数学上下三万年（六）：十九世纪下半叶的数学
原文作者，圣安德鲁斯大学数学与统计学院。
翻译作者，mathyrl，哆嗒数学网翻译组成员。
校对，math001。
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从今天起，我们将连载这部数学编年史。本文是翻译版本，因为工作量巨大，必有疏漏（包括原文也会有错误），欢迎指正。
这应该是网上最全的数学编年史，从公元前30000年到公元2000年，哆嗒数学网为你奉献。
这里是 数学上下三万年（六）：十九世纪下半叶的数学
这个时期发生了一些著名的战争或者变革，比如普法战争、美国南北战争、日本明治维新。中国的“师夷制夷” 、“中体西用”的洋务运动也在这个时期内开展。各种科学学科已经很接近于现代，从书写习惯来讲，大部分现代课堂上学到的数学，基本始于这个时代。
本期出场人物有：切比雪夫、波尔查诺、刘维尔、黎曼、哈密顿、布尔、魏尔斯特拉斯、莫比乌斯、戴德金、西罗、吉布斯、埃尔米特、康托、庞加莱、博雷尔、希尔伯特、阿达玛等。
本系列下面是往期内容：
1850年
切比雪夫（Chebyshev）出版了《论素数》（On Primary Numbers），其中他证明了素数理论的新结果。他证明了伯特兰猜想：对于n>1，在n和2n之间至少存在一个素数。
1850年
西尔维斯特（Sylvester）在他的论文《关于一类新的定理》（On a New Class of Theorems）中首次使用了“矩阵”一词。
1851年
波尔查诺的书《无穷的悖论》（Paradoxien des Undendlichen）在他去世三年后出版。该书引入了他的关于无穷集合的想法。
1851年
刘维尔出版了关于特定超越数的存在性的第二本书，这种超越数被称为“刘维尔数”。特别地他给出了一个例子：0.1100010000000000000000010000...，其中在第n! 位为1，其他位为0.
1851年
黎曼（Riemann）的博士论文包含了极其重要的思想，例如“黎曼曲面”及其性质。
1852年
西尔维斯特建立了代数不变量理论。
1852年
古德里（Francis Guthrie）向德摩根提出了四色猜想。
1852年
沙勒（Chasles）出版了《高等几何》（Traité de géométrie），其中讨论了交比、线束（pencils）、对合，这些概念都是他引入的。
1853年
哈密顿出版《四元数讲义》（Lectures on Quaternions）。
1853年
谢克斯（Shanks）计算π到小数点后707位（在1944年人们发现谢克斯从第528位开始算错了）。
1854年
黎曼完成了特许任教资格（Habilitation）。在他的专题论文中他研究了函数用三角级数的可表性。他给出函数可积的条件，被称为“黎曼可积性”。在1854年6月10日发表的演讲《论作为几何基础的假设》（Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen）中，他定义了一种n维空间，今天被称为“黎曼空间”。
1854年
布尔初版了《思维规律的研究》（An Investigation of The Laws of Thought on Which are founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities）。他将逻辑归约为代数，被称为布尔代数。
1854年
凯莱第一次尝试定义一个抽象群，虽然没有完全取得成功，但是取得了重要进展。
1855年
麦克斯韦发表了《论法拉第力线》（On Faraday's lines of force），证明只需用几个相对简单的数学方程就可以表示电磁场的行为以及其相互关系。
1856年，魏尔斯特拉斯（Weierstrass）在克雷勒期刊的《阿贝尔函数理论》（Theorie der Abelschen Functionen）中发表了超椭圆积分的反演理论。
1857年，黎曼出版了《阿贝尔函数理论》（Theory of abelian functions）。它进一步发展了黎曼面的思想及其拓扑性质，将多值函数作为一个特殊“黎曼曲面”上的单值函数来研究，并解决了一般的反演问题，这些问题的特殊情形已被阿贝尔和雅可比解决。
