加加减减的艺术（二）：柯西不是上帝！
关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文
作者，逆蝶，哆嗒数学网群友
那个年代, 数学家们还不能很好的理解级数的收敛与发散. 例如高斯(Gauss)在其著作《天体运动论》中对级数的数值进行近似计算时, 如果级数的一般项(也称作级数的通项)从某一项之后开始递减, 高斯就认为级数是收敛的, 并且在计算得出通项的某一项足够小时, 他就截取到那一项作为级数的近似值, 把剩下的项直接舍去, 而且他也从不会对自己的近似结果作误差估计.
后来, 很多数学家都为微积分的严密性做了很多贡献, 其中柯西(Cauchy)的工作尤为成功. 在级数方面, 柯西定义级数收敛即是指部分和数列有极限, 这看似很容易令人接受, 所以也就被多数数学家采纳, 而且一直沿用至今. 但就如欧几里得(Euclid)的第五公设, 虽然看似很容易令人接受, 但是实际上是很不自然的. 黎曼(Riemann)和其他的一些几何学家改变第五公设, 得到了非欧几何. 而在级数方面切萨罗改变级数收敛的意义, 得到了切萨罗和, 使得格兰迪级数可以收敛.
无论是柯西还是欧几里得, 他们的规定都是人为规定的, 只不过是规定出来的一些东西看起来比较合理而已. 然而柯西并不是上帝! 虽然依柯西意义收敛的级数具有很好的性质, 但是柯西的定义也使得一些看似性质比较好的级数不收敛, 也就是说柯西的定义似乎太严格了, 使得我们在得到一些好的东西的同时也失去了另外一些重要的东西.
我们是无法直接定义无限个数之和的, 所以柯西与切萨罗的方法都是用有限逼近无限, 而这本就不是很自然的方法, 但是我们只有通过这样才能避开无限和的问题. 柯西与切萨罗的逼近方法不同, 导致的结果也不同, 不过我们却说不好这两种逼近方法哪个是更加合理的(之后对合理性给出定义, 而这两种求和方式在这种合理性意义的解释下都是合理的).
本节先引入级数的权的概念, 之后通过细致的比较柯西收敛与切萨罗收敛的区别, 采用柯西和与切萨罗和中取极限的思想, 导出从某种意义上来说最最一般的级数的权收敛. 而在权的意义下, 无论是柯西的收敛还是切萨罗的收敛, 以及任何一种常见的求和方式, 都只不过是一些特殊的权收敛罢了.
定义1(权) 设有级数
\begin{align*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n\text{和}\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n. \end{align*}
对于他们的直积级数
\begin{align*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nb_n, \end{align*}
我们称$b_n$是级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nb_n$关于级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n$的第$n$项$a_n$的权, 也成为$a_n$的权值. 而称级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n$是级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nb_n$关于级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n$的权, 如果级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n$的柯西和存在, 就称此柯西和为级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n$的权值.
注:我们大多只考虑$\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n$的柯西和存在的情形, 这时$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nb_n$的权值$\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n$总是存在的, 但是对一般的权$\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n$, 并不一定总存在权值. 另外现在只定义了级数与其权的直积, 但还只是个形式的记号, 并没有对其直积级数赋予一个具体数值作为其和, 之后会对这一点作出说明.
现在来比较一下柯西和与切萨罗和的区别:
取级数列$\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n^{(m)}, \sum\limits_{n=0}^{\infty} c_n^{(m)}$如下
\begin{align*} b_n^{(m)}=\begin{cases} 1, & n\le m;\\ 0, & n>m. \end{cases} \qquad c_n^{(m)}=\begin{cases} 1-\cfrac n{m+1}, & n\le m;\\ 0, & n>m. \end{cases} \end{align*}
那么柯西和是级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n$与级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n^{(m)}$(注意这其实是一个有限和)的直积级数
\begin{align*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nb_n^{(m)} \end{align*}
在$m\rightarrow\infty$时的极限值.
切萨罗和是级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n$与级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} c_n^{(m)}$(注意这同样是一个有限和)的直积级数
\begin{align*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nc_n^{(m)} \end{align*}
在$m\rightarrow\infty$时的极限值.
再来看看这两种权的合理性:
对于固定的$n$, 总是
有 \begin{align*} \lim\limits_{m\rightarrow\infty} b_n^{(m)}=1\text{以及}\lim\limits_{m\rightarrow\infty} c_n^{(m)}=1. \end{align*}
也就是说对于任意的$a_n$, 它的极限权值总是1, 从而没有失去其在级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n$中所占的比重, 因此这两种权的定义可以说都是合理的.
下面我们给出权的合理性的定义.
定义2(合理权) 设有权族 \begin{align*} \{\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n(x)|x\in X\}. \end{align*} 如果权指标$x$在指标集$X$中以某种方式取极限时, 对于任意固定的$n$, 总是有$b_n(x)$趋于1, 即是 \begin{align*} \lim\limits_x b_n(x)=1. \end{align*} 就称这个权族是合理的权族, 也简称为合理的权.
