加加减减的艺术（一）：1-1+1-1+……=1/2?
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作者，逆蝶，哆嗒数学网群友
让我们从一个故事说起：
在芝诺(Zeno)五岁那年, 他父亲问他：“从我们家到外婆家一共有五公里的路要走, 如果你以每小时五公里速度去外婆家, 那你需要多长时间才能到？”芝诺回答道：“一小时.”
十年之后，芝诺十五岁, 他父亲又问了他一遍相同的问题. 你可能会说, 芝诺父亲怎么会这么无聊？但是芝诺却回答：“永远也走不到.”
芝诺是这样回答他父亲的：“如果将五公里的路程一分为二, 那如果想去外婆家就要先走过这段路程的前一半；再将剩下的一半路程一分为二, 如果想要到外婆家, 同样也要走剩下路程的前一半. 之后再将剩下的路程一分为二, 这样无论走久都到不了外婆家, 所以永远也走不到.”
这其实就是著名的芝诺悖论, 这个悖论和古希腊神话中的善跑英雄阿喀琉斯(Achilles)追乌龟的故事有着异曲同工之妙. 不过我们现在已经知道这个悖论其实是无穷级数在作怪, 芝诺的悖论只不过是把1通过二分法分为了无穷份而已, 也就是指级数：
\begin{align*}\sum\limits_{n=1}^{\infty} \cfrac 1{2^n}=\cfrac 12+\cfrac 1{2^2}+\cfrac 1{2^3}+\cfrac 1{2^4}+\cdots=1.\\\end{align*}
无穷级数在数学史上出现的很早. 古希腊时期, 芝诺利用二分法提出著名的芝诺悖论就涉及到公比为1/2的几何级数, 亚里士多德(Aristotle)知道公比小于1(同时要大于0, 那个时代还没有负数的概念)的几何级数可以求出和数, 后来阿基米德(Archimedes)使用几何级数求出了抛物线弓形的面积.
到了中世纪，数学家对于涉及到无穷的一些悖论展开了激烈的争论. 1703年由数学家格兰迪(Grandi)发表的格兰迪级数引起了数学家的一番热议, 这个级数即是指：
\begin{align*}\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n=1-1+1-1+1-1+\cdots.\end{align*}
其中丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli)和欧拉(Euler)也对其进行了研究, 后来经由柯西(Cauchy)引入收敛与发散的定义, 数学家们才知道格兰迪级数是发散的.
调和级数也是一个发散的级数, 它的知名度甚至比格兰迪级数还高, 当然它的敛散性也曾是数学家的一个热议话题, 奥雷姆(Nicole Oresme)的对其发散性的极其简洁的证明曾引起数学界的一时轰动, 他是这样证明的：
\begin{align*}\sum\limits_{n=0}^{\infty} \cfrac 1n&=1+\cfrac 12+\cfrac 13+\cfrac 14+\cfrac 15+\cfrac 16+\cfrac 17+\cfrac 18+\cdots\\&=1+\cfrac 12+(\cfrac 13+\cfrac 14)+(\cfrac 15+\cfrac 16+\cfrac 17+\cfrac 18)+\cdots\\&\ge 1+\cfrac 12+(\cfrac 14+\cfrac 14)+(\cfrac 18+\cfrac 18+\cfrac 18+\cfrac 18)+\cdots\\&\ge 1+\cfrac 12+\cfrac 12+\cfrac 12+\cfrac 12+\cdots=\infty.\end{align*}
调和级数的通项都是趋于0的, 似乎它应该是一个收敛的级数, 但是它却是一个发散的, 这看上去也像是一个悖论.
如果学过数学分析或者高等数学, 应该会对级数的敛散性有所了解, 并对收敛级数的性质有着较好的把握, 所以我们会把重点放在发散的级数上, 对发散级数做一些必要的探讨. 虽然柯西之后的多数数学家遵循柯西摒弃了发散级数, 但是欧拉在不考虑收敛性下通过对级数神乎其技的变形而得到的美妙结论, 以及后来发现的发散级数在渐进估计中的重要应用, 这些都说明了研究发散级数并不是没有意义的. 另外柯西本人也注意到了ln(Γ(x))亦或是ln(m!)的斯特林(Stirling)级数(这个级数是发散的)在计算阶乘时逼近的优点, 但他并没有对这件事作出合理的解释.
本文主要介绍发散级数在非柯西意义下的求和问题, 并将会特别考虑格兰迪级数的求和. 通过格兰迪级数在其他意义下的求和, 来说明柯西关于级数收敛的定义并非是绝对的.
在行文的最后我们会讨论与格兰迪级数相似但也很具有特殊性的0-1级数. 笔者在此着重于对发散级数求和方式的介绍, 并不刻意追求严谨, 所以对于给出的结论也都是采取“只给不证”的方式，希望这篇关于发散级数的科普文章可以激发读者对发散级数的兴趣, 以及对于发散级数的思考和研究.