1858年
凯莱给出了由西尔维斯特在1850年引入的术语“矩阵”的抽象定义，并在《矩阵理论笔记》（A Memoir on the Theory of Matrices）研究了矩阵的性质。
1858年
莫比乌斯描述了一条只有一个面和一条边的纸带。现在被称为“莫比乌斯带”，它有一个令人惊奇的性质：从中间剪开依然保持完整的一块。利斯廷（Listing）在同一年做出了同样的发现。
1858年
戴德金（Dedekind）发现了一种严格的方法用“戴德金分割”来定义无理数。这个想法是他在思考如何教微积分的时候想到的。
1859年
曼海姆（Mannheim）发明了第一个带有“游标”的现代计算尺。
1859年
黎曼给出了一个有关素数的ζ函数的猜想。尽管在数以百万计的情形下它已被验证是正确的，然而在一般情形下黎曼猜想的正确性仍然未知。它或许是21世纪数学界最著名的未解决问题。
1860年
德劳内（Delaunay）出版了《月球运动理论》（La Théorie du mouvement de la lune）的第一卷，这是他20年的工作成果。他通过给出经度、纬度和月球视差的无穷级数来解决三体问题。
1861年
魏尔斯特拉斯发现了一条处处不可微的连续曲线。
1862年
麦克斯韦提出光是电磁现象。
1862年
杰文斯（Jevons）向英国科学协会讲了《政治经济的一般数学理论》（General Mathematical Theory of Political Economy）。
1862年
利斯廷（Listing）出版了《对欧拉多面体定理推广后的空间几何体研究》（Der Census raumlicher Complexe oder Verallgemeinerung des Euler'schen Satzes von den Polyedern），其中讨论了“欧拉公式”的扩展。
1863年
魏尔斯特拉斯在他的讲座中给出了一个证明：复数是实数的唯一交换代数扩张。
1864年
伯特兰（Bertrand）出版了《论微积分》（Treatise on Differential and Integral Calculus）。
1864年
伦敦数学协会成立。
1864年
本杰明·皮尔斯（Benjamin Peirce）向美国科学会展示了他关于线性结合代数的工作。它利用现代熟知的幂等元和幂零元工具对小于7维的所有复结合代数进行了分类。
1865年
普吕克在几何上做出重要进展，他定义了一种4维空间，其中的基本元素是直线而不是点。
1866年，哈密顿的《四元数原理》（Elements of Quaternions）在他去世后尚未完成，花了7年时间写成的800页手稿在他去世后由他儿子出版。
1867年
莫斯科数学协会成立。
1868年
贝尔特拉米（Beltrami）出版了《非欧几何的一种解释》（Essay on an Interpretation of Non-Euclidean Geometry），其中对罗巴切夫斯基和鲍耶的非欧几何给出了一个具体模型。
1869年
吕罗特（Lueroth）发现了“吕罗特四次曲线”。
1870年
本杰明·皮尔斯（Benjamin Peirce）自费出版了《线性结合代数》（Linear Associative Algebras）。
1871年
贝蒂（Betti）发表了一份拓扑学笔记，其中包含了“贝蒂数”。
1872年
戴德金发表了他对实数的形式构造，并给出整数的一种严格定义。
1872年
海涅（Heine）发表了一篇论文，其中包含了被称为“海涅-博雷尔定理”的定理。
1872年
法国数学协会成立。
1872年
梅雷（Méray）出版了《新无穷小分析》（Nouveau précis d'analyse infinitésimale），致力于通过幂级数展示单复变函数的理论。
1872年
西罗（Sylow）出版了《关于置换群的定理》（Théorèmes sur les groupes de substitutions），其中包含了著名的三个关于有限群的“西罗定理”。他对于置换群证明了这些定理。
1872年
克莱因（Klein）在爱尔兰根发表了就职演讲。他将几何定义为研究一个空间在一个变换群作用下的不变性质。这被称为“爱尔兰根纲领”，深刻地影响了数学发展。
1873年
