意外！这俩无穷居然真的是相等的！

 

原文作者，Kevin Hartnett，量子杂志资深作家。

翻译作者，我是崔小白，哆嗒数学网翻译组成员。

校对，Math001。

 

 

关注微信：哆嗒数学网 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

 

 

两位数学家已经证明了两个不同的无穷其大小是相等的，解决了数学界一个长期存在的问题。他们的证明建立在无穷的大小和数学理论的复杂性之间意外的联系上。

 

 

在一项颠覆了几十年传统智慧的突破中，两位数学家证明了两种不同的无穷大实际上大小相等。这一进展涉及到数学中最著名、最棘手的问题之一：自然数的无穷与实数的无穷之间是否存在别的无穷。

 

 

这个问题早在一个世纪前就被发现了。当时数学家们知道“实数比自然数多，但不知道多多少。实数的无穷是刚刚好比自然数大的那个无穷，还是它和自然数之间还有别的无穷？”芝加哥大学的马利亚里斯（Maryanthe Malliaris）说，他与耶路撒冷希伯来大学和罗格斯大学的萨哈龙·希拉一起合作完成了这项新工作。

 

 

在他们的新工作中，马利亚里斯和希拉（Shelah）解决了一个70年没解决的相关问题，即一个无穷大(称为p)是否小于另一个无穷大(称为t)的大小判定问题。他们证明了两者实际上是相等的，这让数学家感到意外。

 

 

“当然，无论是我个人观点，还是之前大家的看法，都认为p应该小于t，”希拉说。

 

 

马利亚里斯和希拉去年在“美国数学学会杂志”上发表了他们的证明，并在去年七月荣获了集合论领域的最高奖项之一。然而他们的工作远远超出了这两个无穷数的相关问题。它为无限集合的大小和另一个不同邻域数学理论复杂性之间开辟了一条意想不到的联系通道。

 

多种无穷

 

 

无穷的概念令人费解。那么会不会存在很多大小不同的无穷呢？这可能是有史以来最违反直觉的数学发现。然而当我们用一个配对的游戏来解释的时候，连小孩子都能理解。

 

 

假设你有两组物体，或者两组“集合”，就像数学家所说的那样：一组汽车和一组司机。如果每辆车只有一个司机，没有空车，没有司机留下，那么你就知道汽车的数量等于司机的数量(即使你不知道这个数字是多少)。

 

 

在19世纪后期，德国数学家乔治·康托在数学的形式语言中领会到了这种匹配策略的精髓。他证明了两个集合当它们可以一一对应时，它们大小是相同的，或者说它们具有相同的“基数”——即当每辆车只有一个司机时。也许更令人惊讶的是，他证明了这种方法也适用于无限大的集合。

 

 

考虑自然数:1、2、3等等。自然数的集合是无限的。但是对于偶数和质数的集合呢?每一个集合起初看起来都是自然数的一个较小的子集。实际上，在数轴上的任何有限长度上，都有大约一半的偶数是自然数，而质数的数目则更少。

 

 

 

然而无限集的表现却不同。康托表示这些无限集的元素之间存在一一对应关系。

1    2    3    4    5    … （自然数）

2    4    6    8    10 … （偶数）

2    3    5    7    11 … （质数）

 

 

 

正因为如此康托得出的结论是，三个集合都是一样大。数学家把这个大小的集合称为“可数的”，因为您可以为每个集合中的每个元素标记一个编号。

 

 

在确立无限集的大小之间可以进行一一对应的比较后，康托做出了一个更大的飞跃：他证明了一些无限集其实比自然数集更大。

 

 

考虑实数，也就是数轴上的所有点。 实数有时被称为“连续统”，反映了它们的连续性：在一个实数与下一个实数之间没有空隙。康托能够证明实数不能与自然数进行一一对应：即使在创建了一个将自然数与实数相匹配的无限列表之后，总是可以拿出另一个不在你的列表上的编号的实数。 因此他得出结论：实数集合大于自然数集合。于是第二种无穷诞生了：即不可数无穷。

