数学之最大谜团：望月新一与其天书式证明
作者，Davide Castelvecchi
翻译，诗人。，哆嗒数学网翻译组成员。
摘自《自然》(NATURE)2015年10月8日，178-181页。
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2012年8月份的一个早上，望月新一悄无声息地在他的网站上贴了4篇论文。
这篇宏大壮观的论文总数超过了500页，堆砌着密密麻麻的符号，代表了他十年来孤独而又辉煌的巅峰成就。它们也极具引爆整个学术界的潜力。在一篇论文中，望月新一声称已经解决了ABC猜想，这是一个高悬在数论领域27年的难题，其他数学家只能望之兴叹，无能为力。如果他的证明是正确的，那将是这个世纪最令人震惊的伟大成就，它也将彻底地革新对整数方程的研究。
然而对他的证明，望月新一却没有大惊小怪。这位在京都大学数理解析研究所(RIMS)从事研究的数学家，非常受人尊重，他甚至没有向同行透露他的工作。他只是把论文贴在网站上，然后静静地等待着世界的发现与认可。
首先注意到论文的人可能是玉川安骑男，一位望月新一在RIMS的同事。就像其他研究员一样，他知道望月已经为ABC猜想奋斗数年并且已经基本大功告成。同一天，玉川安骑男以电子邮件的形式告知了他的一位共事者，英国诺丁汉大学的数论专家Fesenko。 Fesenko立即下载了论文并开始阅读。但是不久他就“十分困惑了”，他说，“理解这个证明简直不可能。”
Fesenko又向一些望月新一研究领域的计算几何方向的顶级专家发了邮件，消息也迅速传开。不到几天，数学博客和网上讨论会便有了热烈的探讨。但是对很多研究人员，开始的兴高采烈很快就变成了对证明的怀疑。每个人，甚至包括那些和望月的研究领域很接近的专家们，都像Fesenko先前一样困惑不已。为了完成这个证明，望月新一已经开辟了数论的一个新方向，发明了新的技术手段，即使以纯数学的标准来看，这个分支也是难以置信地晦涩抽象。“当你看着这篇论文时，你会有点觉得你可能在阅读一篇来自未来，或者来自其他时空的文章，”论文出现后几天，来自威斯康星州麦迪逊大学的数论家Ellenberg在他的博客上这样写道。
三年前，望月新一的证明正在陷入困境，论文既没有被指出错误也没有被大家所接受。估计对一位数学研究生来说，得花大约10年才能理解他的工作，Fesenko更加觉得即使是一位计算几何专家也得花500个小时才能明白。至今，只有4位数学家承认他们已经能够读懂整个证明。
记者Levy了解到这个数学证明由于过于复杂而无法被核实。望月本人又让事情更加扑朔迷离。他仅仅在日本用日语做了一次有关他的工作的报告，尽管他操得一口流利的英语，他却拒绝了向其他人讲述的邀请。他没有告知记者，几个想要采访他的请求也不了了之。望月已经回复了其他数学家的邮件并且欣然迎接拜访他的同事，但是他在网站上只是写了一些边边角角零零碎碎的话。在2014年12月，他写道“为了理解他的工作，人们急需将他们脑中根深蒂固和信以为然的思维方式彻底抛弃。”对于比利时安特利普大学的数学家Bruyn，望月新一的态度有些轻蔑。原因是Bruyn今年在博客上对望月新一冷冰冰的态度表示了不满，Bruyn这样写道:“不仅仅是对我，望月新一是在对整个数学界进行蔑视(sticking up his middle finger)！”
如今数学界正在尝试搞清这个问题。在12月，在亚洲外的英国牛津举办了第一个关于该证明的专题研讨会。望月新一本人没有参加。但是据说他很乐意通过Skype回答来自研讨会的疑问。组织者希望讨论能够激励更多的数学家投入时间和精力，借助望月新一的思想来了解并熟悉这个证明——还有可能在望月新一的帮助下搞清楚证明。
