数学里的宇宙(一)——“万有”的冯·诺依曼宇宙
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把世间万物，统统的集合到一起我们叫做宇宙。所谓“万物”，包括了所有的东西，一些事实体的，比如我们喝水用的茶杯、使用的电脑、生活的地球以及地球所在太阳系，还有一些非实体的东西，比如个人的期望、母亲的爱、哲学家的思想等等。甚至，一些抽象的规律也被包含于我们所说的宇宙之中——温度变化的规律、天体运动的规律、数学的定理、人类活动的规律以及一些人们还没有发现的定律。
然而，在数学中，或者说更狭义的，在集合论中，“万物”不是一个集合，因为它太大了。在数学里，经常发生这样事情——我们描述一类东西，由于这类东西过于庞大，哪怕对它描述非常简单，这些东西也不能是一个集合，否则就会产生悖论。我们把这样的不是集合的对象叫做“真类”，因为它足够大，也把它称为“宇宙”。
数学里，讨论过很多著名的宇宙，它们很多引发过一些悖论。前面提到的“万有”宇宙也是其中一个，通常用字母V来表示它。很容易理解，V是数学里讨论过的最大的一个宇宙。然而，只是一个万有的性质还没法对它进行细致的研究。对一个复杂的东西，我们经常干的事就是把它“切割”成一块一块的，看看每一块是什么样子。
对V动刀的大神，其名字是如雷贯耳的——冯·诺依曼，所以V还有一个名字，叫做冯·诺依曼宇宙。大神用“序数”做刀具——第0块是空集，第1块是空集的幂集{∅}，第2块是第1块的幂集{∅, {∅}}，……，一直做下去，当到了某个极限，再把之前切好的块在聚拢起来，之后又继续切。如果你更喜欢看数学符号的表达，下图图里的表述也许适合你。
等等，你之前不是在切割“万有”的宇宙吗？我怎么只看到了一个从空集出发，不断取幂集和并集的构造过程。是的，的确是一个构造过程，但是，数学上可以证明，如此构造，任何集合都能在前面的构造过程中被“制造”出来。也就是说，这个构造和前面说的切割是一回事。数学里经常发生的神奇的事又发生了——有时候，我们明明在做两件看似完全不同的两件事，然后，数学用一连串推理告诉你，两件事其实没有区别，这样的事有个专有名词叫做等价。
啊哦，我开始不能接受了。按你所说，一切集合都能从空集作原料造出来？好吧，这太好了，请用空集造出俺村所有的鸡舍吧。空集里可是什么都没有，你得无中生有的造出来！
我只能说我做不到。实际上，但我们试图用数学来描述世界的时候，我们先做了一次“符号”的抽象对应。比如，我们处理苹果数目的时候，我把一堆苹果对应成阿拉伯数字符号“1”、“2”、“3”……，把两堆苹果合起来的操作对应成符号“+”，并把它叫做加法。然后，用定好的符号处理的规则推理出一个结果。最后把结果再对应回现实的操作。
遗憾的是，这种抽象与现实之间，有时能够很好的对应，有时却不能。还有有时候，数学里成立的做法，在现实中不一定能证实。比如，如果有人让我用空集造鸡舍，那么空集对应什么？对应成空盒子？这是“好”的对应吗？况且，数学里还有一件事也经常发生，我只能告诉你可以做到，但无法告诉你如何做到。数学里叫做存在性证明。
好了，我们这一次讲了包含所有的东西的冯·诺依曼宇宙，还讲了所有东西都是空集“造”的。那么，是不是所有东西都是能“造”的？下一次，我们讲哥德尔的可构造宇宙。
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