科普：博雷尔分层与在实变函数里的一些应用
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最近，哆嗒数学网的一位小编成为百度实变函数吧的吧主。发现很多初学者都会提一些新手问题，而很多问题都和我的这篇文章要讲的博雷尔分层（Borel Hierarchy）有关系。
哆嗒数学网温馨提示：这篇文章需要学完同学有数学分析的基础。本文的目的诣在于帮助各位实变新手梳理一套思考方式。
博雷尔分层是什么东西呢，它把博雷尔集（Borel Set）按一定规则“排队”的办法。就像我们有一堆书，要把他按一种分类方式放进一个高高的书架，第一层是哲学，第二层是数学之类，这样放好之后，以后需要用的时候，只要告诉这书是在哪一层取的，比如说第二层，恩，我就能知道它就是数学书，书里一定有很多数学定理之类，使用起来就很方便了。
一般实变书没在定义博雷尔集的时候，只说博雷尔集所组成的集族是由所有开集生成的σ代数，即是由开集出发，不断地做可数个集合之间交、并、补运算得到的结果还是在集族里。注意所有博雷尔集一定是包含所有开集的最小σ代数，所谓最小是指在集族包含关系的最小，就是说如果还有一个族是包含所有开集σ代数，那么这个集族一定以博雷尔集族为子集族。比如，一个集合的所有子集组成幂集集族也是包含所有开集的σ代数，但不是最小的，这意味着存在一个集合，它不是博雷尔集，这个在后面会讲。
这里顺便说一句，理论上应该证明一下这样的最小的σ代数是存在的。证明过程大致是这样，幂集集族说明了包含所有开集σ代数是存在的。而任意多个所有开集σ代数的交起来还是所有开集σ代数，于是，我们把所有包含所有开集σ代数交起来，就得到了那个最小的博雷尔集簇。
现在，我们要来做书架来放书了，来说我们的博雷尔分层。
每一层，我们分为两部分，说成一左一右吧。
第零层，把所有开集放左边，并把左边部分取个名字叫$G_0$，然后把每个左边的开集取补集放入右边，即所有的闭集放成了右边，右边就叫做$F_0$吧。这样第一层的东西就放完了。
第一层，把$F_0$里所有的东西之间做所有可能的可数并，再放入左边，取名$G_1$，同样的，我们把G_1里的每个成员做补集，放入右边,定名$F_1$。这样放完第二层。熟悉实变函数的人知道，第二层的左边其实就是$F_σ$集，而右边是$G_δ$集。
这一直做下去，一直要做完每一个可数序数（Countable Ordinal）。可数序数的概念说起来有点话长，这里请读者自行wiki吧。
对于一个后继的可数序数$ξ+1$，第ξ+1层左边的东西就是$F_{ξ}$里东西之间做所有可能的可数并，并定名$G_{ξ+1}$，而再把$G_{ξ+1}$里的每个成员做补集，放入右边得到$F_{ξ+1}$。这样$ξ+1$层放完。
而对于一个极限的可数序数$ξ$，那边第ξ层左边的东西，就是把之前所有比$ξ$低的那些合在一起，即并起来，叫$G_ξ$。右边同样是把左边的每个成员取补集,叫做$F_ξ$。
这样，我们就把博雷尔集分成$ω_1$层，这里$ω_1$是最小的不可数序数。
还是要啰嗦一句，我们还需要说明的事，这样的分层的确是一个不漏，且无任何额外添加的把所有博雷尔集分完了。无额外添加好说，因为每一层的东西，无非是对前面的东西做可数并或者补运算。对于一个不漏，我们这样说明，注意到一个很有趣事，对于第$ξ$层里的左边的$F_ξ$和右边的$G_ξ$,它们里面成员是分别包含了比他低层里的所有成员的。所以任意在这个分层里取可数成员，一定能找到一个它们存在的一个共有层次，于是他们之间做可数并或者补运算不会越过$ξ+1$层。这说明，把所有层的成员凑在一起，它们构成一个σ代数，所以一定包含博雷尔集族（回忆一下前文说过的，博雷尔集族是最小的σ代数）。
于是我们把所有的博雷尔集放到一个分层良好的“书架”里。
分层好了，我们来看看一起实变的简单结论。
结论1： 所有博雷尔集有$\mathfrak{c}$个，这里$\mathfrak{c}$是连续统基数，即实数的基数。
用超限归纳法可以证明，每一层的成员个数都是$\mathfrak{c}$个，所以所有博雷尔集的势不会超过$ω_1·\mathfrak{c} = \mathfrak{c}$ 。而每个单点集都是博雷尔集，所以不会少于$\mathfrak{c}$个。再由伯恩斯坦定理，得到基数正好为$\mathfrak{c}$。
由结论1，能得到这个推论1。
推论1：存在一个不是Borel集的可测集合。
因为康托集(Cantor Set)是零测的基数为$\mathfrak{c}$的集合，而零测集的子集都是零测的。且零测集都是可测的。于是康托集有$2^\mathfrak{c}$个可测子集，而$2^\mathfrak{c} > \mathfrak{c}$。而Borel只有$\mathfrak{c}$个，于是得证。
结论2：对于可测函数$f$和博雷尔集$B$，$f^{-1}(B)$可测。
注意到这些事实$f^{-1}(A∪B)=f^{-1}(A)∪f^{-1}(B),f^{-1}(A∩B)=f^{-1}(A)∩f^{-1}(B),f^{-1}(A^c)=f^{-1}(A)^c$。利用超限归纳法，对每一层的博雷尔集进行归纳即可。
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