我们前面已经说过什么是格兰迪级数, 不过由于格兰迪级数是我们重点考察的级数, 所以在这里给出其定义将是有益的。
定义1(格兰迪级数)就是指级数
$$\begin{align*}\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n.\end{align*}$$ 或者写成
\begin{align*}1-1+1-1+1-1+\cdots.\end{align*}
曾有很多数学家都研究过这个级数, 那么此级数的和是多少呢？我们通过一些简单的计算来看看它的和到底应该等于多少.
记
\begin{align*} S=1-1+1-1+1-1+\cdots. \end{align*} 我们有 \begin{align*} S=(1-1)+(1-1)+(1+1)+\cdots=0+0+0+\cdots=0. \end{align*}
但是另一方面, 我们还有
\begin{align*} S=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\cdots=1+0+0+0+\cdots=1. \end{align*}
那么S究竟是0还是1呢？似乎把结果折中一下, 当做$\cfrac 12$更好一些. 但不要着急, 我们很快就可以直接得到S也会等于$\cfrac 12$.
\begin{align*} S&=1-1+1-1+1-1+\cdots\\ S&=\qquad 1-1+1-1+1-1+\cdots \end{align*} 两式相加, 我们有 \begin{align*} 2S=1+0+0+0+0+0+\cdots=1 \end{align*} 此式即是$S=\cfrac 12$.
到这里可能就会奇怪, 为什么会出现$S$既等于$0$又等于$1$还等于$\cfrac 12$这种事情呢？这源于级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n$并不收敛. 对一个不收敛的级数加括号, 是有可能使其收敛的, 但是随着加括号方式的不同, 所得到的结果也不一定相同, 因此到最后就说不好级数的和究竟是多少, 也无法说明哪一种加括号方式更加的合理. 不过还好柯西关于严密化的工作避免了这一点, 在柯西意义下收敛的级数, 无论通过什么方式加括号, 所得级数仍是收敛的, 而且收敛到的数值与柯西和相同, 这就避免了上述这种一个级数可能通过不同的加括号方式而得到不同的和的现象．下面我们来定义一下什么是柯西意义下的和.
定义2(柯西和) 无穷级数 $$\begin{align*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n=a_0+a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots \end{align*}$$ 的前n项和 $$\begin{align*} S_n=\sum\limits_{k=0}^n a_k=a_0+a_1+a_2+\cdots+a_n \end{align*}$$
称为级数的部分和. 如果部分和构成的数列$\{S_n\}$具有有限的极限S, 我们就称级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n$在柯西意义下收敛(亦可以简称为收敛), 并且称S是级数的柯西和. 如果$\{S_n\}$没有有限的极限, 就称级数是发散的.
由此可见, 这里所定义的柯西和就是我们平常所说的级数和, 给出定义的目的只不过是为了与之后要定义的各种类型的和作区分. 由于柯西和是我们非常熟悉的一种和, 我们没有必要对其作太多的说明, 所以下面还是回归到对于格兰迪级数的讨论.
格兰迪级数的部分和数列
\begin{align*} S_n=\begin{cases} 1, &\text{当n是偶数时};\\ 0, &\text{当n是奇数时}. \end{cases} \end{align*} 于是格兰迪级数在柯西意义下是发散的.
知道了格兰迪级数是发散的, 那么再研究它是不是就没有意义了呢？现在我们不管它是发散的这个事实, 来看看莱布尼茨(Leibniz)的算法和解释:
在展开式
\begin{align*} \cfrac 1{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+\cdots \end{align*} 中带入$x=-1$, 于是就得到 \begin{align*} \cfrac 12=1-1+1-1+1-1+\cdots. \end{align*}
他做了如下比喻:一块宝石由两个人轮流保存一年, 等价于各自保存半年, 所以其和是$\cfrac 12$ . 欧拉则以
\begin{align*} 1-\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \end{align*}
也同样认为$\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n=\cfrac 12$, 看起来似乎这两种说法都可以令人接受. 这就让我们有理由去怀疑, 是不是柯西收敛的定义本身就不够好呢？下面我们转入非柯西意义下的求和问题, 通过对切萨罗(Cesàro)的求和方式进行观察来引入权的概念, 然后再对柯西的求和方式做一些解释.
定义3(切萨罗和) 设$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n$是一个无穷级数, $\{S_n\}$是其部分和数列. 如果$\{S_n\}$的算术平均
\begin{align*} \sigma_n=\cfrac {S_0+S_1+\cdots+S_n}{n+1} \end{align*} 是一个收敛数列($\sigma_n $也称为切萨罗序列), 即$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \sigma_n=\sigma $, 就称级数在切萨罗意义下收敛, $\sigma$称为级数的切萨罗和.
注意，今后也常常会用$\sigma$和, 依$\sigma$收敛等来简单代替切萨罗和, 依切萨罗意义收敛, 读者将不难明白其中的含义.