注:以后基本上只会考虑具有合理性的权. 另外这里的“以某种方式取极限”其实并不是一种严格的说法, 严格的定义需要用到拓扑以及基的概念, 这里将其从略了, 但这并不会使得我们今后对一些具体的权的讨论变得困难. 为了简便今后也称权族为权, 我们也不会因此而陷入混淆.
于是无论是柯西和还是切萨罗和, 都可以看成级数的加权极限问题, 而且这两种权都是合理的. 在这种意义下, 柯西和不过只是一种特殊的加权方式的极限, 其在级数理论中的统治地位也将被削弱.
虽然我们要削弱柯西和的地位, 以此来构造其他类型的和, 但是由于柯西和的重要性以及柯西权(也称其为标准权)的标准性, 今后的讨论将总是会以柯西和为基准.
目前所考虑的两种权都是直积为有限和的情形, 我们特别地指出：对于直积是无限和的情形, 我们总是以柯西意义的和来定义其值.
现在来引入本节最重要的概念, 即什么是级数的依权意义下的收敛.
定义3(权收敛) 给定级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n$以及权$\{\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n(x)|x\in X\}$, 如果权指标$x$在指标集$X$中以某种方式取极限时, 它们的直积
\begin{align*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nb_n(x) \end{align*} 趋于一个有限值S, 即是 \begin{align*} \lim\limits_x\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nb_n(x)=S \end{align*}
就称级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n$依此权收敛到$S$, 称$S$为级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n$的加权和, 亦简称为权和.
有了权收敛的定义之后, 就可以考虑更多的加权求和问题了. 不过之前我们曾说我们的出发点还是要以柯西和为基准, 所以在此之前我们先给权的规范性作出定义.
定义4(规范权) 设有权$\{\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n(x)|x\in X\}$, 如果对柯西和存在的级数, 其权和总是存在而且等于柯西和, 就称$\{\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n(x)|x\in X\}$是一个规范权.
注:如果一种求和方式使得柯西和存在的级数总是收敛的而且收敛到其柯西和, 我们也称求和方式是规范的.
我们有必要向读者指出：一个规范的权一定是一个合理的权, 这一点通过对任意的$m$, 取级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \delta_{mn}$(其中$\delta_{mn}$是Kronecker函数)即可明了.
现在来举例讨论一些具体的权.
采取常用的记号, 记 \begin{align*} H_n=1+\cfrac 12+\cfrac 13+\cdots+\cfrac 1n. \end{align*} 另外约定$H_0=0,$考虑 \begin{align*} T_n=\cfrac{S_0+\cfrac {S_1}2+\cfrac {S_2}3+\cdots+\cfrac {S_n}{n+1}}{H_{n+1}}. \end{align*} 其中$S_n$为级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n$的部分和. 对固定的$a_m$, 我们有$T_n$对其的权值为 \begin{align*} b_m^{(n)}=\begin{cases} \cfrac {\sum\limits_{k=m}^n \cfrac 1{k+1}}{H_{n+1}}=1-\cfrac {H_m}{H_{n+1}}, & m\le n;\\ 0, & m>n. \end{cases} \end{align*} 因此对任意$m$, 都有 \begin{align*} \lim\limits_{n\rightarrow\infty} b_m^{(n)}=1 \end{align*} 成立, 所以$T_n$是一种合理的加权方式. 用Stolz定理易知收敛则权收敛, 因此它还是一种规范的加权方式.
记上述加权方式所得到的权是$T$权, 那么$T$权和$\sigma$权有如下的关系:
定理1 设有级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n$, 那么当$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n$的切萨罗和$\sigma$存在时, 其$T$加权和也存在且等于切萨罗和.
注:我们已经知道格兰迪级数的切萨罗和是$\cfrac 12$, 所以据此定理有格兰迪级数的$T$加权和也是$\cfrac 12$. 当然读者也可以利用关系式$H_n\sim \ln n$进行简单的证明格兰迪级数的$T$和为$\cfrac 12$.
反过来对不对呢,也就是说如果$T_n$的极限存在, 有没有切萨罗和一定存在的结论？答案是否定的! 我们有如下反例: \begin{align*} T_n=\cfrac {(-1)^n}{H_{n+1}}. \end{align*} 由$T_n$可以唯一的确定确定级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n$, 但是对于这个级数 \begin{align*} S_n=o(n) \end{align*} 并不成立, 所以此级数的切萨罗和不存在.
于是我们就得到了$T$权是一种比切萨罗权更广泛的权,之前我们还有切萨罗权是比标准权更广泛的权, 所以可以把切萨罗权视为标准权的推广, 而把$T$权视为切萨罗权的推广.
仔细对比$\sigma_n$与$T_n$, 可以注意到所有的$S_n$系数和为1, 或者也可以分子分母分开来看, 分子上$S_n$的系数和正好等于分母, 并且分子的每一项系数都是正数, 以及分母是趋于无穷的. 观察到这一点, 我们现在可以将这两种权推广到一种非常之一般的形式.