麦克斯韦出版了《电磁通论》（Electricity and Magnetism）。该书包含了四个偏微分方程，被称为“麦克斯韦方程”。
1873年
埃尔米特（Hermite）出版了《论指数函数》（Sur la fonction exponentielle），其中他证明了e是超越数。
1873年
吉布斯（Gibbs）发表了两篇关于热力学图的重要论文。
1873年
布罗卡尔（Brocard）做出了他的关于三角形的工作。
1874年
康（Cantor）发表了他的第一篇关于集合论的论文。他严格描述了无穷的概念。他证明了无穷有不同的大小。他还证明了一个引起争议的结果：几乎所有的数都是超越数。
1876年
吉布斯（Gibbs）出版了《关于多相物质平衡》（On the Equilibrium of Heterogeneous Substances），它代表了数学在化学中的主要应用。
1877年
康托发现了一个惊奇的事实：区间[0, 1]的点与一个正方形内的点存在一一对应。
1878年
西尔维斯特（Sylvester）成立了《美国数学杂志》。
1879年
肯培（Kempe）发表了他对四色定理的错误证明。
1879年
雷克西斯（Lexis）出版了《统计序列的稳定性理论》（On the theory of the stability of statistical series），开始了时间序列的研究。
1879年
哈尔科夫数学协会成立。
1880年
庞加莱（Poincaré）发表了关于自守函数的重要结果。
1881年
韦恩（Venn）引入了“韦恩图”，它成为集合论的有用工具。
1881年
吉布斯（Gibbs）在为他学生写的小册子中发展了向量分析。这种分析方法在麦克斯韦对电磁波的数学分析中有重要作用。
1882年
林德曼（Lindemann）证明了π是超越数。这就证明了用尺规不可能作出一个正方形使得与给定的圆有相同面积。化圆为方这个古典问题可以追溯到古希腊时期，多个世纪以来成为数学思想发展的驱动力。
1882年
米塔-列夫勒（Mittag-Leffler）建立了《数学学报》（Acta Mathematica）。
1883年
雷诺（Reynolds）出版了《决定水流为直线或曲线运动的条件以及在平行水槽中的阻力定律的探讨》(An experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water in parallel channels shall be direct or sinuous and of the law of resistance in parallel channels)。书中出现了用于流体力学建模的“雷诺数”。
1883年
庞加莱发表了一篇论文，开启了多复变解析函数理论的研究。
1883年
爱丁堡数学学会成立。
1884年
沃尔泰拉（Volterra）开始了积分方程的研究。
1884年，弗雷格（Frege）出版了《算术基础》（The Foundations of Arithmetic）。
1884年
赫尔德（Hölder）发现了“赫尔德不等式”。
1884年
米塔-列夫勒（Mittag-Leffler）出版了《单变量函数的解析表示》（Sur la représentation analytique fes fonctions monogènes uniformes d'une variable indépendante），给出了他关于指定极点和奇异部分的亚纯函数构造的理论。
1884年
弗罗贝尼乌斯（Frobenius）对于抽象群证明了西罗定理。
1884年
里奇-库尔巴斯托罗（Ricci-Curbastro）开始了关于绝对微积分（absolute differential calculus）的工作。
1884年
巴勒莫数学会（Circolo Matematico di Palermo）成立。
1885年
魏尔斯特拉斯证明实数轴的有限闭区间上的连续函数可以用多项式任意一致逼近。
1885年
埃奇沃斯（Edgeworth）出版了《统计方法》（Methods of Statistics），其中阐述了对于均值比较的显著性检验的应用和解释。
1886年
雷诺阐述了润滑的理论（雷诺润滑方程）。
1886年
皮亚诺（Peano）证明了如果f(x, y)连续，那么一阶微分方程dy/dx = f(x, y)有解。
