朗兰兹纲领在一步一步成为数学的大统一理论？

原文作者：Kevin Hartnett，量子杂志资深记者。

翻译作者，e^iπ+1=0，哆嗒数学网翻译组成员。

校对：风无名

 

关注 哆嗒数学网 每天获得更多数学趣文

 

 

一代代研究者努力实现他提出的朗兰兹纲领，以期创造一个大一统的数学理论。

 

 

罗伯特·朗兰兹，作为20世纪提出最富有原创性数学观点的数学家之一，在2018年的某个早晨，在挪威的庆典上，被授予年阿贝尔奖。这个奖项好比是科学界的诺贝尔奖，是数学界最高荣誉之一。

 

时年81岁高龄的朗兰兹，普林斯顿大学高等研究院的退休教授，也是“朗兰兹纲领”的创造者。这个纲领发掘了现代数学的两根支柱之间深刻的联系：一是数论，主要研究数中的算术关系；另一则是分析，是微积分的高等形式。这两者间建立起的关系有着广泛而深远的意义，帮助数学家回答关于素数性质的世纪难题。

 

 

在1967年，朗兰兹30岁的时候，在一封寄给著名数学家安德烈·韦伊的一封信中，第一次清楚提出他关于纲领的想法。安德烈打开了一封17页的长信，读到朗兰兹谦虚的说辞：“如果你愿意将其当作一份纯粹的推测，我将非常感激。如果不是的话，我相信你会直接将它丢入手边的垃圾桶。”

 

 

 

自此，一代代的数学家采取了他的想法并将其拓展。朗兰兹纲领横跨了众多数学领域，以致于常它被人看作是寻求大一统数学理论的工作。

 

 

 “我认为从现有的数学历史发展来看，这无疑是革命性的事件”，多伦多大学的数学家、朗兰兹曾经的学生詹姆斯·亚瑟说道。

 

 

 

数学家一直对在素数中寻找模式很感兴趣，素数即那些只能被1和自身所整除的数。素数就像是数论的原子，并以此为基本单元建立了算术体系。他们有无数多个，并且它们在所有整数中好像是随机地分布。为了发现素数的分布规律（这是著名的黎曼猜想的主题），将其与其他的数学分支联系在一起是必要的。这样看来，素数就像是密码，只有使用了合适的钥匙才能读懂其中吸引人的内容。

 

 

 

“他们看上去像是随机的偶然事件，当他们和别的数学分支联系起来的时候，则显示出一种极其复杂的结构。”亚瑟说道。

 

 

其中一个有关素数结构的问题是，什么素数可以被表示为两个完全平方数的和，初始的几个例子包括：

 

 

修改译文：

5等于2²+1²，

13等于3²+2²，以及，

29等于5²+2²。

 

 

在17世纪，数论学家发现所有可以被表示为两个平方数之和的素数都有如下性质：当他们除以4则余数为1。这个结论开始揭示素数隐藏的规律。而在18世纪晚期，高斯推广了这一令人惊讶的关系，阐述了将特定的素数（那些可以表示为两平方数和的素数）与特定的性质（当他们除以4则余数为1）联系起来的互反律。

 

 

 

在朗兰兹的信件中，他极大地拓展了高斯所发现的互反律。高斯的工作应用于二次方程（二次互反律），就是最高次数不高于2次的方程。朗兰兹认为素数被编码在更高维的方程中（比如三次方程和四次方程），而这则与调和分析这个遥远的数学领域有着千丝万缕的关系，这是一个诞生于微积分的数学分支，并经常用来解决物理问题。

 

 

 

 

举个例子，十九世纪的科学家惊讶地发现当他们通过棱镜观察星光，他们没有得到连续的光谱。相对应的，光谱在不同的地方被黑色谱带打断，而这些现在被称作吸收带，也就是光在那里消失的意思。最终科学家认识到消失的光已经被星球中的元素所吸收了。而这个发现成为其他星球与我们星球是由相同物质组成的坚实证据。

 

 

 

同时，光谱带成为数学家感兴趣的对象。那些消失的波长提供了一个序列——消失的光的频率。数学家可以通过分析来研究这些数，或者可以选择攻克全新的方程——这些问题在物理学上被提出，灵感却来自分析和几何。基于那些新的方程，他们可以研究一个平行于吸收光谱的观念。

 

 

 

朗兰兹纲领将多项式方程的素数解与在分析与几何中研究的微分方程的谱联系起来。它断言这两者之间存在互反律。而应用这个结论得到的结果是，我们可以获知哪些数会出现在相应的谱中。

 

 

 

这两个集合的数不能直接比较，他们都需要从不同的数学对象翻译过来。具体来说，伽罗华表示（一个基于素数的工具）可以通过自守形式将这些数学对象配对。这些自守形式就包括了相关的谱。

 

 

在朗兰兹纲领上工作的当代数学家们，正在试图证明这个关系以及相关的猜想。同时，他们利用朗兰兹式建立联系的方法去解决那些其它方法看起来无法解决的问题。最值得庆贺的结果应该是安德鲁怀尔斯在1995年的关于费马大定理的证明。怀尔斯的证明部分地依赖于朗兰兹数十年前预测的在数论和分析上的关系的类型。

 

 

朗兰兹纲领这些年已经被相当广泛地推广了。而当你把所有创造出来的复杂原理（它们被创造出来是为了实现朗兰兹的远见）都推开去，你发现，这整个的宏大的事业，仍旧是由一些最基本的数学的关切所驱动的。

 

 

 

“理解那些出现在方程中的素数的性质，等同于在算术世界中完成一个基本分类”，亚瑟说道。

 

 

关注 哆嗒数学网 每天获得更多数学趣文