数学家为什么要去重新证明我们已经知道的东西?

原文作者：Anna Kramer，《量子》杂志特约撰稿人

翻译作者： Math001，哆嗒数学网群友

 

 

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许多人是在中学时期完成了自己的第一次数学证明。这是古希腊数学家欧几里得证明的命题：质数有无穷多个。仅需几行文字，只用到整数和乘法这些简单概念。

证明是这样的。假设质数是有限多个，那么把它们都乘起来再加个1，会得到新的一个整数。这个数将引发一个矛盾。这个矛盾说明了质数只能是无限多个。

之后的数学家有一个迷之爱好：不断用不同方法给出这个命题的不同证明。

为什么要这么做呢？其中一个原因，就是好玩儿。另外还有更为重要原因，“我认为娱乐数学和严肃数学之间的界限非常小，” 马里兰大学计算机科学教授威廉·加萨奇（William Gasarch）说。今年早些时候他在网上发布了一个新证明。

加萨奇的证明只是一系列新证明中的最近案例。在2018年，黑山大学的罗梅奥·梅斯特罗维奇（Romeo Meštrović）编制了一份包含近200个“质数无穷多个”的数学史综述。事实上，在解析数论领域，数学家连续变量来研究整数。这样的历史大约起源于1737年，数学巨匠莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）利用无穷级数1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + …发散，再次证明存在无穷多个质数。

奥地利格拉茨科技大学的数学家克里斯蒂安·埃尔肖尔茨（Christian Elsholtz）最近也发表了一个新证明。他表示，与数学家将简单引理组合成复杂定理，最终获得结论的过程相反。他把这个流程反了过来。“我使用费马大定理，这其实一个非常难证明的定理。然后我用它得出一个非常简单推论。”这样的反向工作或许可以揭示数学的不同领域之间的隐藏联系，他说。

人们似乎互相杠上了，都想搞出一些“荒诞的高级”证明。蒙特利尔大学数学家安德鲁·格兰维尔（Andrew Granville）说道，他也提供了两个新证明。“它必须好玩。做一些技术上炫技的事情并非重点。你之所以想“显摆”，只能是因为它有趣。”

格兰维尔表示，这种友好的比拼实际上有一个严肃的目的。数学家的工作不仅仅是解决抛来的具体数学问题。“数学的创造过程不是仅仅机械式的接受问题，然后机械式地解决它。数学是人们基于已知成果，创造技术和发展思想的方式。”

正如加萨奇所说：“所有的论文，它们从给出质数是无穷全新证明思路开始的，然后过渡到了严肃的数学。你今天看到的还只是质数，明天你就在研究平方密度了。”

加萨奇的证明基于这样一个事实：如果你用有限种的颜色给自然数染色，那么总会存在一对相同颜色的数字，他们加起来之和也被染了相同颜色。这是伊萨伊·舒尔（Issai Schur）于1916年证明的定理。加萨奇利用舒尔定理，证明了如果质数是有限的，那么将存在一个完全立方数（就是形如某个整数三次方的自然数）等于另外两个完全立方数的和。然而，早在1770年，欧拉已经证明不存在这样的三个立方数。这是费马大定理的n = 3情况，该定理假设对于n>2时，方程x^n + y^n = z^n没有正整数解。基于这种矛盾，加萨奇推断出质数必然是无穷多个。

 

格兰维尔在2017年的一个证明中使用了费马的另外一个定理。格兰维尔先引用了巴特尔·伦德特·范德瓦尔登（Bartel Leendert van der Waerden）于1927年提出的一个定理，该定理表明，如果你用有限种颜色给整数染色，那么存在任意长度的同色等差数列。与加萨奇类似，格兰维尔从一个假设开始，即质数是有限的。然后，他使用范德瓦尔登定理找到了一列公差为4、颜色相同的完全平方数。但费马已经证明这样的序列不存在。矛盾！由于如果质数是有限的，这样的序列是存在的，但它却不能存在，因此质数必然无穷多个。格兰维尔的证明是最近第二个利用范德瓦尔登定理的证明，莱文特·阿尔波格（Levent Alpöge）在2015年的一篇论文中也使用了这个定理，他发表了这篇论文的时候还是本科生，现在是哈佛大学的博士后。

格兰维尔特别喜欢埃尔肖尔茨的一篇论文，该论文同样运用了费马大定理以及反证法，即先假设质数只有有限个。与加萨奇一样，埃尔肖尔茨也融入了舒尔定理，尽管方式略有不同。埃尔肖尔茨还提供了另外证明，使用了克劳斯·罗斯（Klaus Roth）于1953年提出的一个定理，该定理表明，密度足够大整数子集必须包含一组长度为3的等差数列。

通过这些方面的工作，一些更深刻甚至实际的数学问题有望得到解答。例如，如果在一个只有有限个质数的环境中，基于大数质因数分解难度的公钥加密体系，是否将变得非常容易破解。埃尔肖尔茨想知道证明质数是无穷多是否与证明破解这种加密体系的难度之间存在某种联系。埃尔肖尔茨表示：“现在看貌似有一些弱关联，如果能看到更深层次的联系拿奖很有趣。”

格兰维尔说，最璀璨的数学往往可以从不同领域和学科的奇异结合中发展出来，并且往往是是在数学家花费多年时间思考较低层次但有趣的问题之后诞生的。他痴迷于把那些看似相距甚远的学科应用于数论学科。在最近的一次论文中，格兰维尔点赞了希莱尔·弗尔斯滕伯格（Hillel Furstenberg）于1955年提出的一种证明方法，该方法使用了点集拓扑学。像阿尔波格一样，弗尔斯滕伯格在他的证明发表时仍然是本科生。他之后取得了卓越的成就，在数学各个分支中取得了优异的成绩。

格兰维尔反问自己，对质数无穷多个的新证明的痴迷，“只是出于好奇，还是在下一盘长远的大棋？”他自问自答道，“我不能告诉你！”

 

 

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