在他最新的核实报告中，望月写道，他的理论在计算几何中的重要地位，和纯数学在人类社会中的地位无异，这有点像一个小模型。他所面对的困难就是，如何将抽象性工作纳入到他的学科中，这也反映了全体数学家经常会面对的挑战：如何将他们精心创造的玄妙理论传达于更广阔的世界。
核心提示
ABC猜想与形如a + b = c的数字表达式有关。这个命题来源于几个稍微不同的方向，着眼于能够整除a，b和c的素数的数量。每个整数能够被唯一的表示成素数的乘积组合，举个例子，15 = 3×5或者84 = 2×2×3×7。原则上，a和b的素因子和他们之和c的素因子应该没啥关系。但是ABC猜想把他们联系在了一起。它猜想，粗略的说，如果大量的小素数整除a和b,那么只有一小部分大素数能够整除c。
它于1985年首先被提出，法国数学家Oesterlé在德国的一次报告中提及了一堂关于特殊方程的课，话中不经意地提到了这个猜想的可能性。坐在观众席中的是Masser，如今是一位瑞士巴塞尔大学的数论专家，他意识到了这个猜想潜在的重要性，并不久后将它以一般形式公之于众。现在这个猜想一般归功于他们俩，也就是为人们知晓的Oesterlé–Masser猜想。
君不见，望月之证明天上来
几年之后，Noam 和Elkies，来自剑桥和曼彻斯特的两位哈佛大学数学家意识到，如果ABC猜想是正确的，那将对整数方程（其中以丢番图方程为名，古希腊数学家丢番图首先了研究整数方程）的研究产生极为深刻的影响。
Elkies发现如果证明了ABC猜想，那将会以神来之笔解决一大批悬而未决而又著名的丢番图方程。那是因为这个猜想给丢番图解的大小范围进行了清晰的限制。比如，ABC猜想可能会表明所有符合方程的解都必须比100小。为了找到所有的解，从0到99 的所有值都要代入验证看看哪一个是解。相反，如果没有ABC猜想的帮助，我们则要尝试代入无数的值。
虽然1992年美国数学家莫德尔提出确定的猜想公式，声称大量的丢番图方程要么无解要么存在有限解，这曾一度成为丢番图方程历史上最为重要的突破，但是Elkies的工作意味着ABC猜想的结果将会更上一层楼。那个猜想于1983年被德国数学家法尔廷斯证明，那是他年仅28岁，并在两年多后因此工作获得菲尔兹奖，这一令无数数学家梦寐以求魂牵梦绕的数学奖项。但是如果ABC猜想如果是正确的，你将不仅仅知道它有多少组解，法尔廷斯说道，“你都能直接把它们列出来。”
法尔廷斯解决莫德尔猜想后不久，他开始在新泽西普林斯顿大学教书，很快，他的征途和望月新一的轨迹相交了。
生于1969年，望月新一在美国度过了至关重要的岁月，他的父母在他很小的时候就搬到了那里。他上了一所新罕布什尔州的贵族学校，大约16岁时，他的少年天才为他赢得了在普林斯顿数学系的一个本科名额。他迅速凭借其原创性思维成为一个传奇，并且直接攻读博士学位。
知道望月新一的人们都描述他拥有着超自然的全神贯注的能力。“自打他入学起，每天起床后他就雷打不动辛勤工作，” 金明迥这样说道，金明迥是牛津大学的一位数学家，自从他来到普林斯顿他就知道望月新一。参加完一次研讨会，研究员和学生们通常会出去喝杯啤酒嗨一嗨，但是望月新一却不，金明迥回忆道，“他不为俗事所扰，如此一心地专注于他的数学。
法尔廷斯是望月新一的毕业论文和博士论文导师，他能够看得出望月新一的卓越不凡。“显然他是更加出众的一位”，他说道。但是作为法尔廷斯的学生却不是那么容易。“法尔廷斯虽是通向成功的天梯，但和他共事也足以让人胆寒。” 金明迥回忆道。他会敏锐地抓住错误，每当和他谈话，即使是很优秀的数学家也要小心翼翼，反复斟酌。