现在通过切萨罗的方式来计算一下格兰迪级数的和. 之前已经得到格兰迪级数的部分和数列$S_n$的表达式, 于是不难得到
\begin{align*} \sigma_n=\begin{cases} \cfrac {n+1}{2n}, &\text{当n是偶数时};\\ \cfrac 12, &\text{当n是奇数时}. \end{cases} \end{align*}
据此有
\begin{align*} \lim\limits_{n\rightarrow\infty} \sigma_n=\cfrac 12. \end{align*} 这样就得到了级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n$依$\sigma$意义收敛于$\cfrac 12 $ .
可以比较一下依柯西意义收敛和依切萨罗意义收敛的关系. 根据熟知的Stolz定理可以看出, 如果级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n $收敛, 那么必然会依切萨罗意义收敛且收敛到同一极限, 但是由格兰迪级数的例子可知依切萨罗意义收敛的级数却并不一定收敛. 从这种意义层面上来讲, 切萨罗和可以说是柯西和的一种推广. 但是我们要指出切萨罗和并不是毫无意义的纯粹为了推广柯西意义下的收敛而定义的, 其在研究傅里叶(Fourier)级数的收敛性问题中有着重要的应用.
既然前面说了切萨罗和是柯西和的一种推广, 下面我们就给出求和方式的推广定义.
定义4(推广和) 设有两种关于级数的求和方式, 把他们记为$s_1$, $s_2$. 如果依$s_1$收敛的级数也一定依$s_2$收敛, 并且收敛到同一极限, 那么就称$s_2$比$s_1$更广泛, 或者称$s_2$是$s_1$的推广. 如果还存在依$s_2$收敛但依$s_1$不收敛的级数, 就称$s_2$是$s_1$的严格推广. 若$s_1$是$s_2$的推广且$s_2$是$s_1$的推广, 就称他们是等价的.
有了求和方式的推广的定义后, 我们就有切萨罗和是柯西和的严格推广. 既然是严格推广, 现在要问, 在什么条件下由切萨罗收敛可以得到收敛呢？确切地说, 如果对所考虑的级数作出某种限制条件后, 根据切萨罗收敛能不能得到收敛？回答是肯定的! 我们可以对$a_n$作出简单的限制, 然后就可以切实得到在这种限制下的大量的级数, 切萨罗收敛是可以推出柯西收敛的.
在这之前我们先介绍阿贝尔(Abel)的一个很有用的公式, 这会对一些定理的证明起着至关重要的作用.
定理1(阿贝尔分部求和公式) 设有级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n, \sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n$, 记$S_n=\sum\limits_{k=0}^n a_k$为级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n$的部分和, 那么有
\begin{align*} \sum\limits_{k=0}^n a_kb_k=\sum\limits_{k=0}^{n-1} S_k(b_k-b_{k+1})+S_nb_n \end{align*}
现在我们指出, 对于有限制条件的依切萨罗收敛问题, 有下述结论.
定理2 设级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n$的切萨罗和为$\sigma$,如果有
\begin{align*}\cfrac {\sum\limits_{k=0}^n ka_k}n\rightarrow 0, n\rightarrow\infty.\end{align*} 那么$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n$收敛且其柯西和为$\sigma$.
另外, 在切萨罗和存在的情况下, $\cfrac {\sum\limits_{k=0}^n ka_k}n\rightarrow 0 ( n\rightarrow\infty)$其实是柯西和存在且等于切萨罗和的充要条件. 我们来做一些简要的说明: 由Abel 分布求和公式不难得到
\begin{align*} S_n=\cfrac {\sum\limits_{k=0}^n ka_k}n+\cfrac {\sum\limits_{k=0}^{n-1} S_k}n \end{align*}
当$\cfrac {\sum\limits_{k=0}^n ka_k}n$极限不存在时, 易见$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n$发散. 但是有没有可能出现$\cfrac {\sum\limits_{k=0}^n ka_k}n$极限存在但是却不等于0, 从而得到柯西和存在但是与切萨罗和不相等的情况呢？ 当然不可能! 因为前面已经指出如果柯西和存在那么就一定等于切萨罗和. 不过也可以依据下述定理绕过这段弯路, 从$\cfrac {\sum\limits_{k=0}^n ka_k}n$有一个非0极限直接得到$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n$发散, 这个定理本身也是很重要的.
定理3 如果$\cfrac {\sum\limits_{k=0}^n ka_k}n$趋于一个不为0的数s, 那么
\begin{align*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n=\text{sgn} s\cdot\infty. \end{align*}
虽然我们得到了一个在切萨罗和存在的条件下级数柯西可和的充要条件, 但是由于其形式比较复杂, 我们宁可加强条件来得到一个比较直观的结果.
例如当$a_n=o(\cfrac 1n)$, 也即$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} na_n=0$ 时, 由Stolz定理易见$\cfrac {\sum\limits_{k=0}^n na_n}n$趋于0, 而$a_n=o(\cfrac 1n)$这个条件相对来说要直观多了.
为了更加深入的比较切萨罗可和与柯西可和的区别, 下一篇会先转入对级数的权的讨论, 但之后还会继续讨论切萨罗和。
下次再会。
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