弱弱地问：我一个17岁的高中生，想解决世界难题怎么办？

 

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如果把接下来要讲的事情写成一个故事，故事主角——一个17岁的高中生——和他父亲的对话应该是这样的：

 

主角：爸爸，我要去解决一个数学难题，它将近30年没人解决了。

爸爸：啥？这个问题啊……  孩子，听我说，数学会教你做人的…… 

主角：你们做不出来，不代表我做不出来！我还有机会，我会全力以赴的！

 

然后，在博览群书半个月后，这个难题被这个少年解决了…… 

 

 

 

这不是某个“民科”的自我臆想，也不是某个爽文小说里的场景，而是最近在数学界发生的真实新闻。

 

丹尼尔·拉尔森(Daniel Larsen)，在他17岁，还没有任何高等教育经历的时候，解决了一个27年没有解决的数论的世界难题——卡尔迈克数满足伯特兰假定。名词都看不懂？别急我们会介绍这个问题，高中级别数学水平的人，应该能看懂问题本身。

 

 

费马小定理、卡尔迈克数和伯兰特假定

 

对于正整数p和a，如果p和a互质，p还是质数且的话，那么 a^p - a (x^y表示x的y次方，下文同)一定是p的倍数，这就是费马小定理。但是反过来，哪怕对于所有和p互质的a，都满足 a^p - a是p的倍数这个条件，并不一定能得到p一定是质数，就是说p有可能是合数。那么这些合数就叫做卡尔迈克数。最小的卡尔迈克数的例子就是561。

 

这个原始定义要验证起来比较麻烦。1899年，数学家柯瑟尔特(Alwin Korselt)提出了一种判定卡迈克尔数的等价办法：一个合数n是否是卡尔迈克数，等价于n同时满足下面两个条件：

1、n的质因数分解中，每个质因数只出现1次。

2、对于n的每个质因数p， n - 1都是 p - 1 的倍数。

 

比如前面的561，它分解后是3×11×17。三个质因数只出现了1次。n - 1 是560 ， 对应的三个p - 1是 2、10、16 。560分别是这三个数的倍数， 所以561是卡尔麦克数。所以由这个办法，你可以很容易判定561, 1105, 1729, 2465这四个数是卡尔迈克数。

 

自561被发现是卡尔迈克数后，越来越多的卡尔迈克数被发现。人们问卡尔迈克数是否是无穷多个。这个问题却异常的难，到1994年才被阿尔福德(Red Alford)、格兰维尔(Andrew Granville)，波梅兰斯(Carl Pomerance)三位数学家解决，论文发表在数学界最顶级的期刊《数学年刊》上。三位数学家的论文其实证明了这样一个命题：当n足够大的时候，小于n的卡尔迈克数至少有n^(2/7)个。

 

但是，这篇论文没办法给出卡尔迈克数更细致的分布，作者们在论文中提问：是否有这样的命题成立：当n充分大的时候，n和2n之间都至少存在一个卡尔麦克数。——这就是伯兰特假定。名称来源于数论中一个著名的定理，伯兰特定理：对所有正整数n，n和2n之间都存在一个质数。

 

然后，丹尼尔·拉尔森在17岁读高中的时候解决了这个问题。

 

 

兴趣起点

 

丹尼尔·拉尔森对数论研究始于数年前的传奇事件。2013年，58岁张益唐发表了一篇惊人的论文，这篇论让人们对孪生质数猜想的研究推进一大步——张益唐证明了有无穷多对质数，它们之差不超过7000万。后来，数论大咖陶哲轩组织了一大票人一起合作优化张益唐的结果，又促使数论研究前进了一大步。其中，其佼佼者就是梅纳德，他用新方法对这个问题提供了更精妙的证明。传奇的故事，加上大牛们的参与，一时间这成为了整个数学界热点事件。

 

丹尼尔·拉尔森显然被这个热点事件影响到了。他决定去了解这方法的工作，尤其是优化后的梅纳德和陶哲轩的工作。但是，这些论文太难了，也非常复杂。数学论文总是这样，我要阐述一个定理，会引用很多之前的已经做好的结论。但是，当你翻开这些这些引用的参考文献的时候，你发现，这些参考文献又引用了更多的前置结论——然后不断引用，大量套娃。

 

一般人遇到这种事情，会选择放弃。但是丹尼尔·拉尔森选择了坚持。在不断追溯参考文献的过程中，丹尼尔·拉尔森找到一篇自己能看懂的关于卡尔迈克数的一系列论文，于是开始了这方面的研究。

当然，对于丹尼尔·拉尔森，他还有一个优势，就是他的数学教授父亲迈克尔·拉尔森。

 

 

爸爸：我原以为的结局不是这样的

 

当父亲迈克尔·拉尔森知道他的儿子试图解决这样的问题的时候，他显然不看好。作为职业数学家的迈克尔·拉尔森显然知道问题的水有多深。

 

“他将会投入大量的时间和精力，结果是他可能什么也得不到。这对他的打击绝对是致命的。”这位父亲这样说。

 

但是，这位爸爸并没有阻止儿子的行动，因为他了解儿子。一旦确定要做什么事情，儿子会异常执着，谁也劝不回来。也许，这位父亲的心中还有另外的想法——让真正专业的数学问题赋予他一段失败的经历，或许也不错。按通俗戏谑地讲，就是让数学教他做人。

 

然而，故事的发展没有走通常的路径，儿子成功了。

 

 

问题真被解决了

 

数论可能是数学界“民科”最多的地方。这些人总数声称自己解决了什么重大的数论问题，但从他们写的文章来看，他们连最基本的基础知识都缺乏。几乎每一个数论的顶级专家，都描述过自己和这些“民科”交流的“ 实惨”经历。

 

当丹尼尔·拉尔森的论文完成后，也把论文发给了数论领域的一些顶级专家。让丹尼尔·拉尔森意外的事情是，其中很多专家认真地阅读了论文，并回复了他。其中就包括刚才提到的三人合作论文的作者之一的格兰维尔。2021年11月中的一天，格兰维尔打开一封电子邮件开始阅读一位17岁少年的文章。文章并不是那种通俗易懂的口水文，随着对内容阅读的不断加深，格兰维尔发现这篇文章很可能是对的。文章中的证明思想非常精彩。

 

最终，论文几经细节修改后，被确认是正确的。“这是一篇任何数学家都会引以为傲的论文。他是一位中学生‘小孩儿’写出来的。”格兰维尔评价道。

 

结局

 

现在丹尼尔·拉尔森在麻省理工学院上大学了。现在他没确定下一步去解决什么问题，他说他要做的是保持心态开放享受大学生活，并安安静静的上课。

 

但很多人已经在憧憬这位数学天才到了研究阶段的表现了。

 

 

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