许埈珥：数学是人性的镜子

本文编译自+Plus网站

原文作者：Marianne Freiberger 、 Rachel Thomas

编译作者：Math001

 

 

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许埈珥是2022年菲尔兹奖的得主之一。菲尔兹奖每四年颁发一次，只颁发给40岁以下的数学家，被誉为数学界的最高荣誉之一。

 

许埈珥的故事在数学界一定会是一段经典的传奇

 

 

这位数学家太非同寻常

 

 

能成为顶级数学家的人，在他们小时候一般都被视为“神童”。很早就表露出天赋，在学校里夺得所有的数学竞赛的奖牌，并按照命中注定的伏线走向通往伟大的道路。

 

 

许埈珥是完全的另类。小学时成绩就不好，高中时觉得上学无聊，书不念了去写诗。他最终选择了做数学，不是因为这个学科，而是因为一个人。就当他即将从首尔大学的物理及天文专业毕业的时候，他了解到著名数学家广中平佑在他学校开着一门课。“我对数学一无所知，但我看过广中平佑自传。这人非常有趣，所以我就选这门课了”

 

 

课程是对广中平佑所作工作的即时反馈，讲述了他最近产生的对数学的思考洞见。"这是我第一次见把数学当职业的真人"，许埈珥说，"我第一次把数学当作人类活动而接触这个学科"。这种人类活动带来的愉悦让许埈珥深陷其中，如痴如醉。

 

 

肉眼可见的数数

 

 

许埈珥说他做的数学非常直观。因为数学训练不多，职业生涯的初期他只关注如他所说的“肉眼可见”的对象。“现代数学的很多领域都研究得非常深入了，你光理解领域内的核心问题都要好几年时间，”许埈珥说，“这就像天文学，你要做出成绩，需要先入手一个百万美元的望远镜。”

 

组合数学就不太一样：组合数学是数数的艺术，数的东西总能数得出来。因为那些东西都是有限多个，而且还是离散的。组合数学中最典型的问题是，一种扑克牌的牌型有多少种。“所有的东西都是实实在在的，你甚至可以触摸到它们”，许埈珥说，“组合数学就算我肉眼能看到的那部分数学。”

 

 

如果数数被认为是数学的基柱之一——人们小时候做的第一类数学活动，从生物角度看，我们人类在诞生之初就做在做这样的事情——那么还有一个基柱必须是几何。“几何对所有人来说都是相同的，”许埈珥说。“我们是视觉动物，视觉是我们的主要感官。我们通过视觉产生的几何而不是通过声音、味道或气味来了解我们周围的世界。”

 

虽然您可以在不遇到概念困难的情况下进行大量计数，但几何图形更具欺骗性。一个多节土豆的形状是我们一看到它就会立即得到的东西，但是当我们没有图片来描述它时，我们很快就被难住了。“几何很难形式化，”Huh 说。“它包含大量信息，尤其是当您将其与我们的语言和逻辑的复杂性进行比较时。”

 

虽然你可以在不基于任何高深数学概念的情况下进行数数，但几何上的计数会有很多误导。比如我们很容易看清一个长有很多疙瘩的土豆，但当我们没有一个合适的图形描述它的时候，我们就会犯难。"几何很难被形式化"，许埈珥说，"尤其和我们的语言和逻辑对比的时候，你会发现几何包含的信息实在太多了。"

 

然而，当你使用方程的时候，奇迹发生了。比如方程y=x精确定义了一条平面上的直线。对直线上每个点匹配一个坐标(x,y)，然后这些把满足方程的所有坐标标记出来即可。

 

 

同样的方法，你可以回忆你中学学过的方程y=x²，这是一条抛物线。

 

 

类似的，不同的方程能描绘出不同的形状。这就和那种不规则的土豆不同，我们就可以用代数工具来研究几何了。数学中这是一个专门领域，叫做代数几何。

 

“在代数几何中，为了精确表述一个几何空间，你要做的就是写下一个方程，甚至这个方程都不是很复杂，比如多项式方程。” 许埈珥说，“你可以把它写在你的小本本上，然后看看——这是你可以看得见摸得着的东西。这是我职业生涯初期中唯一能动手做的东西。这就是为什么代数几何也吸引了我。

 

 

 

唯一的最小值

 

 

 

 

许埈珥获得菲尔兹奖的数学成果是非常艰深的理论，涉及代数簇和霍奇理论。但当让许埈珥说出一个他自己引以为傲的成果时，他说的是一种用一些简单信息暗含深刻结果的一些数学方法。这个方法建立了连续和离散的桥梁，就算不从数学考虑也很有意思。

