数学里的宇宙(四)——衡量集合有多少东西的基数宇宙
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上次说排队的序数宇宙的时候，我们队伍里报数的最后一个数字既可以表示末尾的队员所在的顺序，又可以表示队伍里队员的数量。而且我们说过，在有限个队员的队伍里，我们不用太纠结它们之间的区别，但在有无穷个队员的队伍里却有不同。上次我们“纠结”了顺序，今天，轮到“数量”了。
为什么这里要用“纠结”一词？那是因为，在数学里，关于无穷的数量的确是一件纠结的事情。比如，在一个只有有限个队员的队伍里，这时小明站进了队伍形成了新的队伍，如过之前队伍里有n个队员，那么新的队伍的人数就变成了n+1，人数增加了。如果，这是小明面对的是无限长的队伍，0、1、2、3、……，那么情况就不同了。这时小明站了进去，但是虽然队伍里多了一个之前没有的小明，但队伍的人数并没有增加。因为我们只需要把小明对应0，把0对应1，把1对应2，把2对应3，以此类推，于是我们找到一个办法把新旧两个队伍里的队员正好一个对上一个，不多也不少。于是这样说明，两个队伍的人数是一样多的。
在数学里，前面说的一个集合数量叫做“基数”。前面“小明进队”的例子其实说明，对于无穷的集合来讲，一个集合有可能和它的真子集一样多。数学里，还有一个叫做“选择公理”的公理，这个公理能保证所有的集合都是有一个基数的。如果我们把所有有限集合的的基数统合在一起，它能做成一个集合，叫做自然数集。但如果我们把所有无限集合的基数凑在一起，就太大了，大到超过集合的标准，成了宇宙。
我们可以用康托定理来证明所有基数不能形成一个集合。康托定理是说，一个集合的基数严格地小于这个集合幂集的基数。如果所有的基数能形成一个集合，那么这个集合的基数比每一个集合的基数都大。但是，它其实比它幂集的基数小。于是矛盾。
这里值得一提的，康托定理的证明过程所使用的方法叫做“对角线法”，这个在集合轮里是一个非常重要的方法。甚至有人说，当“对角线法”被发明的那一刻起，集合论就真正的诞生了。
康托还证明了自然数的基数比实数的基数少。那么有没有一个集合，比自然数多而比实数少？康托认为是没有这样的集合，他把这个猜想叫做连续统假设。康托耗费了几乎一生的精力都没有解决这个问题。然而，时候的结果说明，康托是不可能解决它。数学家们在20世纪60年代证明了，连续统假设是关于ZFC体系的独立命题——就是说它不可能被证明出来，甚至连否定这个命题的机会都没有。
于是，我能说康托是被坑了吗？
这一次就到这里把，下一次会是什么呢？
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