定义5 设有级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n$, 记$S_n$是其部分和, $\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n$是满足$b_0>0, b_n\ge 0$的发散级数. 定义 \begin{align*} \mu_n=\cfrac {\sum\limits_{k=0}^n b_nS_n}{\sum\limits_{k=0}^n b_n}, \end{align*} 那么称由$\mu_n$所得到的权为$\mu$权.
定义了$\mu$权之后, 反过来再考察$\sigma$权与$T$权.
$\sigma$权可以看成 \begin{align*}\sum\limits_{n=0}^{\infty} 1 \end{align*} 生成的$\mu$权, 而$T$权可以当做 \begin{align*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \cfrac 1n \end{align*}
生成的$\mu$权.
另外, 注意到级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \cfrac 1n$的一般项比上级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} 1$的一般项趋于0, 又知道$T$权是$\sigma$权的严格推广, 这就引起我们对任意两个$\mu$权之间的关系的思考.
如果$\mu_1$由$\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n$生成, $\mu_2$由$\sum\limits_{n=0}^{\infty} c_n (c_n>0)$生成, 根据$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \cfrac {b_n}{c_n}=0$, 能否得到$\mu_2$和存在就一定有$\mu_1$和存在, 而且$\mu_1$是$\mu_2$的严格推广呢？将其表述出来就是:\\ 若$\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n(b_0>0, b_n\ge 0)$和$\sum\limits_{n=0}^{\infty} c_n(c_n>0)$都是发散的级数，而且有 \begin{align*} \lim\limits_{n\rightarrow\infty} \cfrac {b_n}{c_n}=0. \end{align*} 那么任给一个级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n$, 当 \begin{align*} \cfrac {\sum\limits_{k=0}^n c_kS_k}{\sum\limits_{k=0}^n c_k} \end{align*}
收敛时, 是否一定有
\begin{align*} \cfrac {\sum\limits_{k=0}^n b_kS_k}{\sum\limits_{k=0}^n b_k} \end{align*}
收敛.
更进一步还可以思考, 如果$\cfrac {b_n}{c_n}$有界, 是否$\mu_2$和存在就一定有$\mu_1$和存在呢？
但是很可惜,即使在$b_n\equiv 1$亦或是$c_n\equiv 1$时, 仍有反例存在, 我们不妨将反例写出来.
$b_n\equiv 1$时的反例: \begin{align*} a_{2n}&=2^{-n}, a_{2n+1}=-2^n;\\ c_{2n}&=2^{3n}, c_{2n+1}=2^n. \end{align*} $c_n\equiv 1$时的反例: \begin{align*} S_n&=\cfrac {(-1)^nn}{H_{n+1}};\\ b_0&=1, b_n=\cfrac 1m(\text{若}n=2^m), b_n=0 (\text{若}n\neq 0, 2^m). \end{align*} 由部分和$S_n$就可以定出$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n$.
既然在$\cfrac {b_n}{c_n}$有界时无法做比较, 那么如果加强条件,根据 \begin{align*} \lim\limits_{n\rightarrow\infty} \cfrac {b_n}{c_n}=1 \end{align*}
能不能得到等价性呢？
即是说$\mu_1$和与$\mu_2$和其中一个存在能不能推出来另一个也存在且相等？更进一步，对于$\cfrac {b_n}{c_n}$以及$\cfrac {c_n}{b_n}$ (这时要求$b_n>0$而不仅只是$b_n\ge 0$)均有界时的情况呢？我们在这里不作深入的探讨, 而是将这个问题留给有兴趣的读者思考.
我们还是把重点放在格兰迪级数的地方, 所以我们问格兰迪级数在权$\mu$下是收敛的吗？对于一般的$\mu$权, 结论是不成立的, 甚至在生成级数$b_n$单调的时候也不一定成立. 但是我们有结论: 当$b_n$递减, 亦或是$b_n$递增但满足$\cfrac {b_{n+1}}{\sum\limits_{k=0}^n b_k}\rightarrow0$时,这时格兰迪级数的$\mu$和存在. 其实不难发现有更进一步的结论:
\begin{align*} \cfrac {b_{2n+1}}{\sum\limits_{k=0}^n b_{2n}}\rightarrow0 \end{align*} 是这种情况下格兰迪级数权收敛的充要条件.
由于$\mu$权是一类权而不只是一个单一的权, 据此我们就得到了在很多种权的权收敛意义下, 格兰迪级数的权和都是$\cfrac 12$, 所以看起来似乎格兰迪收敛到$\cfrac 12$才是合适的, 之后我们还会继续说明这一点.
我们之前讨论的各种权, 无论是柯西标准权, 切萨罗$\sigma$权, T权, 以及更加一般的$\mu$权(应当注意到柯西权并不是$\mu$权), 都是直积为有限和的形式, 而且权族的指标集都是自然数集$N$的情况, 也就是取极限时权指标是离散的进行变化, 那么有没有直积是无限和以及权指标是连续变化的情形呢?
当然是有的！请继续关注哆嗒数学网。敬请期待。
关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文
评论已关闭