无限不循环的无理数其实很逗比

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圆周率$\pi$是一个我们既熟悉又陌生的无理数。作为一个常见的数学常数,当它以小数形式展现的时候——3.14159265358979323846......,你又能记得它多少位数字?

它是无限不循环的无理数,当它们以小数形式展开的时候,你能告诉我它小数点后的前1万位,前10万位,或者第100万位数分别是多少吗?

不过,有了计算机,我们可以编写一个程序,在时间允许情况下,无论你想知道$\pi$小数点后多少位的数字,利用这个程序,我们都能把它们呈现在你眼前。

 

 

不仅是$\pi$,像$\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$,自然对数底$e$等等,这些熟知的无理数,我们都能编写一个程序,来呈现他们的小数的展开的数字。

那么,有一个问题,对任意的无理数,我们都能编写一个计算机程序,把这个无理数的小数位全部展开出来吗?

答案是:不能!

这要从可数,不可数来说起。且听哆嗒数学网的小编们慢慢道来。

一个集合可数的意思是说,他能被自然数“编号”写成:a1,a2,a3,...,an,....这样的形式。数学上已经证明,有理数是可数的,而无理数是不可数的。

我们怎么写一个计算机的程序呢?一般来讲,我们会用一个键盘敲打出来。键盘上只有有限多个键(一般的键盘只有100多个键吧),这意味着每次敲击键盘,只有有限多个可能的符号被打出来,这些符号可能是英文字母,数字,括号,空格,换行符等等。而程序无论有多复杂,它总有写完的时候,于是哪怕是100亿行代码的程序,它也是由有限多个符号组成的。

因为上述原因,数学上也可证明,能写出的程序只有可数多个!

所有的计算机程序可数,而无理数不可数。于是一定有一个无理数,无法用计算机把它的小数位展开!

那么,能确切的告诉我,哪一个无理数的小数位不能用计算机程序展开吗?

还真有人找到了一个数,也和计算机的程序有关。1975年,一个叫蔡廷的计算机科学家研究了一个有意思的问题:在给定的编程语言中,随机输入一段代码,这段代码能成功运行,并且在有限时间内运行完毕的概率是多少?当然,数学家描述这个问题会用更严格的语言。在严格的表述下,这样的概率是存在的且是确定的一个常数。这个常数叫做蔡廷常数。这个蔡廷常数是一个确定的数,但数学上已经证明,它无法用程序展开。

一个实数是确定的,但无法用某个程式展开。听起来,好像很逗比。但这就是数学神奇的地方!

 

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