数学里的宇宙(三)——排队的序数宇宙
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上过大学的同学，大概都参加过军训。每天出操整队，持续数周的时间。军训列队的时候，都会做一件事——报数。一列人员从数字1开始，依次递增的报出一个自然数，一直到队伍的末尾。而队伍的指挥官会默默的记下最后一个报出的数字。
今天我们说的宇宙就从这报数说起。每一位队员都被自己报出的数字标志了在队伍里的顺序，最后的一个报出的数字n，既表示最后一位队员是第几个，也能表示这个队伍有多少人。在一个有限长度的队伍里，在判定队伍长短的时候，我们可以不必纠结这两个意思的差别，但如果我们打开脑洞，考虑无限长的一列队伍就会有不同。
比如，队长小明面对一个无限长的队伍0、1、2、……，这个时候，他走进队伍会形成一个新的队伍。一个办法是站在队伍前面，变成——小明、0、1、2、……；另一个办法只站在队伍末尾，变成0、1、2、……、小明。两个的排序方式是不同的，因为后者有末尾的一个，而前者没有。然而两个队伍的人数都是一样的。在数学中，如果关注末尾的那个“数字”的顺序的性质，我们叫做“序数”，如果关注队伍中人数的绝对的多少，我们叫做“基数”。
其实，之前讲冯·诺依曼宇宙和哥德尔宇宙的时候，我们已经提到“序数”这个东西了。只是没解释过它到底是什么。按照数学的逻辑顺序，应该先有这个东西，才会有前面两篇文章中的操作。
队列训练中，我们还经常干一件事。比如教官会喊：“双数，向前一步走！”。然后所以报偶数的队员会形成一个新的子队列，或者用其他规则，取队列中的一部分形成其他的子队列。但无论怎么样去抽出子队列，我们都能在子队列中找出一个排位最靠前的一个人。在数学里，如果所有的子队列里，都能找到一个最前面的，这个队列叫做“良序”的。
我们很容易看出，之前小明的两种站队方法都是良序的。数学里还规定第二个队列比第一个队列长，因为第一个队列的排序和第二个队列前面部分一模一样。
如果我们把所有这样“良序”的排序办法聚集起来，他会形成一堆庞大的东西，同样大到不能是一个集合。因为如果是一个集合，那么这个集合也是良序的，而且是最大的良序集合。于是我在这个集合里强行加入一个更大的Max符号，于是形成了比最大还要大的排序办法。这是一个矛盾。
这个矛盾在公理化集合论成熟之前，就已经被集合论之父康托发现了。所以又叫康托悖论。这个悖论比罗素悖论的发现更早，也足以引发对集合论为基础的数学的“第三次数学危机”。但是，这个悖论的表述，在当年的数学圈里，还是算生僻的，所以关注的人不多，也没引发太多的波澜，直到罗素悖论的出现——毕竟，罗素悖论是不需要太多数学基础的人都能看懂的。
好吧，今天有到时间了。下一次，我们纠结本文前面提到的队伍数量——“基数”宇宙。
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