问他为何不跑，他说，你没看见前面也在下雨吗，跑有用吗？很多人都是把这人当笑话来看的，但是这篇文章告诉你，问题没那么简单！
很多事情都影响着我们的生活，其中一件事便是天气，特别是下雨天未带伞（或者我们懒于将伞从包里拿出来）时的窘迫。凭直觉就知道似乎奔跑就是最好的选择，或者至少我们走快一点，就可以少淋一些雨。但是这也意味着雨点会以更快的频率从正面打在我们身上。
所以，如何才能让雨点在我们衣服上画的地图的面积少一点呢？这个问题实际上在过去的几十年里被众多的专家或爱好者们讨论过，无论是数学杂志还是像《流言终结者》这样的科普电视节目（事实上他们关于这个问题做了两期节目，第二期是对它的更正）。
让我们从最简单的模型开始，想象雨点匀速竖直落下。在图中，你就是那个灰色的长方形（因为下雨让你的心情不好，灰色可以表达这点心情）。
同时我们也要假设雨点均匀降落，其次第二个假设是假设雨点只从人的头上落下，而不考虑打在身上的情况。在这种情况下，无论雨点下落的速度有多快，你最好的选择便是“跑”。跑的越快你在雨中所淋到的雨越少。
好了，现在我们考虑，如果雨点因为风的缘故以一个角度降落在你身上又会如何呢？对于这个问题我们将会介绍一些真正的数学。和前面一样，我们将假设雨速度为定值Vr均匀下落。
雨域是这个问题的一个很重要的概念。这个区域包含了所有将会淋到你身上的雨点的初始位置。假设你以s的速度运动，因此在二维图上你的速度可以表示为向量Vu=(s,0)，这使得你在雨中花费的时间为1/s。
在你身上取一个点P，在雨域取一点Q，在t时刻后在这一点上的雨点会淋到你身上。然后我们就可以得出出雨点会在Q + Vr·t这一点上淋在你身上。而你的原始位置P可以表示成为 P=Q + Vr·t − Vt·t。从而对于每一个你暴露在外可以淋到雨的位置P,对任意时间t∈[0,1/s]，点P+(Vr−Vt)·t在雨域内.
完整的下雨的区域由这些斜线勾勒出来了。每一条斜线的长度为 ||Vr−Vt||/s。这样就十分清晰了：如果雨以一定的角度下落，你应该跑的越快越好，缩短雨域的水平长度（下雨区域内的“宽”是定值，而和人的身高成比例）。
要是雨从你背后方来，又会怎样呢？这样一来，事情变得有一点复杂。雨点速度的分解为Vr=(V1,V2)，因为雨点有向前方的速度，因此 V1>0。于是一些不同事情将会发生（假设雨以一定的速度均匀下落）。之前我们提到，你以速度s移动。如果s>V1你就不会被你背后的雨淋到，但是你的头部和你身体的正前方会被淋到。
如果 s=V1，也就是说，你的速度和雨在你前进方向的速度一样，那么仅仅只有你的头部会被淋到雨。最后，如果s<V1显然你的背部和头部会被淋到雨，但是你的身体的正面会保持干燥。令Af为你身体正面或背面的暴露在雨中的面积，而At为你头部暴露在雨中的面积。
在我们之前的二维案例中，这些只是表示你所代表的长方形的高度和宽度。雨点淋湿的这些部分的总量分别正比于Rf =|V1−s|·Af 以及 Rt=|V2|·At。
上述中在雨中的时间为1/s，被雨淋湿的函数为R，正比于：
R1(s) = [(V1 - s)·Af + |V2|·At]/s 若 s≤V1
R2(s) = [(s- V1)·Af + |V2|·At]/s 若 s>V1
其中比例的乘子是雨的密度。注意这个函数可以被应用到之前的例子。即雨点向后方下落，V1<0。我们发现我们总会有R=R2，因此让R最小化的方法便是尽可能地增加s。
雨点向前落下的例子中我们有V1>0. 让C = -V1·Af + |V2|·At 然后注意到R是连续的R1是一个关于s的减函数，而R2的变化依赖于C的正负。
如果C>0，R2也是关于s的减函数，要取R的最小值，那么s应该增加到最大值。
如果C=0，R2是一个常值。我们可以通过取任意的s≥V1来最小化R
如果 C<0，R2是一个关于s的增函数，那么我们仅仅只能通过让s=V1来最小化R。例如：你精确地于雨水平分量相同的速度奔跑。
C依赖于你的体格和在雨中的速度。如果雨向前方的速度很小，那么你最佳的选择任然是尽可能快的跑。但是，如果雨向前的速度很大，使得C<0，那么你最好精确地于雨水平分量相同的速度奔跑。同时也意味着雨点会打湿你的头部，但这些都是理论上讲的情况。
关于这个问题还有很多复杂的模型，考虑不同的形状（不是正方形的情况下）或者突然来阵一阵大风，都会影响最终的结论。最后，我们将以Matthew Wright（很遗憾不是之前Chalkdust的成员）写的五行打油诗来结束。
固执的青春
暴露在雨中的执拗
若雨从背后拥抱
我我便与雨同行
但若迎风而行
最华丽的步调
便是与雨赛跑
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