法尔廷斯的工作对美国东海岸大学的很多年轻的数论学者有极大的影响。他的研究领域是代数几何，这个领域从19世纪50年代起已经被格罗滕迪克转变为一个高度抽象和理论性极强的分支——格罗滕迪克通常被称为20世纪最伟大的数学家。“相比格罗滕迪克” 金明迥说道，“法尔廷斯并没有太多耐心去思考数学的哲学含义。他的数学风格是总以大量的抽象知识为背景，但目标都实在而明确。望月新一的工作十分明确，就是ABC猜想。”
一心只为ABC
完成博士学位的攻读后，望月新一在哈佛度过了两年。1994年回到了故乡日本，时年25岁，并在RIMS做为研究员。虽然他已经在美国度过了数年，“他对于美国文化还是有些许不适”， 金明迥说道。并且，他还补充到，身处异国他乡，他还是会感受到数学天才带给他的复杂的孤独感。“我觉得他的确遭了点罪。”
望月在RIMS独领风骚，在那里并不需要研究员带研究生。“所以他能专心致志于他的工作20载，没有其他杂事骚扰。”Fesenko说道。在1996年，他因解决了格罗滕迪克的一个猜想而在国际上声名大噪，在1998年，他受邀在柏林举办的国际数学家大会上发言，同时，这也令他名誉大收。
天书只有上帝才能看懂，我等只是凡人
但是尽管望月已经声誉加身，他还是很快地脱离了主流。他的工作慢慢地进入更加抽象的境界，并不为同伴所理解。在本世纪初，他渐渐不再在国际会议上露面，同事们都说他几乎没有离开京都半步。“没有合作伙伴而进行数十年的工作，这需要极不容易的奉献和专注。”加利佛尼亚斯坦福大学的数论学家Brian Conrad这样说道。
不过望月也确实和一些数论专家同行保持了联系，他们最后也才知道望月志在ABC猜想。因为大多数数学家对这个问题都避而远之，认定其太难应付，所以他并无竞争对手，独孤求败。2012年早期，关于望月已经快完成证明的流言满天飞。8月份便来了消息，他将证明的论文贴在了网上。
接下里的一个月，Fesenko成为第一个不远万里拜访望月并向他请教他的天书式证明的人。Fesenko本来是打算去拜访玉川安骑男的，所以他也去探望了望月新一。望月的办公室非常宽敞，窗外就是美丽的大文字山山景，屋内整整齐齐地排放着书籍和论文，他们就在那里见面了(语序仍是关键)。“这真是我平生看过的最整洁可观的数学家的办公室”，Fesenko说道。两位数学家坐在舒适的毛绒扶手椅上，Fesenko不断地询问着他的工作和接下来的一些事宜。
Fesenko说道，他特别提醒了望月新一要关心一下另一位数学家的经历：格里戈里•佩雷尔曼，他因在2003年解决了世纪遗留问题——庞加莱猜想后盛名鼎盛，然后退出江湖，归隐山林。Fesenko了解佩雷尔曼，并认为这两位数学家的性格非常不同。人们都知道佩雷尔曼的社交能力着实不敢恭维（就像他不怎么修理自己的指甲，很不修边幅），但是望月却善于表达，在社交场合中游刃有余。
通常在一个主要证明宣布之后，数学家们会检验证明，证明一般也就几页，他们都能大致了解证明思路和策略。有时，如果证明又长又复杂，专家们就可能会花上几年来真正理解它，并且达成一致。佩雷尔曼关于庞加莱猜想的证明就是这样被接受的。即使像格罗腾迪克那样高度抽象的论文，专家们也能够将他的大部分新思想与他们熟悉的领域相联系。只有迷雾被彻底扫清后，记者才会将其公之于众。
但是几乎每个试图搞明白望月新一证明的人，最后都会茫然不知所措。一些人是因为其几乎天书般的语言而困惑不已，望月新一这样评论道他的一些新的理论思想，他甚至以“宇宙际几何”这样的名字来命名他一手创造的领域。“一般而言，面对整个宇宙时，数学家会非常谦逊甚至惭愧，一般不会声称自己做出的那点东西是对整个宇宙探索的一种革新，在巴黎第六大学的Oesterlé的这样说道，他对望月新一证明的首先做了一点验证性工作。
