独立性证明介绍

    市里发生一起凶杀案，警方断定：

1. 凶手是男性
2. 受害者是女性
3. 凶手做案之前有大量饮酒
4. 凶手用双手掐死了受害者

    受害者的丈夫在案发现前和受害者有过激烈争吵，并且案发时就在案发现场附近。由于是健美教练，有足够的手力掐死一名成年女生。并且，有很多案件，在夫妻发生激烈冲突后发生的。于是被控方锁定为重大嫌疑人。

    受害者的丈夫的律师却说：另外一个城市，也是相同情况，但受害人是被一个流窜作案的流动人员杀害的，所以现有证据无法证明嫌疑人就是凶手。

    当然，目前为止，也无法证明嫌疑人是凶手。

    所以，控辩双方都要继续找证据，来证明他们相要的结果。

    其实，数学公理就是“证据”。这种“证据”是一个要求人们先接受，而无需证明的一些命题。至于，为什么要接受，或是因为生活经验，或是因为某些实验结果，再或没有任何理由，反正先接受。但接受的东西之间不能有矛盾的地方。比如，下面一串的东西，不能看成公理。

1. 世界中存在两个人类小明和小红
2. 小明是男人
3. 小红是女人
4. 小明与小红是相同性别的
5. 男女是两个不同性别

    我们再来说一个数学的例子，高等代数中学过数域的定义，我们把这些定义的条件看成公理吧。一个实数子集$F$，满足就是下面几条公理，就称为数域(简单起见，我们只在实数上讨论)。

1. $1\in F$
2. 如果$a,b\in F$，则$a+b\in F$
3. 如果$a,b\in F$，则$ab\in F$
4. 如果$a,b∈F$，则$a-b\in F$
5. 如果$a,b∈F$，$b≠0$，则$a/b\in F$

    那么，对于一个数域$F$，由这几条公理(加上默认的一些公理，比如实数完备性的公理)，是否能推导出$x^2=2$在$F$上有解？我们说，不能，因为如果我们让$F$为有理数集的时候，有理数集是一个数域，但$x^2=2$无解。那能否推出$x²=2$无解呢，我们说也不能，因为如果我们让$F=R$时，在这个域上是有解的。

    于是，得到结论“代数方程$x^2=2$有解”这个命题，在数域公理体系下，是无法证明，也无法证伪的。于是这个$x^2=2$是否有解，与数域公理独立。

    通过上面的讨论，我们知道，我们要一个命题的证明独立性，有一个办法是，找两个模型，两个模型都满足所有公理的条件，但这个命题在其中一个模型里是真命题，在另外一个是假命题（比如前文中的有理数集和$R$）。

    我们都熟知的连续统假设与ZFC公理系统独立就是用这样的办法证明的。

    第一个找到让连续统假设是真命题模型是哥德尔，他利用了构造性公理。由于ZF和构造性公理一起还能顺便推出选择公理，于是他证明了连续统假设和ZFC是不矛盾的。

    找到另一个让连续统假设是假命题模型，要难得多。不过还是由科恩(P.J Cohen)找到了，找的过程中，他用了他本人发明的数学工具力迫法(Forcing)。于是，连续统假设与ZFC公理体系就独立了。由此，科恩获得了1966年的菲尔兹奖，也是唯一一个在数理逻辑领域的菲尔兹奖的获得者。

    最后补充一点，我们说公理就是“证据”。现代的公理代数学到底是哪些“证据”呢。这些证据被称为ZF公理体系。我这里列举一下，不过我全部用口语不严谨的列举(严谨的要用形式语言)。

1. 公理1 外延公理
   两个集合有相同的元素则两集合相等

2. 公理2 正规公理
   每个非空集合$x$ 都包含一个元素$y\in x$ ，使得$x$和$y$不相交。

3. 公理3 分类公理
   $x$是一个集合，$p$是一个描述集合的性质，则$\{ y\in x:~ p(y) \}$是一个集合

4. 公理4 配对公理
   $x,y$都是集合，则$\{x,y\}$也是集合。

5. 公理5 并集公理
   一簇集合的并，还是集合。

6. 公理6 替代公理模式
   一个集合被映射后，得到到的像还是一个集合。这个公理之所以称为模式，无穷多的映射，对同一个集和都能产生像，这些像都是集合。所以这其实无穷多条公理。

7. 公理7 无穷公理
   存在一个无限个元素的集合(所有自然数在一起是集合)。

8. 公理8 幂集公理
   一个集合的子集做元素，能形成一个集合。

上面8条就构成ZF公理体系，再加上下面的选择公理，就是ZFC公理体系。

9. 公理9 选择公理
   对一簇集合，我们可以每一个集合里抓出一个来，形成一个新集合。