张益唐讲座速记:部分解决朗道-西格尔零点问题

张益唐11月8日《关于朗道-西格尔零点猜想》学术报告速记。

 

要点:

1、张益唐没有完全解决朗道-西格尔零点猜想本身,而是解决了一个更弱的一个命题。但这个更弱的问题也是一个突破。原本的表述“本质上”解决朗道-西格尔零点猜想就是在这个部分解决的意义下说的。

2、论文中给的指数2024都还可以改进,按张教授设想改进到几百应该没问题,但是离1的目标这个办法应该不太可能。

3、如果这个方法成立,按张益唐推测,这也许是解析数论的突破。之前都是想办法取构造zn(后文会讲是什么zn),而这个办法是另外一种操作。

4、论文还没有完全定稿,有很多细节需要补充。尤其是一些计算细节。

 

一、问题介绍

 

对于迪利克雷L函数,

其中χ(n)是实本原狄里克雷特征函数,χ是希腊字母,读作kai。

 

那么,朗道-西格尔零点猜想可以表述为,

而张益唐教授这篇论文证明的是

 

这里,张教授补充。这其实是比黎曼猜想弱得多的猜想,但有媒体说论文有可能推翻黎曼猜想。对于这点,张教授回应是——我没那个本事,也不会有人信。

 

另外,证明过程还会用到一个很初等的恒等式:

 

 

问题拆解

 

对于一个有限长度的实数数列,

如何判断它们都是大于等于零的,或者说如何知道这里面有没有负数。这样的问题和我们数论问题有什么关系呢?

 

例1:

 

考虑质数的特征函数:

 

然后对于正整数N,定义长度为N-2的序列xn如下:

这个序列中要有小于零的数,只能是后两项都等于1 。就是说,xn为负的要条件是N=n+(N-n)是两个质数的和。

 

那么N取所有偶数,如果能证明对所有偶数生成的这些序列中都有负数的话,那就证明了哥德巴赫猜想。

 

 

例2

 

设f(t)是[0,T]上的连续实函数。且有N个零点,t1,t2,...,tN 。这N个零点之间的间隔都大于c,即 t(n+1) > tn + c 。如果0<a<b<c, 且 

那么就能找到要么同正要么同负的两个数,但是这个办法不总是好用。

 

那么,还可以找一个非负数列yn, 按如下操作判定是否有负数:

而塞尔伯格给了一个改进,我们直接找zn是某个数列yn的平方形式,就是说他改进的流程变成这样:

按张教授介绍,之前做弱孪生质数的办法就是这种。之前他们的估计始终有个ε跨不过去,我就用一种办法把它跨过去了,但用的zn基本上是之前他们做的zn。而后来梅纳德的办法是找了新的zn,就大大改进了结果。

 

回到西格尔零点

问题的办法还是要找个xn小于零,办法还是试图找到zn,然后让和式小于零。但非常难找到,我找到很多能接近零的,但始终跨不过0这个点。

 

新思路

 

张教授的新思路是用不同路径找到两组序列an+bn 和 cn+dn ,满足xn(an+bn)^2 和 xn(cn+dn)^2都和零非常接近。然后利用一操作(比如柯西不等式)得到矛盾。

假设xn都是大于零的,那么利用之前的那个初等的等式得到:

 

这会导致矛盾。

 

自塞尔伯格以来,人们一直在考虑有没有不是平方形式的yn来做这些问题。但是一直没产生更好的办法。感觉zn平的办法人们已经做到极致了,应该尝试新的办法。大家肯定想过,不过现在还是在zn平里在做。如果这个办法奏效,张教授认为应该是一个突破,这个思路可以被用于解决数论中的其他问题。

 

后记

 

提问:你之前说的本质上解决是什么意思?

张教授:(如前文所诉)在这个部分解决的意义下把这个问题的进展做了推进。

 

提问:2024还能改进吗?

张教授:肯定可以,但自己没去算过,感觉上改进到几百应该问题不大。

 

提问:这个成果有还有什么应用?

张教授:在质数等差级数分布上能有很多很好的结果。另外,了解到解析数论和代数数论中的问题也和这个有关,但自己没做这方面研究,不了解具体细节。

 

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