决定性公理介绍

    很多人都玩过斗主，我也玩。当我在QQ游戏上玩得最HI的时候莫过于三个人都大叫一声“明牌！”，所有牌的游戏都能被互相看见。   

    这个时候，其实原本三个人的游戏变成了两个人在玩，地主与斗地主的一方。而且，打牌的双方都能知道对方有哪些招能用，哪些招用不了。
    这时，我们再大胆假设一下，我们认为双方都足够聪明，出牌都按最优的方式，即不失误。那么其实，这样的一局牌就变得很无趣了，因为当发完牌的同时，游戏的结果已经决定了。

    因为牌都亮着，必然有一方有一种打牌的策略，让他能在最后处于取胜状态。

    我们把这个游戏变得更为无趣。我们把先出牌的一方叫P1，后出牌的一方叫P2。在轮到某人出牌的时候，他只有有限多少出牌的选择。把可能出牌的办法都编号吧，比如当轮到打牌的时候，他就可以说，1号办法应对，2号办法应对,...，n号办法应对...

    于是，好好的斗地主就成了一个叫号的游戏，P1叫我用1号办法，P2叫8号办法,然后P1又叫19号办法，于是得到一串叫号的数列。因为游戏一定会在有限步内结束，于是我们能得到一个有限长数列，这个数列可能指向P1赢的状态，可能指向P2赢的状态。这两种状态，都能分别构成集合。

    如果，这时候我们要改变一下斗地主的规则(比如最后一手牌必须少于5张才算赢)，那么，我们本质上是改变上述所得到的赢的状态所对应的集合。

    上面说到的东西，在数学中有一个叫博弈论(Game Theory)的分支在做研究，其实就是研究游戏啦。注意到，上面提到的对局有两个特点，第一，第一轮对局者都只能在有限个对局策略里选择，第二，对局一定能在有限的轮次中结论。

    如果策略选择和轮次都是无限的会怎么样呢？现在P1，P2能叫的号是所有自然数，而且每个人都要玩无限轮次。这样，同样在事先规定，哪些数列算赢，哪些数列算输。会怎么样了呢？是不是无论我们怎么改变游戏规则(就是改变赢的状态集合)，这个游戏都在规则确定的同时，结果已经定了呢？

    如果，我们要继承斗地主时的感觉，当然我们要认为结果已经定了！于是，我们就这样认为他定了。这就是决定性公理(Axiom of Determinacy，简称AD)。他和熟知的选择公理(Axiom of Choice)矛盾的。那么和ZF是不是相容呢？可惜，决定性公理能推出ZF是自洽的，所以由哥德尔不完备性定理，ZF+AD是否自洽不能由ZF得到。   

    不过，这个公理很难让人认为是“真”的。它除了和选择公理矛盾，由这个决定性公理还能推出一系列太过于“卖萌”的数学“事实”。其中最有趣的是，由它可推出所有实数集合都是勒贝格可测的。这样一来，许多数学成为没意思的了。因此，数学家们还是不太想承认这个过于“萌”的公理。不过，它带来的一系列问题仍有在研究当中。