度米尼尔-柯平：数学研究是强社交活动

本文编译自+Plus网站

原文作者：Marianne Freiberger 、 Rachel Thomas

编译作者：Math001

 

 

 

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度米尼尔-柯平(Hugo Duminil-Copin)是2022年菲尔兹奖得主之一。菲尔兹奖每四年颁发一次，只颁发给40岁以下的数学家，被誉为数学界的最高荣誉之一。

 

 

相变和普适性

 

度米尼尔-柯平因为在统计物理中对相变的数学理论的工作而受到数学界的认可。在日常生活中，我们经常看见相变发生：比如低于零度的时候水会结冰。相变是一个复杂的系统，就拿水分子来说，在一些特定的临界温度附近，分子行为会发生非常剧烈变化。

 

“作为数学家，我们做的事情是通过对这些物理现象建立数学模型，去理解相变是怎么发生的”，度米尼尔-柯平说到。比如规则晶格模型通过对分子排布的描述来理解这些现象。实际上液态水分子的位置并没有那么规整，在现实中，他们不会像晶格描述的那样排布在空间中。但为了对这种系统进行研究，通常会简化的认为分子按这种非常规整的方式排布。

 

虽然这个假设不完全符合事实，但度米尼尔-柯平说用这种方式研究的系统却可以解释现实中发生的现象。"这就和一个深刻的理论有关系了，叫做普适性(universality)。我试图用数学的方式去理解它"

 

普适性就像一种梦幻的场景：一些情况下，数学模型中的琐碎细节并不影响全局行为。原因是如果一个系统涉及多个不同的随机过程，那么底层机制的一些细节就和全局无关了，比如水分子的运动。在水结冰的过程中，无论你把水分子的排布看成怎么样晶格排列，你研究的相变的性质都是相同的。

 

 

"这让数学家和物理学家都安心，因为很多系统都具有相同的行为表现。那么你只需要选择最简单的情况来研究，就是那种规整的规则晶格。"从数学上来说，您可以从这种更为简单的问题描述中得到更多信息。数学模型不一定就是物理现实，但由于普遍性，你的结果都是相同的，和初始假设用精确的物理描述结果是一样的。

 

 

漂亮的问题

 

统计物理中有很多问题受到度米尼尔-柯平青睐：很多是看似简单但需要新数学方法来攻克的问题。一个例子是他在做博士后时做的第一个猜想。

 

 

“想象一下，你现在在一个蜂窝面前，”度米尼尔-柯平说，蜂箱的形成了平面上的六边形平铺，蜂箱壁的挡板和挡板转角标记成为六边形(蜂窝格子)的点和边。你选择一个点作为起点，然后在六边形的边界上行走，但有一点，你不能回到任何之前走过的地方，边和点都不行。这个规则叫做自规避行走。

 

 

 

现在的问题是，有多少种自规避行走的走法？就如他所说，规则非常简单，小孩子都能玩。如果让你走一步，那么有三种走法，如果让你走两步，就有6种走法，如果让你走三步，就有12种走法。如果走的步数越多，情况就会越来越复杂。而且为了不走重复路线，你去数这些走法的数量就越来越困难。“你很快就会发现到你无法准确计算出走法的数量，这是一个很难把控的数。”下图是走5、6、7步时候的走法示意。

 

 

1980年统计物理学家尼恩胡斯(Bernard Nienhuis)给出了一个惊人的猜想，他说这个数不仅能把控，而且有一个对数量级的精确限制。他猜想，如果走n步，那么自规避行走数量的增长速度是(√(2+√2))^n(先根号2，再加上2，然后整体再开根号，再n次方)。

 

 

“我发觉有一个答案真是太棒了，这是一个非常酷的数字！”度米尼尔-柯平说。“我在硕士课上第一次了解到这个猜想。这很有趣，因为当时看起来这个猜想似乎没有希望被证明。” 但是通过使用看似不相关的数学领域的工作，的确完成了它。“这是在我们的领域的问题的一个典型例子，你会受到许多其他数学和物理领域的启发。它让你处于许多领域的交汇点，这是我非常喜欢的事情。

 

 

这个问题不止数学家关心。上世纪40年代，保罗·弗洛里(Paul Flory, 1974诺贝尔化学奖得主)和奥尔(W.J.C. Orr)引入了自规避行走来研究长链分子(聚合物)，以及去理解聚合物的行为。“这与物理关系密切，例如如果试图理解 DNA 分子的行为。这些聚合物会自规避行走，原因是显然：它们是分子组成的一个长序列，不会在同一个地方重合。”

 

 

度米尼尔-柯平认为菲尔兹奖是对他所在领域的所有工作人员以及他们共同研究的工作的认可。当 ICM 宣布奖项时，他迫不及待地想与他的同事分享这一认可。“数学研究是一项社交性极强的活动，互动交流比普通人想象的要多得多，”他说。“有一些数学家是孤勇者的形象，但就我而言，这不是我的数学环境以及做数学的方式。如果没有与其他人的这种互动，我的就不可能有这成绩。” 

 

 

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