 

 

然而有个问题康托始终无法解决，即是否存在一个中间大小的无穷——介于可数的自然数集的大小和不可数的实数集之间。他认为没有，这是一个现在被称为连续统假设的猜想。

 

 

在1900年，德国数学家希尔伯特列出了数学中最重要的23个问题。他把连续统假设放在首位。“这似乎在说，我们迫切的想知道这个问题的答案，”马利亚里斯说。

 

 

在这之后的一个世纪，尽管数学家们拼尽全力，这个问题本身已经证明它是史无前例的难以攻克。介于中间的那个无穷存在吗？ 我们可能永远都不知道。

 

 

力迫法证明

 

 

在整个20世纪上半叶，数学家试图通过研究出现在许多数学领域的各种无限集来解决连续统假设。他们希望通过比较这些无穷大之间的大小，可以开启对自然数的大小和实数的大小之间可能存在的中间数的间隔的理解。

 

 

这些无穷大的大小判定研究，很多被证明对连续统假设没有用。在20世纪60年代，数学家保罗·科恩解释了其中的原因。 科恩提出了一种叫做“力迫”的方法，证明了连续统假设独立于数学公理，也就是说，在集合论的框架内是无法证明的。 （科恩的工作补充了库尔特·哥德尔1940年的工作，哥德尔的成果表明连续统假设不能用通常的数学公理来否定它。）

 

 

科恩的工作成果于1966年为他赢得了菲尔兹奖（数学最高荣誉之一）。数学家随后用力迫法来解决在前半个世纪中所提出的无穷之间的许多大小判定，表明这些大小判定也不能在集合论框架得到肯定或否定的回答。（具体来说，ZF（策梅洛-弗兰克尔）集合论加上选择公理。）

 

 

然而有些问题仍然存在，其中包括20世纪40年代提出的关于p是否等于t的问题。p和t都是两个无穷有序集的大小，它用精确的(而且似乎是唯一的)方法量化了自然数极小子集族的大小。

 

 

两个集合大小的细节并不重要。更重要的是数学家们很快就发现了p和t大小的两种情况，首先，两组都比自然数大。第二，p总是小于等于t，因此如果p小于t，那么p就是一个中间的无穷——介于自然数和实数的大小之间。那连续统假设便是错误的了。

 

 

简单的说说这个问题是什么：p是一个具有“强有限交性”和没有“伪交性”的自然数无穷子集合组成集族的最小的无穷，这意味着其中的子集以一个特定的方式相互重叠；t称为“塔数”并且是按“反向几乎包含”且没有“伪交性”的自然数无穷子集合组成的集族的最小大小的有序集合的无穷。

 

 

数学家之前倾向于认为p和t之间的关系不能在集合论框架内被证明，但是他们也不能确定问题的独立性。p和t之间的关系几十年来一直处于这种未确定的状态。 直到马利亚里斯和希拉涉及别的研究领域后，才最终找到了解决办法。

 

 

复杂性的序

 

 

当保罗·科恩用力迫法证明了连续统假设在通常的数学框架之外的时候，模型论领域正在开展一项截然不同的工作。

 

 

对于模型论家来说，“理论”是定义数学领域的一套公理或规则。你可以将模型论视为一种对数学理论进行分类的方式——对数学源代码的探索。威斯康星大学麦迪逊分校数学退休教授H·杰罗姆·基斯勒说：“我认为人们有兴趣对理论进行分类的原因是他们想要了解一些特定事情在不同数学领域里发生的真正原因。”

 

 

 

1967年，基斯勒介绍了现在所谓的基斯勒序，这个序关系试图根据数学理论的复杂性将其进行分类。 他提出了一种衡量复杂性的技术手段，并试图证明数学理论至少可以分为两类：最小复杂性和最大复杂性。基斯勒说：“这是一个小起点，但是我的感觉就是这里有无穷的类。