 

为了描述这个方法，我们还是从之前的抛物线y=x²开始。

 

 

这个抛物线有个重要性质，就是在蓝色的点处取得唯一的最小值。

   

抛物线只有一个最小值的原因是，它不会向上凸出。这与下面显示的曲线y=x^4 + 2x² - x/2形成对比，该曲线在底部有一个向上的凸起，会产生两个局部的最小值(极小值)。

 

 

换种说法，我们说抛物线的上方区域是(下)凸的，但第二条曲线不是。标准说法是，一个区域是凸的是指，其内部任何两个点连接的线段仍然在其内部。那么抛物线就是凸函数。而第二个函数是非凸函数。

 

 

当一个函数涉及多个变量的时候，也有凸的概念。如果是两个变量，就对应只有一个山谷的概念，而不是复杂的山脉。如果是更高的维度，图像无法画了，但依然可以定义凸的概念。

 

 

求最优解

 

 

凸函数是非常重要的，因为我们在日常生活中都多多少少会遇到求最小值的问题。比如，你造车，你会想办法降低车的油耗。这个油耗就和一些变量相关，比如车的重量和空气阻力。如果有人给你了用这些变量描述的油耗函数，你就要去找这个函数的最小值。而这个函数可能是包含很多变量的复杂函数，那么找到这个最小值就非常困难。

 

 

但是，如果这个函数是凸函数，那么问题就容易得多，因为凸函数的极小值是唯一的(所以这个极小值就是最小值)。你甚至可以用一种“凭感觉”的手段来寻找这个最小值：就算你不看图像，你也能感受到走那边是往下走的，向那个方向走一小段，然后继续“凭感觉”探路。对于更多变量的函数无法画图像的时候，这个手段依然奏效。

 

 

但对于非凸函数，这种“凭感觉”的方法就会误导你：你得到的可能是众多极小值中的一个，你无法确定它是某个局部的低点，还是全局的最小值。

 

 

建立联系

 

对于优化问题，数学中的凸分析是个无价之宝。但问题是，凸分析针对的函数是连续函数。如果不是身处连续的曲线上，而是在一个和别的岛屿分离的小岛上，那你周围就没有信息让你“凭感觉”探路了。

 

 

"但是，我们身处世界是越来越数字化的，也就是离散化的"，许埈珥说，“我们会经常对某些离散情形做最优化，为此你需要一种不同的技术手段。”尽管搞优化的学者们已经开发了一个框架来处理离散问题，但这两个领域直到最近还没有明确地联系起来。"尽管连续情形和离散情形两者问题类似，但还没找到直接的连续，"许埈珥说。

 

 

许埈珥在他和同事们所做的就是通过巧妙的观点转变找到这样的联系。上面的方程y=x²描述了一条连续的曲线，但它本身是由有限数量的离散信息定义的——这就是我们很容易将它写在小本本上的原因。我们只需要知道变量 x 和 y 的幂的次数，这些它们系数是多少，以及等号的位置。因此，这个方程可以视为离散对象。

 

 

基于这个观点许埈珥和布兰登(Petter Brändén)研究出了一种适用于洛伦兹多项式的深层理论。对于洛伦兹多项式，两种凸性的角度——一种从连续角度一种从离散角度——通过多项式的两种不同视图自然地联系在一起：一方面作为连续对象，另一方面作为离散对象。

 

 

“找到这种形式联系非常令人满意。”许埈珥说，“对我们来说，更让人欣喜的是，一旦有了这样的联系，你可以用一种非常自然和简单的方法去解决那些被认为技术性很强且非常难的问题。”

 

 

数学是人性的镜子

 

 

如果有人能把数学中看似不相关的领域联系起来的时候，数学学科往往能产生巨大的进展。不过，从某种意义上说，许埈珥认为我们不应该对这些联系感到惊讶。“这并不奇怪，因为数学领域的细分，或者说人的感觉的细分——组合的、几何的和分析的——只是我们作为一种生物及其感觉器官数百万年变迁的结果。如果我们是一种不同的生物，拥有不同的感觉器官和不同的环境，我们也许会发展出完全不同的数学领域。”

 

如果数学领域的界限的产生如此偶然，那么数学中一些最深奥的问题跨越这些界限也就不足为奇了。从这个意义上说，我们开发的数学是我们人性的一面镜子。“它展示着，我们是谁，我们如何思考。”

 

 

 

 

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