数学里的宇宙(一)——“万有”的冯·诺依曼宇宙

    

 

 

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把世间万物,统统的集合到一起我们叫做宇宙。所谓“万物”,包括了所有的东西,一些事实体的,比如我们喝水用的茶杯、使用的电脑、生活的地球以及地球所在太阳系,还有一些非实体的东西,比如个人的期望、母亲的爱、哲学家的思想等等。甚至,一些抽象的规律也被包含于我们所说的宇宙之中——温度变化的规律、天体运动的规律、数学的定理、人类活动的规律以及一些人们还没有发现的定律。

 

然而,在数学中,或者说更狭义的,在集合论中,“万物”不是一个集合,因为它太大了。在数学里,经常发生这样事情——我们描述一类东西,由于这类东西过于庞大,哪怕对它描述非常简单,这些东西也不能是一个集合,否则就会产生悖论。我们把这样的不是集合的对象叫做“真类”,因为它足够大,也把它称为“宇宙”。

 

数学里,讨论过很多著名的宇宙,它们很多引发过一些悖论。前面提到的“万有”宇宙也是其中一个,通常用字母V来表示它。很容易理解,V是数学里讨论过的最大的一个宇宙。然而,只是一个万有的性质还没法对它进行细致的研究。对一个复杂的东西,我们经常干的事就是把它“切割”成一块一块的,看看每一块是什么样子。

 

对V动刀的大神,其名字是如雷贯耳的——冯·诺依曼,所以V还有一个名字,叫做冯·诺依曼宇宙。大神用“序数”做刀具——第0块是空集,第1块是空集的幂集{∅},第2块是第1块的幂集{∅, {∅}},……,一直做下去,当到了某个极限,再把之前切好的块在聚拢起来,之后又继续切。如果你更喜欢看数学符号的表达,下图图里的表述也许适合你。

 

 

等等,你之前不是在切割“万有”的宇宙吗?我怎么只看到了一个从空集出发,不断取幂集和并集的构造过程。是的,的确是一个构造过程,但是,数学上可以证明,如此构造,任何集合都能在前面的构造过程中被“制造”出来。也就是说,这个构造和前面说的切割是一回事。数学里经常发生的神奇的事又发生了——有时候,我们明明在做两件看似完全不同的两件事,然后,数学用一连串推理告诉你,两件事其实没有区别,这样的事有个专有名词叫做等价。

 

啊哦,我开始不能接受了。按你所说,一切集合都能从空集作原料造出来?好吧,这太好了,请用空集造出俺村所有的鸡舍吧。空集里可是什么都没有,你得无中生有的造出来!

 

我只能说我做不到。实际上,但我们试图用数学来描述世界的时候,我们先做了一次“符号”的抽象对应。比如,我们处理苹果数目的时候,我把一堆苹果对应成阿拉伯数字符号“1”、“2”、“3”……,把两堆苹果合起来的操作对应成符号“+”,并把它叫做加法。然后,用定好的符号处理的规则推理出一个结果。最后把结果再对应回现实的操作。

 

遗憾的是,这种抽象与现实之间,有时能够很好的对应,有时却不能。还有有时候,数学里成立的做法,在现实中不一定能证实。比如,如果有人让我用空集造鸡舍,那么空集对应什么?对应成空盒子?这是“好”的对应吗?况且,数学里还有一件事也经常发生,我只能告诉你可以做到,但无法告诉你如何做到。数学里叫做存在性证明。

 

好了,我们这一次讲了包含所有的东西的冯·诺依曼宇宙,还讲了所有东西都是空集“造”的。那么,是不是所有东西都是能“造”的?下一次,我们讲哥德尔的可构造宇宙。

 

 

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