数学里的宇宙(二)——哥德尔的可构造宇宙
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好吧，真是巧，在我写这篇文章的时候正好肚子饿了，于是我的去搞点吃的。吃什么呢？嗯，我吃蒸饺。
有面粉和水，我和面做成饺子皮；另一方面，有白菜和猪肉，剁碎和成了馅儿。把饺子皮和馅儿包在一起有了饺子。再把饺子放在锅里开火蒸熟，就有了蒸饺。
整个过程，我们用我们一些基本的东西一步一步，做出了蒸饺。也就是说，只要你不嫌麻烦，我都可以这样从面粉、水、白菜、猪肉什么的开始，用符号和一些规则给你解释蒸饺是什么，而且，层层递进，条理清楚——这里用的符号叫做汉字，用的规则是汉语语法。
而我们今天要说的宇宙就是来自上面解释饺子的思想，叫做可构造宇宙。而用的符号是变量(比如x,y,z)、常量(比如0、1、π)、量词(比如∀、∃)、关系符号——(比如∈、=、>)、运算(比如+、-、×)、分割符号(比如各种括号、逗号)、函数符号(比如f,g,h)……，反正在严谨的数学里，会有相关的规定。而语法规则我们会用数学中不会产生歧义的语言，叫做形式语言。
这里举个例子，我们如果表述任意实数的平方，都是非负数，我们的形式语言会这样写——∀x∈R(x×x≥0)。
多说一句，如果有一堆东西是X，那么能从X中造出来的，我们记成Def(X)。比如粗略的讲，按上面的例子可以这样说，如果X={面粉、水}，Def(X)={饺子皮、包子皮、馄钝皮……}。
现在我们可以来构建我们的宇宙了。和之前我们讨论过的“万有”的冯·诺依曼宇宙一样(微信版回复#98可见这篇文章)，我们还是从空集开始，同样用“序数”做工具，一步一步的来。第0步做出空集∅，第1步做出Def(∅)={∅},第2步再做Def({∅})……这样一直做下去，当到了某个极限，再把之前切做过的所有东西统合起来，之后又继续往下做。当然这里，我直接给出了一些结果，这里不再解释原因，有兴趣的读者可以参阅相关的wiki和集合论的书籍。同样，如果你更习惯数学符号的表述，可参阅之后的一个图。
好了，总算是做完了。做出的这堆东西也足够多，足够大，大到不能成为集合，成为了一种宇宙。这个宇宙，是同样大名鼎鼎证明了不完备性定理的哥德尔首先做出来的，所以又叫哥德尔宇宙，经常用字母L来表示。
问题来了，哥德尔宇宙到底有多大呢？和“万有”的冯·诺依曼宇宙V一样大吗？从直观上来讲，L似乎比V小得多。这个时候，数学里又一个奇迹发生了——当你觉得一切都显而易见的时候，数学用一连串推理告诉你，你之前的“三观”的错的，需要尽数毁掉！哥德尔证明了L是否与V一样大，竟然在我们常用的ZF公理体系下不可判定，就算加入选择公理的体系ZFC，V=L也与ZFC没有任何矛盾！
于是，V=L能够成为一条公理，叫做构造性公理。实际上如果我们承认ZF加入V=L这样的体系，选择公理其实是这个体系的一个定理，就是说，在这个体系下，选择公理能够被证明出来。而这个公理，还能把另外一个著名的猜想变成定理——连续统假设。注意这实际上是证明了连续统假设与常用的ZFC是没有矛盾的，而这个结果也是哥德尔证明的(之后，科恩证明了连续统假设的否定也和ZFC不矛盾，于是连续统假设与ZFC独立，因此科恩获得1966年菲尔兹奖)。
好了，哥德尔的构造性宇宙讲到这里。之前我们还讨论了“万有”的冯·诺依曼宇宙，两个宇宙都用到了“序数”做工具，而这个序数同样是一种宇宙，我们下次见。
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