规范场论——看看粒子物理与数学如何相遇

原文来源，牛津大学网站。

翻译作者，Aria，哆嗒数学网翻译组成员。

校对，小米。

 

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牛津数学家田中佑二(Yuuji Tanaka)描述了他在我们对规范场论的理解的推进上所做的工作：

 

“规范场论产生自物理，作为一个统一理论，它的出现在杨-米尔斯规范场理论（Yang-Mills gauge theory）和希格斯机制（Higgs mechanism，给物质和作用力关联质量的理论）框架下统一了弱作用（出现在β衰变中）和电磁作用。规范场论在维特曼(Veltman)和特霍夫特(’t Hooft)关于可重整化性质的伟大发现后，成为了粒子物理的主流之一，并给出了实验结果的精确描述。如今所有的基本作用（电磁作用，弱作用，强作用和引力）都可以用规范场论来描述。

 

这些发展无疑刺激了规范场论的数学研究，尤其是在主丛和向量丛的领域。在这一理论中，联络的曲率对应着规范场的场强。80年代早期，唐纳森(Donaldson)考察了一种特殊的杨-米尔斯规范场（称为自对偶或反自对偶联络）方程的解构成的模空间，并惊人地获得了一种利用模空间或者通过模空间给光滑结构赋予不变量的方法，来区分同胚的四维弯曲空间的不同微分结构。

 

 

在唐纳森的工作之后，威腾(Witten)十分巧妙将它地翻译成为特定量子场论的语言。接着阿蒂亚(Atiyah)和杰弗里(Jeffrey)又用数学语言通过马塞-奎伦形式(Mathai-Quillen formalism)重写了威腾的工作。在1994年左右，利用电磁对应的推广（一种电磁理论中隐藏的对称性），这些观点的转变成为了发现赛贝格-威腾方程（Seiberg-Witten equation）与不变量的基石。赛贝格（Seiberg）和威腾(Witten)提出了这项成果在量子级别超杨-米尔斯理论中一个引人注目的应用，即强弱对偶；它使得人们在计算中可以用弱耦合的项来计算强耦合的项）。

 

瓦法(Vafa)和威腾在更加对称的模型中分析了赛贝格和威腾的工作，并猜测这种情形下不变量的配分函数具有模性质，这是之前提到过的强弱对偶的在数学上的加强。模性质原本是在19世纪椭圆曲线理论中发现的。他们在希格斯场(Higgs fields)退化的假设下用数学的结果在一些例子中检验了该性质。

 

然而，对于这些理论，尤其包括希格斯场在内，在过去的20年中哪怕一个严格的数学定义也没有被给出。理查德·托马斯(Richard Thomas)和我最近使用了现代代数几何的语言定义了射影曲面的形变不变量；它源自瓦法和威腾理论中规范场论方程解的模空间。我们接着也计算了非退化希格斯场条件下不变量的配分函数。令人惊奇的是，我们的计算结果与瓦法和威腾远在20年之前的猜想完全一致。除此之外，我们的结果也涵盖了曲面上的层。”

 

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