这真的是素数的公式！

 

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愚人节期间，我们哆嗒和往年一样，发了一篇愚人节的整蛊文章《素数公式发现，所有数学之谜即将揭开》，没想到大家和我们一起玩的很嗨，真是一个欢乐的愚人节。

 

文章中我们写出了下面这样一个公式，并说它是第n个素数p(n)的表达式：

文章还专门解释了方括号[x]是取整函数，p!表示阶乘，并规定0! = 1。

 

欢乐归欢乐，因为愚人节的关系很少有人注意到我们贴出的公式本身是不是对的。

 

在这里，我们哆嗒数学网的小编负责人的说，如果只从等式两端是否相等的角度来说，这绝对是如假包换、童叟无欺、“珍珠”都没这么真的素数公式。整篇文章，也许就这个公式是靠谱的。

 

这个公式其实写进了不少数学科普书，要解释它也很容易。

 

说来奇怪，按照一般人的标准课程，我们大多数人对数学中数论知识的学习都集中在小学。到了初中、高中除了一些竞赛需求，几乎不怎么学习数论了。到了大学，也只有部分专业的同学才学习初等数论。

 

初等数论中，有很多有趣的知识，和数数差不多，也就是我们解释这个公式的重点。

 

公式有两个“连加号”Σ，也就是我们要解释的重点。

 

数素数的π(x)函数

 

给定一个整数x，我们把不超过x的素数的个数表示为π(x)这个函数。比如不超过6的素数有2、3、5三个，那么π(6) = 3 。 不超过11的素数有2、3、5、7、11这5个素数，于是π(11) = 5。

 

这样，很容易看出，如果是第n个素数p(n)，π(p(n))  =  n, 而且x < p(n) 时候π(x) < n(即π(x) ≤ n), x ≥ p(n)的时候π(x) ≥ n 。

 

这个时候π(x) 还只是数数游戏的，我们需要表示成一种只有加减乘除的东西。

 

 

利用威尔逊定理把π(x)函数表示出来

 

学过初等数论的同学们都知道一个叫做威尔逊定理的命题：

 

p是素数或1，当且仅当 (p-1)!+1是p的倍数。不止如此，当p是合数的时候(p-1)!还是p的倍数。

 

有了这个，我们可以分析分母了那个连加号了。

 

我们先看分母上连加号的内部：

这里，k=1的时候，上面的式子值是1。

 

根据威尔逊定理，当k是合数的时候，[(k-1)!/k]是整数，所以方括号可以去掉。上面式子的值其实是[1/k]。对于正整数，值是0。

 

当k是素数的时候，(k-1)!/k = ((k-1)!+1)/k - 1/k，所以对右边的方括号做一些简单变换，可以得到整个式子是值是1。

 

所以当连加号的k从1跑遍j的时候，实际上是一堆1和一堆0的加总。k是素数或1的时候是1，合数的时候是0。这些1加起来正好是不超过j的素数的个数加上1，即1+π(j) 。

伯特兰-切比雪夫定理、π(x)和素数公式

我们已经把开头的式子改写了成下面的样子了：

看看连加号内部根号下的部分，

这是一个关于j的递减的式子，关键点在j = p(n) 这一处。当j ≥  p(n)的时候π(j) ≥ n，分子小于了分母，取整后就是零了。

 

相反，当j  <  p(n) 的时候π(j) <  n就是说π(j) ≤  n-1，这样分母不会比n大，取整后是一个不小于1但不超过n的整数。

 

好了，我们都知道n的开n次根号是不小于1且严格小于2的。利用这个我们能得到下面的结论：

 

当j  <  p(n)的时候整个连加号内部的式子(下图式子)的值都是1，j ≥  p(n)的时候都是0。

所以当连加号的j从1开始一直的时候，实际上是连续的几个1相加，然后到p(n)开始都是0相加。正好跑了p(n) - 1个1。

 

至于为什么跑到的终点是2的n次方，这是因为

 

伯特兰-切比雪夫定理：对所有正整数n，n和2n之间必有素数。

 

利用这个定理，你能归纳出，第n个素数p(n)不会超过2的n次方。

于是素数公式出炉。

 

愚人节的文章还给出另外一个公式，其实是换汤不换药啦。

一点心得

 

好了，对于这个公式你们想说什么呢？复杂度太高？因为他里面有阶乘有指数！矫揉造作？这个和一个一个数有什么区别？

 

理由也许都对！这些理由或许就是即便看上去把素数写成了一个“简单公式”，也对和素数有关问题的解决没有任何帮助的原因。

 

但它的确是一个正确的公式，也许可以看成“正确的废话”素数公式版吧。

 

不过，读者中有第一次见这个公式的小伙伴，是不是也感到一些有趣呢——你们可以拿去继续骗人呐！

 

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