1887年
列维-齐维塔（Levi-Civita）发表了一篇论文，发展了张量微积分。
1888年
戴德金出版了《数的本质和意义》（Was sind und was sollen die Zahlen）。他将算术建立在严格的基础上，这个基础被称为“皮亚诺公理”。
1888年
高尔顿（Galton）引入了相关系数的概念。
1888年，恩格尔（Engel）和李（Lie）出版了三卷本《变换群理论》（Theorie der Transformationsgruppen）的第一卷，它是关于连续变换群的重要著作。
1889年，皮亚诺（Peano）出版了《算术原理》（Arithmetices principia, nova methodo exposita），通过集合来定义自然数的方式给出了皮亚诺公理，。
1889年
菲茨杰惹（FitzGerald）提出了洛伦兹-斐兹杰惹收缩来解释“迈克耳孙-莫利实验”。
1890年
皮亚诺发现了空间填充曲线。
1890年
圣彼得堡数学学会成立。
1890年
希伍德（Heawood）出版了《地图颜色定理》（Map colour theorems），他指出了肯普（Kempe）对四色定理的证明的错误。他证明了五种颜色是足够的。
1891年
费多洛夫（Fedorov）和申费里斯（Schönflies）独立地对晶体学空间群进行了分类，证明了一共有230 种类。
1892年，庞加莱出版了三卷本《天体力学的新方法》（Les Méthodes nouvelles de la mécanique céleste）的第一卷。他旨在完全刻画机械系统的所有运动，援引流体流动的类比。他还证明，以前例如德劳内（Delaunay）用于研究三体问题的级数展开是收敛的，但一般不是一致收敛。这使人怀疑拉格朗日和拉普拉斯给出的关于太阳系稳定性的证明。
1893年
皮尔逊（Pearson）发表了一系列论文中的第一篇，在此后18年共发表了18篇论文，引入了大量基本概念来研究统计学。这些论文包含了对回归分析和相关系数的贡献，以及对统计显著性的卡方检验。
1894年
庞加莱开始了代数拓扑的工作。
1894年
博雷尔（Borel）引入了“博雷尔测度”。
1894年
嘉当（Cartan）在他的博士论文中对复数域上所有有限维单李代数进行了分类。
1895年
庞加莱出版了《位置分析》（Analysis situs），这是他的第一本拓扑学著作，给出了这个专题的较早的系统性处理。他是代数拓扑的创始人，发表了这个专题的6篇论文。他引入了基本群。
1895年
康托（Cantor）发表了关于超穷算术的两篇重要论文的第一篇。
1895年
安里西·韦伯（Heinrich Weber）出版了他的著名教科书《代数讲义》（Lehrbuch der Algebra）。
1896年
素数定理分别由阿达玛（Hadamard）和法勒布赛（de la Vallée-Poussin）独立地证明。这个定理给出了不超过一个给定数的素数个数的估计，证明了当n趋于无穷时，不超过n的素数个数趋向于n/log n。
1896年
切萨罗（Cesàro）出版了《内蕴几何学教程》（Lezione di geometria intrinseca），其中他阐述了内蕴几何。
1896年
弗罗贝尼乌斯（Frobenius）引入了群特征标。
1897年
亨泽尔（Hensel）发明了p进数（p-adic numbers）。
1897年
布拉利-福尔蒂（Burali-Forti）是第一个发现集合论悖论的人。
1897年
伯恩赛德（Burnside）出版了《有限阶群理论》（The Theory of Groups of Finite Order）。
1897年
弗罗贝尼乌斯开始研究群表示论。
1898年
弗罗贝尼乌斯引入诱导表示的概念以及“弗罗贝尼乌斯互反定理”。
1898年
阿达玛关于负曲率曲面上的测地线的工作为符号动力学奠定基础。
1899年
希尔伯特（Hilbert）出版了《几何基础》（Grundlagen der Geometrie），将几何建立在形式公理之上。
1899年
李亚普诺夫（Lyapunov）提出了方法来决定常微分方程系统的稳定性。
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