泛函不等式的一个基础研究成果

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俄罗斯人民友谊大学的客座教授Durvudkhan Suragan和他的团队已经得到并证明了一类新的泛函不等式。哈代不等式是一类数学物理中重要的问题。研究的结果发表在《数学进展》(Advances in Mathematics)杂志上。

 

 

所谓哈代不等式(Hardy's inequalities)的性质已经被全世界的数学家研究了将近一个世纪。它们是级数和积分之间某种特定的关系。在泛函分析中哈代不等式被当做工具用来研究数学和力学中的很多问题。同时在退化微分方程理论（椭圆型偏导数）、谱理论、非线性分析以及插值理论中具有应用。

哈代不等式的以及其他的类似问题的研究主要是在欧几里得向量空间中进行的。

从更高等的数学角度来看，欧几里得空间是一个给定点乘运算的集合，集合可以由任意元素构成。二维和三维空间是欧几里得空间中特殊的情况。鲁德大学的团队拓展了哈代不等式的理论，通过一种更复杂的数学对象——齐性拓扑群来进行研究。

一个集合被称作拓扑群，如果它既是一个拓扑空间也是一个群，同时乘积算子和取逆元素的运算是连续的。一类拥有特殊性质的子集（拓扑）构成了拓扑空间。除了这些子集，拓扑包括了任意数量的这些子集的并集，，以及交集（仅限于有限个子集）和空集。一个群结构的存在意味着这个集合有着相关的代数运算，它包括所谓的“恒等元”（在乘法中有1的性质），以及所有的元素都有逆元。

现有的在一个齐性拓扑群中建立泛函不等式方法是基于研究范数的性质。数学中的范数是一个满足特定要求的非负复合函数。复数的模和向量长度是简单的范数例子。研究作者提出的新方法允许使用随机范数，而不是过去使用的严格确定和固定复合函数。

团队的研究结果是在齐性群上建立了一类新的哈代不等式类型。它的一个特殊应用就是阿贝尔群上的分析学。阿贝尔性（或者交换性）表现为一个群运算的结果独立于元素的顺序。一个关于交换性的特殊例子就是众所周知的法则“改变求和数的求和顺序不会改变和”。科学家指出最新的取得公认的不等式可能被应用在非线性微分方程理论中。

研究的结果主要是理论性和基础性的。现有的哈代型不等式分析结果已被重新考虑并扩展到新的数学对象群体中。因此，对于这些不等式更多未知的应用可能会被发现。

 

参见：Michael Ruzhansky et al. Hardy and Rellich inequalities, identities, and sharp remainders on homogeneous groups, Advances in Mathematics (2017). DOI: 10.1016/j.aim.2017.07.020

 

 

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