因为这部数学名著中文版的错误，我决定再科普一下这个知识

作者： Math001

 

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事情的起因是我们哆嗒数学网的一位网友拿着Hardy和Wright合著的《数论导引》中文版说，书中明确指出，数学家早在1930年前后，就证明了eπ是无理数。这个让我吃惊，因为就几天前，我所能查到的资料，都说明eπ是否是无理数的问题还是一个未知答案的问题。——2017年前后，有人在预印本网站上发文说证明了它是无理数，但是被各路数学家指出了这篇文章的低级错误。

《数论导引》是英国顶级数学家Hardy的名著，英文原名叫做An Introduction to the Theory of Numbers直译一般应该是《数论导引》。但是，为了销售上的考虑，图灵出版社翻译这本书的时候，将书名定成了《哈代数论》，当当有售，现在巨贵。如此名著中既然这样写了，我们就要认真考证一下，到底怎么回事。

第一反应是不是翻译成中文后，阴差阳错出现了搬运错误。上面中文版的截图是该书的第6版，于是我也找到英文版的第6版来对比。结果，不出我所料，英文版和中文版的内容果然对不上。出乎我意料的是，中英对照的差异——比我原想的大的多。

首先，英文版中列出了两行实数，分别列出了哪些是已经被证明了是无理数的数，哪些还没有被证明是无理数的数。两行数，每行4个数，共8个。而中文版中对应的两行数变成每行3个数，共6个。然而，数的个数还不是最大的差异。在已经被证明了是无理数的那一行中，中文版里列入了eπ，而英文版里并没有eπ，而是另外两个数。而还没有证明是无理数的那一行，英文版里本来有e+π，但是中文版里把这个数去掉了。

 

——遗憾的是，e+π以及eπ这两个数的是否是无理数，到目前为止，依旧是未解之谜，人类中没人知道。这些问题涉及数学里的一个研究分支，叫做超越数论。

 

超越数论里有个非常重要的猜想，叫做沙努尔猜想。如果这个猜想成立，那么很多数的无理性以及超越性都能得到证明，包括e+π和eπ。

 

在介绍这个猜想之前，首先要介绍一下在有理数数域上线性相(无)关和代数相(无)关的概念。

 

对于n个复数x1, x2, ... , xn ，如果不存在全为零的有理数q1, q2, ... , qn 使得q1·x1 + q2·x2 + ... + qn·xn = 0 。 则称x1, x2, ... , xn在有理数域上线性相关，否则叫做在有理数域上线性无关。

 

对于n个复数x1, x2, ... , xn ，如果存在非零n元有理数系数多项式f满足f(x1, x2, ... , xn) = 0 。 则称x1, x2, ... , xn在有理数域上代数相关，否则叫做有理数域上代数无关。

 

沙努尔猜想说：如果n个复数x1, x2, ... , xn在有理数域上线性无关，那么这2n个复数中x1, x2, ... , xn, e^x1 , e^x2, ... , e^xn至少能找到n个复数有理数域上代数无关。（其中e^x 表示e的x次方）

 

知道了沙努尔猜想，我们就可以在假设这个猜想成立的情况，证明e+π和eπ都时无理数（实际上能证明都是超越数）。

 

1和πi显然在理数域上线性无关，所以 1 、πi 、 e 、 -1这4个数中，能找到2个代数无关。（注意 e^πi = -1）

 

如果令f(x,y)=(x-1)(x+1)y , 就能得到f(±1,y) =0 , 说明±1和所有复数都代数相关。所以只能πi 和 e代数无关。

 

πi 和 e代数无关能得到π和e代数无关。这一点，如果你有代数扩张方面的知识能迅速看出来。当然，这里为了保证这篇文章一定的友好度，我们也简单说明一下。

 

如若不然存在非零二元有理系数多项式f(x,y)满足f(e,π) = 0。 那么令g(x,y) = f(x,iy)·f(x,-iy)，这是一个非零有理系数多项式。而g(e,πi) = 0 ,与πi 和 e代数无关矛盾。

 

那么e+π不可能是有理数。如若不然，e+π=q是有理数，则令f(x,y) = x+y-q, f(e,π) = 0,矛盾。同样的方式，也可证明eπ不可能是有理数。

 

好了，我想科普的内容就是这个沙努尔而猜想。如果读者你能有幸解决他，得几个数学界的大奖是没问题的。甚至如果你没满40岁的话，冲击一下数学界的最高奖菲尔兹奖也是有机会的。

 

如果，你能证明eπ、e+π是无理数的话，拿个数学的博士学位应该没问题吧。

 

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