      

 

 

在基斯勒建立基斯勒序十多年后，希拉发表了一本有影响力的书，其中包括一个重要的章节，证明了复杂性中有自然发生的跳跃——具有较大复杂性的理论与较小复杂性理论之间可能存在一条明确的分割线。而此后30的年，基斯勒序的研究几乎没有任何进展。

 

 

一个理论具有复杂性，其意义并不总是那么显而易。这个领域的很多工作在某种意义下是如何让大家直观的理解这些问题。基斯勒将复杂性描述为一种理论中可能发生的事情的范围，如果一个理论较之于另一个理论中可能发生的事情越多，我们就说前者理论更复杂。

 

 

 

然后，在她2009年的博士论文和其他早期论文中，马里亚里斯重新开始了关于基斯勒序的工作，并为其作为分类程序的权提供了新的证据。 2011年，他和希拉开始合作，旨在更好地理解序的结构。 他们的目标之一是依托基斯勒的标准，找到更多的性质，构造出具有最大复杂性的理论。

 

 

         

马里亚里斯和希拉尤其关注两个特别的性质。他们已经知道其中一个会导致极大的复杂性。他们想知道另一个是否也如此。随着他们工作的进展，他们意识到这个问题与p和t是否相等的问题是平行相关的。2016年，马里亚里斯和沙拉发表了一篇60页的论文，解决了这两个问题：他们证明了这两个特性是具有相同复杂性的(它们都导致了最大的复杂性)，并且证明了p等于t。

 

 

“不知不觉中，一切都准备就绪，”马里亚里斯说。“然后问题就顺理成章的解决了。”

 

 

今年七月，马利亚里斯和希拉被授予豪斯多夫奖(Hausdorff Medal)，集合论的最高奖项之一。这项荣誉印证了他们证明是一个令人惊奇的结果，也印证了他们证明的强大力量。因为在集合论的框架内证明p和t不相等是不可能的，大多数数学家曾经期望p可以小于t。马利亚里斯和希拉证明了两个无穷大是相等的。 他们的工作也表明，p和t之间的关系比数学家之前知道的要深奥得多。

 

 

 

“我觉得如果有一天人们意外地发现两个基数相等，那么该证明可能是令人惊讶的，但那可能是一个简短而睿智的论证，不涉及建立任何实体的机制。”康奈尔大学的数学家贾斯汀·摩尔（Justin Moore）说到，他发表了一篇有关马利亚里斯和希拉的证明的概述。

 

 

相反，马利亚里斯和希拉证明了p和t是相等的，通过在模型论和集合论之间开辟一条通路，并已经在这两个领域开辟了新的研究前沿。他们的研究也最终解决了数学家们希望能够帮助解决连续统假设的问题。然而专家们的压倒性的感觉是，无法解决的连续统假设是错误的：虽然无穷在很多方面的性质异于常态，如果在已发现的无穷之间没有更多大小不同的无穷，那么这太不同寻常了。

 

 

澄清：在9月12日，本文进行了修改，以澄清20世纪上半叶的数学家想知道连续统假设是否属实。 正如文章所述，这个问题在很大程度上取决于保罗·科恩的工作。

 

 

 

我们哆嗒补录的番外篇：

 

这篇文章提到的问题叫做极小塔问题(The Minimal Tower Problem),收录在科学出版社出版的《10000个科学难题(数学卷)》中，我们把这一页截图呈上。

 

 

遗憾的是我们偶然发现这里居然有笔误。这里两个箭头，左边一个箭头的α不应该写在下标位置，应该写在正常位置。而右边箭头的α其实写错了，应该是a 。我们已经把这个问题向出版社反馈了。

 

另外，文章中提到的连续统基数的确定的问题，是一个更加诡谲的问题。这书里也有介绍，标题叫做《连续统势确定问题》。

 

总体来说，这本书是本非常好的收录当代数学难题的工具书。

 

关注微信：哆嗒数学网 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa