2014第55届国际数学奥林匹克(IMO)真题官方中文版(全6题完整高清版)

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第一天

$\textbf{第1题}$

设$a_0<a_1<a_2<\cdots$是一个无穷正整数列,

证明:存在唯一的整数$n\ge1$使得:$a_n<\frac{a_0+a_1+\cdots+a_n}{n}\le a_{n+1}$

$\textbf{第2题}$

设$n\ge2$是一个整数.考虑由$n^2$个单位正方形组成的$n\times n$棋盘.一种放置$n$个棋子“车”的方案被称为是和平的.如果每一行和每一列上都恰好有一个“车”.求最大的正整数$k$,使得对任何一种和平放置$n$个“车”的方案,都存在一个$k\times k$的正方形,它的$k^2$个单位正方形里都没有“车”.

$\textbf{第3题}$

在凸四边形$ABCD$中$\angle ABC=\angle CDA=90^{\circ}$.点$H$是$A$向$BD$引的垂线的垂足.点$S$和点$T$分别在边$AB$和边$AD$上,使得$H$在三角形$SCT$内部,且:$\angle CHS-\angle CSB=90^{\circ},\angle THC-\angle DTC=90^{\circ}$

证明:直线$BD$和三角形$TSH$的外接圆相切.

第二天

$\textbf{第4题}$
点$P$和$Q$在锐角三角形$ABC$的边$BC$上,满足$\angle PAB=\angle BCA$且$\angle CAQ=\angle ABC$.点$M$和$N$分别在直线$AP$和$AQ$上,使得$P$是$AM$的中点,$Q$是$CN$的中点.
证明:直线$BM$和$CN$的交点在三角形$ABC$的外接圆上.

$\textbf{第5题}$
对每一个正整数$n$,开普敦银行都发行面值为$\frac{1}{n}$的硬币.给定总额不超过$99+\frac{1}{2}$的有限多个这样的硬币(面值不必两两不同),证明可以把他们分为至多100组,使得每一组中硬币面值之和最多是1.

$\textbf{第6题}$
平面上的一族直线被称为是处于一般位置的,如果其中没有两条直线平行,没有三条直线共点.一族处于一般位置的直线把平面分割成若干区域,我们把其中面积有限的区域称为这族直线的有限区域.

证明: 对于充分大的$n$和任意处于一般位置的$n$条直线,我们都可以把其中至少$\sqrt{n}$条直线染成蓝色,使得每一个有限区域的边界都不全是蓝色的.

注:如果你的答卷上证明的是$c\sqrt{n}$(而不是$\sqrt{n}$),那么将会根据常数$c$的值给分.

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