原因就是望月新一的工作已经远远的脱离了以前的老套路。他从数学的基础集合论（人们熟知的维恩图就是集合中的玩意）开始，试图从根子上对数学进行创新。大多数的数学家都不愿花时间去研究他的工作，因为他们不知道这是否值得：谁知道望月新一发明的崭新的理论手段能不能运用到计算中呢？“我试图读懂一些他的证明，但是到了某个阶段，我就放弃了，实在不懂他到底在干啥。”法尔廷斯说道。
在过去的这几年，Fesenko已经仔细研究了望月的工作，并于2014年秋天又去RIMS拜访了望月，还称他已经核实了证明。（另外三个声称已经搞懂望月的证明的数学也花了大量的时间 ，他们在望月研究所的附近工作，反复讨论才最终明白。）“宇宙际几何”的第一要旨就是要以一种全新而不同的视角看待整数——加法性质先不考虑，并视乘法为一种可扩展可变形的结构。通常标准的乘法只是这种结构族里的一种特殊情况，正如圆是特殊的椭圆一样。Fesenko说望月新一自比数学上帝格罗腾迪克，不过这并不过分。“望月新一出现后，世界上就只有两种数学，望月之前的数学和望月之后的数学。” Fesenko高度评价道。
但是至今，那几个已经理解望月工作的人却很难向别人解释它。“那些正在传达望月工作的人我都知道，他们都相当厉害，但是慢慢地，他们就解释不清楚了。”一位不愿透露姓名的数学家这样说道。这样的情形让他想起了蒙提派森短剧里的故事，他写下了世界上最好笑的笑话，每个人看到之后都笑死了，他们都无法向别人分享这个笑话。
法尔廷斯说，这的确是个问题。“你光有一个绝妙的思想是不够的，你还要向别人解释清楚。” 法尔廷斯说如果望月新一想要他的工作为世人接受，那么他应该更多地向外界做出说明。“对于他的理论，人们没有义务必须搞清楚，人们爱怎么想就怎么想。如果他想要获得认可，他必须向人们妥协。”
辉煌灿烂，还是沉寂？
今年下半年，克雷数学协会将要举办长期的一个研讨会，这对于望月而言，事情变得有了转机。这个领域的顶尖人物都会到时参加，包括法尔廷斯。和法尔廷斯一起，金明迥也是其中一位组织者。他们说道，短短几天不足以展示整个理论。不过他说“希望在讨论会的结束之时，会有足够多的人们能够坚定信念，鼓起信心，投入到阅读证明的过程中。”
很多数学家预测得花费很多年才能搞懂一些证明。（望月本人说他已经将论文提交给了期刊，估计现在他们还在复习背景知识的准备阶段呢）。最终，研究者希望一些人不仅能够理解望月的工作，并且能向别人解释清楚。可问题是，很少有人爱揽这苦差事。
展望未来，研究者们觉得未来的难题可能不会那么复杂和难以解决。 Ellenberg指出，在新的数学领域中，理论通常是比较简单的，证明也会更加简洁而优美。
现在的问题是望月的证明是否最终能被人们接受，就像佩雷尔曼那样，还是会有完全不同的命运。一些研究者的语气相当地谨慎，比如印第安纳普渡大学西拉法叶校区的Louis de Branges，是一位信誉鼎盛的数学家。在2004年，Branges发表了一篇证明黎曼猜想的论文，这是被认为一个数学中最为重要的未解之谜。但是数学家却对他的证明保持怀疑，很多人由于他非传统的理论和怪癖的写作风格，于是不再关注他的工作，论文也渐渐地淡出了人们的视线。
对于望月的工作，“并不是孤注一掷的赌注，不应该以单纯的成败去评论。”Ellenberg说道。即使最终证明行不通，他的方法和思想也会慢慢地渗透到整个数学之中，研究员可能会发现其中有一些对他们有用。“我真的觉得，基于我对望月的了解，他的论文中极有可能隐藏着非常玄妙和重要的数学。”Ellenberg这样评论道。
不过还是存在事情会向另一种不好的方向发展的风险的，他又补充道。“我觉得如果我们就因为看不懂证明而忘却了它，那真的是整个数学的一大悲哀。”
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