计算蛋蛋的体积

原文作者：John D Cook。

翻译作者，独行者，哆嗒数学网翻译组成员。

校对，333。

 

 

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之前的一篇文章，我们已经知道如何用方程来拟合鸡蛋的形状。在平面上，我们有下列公式(1)

         

这篇文章的主要内容是为了求出鸡蛋的体积。通过将函数绕x轴旋转，我们可以由此求出体积。并且，我们还会把它和椭球的体积进行比较。

首先，将函数f(x)在区间[c, d]上的图像绕x轴旋转一周，于是我们便得到体积公式(2)

             

即使被积函数是关于函数f的平方，我们也能轻松地用积分求出来。因为在这个例子当中，如果我们将曲线的方程显式地表示为y关于x的函数时，函数表达式中会有开平方，从而消去了式子的中的平方运算符。因此，我们的体积可以求得（3）

接下来，我们将鸡蛋的体积和椭球进行比较。为了更容易看出两者之间的差异，我们现在将式子中反双曲正切函数用幂级数展开（4）。

   

那么，体积的表达式便如下所示（5）

 

 

 

我们会注意到，如果a=b=r，k=0，那么式子便会简化成一个球。该球半径为r，体积为4πr³。如果a、b不一定相等，但是如果k=0，那么，便是椭球的体积4πab²/3。

定律一：k对体积影响甚微。在上述级数中，k只出现在2次及更高次的项中。这表明在一阶近似时，鸡蛋的体积（假定形状遵循我们所给的公式,注意到|k|很小）便约等于一个拥有相同长轴和短轴的椭球的体积。另外，我们也注意到k只出现在偶次幂的项中。这一点与我们之前的直观判断一致。在前文中，我们认为改变k的符号仅仅表示将鸡蛋翻个身，并不会改变鸡蛋的体积。

定律二：如果展开到2次项，鸡蛋的体积和椭球的体积之间相差了一个k的二次函数。为了将一个椭圆变成一个鸡蛋的形状，你需要将一端变得平整，而另一端则要变得更尖。但同时还要保持长度和宽度不变，那么你还再要增加体积。你要在平整的一端增加出来的体积会比尖的一端失去的要多一些。

 

之后的文章将会讲解如何求鸡蛋的表面积。

 

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